完整版初中数学动点问题归纳

初中动点问题的方法归纳动点问题是初中生学习数学时常遇到的难题之一。

这类问题需要学生掌握一定的解题方法和技巧才能够解决。

本文将从动点问题的基本概念、解题思路和常见解题方法等方面进行详细的归纳和总结，希望能够帮助学生更好地掌握动点问题的解题技巧。

一、动点问题的基本概念动点问题是数学中的一个重要课题，在初中数学中占据着重要的地位。

动点问题通常是指以点的运动规律为基础，通过分析和推理，确定动点在一定条件下的运动轨迹或者位置。

动点问题涉及到数学中的线性代数、平面几何等多个知识领域，对学生的逻辑思维和解决问题的能力提出了较高的要求。

动点问题的基本概念可以概括为以下几个方面：1.动点的定义：动点是指在一定条件下，按照一定的规律进行运动的点。

动点的轨迹、速度等都是动点问题的研究对象。

2.动点的运动规律：动点在其运动过程中会遵循一定的规律，这种规律可以是直线运动、曲线运动、周期性运动等。

了解动点的运动规律是解决动点问题的基础。

3.动点问题的应用：动点问题在生活和工作中有着广泛的应用，如汽车在高速公路上行驶的轨迹、射击运动中子弹的轨迹等，都可以通过动点问题进行模拟和分析。

二、动点问题的解题思路解动点问题需要遵循一定的思维逻辑和解题方法，下面将对解题思路进行详细的介绍：1.熟悉动点的运动规律：在解动点问题之前，首先需要了解动点所遵循的运动规律。

这包括动点的速度、加速度、运动轨迹等相关信息。

只有了解了动点的运动规律，才能够有针对性地解决动点问题。

2.建立数学模型：解动点问题需要建立适当的数学模型，根据动点的运动规律和条件进行建模。

这包括建立坐标系、确定参照物、建立方程等步骤，通过数学模型能够更清晰地描述动点的运动状态。

3.运用数学知识进行推理：在建立数学模型之后，需要通过数学知识进行推理和分析。

这包括运用几何知识、代数知识、函数知识等进行推导和计算，找出动点在不同条件下的位置和轨迹。

4.检验和求解：在进行推理之后，需要对所得的结果进行检验和求解，验证计算结果的正确性，并对结果进行解释和讨论，这样才能够得出准确的结论。

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。

通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

（1）去伪存真。

刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

（2）科学选择。

捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。

题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点31、(2009年齐齐哈尔市)直线 y = -— x+6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，4同时到达 A 点，运动停止.点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O - B-A 运动. (1)直接写出A 、B 两点的坐标；(2)设点Q 的运动时间为t 秒，4OPQ 的面积为S, 的函数关系式;，一一 48 , .................... (3)当$= 一时，求出点P 的坐标，并直接写出以点5坐标.解：1、A (8, 0)B (0, 6)22、当 0vtv3 时，S=t当 3v tv 8 时，S=3/8(8-t)t提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;。

P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OM 边。

然后画出各类 的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市)如图，AB 是。

O 的直径，弦 BC=2cm ,/ ABC=60 o. (1)求。

O 的直径；(2)若D 是AB 延长线上一点，连结 CD,当BD 长为多少时，CD 与。

O 相切；(3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点 F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为 t(s)(0 <t <2),连结EF,当t 为何值时，△ BEF 为直角三角形.动点问题O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点第(3)问是分类讨论：已知三定点求出S 与t 之间图(3)3、(2009重庆某江)如图，已知抛物线y=a(x—1)2+3J3(a*0)经过点A(—2, 0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM // AD .过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC . (1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC =OB ,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60当^OPC面积最大时，四边形BCPQ勺面积最小。

