《基本事实与定理》参考教案

《基本事实与定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《基本事实与定理》的学习，使学生能够掌握初中数学的基本概念和原理，熟悉基本事实与定理的证明方法和应用，为后续的数学学习打下坚实的基础。

二、作业内容作业内容主要围绕《基本事实与定理》这一课程主题展开，包含以下几个部分：1. 知识点复习本课时重点涉及的概念、定理及其推导过程。

包括算数、几何等章节的核心理清与复述，加深对重要概念的理解。

2. 定理证明选取几个重要的定理，要求学生自行进行证明。

证明过程需清晰、逻辑严密，并辅以必要的图形或辅助线。

通过证明过程，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

3. 习题练习设计一系列与本课时知识点相关的习题，包括选择题、填空题和解答题等。

习题难度适中，既有基础知识的巩固，也有一定程度的拓展。

要求学生独立完成，并鼓励一题多解，培养学生的创新思维和解题能力。

4. 实践应用结合生活中的实际情境，设计一些数学问题，要求学生运用所学知识进行解答。

如通过测量物体长度、计算面积等实践活动，加深学生对数学知识的理解和应用能力。

三、作业要求1. 作业完成时间：本作业设计应在课后完成，总时长不超过两小时。

2. 独立完成：要求每位学生独立完成作业，不得抄袭或由他人代做。

3. 认真审题：在完成作业过程中，应认真审题，明确题目要求，确保答题的准确性和完整性。

4. 格式规范：答案书写应整洁、规范，有必要的文字说明和公式推导。

5. 拓展思维：在解题过程中，鼓励学生发散思维，尝试多种解题方法，培养创新意识和解决问题的能力。

四、作业评价作业评价将从学生的解题过程、结果以及创新能力等方面进行综合评估。

对认真完成作业、答题准确的学生给予表扬和鼓励；对未完成作业或答题有错误的学生及时进行辅导和督促；对有创新思维的解题方法给予肯定和赞赏。

五、作业反馈作业完成后，教师应对学生的作业进行批改和反馈。

对于共性问题进行讲解和指导；对于个别问题则进行针对性的辅导和帮助。

8.3 基本事实与定理【学习目标】1.掌握九条基本事实作为证明的出发点和依据.2.会用这九条证明其他定理【教学重、难点】1.掌握九条公理2.学会书写证明过程【导学流程】一、自主预习（明白什么是公理、定理。

，用时15分钟）————宋体五号加粗1.创设教学情境（1）同学们举出我们学过的一些真命题的例子.2.出示学习目标（1）.掌握九条基本事实作为证明的出发点和依据.（2）.会用这九条证明其他定理3.学生自主学习，完成预习题自主学习41---43，预习例题4.组内交流质疑归纳：一、定理的概念一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.问题：你能再举出一些基本事实或定理的例子吗？命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题吗？如果是，说明理由，如果不是，请举出反例证明的概念一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.二、展示交流（用时15分钟）5.小组汇报交流1、两点确定一条直线。

2、两点之间，线段最短。

3、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

4、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5、同位角相等，两直线平行。

6、如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（SSS）. 7、如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（SAS）8、如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(ASA).9、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

6.教师精讲点拨例1在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．1）命题是真命题还是假命题？2）你能将命题所叙述的内容用图形语言来表达吗？命题在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．（3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．命题在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. （4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？已知：b∥c，a⊥b求证：a⊥c．三、反馈拓展（用时15分钟）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．注：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.7.课堂巩固训练1.在下面的括号内，填上推理的依据.如图3，∠A+∠B=180º，求证∠C+∠D=180º.证明：∵∠A+∠B=180º（已知），∴AD∥BC（）.又∵AD∥BC（）.∴∠C+∠D=180º（）.8.教学小结提升填空已知：如图1，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知）∠AEF=∠1 （）；∴∠AEF=∠2 （）．∴AB∥CD（）．∴∠BEF=∠CFE （）．∵∠3=∠4（已知）；∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．即∠GEF=∠HFE（）．∴EG∥FH（）．9.课堂达标检测在下面括号内，填上推理的根据.已知：如图6，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2.求证：BE∥CF.证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），∴= =90°（）.∵∠1=∠2（已知），∴= （等式性质）.∴BE∥CF（）.9.课堂达标检测如图,已知直线a 、b 被直线c 所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据: (1)∵a ∥b,∴∠1=∠3(_________________); (2)∵∠1=∠3,∴a ∥b(_________________); (3)∵a ∥b,∴∠1=∠2(__________________);(4) ∵a ∥b,∴∠1+∠4=180º (_____________________)(5)∵∠1=∠2,∴a ∥b(__________________);(6)∵∠1+∠4=180º,∴a ∥b(_______________).ab 1 23 c4。

鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计一. 教材分析《基本事实与定理》是鲁教版数学七年级下册第八章第三节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方差定理和完全平方定理。

这些定理是初中数学的基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。

本节课的教学内容不仅要求学生掌握定理本身，还要学会如何运用这些定理解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些简单的数学概念和运算方法已经熟悉。

但是，对于较复杂的数学定理，学生可能还存在着理解上的困难。

因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，帮助学生深入理解定理的含义和应用。

三. 教学目标1.了解勾股定理、平方差定理和完全平方定理的基本概念。

2.学会运用这些定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明和应用。

2.平方差定理和完全平方定理的理解和应用。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

同时，结合实例讲解，让学生直观地理解定理的应用，提高学生的实际操作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备一些实际问题，用于引导学生运用定理解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学定理解决问题。

例如，一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3cm和4cm，如何求斜边的长度？2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的概念和证明方法。

通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的含义。

同时，给出一些勾股定理的应用实例，让学生学会如何运用定理解决实际问题。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理的实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对勾股定理的理解和运用。

教师及时批改学生的答案，给予反馈。

《基本事实与定理》教案探究版教学目标知识与技能了解公理、定理的含义，了解本套教科书所采用的基本事实；会区分定理、公理，初步感受公理化思想．过程与方法通过实例感受证明的过程与格式．情感、态度感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值．教学重点公理与定理的含义，并能初步领会证明的过程与格式．教学难点证明的过程与格式的领会与应用．教学过程一、情境导入说明一个命题是假命题，通常举出一个例子就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．如何证实一个命题是真命题呢？其实，在数学发展史上数学家也遇到过类似的问题，今天我们就来初步认识欧几里得的几何体系．设计意图：通过阅读，让学生通过问题情境感受公理体系的重要性，从而极大的调动学生学习的积极性和主动性．二、探究新知（一）公理与定理：公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300年前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证明其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名．公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．每个定理都只能用公理、定义、已经证明为真的命题来证明，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面．《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作（二）基本事实我们已经认识了可作为证明出发点和依据的基本事实，其中有八条：1．两点确定一条直线．2．两点之间线段最短．3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．6．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．7．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．8．三边对应相等的两个三角形全等．此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证明其他命题的正确性，另外还有一条我们将在以后认识它．此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．从这些基本出发，就可以证明已经探索过的结论了，例如：定理同角（等角）的补角相等定理同角（等角）的余角相等定理三角形的任意两边之和大于第三边定理对顶角相等三、典例精讲例1．已知∠1=∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3=∠4．分析：证明一个命题的正确性，要按“已知”、“求证”、“证明”的顺序和格式写出，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、基本事实和已证明的定理，经过一步步的推理最后证实结论的过程．证明:∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．∴∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2．∵∠1=∠2．∴∠3=∠4．因此：同角（等角）的补角相等设计意图：通过过程分析，让学生经历证明的过程，体验证明的方法步骤．同理可证：同角（等角）的余角相等．证明过程与例2类似，鼓励学生自我证明．