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析 过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点、、 、 31(2009年齐齐哈尔市)直线 y x 6与坐标轴分别交于 A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发,4同时到达A 点，运动停止•点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 7 yB位长度，点P 沿路线O T B T A 运动.(1) 直接写出A 、B 两点的坐标；t 秒，△ OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间 _ O(3)当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的5坐标.解：1、A (8, 0) B (0, 6)22、当 0 v t v 3 时，S=t当 3 v t v 8 时，S=3/ 8(8-t)t提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第(3)问是分类讨论：已知三定点 OP 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类 的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市)如图，AB 是O O 的直径，弦 BC=2cm / ABC=60).(1) 求O O 的直径；(2) 若D 是AB 延长线上一点，连结 CD 当BD 长为多少时，CD 与O O 相切；(3) 若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为 t(s)(0 ::: t ::: 2)，连结EF ,当t 为何值时，△ BEF 为直角三角形.(2)设点Q 的运动时间为的函数关系式;P fQ注意：第(图问按直角位置分类讨论图(2)3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线y= a(x -1)2 3、-3(a = 0)经过点A(-2, 0),抛物线的顶点为Bx注意：第(2)问按点P 到拐点B 所用时间分段分类;过O 作射线0M // AD .过顶点D 平行于x 轴的直线交射线 OM 于点C , B 在x 轴正半轴上，连结BC . (1) 求该抛物线的解析式；(2) 若动点P 从点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 0M 运动，设点P 运动的时间为t(s).问 当t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ (3) 若OC =0B ，动点P 和动点Q 分别从点0和点B 同时出发，分别以每秒 1 单位和2个长度单位的速度沿 0C 和B0运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随 之停止运动.设它们的运动的时间为 t (s)，连接PQ ,当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长. 注意：发现并充分运用特殊角/DAB=60当厶0PC 面积最大时，四边形 BCPQ 勺面积最小。

初一数轴动点问题的方法归纳一、引言初一数轴动点问题是初中数学中的一个重要知识点，通过解决这类问题，可以帮助学生理解数轴上点的运动规律，培养其空间思维能力和解决实际问题的能力。

本文将从问题的分析、解题思路和方法归纳三个方面，介绍初一数轴动点问题的解法。

二、问题的分析在初一数轴动点问题中，通常给定初始位置和一个或多个移动规则，要求确定点在数轴上移动后的位置。

问题的关键在于找到移动规则与初始位置的关系，从而确定点的最终位置。

三、解题思路解决初一数轴动点问题的思路主要分为以下几步：1. 确定初始位置：根据题目给出的信息，确定点的初始位置。

初始位置可以是一个确定的点，也可以是一个范围。

2. 分析移动规则：仔细阅读题目，理解移动规则。

移动规则可以是简单的加减法运算，也可以是根据条件进行判断并作出相应的移动。

3. 确定移动次数：根据题目要求，确定点需要移动的次数。

移动次数可以是确定的，也可以是根据条件进行判断。

4. 进行移动操作：根据移动规则和移动次数，进行相应的移动操作。

根据移动操作的类型不同，可以分为直接移动、相对移动和条件移动等。

5. 确定最终位置：根据移动操作后点的位置确定最终位置。

最终位置可以是一个确定的点，也可以是一个范围。

四、方法归纳根据上述解题思路，我们可以总结出以下几种常见的方法来解决初一数轴动点问题：1. 列表法：将初始位置和移动规则按照一定的规律列成表格，根据移动次数逐步计算出点的位置。

这种方法适用于移动规则比较简单的情况。

2. 递推法：根据初始位置和移动规则，通过递推的方式计算出点的位置。

递推法适用于移动规则具有递推性质的情况。

3. 条件法：根据移动规则中的条件，判断点的移动方式，并计算出最终位置。

这种方法适用于移动规则具有条件判断的情况。

4. 图形法：将数轴和点的移动过程绘制成图形，通过观察图形来确定点的最终位置。

这种方法适用于移动规则复杂或移动次数较多的情况。

五、举例说明为了更好地理解上述方法，我们举一个具体的例子来说明：例题：小明从数轴上的位置0出发，每次可以向左或向右移动1个单位，当移动次数为偶数时向右移动，移动次数为奇数时向左移动。

…………………………动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点3x???6yP、QO B、A点出发，与坐标轴分别交于、（2009年齐齐哈尔市）直线同时从两点，动点14yQ OAA个单点，运动停止．点运动，速度为每秒沿线段1同时到达BO APB沿路线→→运动．位长度，点B、A（1）直接写出两点的坐标；Ptt OPQ△SQS的运动时间为，求出秒，2）设点之间与的面积为（xQOA 的函数关系式；48?SQP、O、MP的（3）当的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点时，求出点5坐标．6）B（0，（8，0）解：1、A2S=t3时，＜t＜2、当0 ／8(8-t)t8时，S=3 当3＜t＜所有时间分段分类；P到拐点B）问按点提示：第（2探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同，、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P为边。

然后画出各类OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边，②OP为边、OQ分类-----①OP为边、的图形，根据图形性质求顶点坐标。

年衡阳市）（20092、，的直径，弦BC=2cm如图，AB是⊙O o．∠ABC=60 的直径；）求⊙O（1 O相切；BD长为多少时，CD与⊙延长线上一点，连结（2）若D是ABCD，当点出发沿的速度从BF以1cm/s的速度从E以2cm/sA点出发沿着AB方向运动，同时动点（3）若动点t)t?2)(t(s0?BC方向运动，设运动时间为为直角三角形．为何值时，△BEF，连结EF，当C C CFFE A BABAD OEOO B）图（3）图（2图（1）3）问按直角位置分类讨论注意：第（0)?3(?3a??ya(x1)2)，02A(?D，经过点，已知抛物线如图，2009（、3重庆綦江）抛物线的顶点为（（（（（（（．…………………………xx CO BCOMAD∥OMBD．连结轴的直线交射线过在作射线于点，．过顶点轴正半轴上，平行于（1）求该抛物线的解析式；Ot(s)OMPP．问出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动的时间为（2）若动点运动，设点从点tDAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？当为何值时，四边形M yDCOQ OB?OCB个长度同时出发，分别以每秒分别从点，动点1和动点（3）若和点BOOC运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随和单位和2个长度单位的速度沿Ptt BCPQPQs)(四边形当，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，AQOxB PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．°注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60 的面积最小。