对于“三角形的任意两边之和大于第三边的证明”，可引导学生任取三角形的两个顶点，根据公理“两点之间线段最短”可证得命题正确．例2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证:∠AOC=∠BOD．证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)设计意图：通过例题，加深学生对证明的过程与格式的认识．方法总结：证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形．（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．例3．已知：如图，∠BAD=∠EAC．求证：∠1=∠2．证明：∵∠BAD =∠EAC （已知）， ∴∠BAD -∠EAD =∠EAC -∠EAD （等式的性质）．∴∠1=∠2．四、课堂练习1．下列说法正确的是( )．A ．真命题都可以作为定理B ．公理不需要证明C ．定理不一定都要证明D ．证明只能根据定义、公理进行2．已知∠1=∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．求证：∠3=∠4．答案：1．解析：真命题并不都是定理，故选项A 不正确；定理必须经过证明，故选项C 不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D 不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B ．2．证明:∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2．∵∠1=∠2．∴∠3=∠4．五、课堂小结1．公理与定理：公认的真命题称为公理 ，经过证明的真命题称为定理．2．证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实．推理的过程称为21BE D C A证明．设计意图：培养学生归纳整理知识的能力和习惯．六、布置作业1．“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）A ．定理B ．公理C ．定义D ．只是命题2．“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）A ．定理B ．公理C ．定义D ．只是命题3．4人进行游泳比赛，赛前4名选手A ，B ，C ，D 分别对自己进行预测．A 说：“我肯定得第一名．”B 说：“我绝对不会得最后一名．”C 说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D 说：“那只有我是最末了的了！”比赛结果揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．请指出这是哪一位选手．4．已知：如图，直线AB 和CD 相交于点O ，且∠AOC 是直角．求证：∠COB ，∠BOD ，∠DOA 都是直角．答案：1．B 2．C3．解：如果A 是错误的，说明B 是第一名，D 是最后一名，A 与C 一个是第二名，一个是第三名，有可能．如果B 是错误的，就说明B 得了最后一名，那就和D 的说法相矛盾，说明D 的预测也是错的，与题意不符．如果C 是错误的，说明他不是第一名就是最后一名，要么与A 的说法相矛盾，要么与D 的说法相矛盾，说明A 或D 的预测也是错的，与题意不符．如果D 是错误的，说明D 不是最后一名，结合A ，B ，C 的说法，他们也不是最后一名，不可能，与题意不符．所以A 的预测是错误的4．证明：∵∠AOC 是直角， ∴∠AOC =90°， OD CBA∵AOB是一条直线，∴∠COB =180°-∠AOC=90°，∴∠COB是直角．同理可证：∠BOD，∠DOA都是直角．七、课堂检测1．下列句子中，是定理的是（），是公理的是（），是定义的是（）A．两点确定一条直线B．对顶角相等C．全等三角形的对应边相等，对应角相等D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形E．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等2．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．下列条件中不一定能推出△APC≌△APD的是( )A．BC＝BD B．AC＝ADC．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB3．“两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直”这个句子是（）A．定义B．命题C．公理D．定理答案：1．是定理的是B、C、E，是公理的是A，是定义的是D2．B．解析：根据三角形全等的判定定理，选项A，C，D都能推出△ABC≌△ABD，进而推出△APC≌△APD．3．A。

鲁教版七年级下册第八章第三节基本事实与定理一、教学目标：1、知识目标:了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本套教材所采用的公理。

2、情感目标:通过介绍欧几里得的《原本》，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。

二、教学重难点:根据命题写出已知知、求证三、教具准备:投影仪、投影片四、教学方法:引导探究、合作交流五、教学过程:（一）自学自主阅读课本第41-44页，思考并回答以下问题：1、基本事实、定理、的概念2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。

3、证明及证明的一般步骤。

(二)创设情境，提出问题如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢?(三)设置问题，步步引导在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的丰富的几何学成果整理在系统得逻辑体系中，他挑选了一部分不定义的数学名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为ー门具有公理化体系的科学。