3.相似和全等中的动点问题1.如图，等边三角形ABC 的边长为6，点E ，F 分别在AC ，BC 边上，AECF =，连结AF ，BE 相交于点P ．(1)求证:AF BE =，并求APB ∠的度数；(2)若2AE =，求·AP AF 的值；(3)当点E 从点A 运动到点C 时，求点P 经过的路径长．解析:(1)∵ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC C ∠=∠=︒又AE CF =，∴ABE CAF ≌∴AF BE =，ABE CAF ∠=∠∴60APE ABE BAF CAF BAF BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴180********APB APE ∠=︒-∠=︒-︒=︒(2)∵60APE ∠=︒，∴APE C ∠=∠又PAE CAF ∠=∠，∴APE ACF ∽ ∴AP AE AC AF = ，∴··6212AP AF AC AE ==⨯=(3)∵120APB ∠=︒，∴点P 的运动路径是一段圆弧，该圆弧所对的圆心角为120︒设圆心为O ，连接OA 、OB ，作OH AB ⊥于 则132AH AB ==，1602AOH AOB ∠=∠=︒∴sin60AH OA ==︒∴当点E 从点A 运动到点C 时，点P 经过的路径长为:1201803π⨯︒=︒2.已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使顶点B 落在CD 边上的P 点处．(1)如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．①求证:OCP PDA ∽；②若OCP 与PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长；(2)若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数；(3)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕OA 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上(点M 与点P 、A 不重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．解析:(1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴90C D ∠=∠=︒∴90APD DAP ∠+∠=︒∵AOP 是由ABO 沿AO 折叠，∴90APO B ∠=∠=︒∴90APD CPO ∠+∠=︒∴DAP CPO ∠=∠，∴OCP PDA ∽②∵OCP PDA ∽，OCP 与PDA 的面积比为1:4 ∴21()4OCP PDA S CP S AD ==，∴12CP AD = ∵8AD =，∴4CP =设AB x =即AP x =，则4DP x =- 在RtPDA 中，222AP AD DP =+ ∴()22284x x =+-，∴10x = 即边AB 的长为10(2)∵折叠后AOB 与AOP 重合，∴AP AB =，OAB OAP ∠=∠ ∵AB CD =，∴AP CD =∵P 是CD 的中点，∴12DP AP =∵90D ∠=︒，∴30PAD ∠=︒又OAB OAP ∠=∠，9060OAB OAP PAD ∠+∠=︒-∠=︒∴30OAB∠=︒(3)线段EF 的长度不变作MH BN 交PB 于点H∵AP AB =，∴APB ABP ∠=∠∴MHP ABP ∠=∠，MHF NBF ∠=∠∴MHP APB ∠=∠，∴MP MH =∵MP BN =，∴BN MH =∵NFB MFH ∠=∠，∴NBF MHF ≌∴FH FB =∵EF EH FH =+，∴12EF EP FB PB =+= 由(1)得:10AB =，8AD =，∴6DP =∴4PC=，∴PB =EF =3.如图1，P 为正方形ABCD 的边CD 上任意一点，BE AP ⊥于E ，F 为AP 上一点，AE EF =，连接BF 、CF ．(1)求证:BF BC =； (2)如图2，CBF ∠的平分线交AP 延长线于点Q ，连接DQ ，则:______BQ DQ AQ +=；(3)若正方形的边长为2．①当点P 移动时，点Q 到CD 的最大距离为__________；②当点P 为CD 的三等分点时，求CF 的长．解析:(1)∵BE AF ⊥，AE EF =，∴90,,AEB BEFAE EF BE BE ∠=∠=︒==∴ABE BEF ≌∴AB BF =∵AB BC =∴BF BC =(2)连接BD 交AP 于G ，作DH AQ ⊥于H∵BE AF ⊥，AB BF =，BE BE =∴ABE FBE ≌，∴1EBF ∠=∠∵23∠=∠，12390EBF ∠+∠+∠+∠=︒∴245EBF∠+∠=︒，即45EBQ ∠=︒∴BQ =，45BQG ADG ∠=︒=∠又AGD BGQ ∠=∠，∴AGD BGQ ∽ ∴AG DG BG QG=，又AGB DGQ ∠=∠ ∴ABG DQG ∽，∴45DQG ABG ∠=∠=︒∴DQ =∵1590∠+∠=︒，4590∠+∠=︒∴14∠=∠又90AEB DHA ∠=∠=︒，AB AD =∴ABE DAH ≌，∴AE DH =∴DQ =∴)BQ DQ AE EQ +=+=+=即BQ DQ +=(3)①1-提示:取BD 的中点O ，连接OQ∵45BQE DQE ∠=∠=︒，∴90BQD ∠=︒∴122OQ BD AB === ∴当点P 移动时，点Q 的路径是以O 为圆心，以为半径的一段圆弧易知当点Q 是CD 的中点时，点Q 到CD 的距离最大最大距离为1-②作FM CD ⊥于M ，BN CF ⊥于N∵BF BC =，∴12CN CF = 若1233DP DC ==，则3AP ==易证ABE PAD ∽，∴AE DP AB AP= ∴2322AE =，∴5AE =∴25AF AE ==，3515PF AP AF =-=-= 由PFM PAD ∽得:FM PF AD PA= 即23FM =，∴45FM =易证BCN CFM ∽，∴BC CN CF FM = 即12245CF CF=，∴5CF = 若1233PC DC ==，同理可求13CF =∴当点P 为CD 的三等分点时，CF的长为5或134.在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 和DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“成立”或“不成立”，不须证明)(3)如图③，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE 和DF ，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图④，当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ．由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若2AD =，试求出线段CP 的最小值．解析:(1)AE DF =，AE DF ⊥理由:∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =，90ADC C∠=∠=︒∵DE CF =，∴ADE DCF ≌．∴AE DF =，DAE CDF ∠=∠∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90DAE ADF ∠+∠=︒∴AE DF ⊥(2)成立(3)成立理由: ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =，90ADE DCF∠=∠=︒∵DE CF =，∴ADE DCF ≌．∴AE DF =，DAE CDF ∠=∠延长FD 交AE 于点G ，则90CDF ADG ∠+∠=︒∴90ADG DAE ∠+∠=︒∴AE DF ⊥(4)草图如图由于点P 在运动中保持90APD ∠=︒∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧设AD 的中点为O ，连接OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小在Rt ODC 中，OC ===∴1CP OC OP =-=-5.如图1，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，把矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．(1)求证:DEC EDA ≌；(2)求DF 的值；(3)如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作AEC 的内接矩形，使其定点Q 落在线段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．解析:(1)证明:由矩形的性质可知ADC CEA ≌，∴AD CE =，DC EA =，ACD CAE ∠=∠，在ADE 与CED 中AD CE DE EDDC EA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴DEC EDA SSS ≌（）； (2)解:如图1，∵ACD CAE ∠=∠，∴AF CF =，设DF x =，则4AF CF x ==﹣，在Rt ADF 中，222AD DF AF +=， 即2223(4)x x +=-， 解得；78x =， 即78DF =． (3)解:如图2，由矩形PQMN 的性质得PQ CA ∥ ∴PE PQ CE CA= 又∵3CE =，5AC== 设03()PE x x =＜＜，则35x PQ =，即53PQ x = 过E 作EG AC ⊥于G ，则PN EG ， ∴CP PN CE EG=又∵在Rt AEC 中，EG AC AE CE ⋅=⋅，解得125EG = ∴31235x PN -=，即4(3)5PN x =- 设矩形PQMN 的面积为S 则224434()3(03)332S PQ PN x x x x =⋅=-+=--+＜＜ 所以当32x =，即32PE =时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3．6.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，5AB DC ==，6AD =，12BC =，点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿AD 边向点D 运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒3个单位的速度沿CB 边向点B 运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；(2)PQ 是否能平分对角线BD ？若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由；(3)若PQD 是等腰三角形，求t 的值．解析：(1)若四边形PQCD 是平行四边形，则PDCQ = ∴63tt -=，∴32t = (2)能，当3t =时，PQ 平分对角线BD假设PQ 平分对角线BD ，设PQ 与BD 的交点为O ，则OB OD =∵AD BC ，∴PDO QBO ∠=∠又∵POD QOB ∠=∠，∴POD QOB ≌∴PD QB =，即6123t t -=-∴3t =∴当3t=时，PQ 平分对角线BD(3)过D 作DH BC ⊥于H∵梯形ABCD 中，5AB DC ==，6AD =，12BC = ∴3CH =，4DH =若PQ DQ =:过Q 作QMAD ⊥于M ，62t DM PM -== ∵QM AD ⊥，DH BC ⊥，∴QM DH又∵AD BC ，∴四边形MQHD 为矩形∴HQ DM =，即6332t t --= ∴127t = ∵04t ≤≤，1274＜，∴127t =符合题意 若PQ PD =:过P 作PNBC ⊥于N ，则4PN =，6PQ t =-，123394QN t t t =---=-在Rt PNQ 中，222PN QN PQ +=，∴222()(4946)t t +-=- 整理得:21560610t t -+=∵26041561(60600)61∆=-⨯⨯=-＜∴方程无解若PD DQ =过D 作DR BC ⊥于R ，则4DR =，3RC= 假设点Q 在点R 的右侧，则01t ≤＜此时45DQ ≤＜，56PD ≤＜，∴PD DQ ≠∴点Q 在点R 的左侧，∴33QR t=- 在Rt DQR 中，222QR DR DQ += ∴222334()(6)t t -+=-整理得:286110t t --=解得:38t =-(舍去)或38t =+∵04t ≤≤，348+，∴38t =+符合题意综上所述，若PQD 是等腰三角形，则127t =或38t =+7.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米(3)a ＞．动点M ，N 同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米/秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P ，Q ．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．(1)若4a =厘米，1t =秒，则PM =________厘米；(2)若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD ∽，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解析： (1)34当1t =时，1BM =，1BN =，413AM =-=∵PM BN ，∴AMP ABN ∽ ∴PM AM BN AB =，即314PM =∴34PM= (2)当D 、P 、B 三点在同一直线上时，有PNB PAD ∽，∴AD AP BN PN= ∵PM BN ，∴AM AP BM PN= ∴AD AM BN BM =，即35t t t-= 解得10t =(舍去)，22t =∴2t =，使PNB PAD ∽，相似比为2:3 (3)∵AMP ABN ∽，∴PM AM BN AB = 即PM a t t a -=，∴t a t M aP =-() ∴3t a Q t a P =--() 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等时，有 22PM BN BM PQ AD DQ =＋＋()() 即 3 322t a t t a t t t a t a a ---=－＋＋()()[][]() 解得66t a a =+ ∵3t ≤，∴636a a +≤，∴6a ≤，又由已知3a ＞ ∴36a ≤＜(4)∵36a ≤＜时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则PQ CNPM BN +=+ ∴33t a t t a t a t a t -+-=+--()()，∴3t a t at -=-() 把66t a a =+代入，整理得212a =∴a =-舍去)或a =∴a =所以，存在这样的矩形，当a =时，在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等8.