(四)层层深入，挖掘特点1、通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

例如，欧几里德将“两点确定一条直线”“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。

2、通过推理得到证实的真命题叫做定理。

本教材选用如下命题作为基本事实（公理）：1、两点确定一条直线。

2、两点之间线段最短。

3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知直线垂直。

4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。

5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

8、三边分别相等的两个三角形全等。

举出几个定理。

1、三角形内角和定理2、同角的补角相等。

3、直角三角形的两个锐角互余。

你还能举出其他的定理吗？思考？定理与公理的区别是什么？公理：是人们实践活动中总结出来的。

《基本事实与定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业的目标是使学生掌握初中数学课程中基本事实与定理的基础知识，加深对数学概念的理解，并能熟练运用所学知识解决实际问题。

通过本作业的练习，提高学生的数学思维能力和解题能力。

二、作业内容作业内容主要围绕初中数学课程《基本事实与定理》的第一课时展开，具体包括：1. 复习本课时所学的数学概念和基本事实，如数的性质、基本算式等。

2. 掌握并熟练运用本课时所学的定理，如勾股定理、等腰三角形的性质等。

3. 完成一定数量的练习题，包括选择题、填空题和解答题，以检验学生对基本事实与定理的掌握情况。

4. 结合实际生活，运用所学知识解决一些简单的实际问题，如利用勾股定理测量建筑物的高度等。

三、作业要求1. 学生需认真复习本课时所学的数学知识，确保对基本概念和定理有清晰的理解。

2. 学生在完成练习题时，应独立思考，尽量自己解决问题，如遇到困难可适当查阅资料或向老师请教。

3. 学生在完成实际问题时，要结合实际情况，运用所学知识进行分析和解决，注意解题过程的逻辑性和条理性。

4. 学生在完成作业后，应自行检查答案的正确性，确保作业质量。

四、作业评价1. 老师将对每位学生的作业进行批改，评价学生在基本概念和定理掌握情况、解题能力、逻辑性和条理性等方面的表现。

2. 对于表现优秀的学生，老师将在课堂上进行表扬，并作为榜样鼓励其他学生；对于表现不佳的学生，老师将给予指导和帮助，帮助其提高。

3. 老师将根据学生的作业情况，对教学进度和教学方法进行调整，以更好地满足学生的学习需求。

五、作业反馈1. 老师将根据批改情况，对学生在作业中出现的错误进行讲解和纠正，帮助学生巩固所学知识。

2. 老师将针对学生在解题过程中出现的问题，进行针对性的指导和帮助，提高学生的解题能力和思维能力。

3. 老师将鼓励学生进行自我反思和总结，找出自己在学习中的不足和需要改进的地方，以便更好地提高学习效果。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本节作业的总体目标在于使学生能更好地理解和掌握初中数学中关于《基本事实与定理》的知识，提升其对于几何学基础内容的运用和推导能力。

课题：基本事实与定理设计人：吴占杨学习目标：1、知道公理、定理的含义。

会背初中数学教科书中所采用的基本事实。

2、会用基本事实和等式的性质证明一些定理。

核心知识：八个基本事实与相关的定理，等式的性质学习过程：一、导入新课：说明一个命题是假命题我们应该做些什么？如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？二、学习新知：模块一、知道公理、定理的含义。

会背初中数学教科书中所采用的基本事实。

1、出示问题自学课本P41最后一段，了解《欧氏原本》的来历。

把P42的公理、定理的定义画下来，要求会背。

通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

除公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题叫做定理。

2、交流展示领会P42的8条基本事实，高声读出来。

（其意义要求同桌互动交流）等量代换的名词解释：在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替。

模块二、会用基本事实和等式的性质证明一些定理。

1、出示问题学生自学P42的例题（要求每一步都注写理由）。

通过例题的证明我们得到了一个定理：同角（或等角）的补角相等。

2、交流展示学生自学P43最后一段。

要求学生今后的证明题要严格按格式进行，3、针对性训练完成P43随堂练习2 （可选优秀学生演板书写本题，按要求去做）由此得到定理：同角（或等角）的余角相等。

三、课堂训练：P44习题8.4 1题 2题四、课堂小结：本节课我们学了什么内容？你得到了几个定理？五、课堂作业：P44习题8.4 3题补充：若∠1+∠2=90º，∠3+∠2=90º，∠1=40º，则∠3=________,依据是_________________证明：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等六、教学反思——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————。