如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ，90C ∠=︒，16BC =，12DC =，21AD =．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t (秒)．(1)设BPQ ·的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；(2)当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？(3)当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO OB =时，求BQP ∠的正切值；(4)存在时刻t ，使得PQ BD ⊥，求出t 的值；解析:(1)如图1，过点P 作PM BC ⊥，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形，∴12PM DC ==∵16BQ t =-，∴()116129662S t t =⨯-⨯=- (2)∵2CM DP t ==，CQ t =，∴MQ t =以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，有三种情况:①若PQBQ = 在Rt PMQ 中，222PQ MQ PM =+，∴22212PQ t =+ 由22PQ BQ =得:222(1216)t t +=- 解得72t = ②若BPBQ = 在Rt PMB 中，222BP BM PM =+，∴2221621()2BP t =-+ 由22BP BQ =得:2221621216()()t t -+=-整理得:23321440t t -+=∵2324314416216212169166()(4108)0∆=--⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=-＜ ∴方程23321440tt -+=无解，∴BP BQ ≠ ③若PBPQ = 由22PB PQ =得:222216211(2)2t t -+=+整理得:23642560tt -+= 解得1163t =，216t =(不合题意，舍去) 综上所述:当72t =秒或163t =秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形(3)如图2，由OAP OBQ ∽，得12AP AO BQ OB == ∵221AP t =-，16BQ t =-，∴222116()tt -=- ∴585t = 过点Q 作QE AD ⊥，垂足为E∵2PD t =，ED QC t ==，∴PE t = ∴123029tan BQP tan QPEQE PE t ==∠=∠= (4)假设存在时刻t ，使得PQ BD ⊥·如图3，过点Q 作QEAD ⊥，垂足为E ∵90PQEQPE ∠+∠=︒，90DBC BQP ∠+∠=︒，QPE BQP ∠=∠ ∴PQE DBC ∠=∠，又∵90PEQ DCB ∠=∠=︒∴QPE BDC ∽，∴PE DC EQ BC = 即121216t =，∴9t = 所以，当9t =秒时，PQ BD ⊥9.题干:如图，已知在Rt ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，BO AC ⊥于点O ，点P ，D 分别在AO和BC 上，PB PD =，PB PD =于点E ．(1)求证:BPO PDE ≌；(2)若BP 平分ABO ∠，其余条件不变，求证:AP CD =； (3)若点P 是一个动点，当点P 运动到OC 的中点 P '时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D '，请直接写出 CD '与 AP '的数量关系．解析:(1)证明:∵PB PD =，∴PBD PDB ∠=∠∵AB BC =，90ABC ∠=︒，∴45C ∠=︒∵BO AC ⊥于点O ，∴45OBC ∠=︒∴45OBC C ∠=∠=︒∵PBO PBD OBC DPE PDB C ∠=∠-∠∠=∠-∠，∴PBO DPE ∠=∠又∵BO AC ⊥，DE AC ⊥，∴90BOP PED ∠=∠=︒∵PB PD =，∴BPO PDE ≌(2)由(1)可得PBO DPE ∠=∠∵BP 平分ABO ∠，∴ABP PBO ∠=∠∴ABP DPE ∠=∠又∵A C ∠=∠，PB PD =，∴ABP CPD ≌∴AP CD =(3) CD '与 AP '的数量关系是:3CD AP ''=解析过程如下:过点P '作P FBC '⊥于点F设P F x '=，则P F x '=，4AB BC x ==，P C '=∴AP '=，3BF FD x ='=∴2CD x '=∴3CD AP ''=10.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，3AD =，5DC =，AB =45B ∠=︒．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．(1)求BC 的长．(2)当MN AB 时，求t 的值．(3)试探究:t 为何值时，MNC 为等腰三角形．解析：如图1，过A 、D 分别作AE BC ⊥于E ，DFBC ⊥于F ，则四边形AEFD 为矩形．∴3EF AD ==在Rt ABE 中，4542AE sin AB =︒=⋅=．cos4542BE AB =⋅︒==在Rt CDF 中，由勾股定理得，3FC ==． ∴43310BC BE EF FC =++=++=(2)如图2，过点D 作DG AB 交于BC 于点G ，则四边形ABGD 是平行四边形．∴3BG AD ==，∴3BG AD ==∵MN AB ，DG AB ，∴MN DG ．∴NMC DGC ∽，∴MC GC CN CD=． 即10275t t =－，解得5017t =． (3)有三种情况:①当MCNC =时，如图3，即102t t =-． ∴103t =②当NM NC =时，如图4，过D 、N 分别作N 于F ，NH BC ⊥于H ． 由等腰三角形三线合一性质得11(10)2252H C t M C t =-=-=． 解法一:在Rt NHC 中，5HC t N co C C ts ==－．在Rt DFC 中，35FC c sC CD o ==． ∴535t t =－，解得258t =． 解法二: ∵C C ∠=∠，90DFC NHC ∠=∠=︒，∴DFC NHC ∽，∴CD CN FC HC =． 即535t t =－，解得258t =． ③当MN MC =时，如图5，过点M 作MP CN ⊥于P ，则1122N P C C t ==． 解法一:(方法同②中解法一)1321025t PC c t C MC os ===－，解得6017t =． 解法二:∵C C ∠=∠，90DFC MPC ∠=∠=︒，∴DFC MPC ∽ ∴CD MC FC PC =，即5102132t t =－，解得6017t =． 综上所述，当103t=、258或6017时，MNC 为等腰三角形．。

中考动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG P O A B 图1 xy例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.3(1) ABCO 图8HCABCDEOlA ′一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．（二）线动问题在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（三）面动问题1.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．2已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切,如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．CABF DEMNC例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32 AB ，求∠C 的大小.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B ，若AB=1，判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。

初中数学动点问题及练习题附参考答案动点问题是初中数学中的一个重要部分，它涉及到点的运动与位置的变化。

通过解决动点问题，我们可以锻炼自己的逻辑思维能力，提高数学解题的能力。

本文将介绍初中数学中常见的动点问题，并附带一些练习题及其参考答案。

1. 直线运动问题直线运动是最简单的动点问题之一。

在直线运动中，点从一个位置沿直线运动到另一个位置。

我们通常需要确定点的位移、速度和时间等，以解决相关问题。

例如，小明从家里骑自行车出发，经过15分钟骑行到达学校，全程约5公里。

求小明的平均速度。

解：根据题意，小明骑行的时间为15分钟，即0.25小时。

位移为5公里。

根据速度的定义，速度等于位移除以时间，所以小明的平均速度为5公里/0.25小时=20公里/小时。

2. 圆周运动问题圆周运动是另一类常见的动点问题。

在圆周运动中，点围绕某一中心点做圆周运动。

我们通常需要确定点的角度、半径和时间等，以解决相关问题。

例如，一个车轮的半径为30厘米，转动一周需要走过的距离是多少？解：根据题意，车轮转动的一周是一个半径为30厘米的圆的周长。

周长等于2πr，其中π取3.14，r是半径。

所以车轮转动一周需要走过的距离为2×3.14×30=188.4厘米。

练习题：1. 小明以每小时60公里的速度从A地出发，向B地行驶，2小时后小刚以每小时80公里的速度从B地出发，向A地行驶。

求他们相遇时的距离。

2. 一个半径为15厘米的车轮转了5分钟，这段时间内车轮走过的距离是多少？参考答案：1. 解：小明行驶的距离为60公里/小时×2小时=120公里。

小刚行驶的距离为80公里/小时×2小时=160公里。

所以他们相遇时的距离为120公里+160公里=280公里。

2. 解：根据题意，车轮转了5分钟，即1/12小时。

车轮的周长为2×3.14×15=94.2厘米。

所以车轮走过的距离为94.2厘米/小时×(1/12)小时=7.85厘米。