人教A版高中数学选修4-5_《不等式选讲》全册教案

选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。

怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。

当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。

课 题： 第4课时 指数不等式的解法三维目标：重点难点：教学设计：一、引入：二、范例分析：例1、解不等式)1(332)21(22---<x x x 解：原不等式可化为：)1(332222----<x x x ∵底数2>1∴)1(3322--<--x x x 整理得：062<-+x x解之，不等式的解集为{x |-3<x <2}例2、解不等式2931831>⋅+-+x x 。

解：原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即：0)233)(93(>-⋅-x x 解之：93>x 或323<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 例3、解不等式：)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且(当a >1时),4()1,(+∞⋃--∞∈x 当0<a <1时)4,1(-∈x )例4、解不等式：x x -->4)21(32 (-1<x <3) 三、小结：四、练习：五、作业：课 题： 第4课时 对数不等式的解法三维目标：重点难点：教学设计：一、引入：二、范例分析：例1、解不等式2)1(log 3≥--x x 。

解：原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x 解之得：4<x≤5∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}例2、解关于x 的不等式： )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省）当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a >1时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ； 当0<a <1时不等式的解集为{}42<<x x 。

选修4--5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。

回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。

通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。

其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。

这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。

本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。

选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

数学选修45不等式选讲教学设计一、教学目标通过本次教学，让学生掌握以下知识和能力：1.理解不等式的概念及其表示方法；2.掌握一元一次不等式的解法；3.掌握二元一次不等式的解法；4.学会运用不等式解决实际问题；5.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重难点•重点：掌握不等式解法和应用方法；•难点：学会运用不等式解决实际问题。

三、教学过程1.引入不等式是中国古代数学中的一个重要概念，也是现代数学中的一个重要部分。

本次课程将围绕不等式的概念、解法和应用展开。

2.概念解释不等式是一种代数式，是通过不等于、小于、大于等符号连接起来的数的形式表达式。

例如：x>3上式中的“大于”符号表示x的取值范围大于3。

3.一元一次不等式的解法一元一次不等式是一个只含有一项的一次式不等于0的不等式。

例如：2x+1>5对于这种不等式，可以采用以下解法：•移项法；•变形法。

4.二元一次不等式的解法二元一次不等式是一个只含有两个变量的一次式不等于0的不等式。

例如：x+2y<6对于这种不等式，可以采用以下解法：•图形法；•代数法；5.应用举例不等式在许多实际问题中有着广泛的应用。

例如：•达到一定生产目标需要完成的任务数；•减肥的过程中需要控制的饮食热量；•经济发展中需要达到的增长目标等。

6.课堂练习这部分通过一些练习题的讲解来加深学生对不等式的掌握。

训练题的设计应紧密贴合所学内容。

7.课堂小结本课程主要介绍了不等式的概念、表示方法、一元一次不等式的解法、二元一次不等式的解法以及应用方法。

通过课堂实践，可以让学生更好地掌握不等式解决实际问题的能力，在数学以及其他学科中取得更好的成绩。

四、教学评价本课程主要用到了讲解和练习两种教学方法。

讲解方法可以帮助学生掌握概念和解法要点，练习则可以提高学生的运用能力。

考试成绩和出勤情况也是对教学效果的重要评价指标。

1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法． 四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程 （一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】 若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解． （三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法 例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一 由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 法二 作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3， 由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}． 题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题 例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． 规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10， 因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1， 故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立． 题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5， 根据函数f (x )的图象可知， 原不等式的解集为 (－∞，5)． （四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。

选修4-5 不等式选讲（1）内容：含绝对值的不等式、根式不等式一、含绝对值的不等式1、解不等式（1）213+<-x x ； （2）x x ->-213。

2、解不等式（1）512≥-+-x x ； （2）.0312>+--+x x3、（1）已知 2,2cb yc a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+（2）已知.6,4ay a x << 求证：a y x <-32。

练习1：解下列不等式： （1） 2132≤-x ； （2） 1743<+<x ； （3）321>+++x x练习2：已知 .3,3,3s c C s b B s a A <-<-<- 求证：（1）s c b a C B A <++-++)()(； （2）.)()s c b a C B A <-+--+二、含根式的不等式 1、解不等式 （1）0343>---x x ； （2）x x x 34232->-+-； （3）24622+<+-x x x2、解不等式（1）解不等式1112-+>+x x ； （2）655332->-+-x x x练习：解不等式（1）33333++<++-x x x x ； （2）112>+--x x选修4-5 不等式选讲（2）内容：不等式证明方法（综合法、分析法、反证法、放缩法）例1、（1）设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+。

（2）若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++练习（1）b a ,都是正数。

求证：.2≥+abb a .（2）设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+（3）证明：ca bc ab c b a ++≥++222。

（4）.)())((22222bd ac d c b a +≥++例2、（1）设233=+b a ，求证2a b +≤；（2）设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.练习：（1）设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41（2）若x , y > 0，且x + y >2，则x y +1和yx+1中至少有一个小于2。

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第15课时 利用柯西不等式求最大（小）值
三维目标：
重点难点：
教学设计：
一、引入：
1、柯西不等式：211212)(∑∑∑===≥n
i i i n i i n i i
b a b a 。

二、范例分析：
例1、把一条长是m 的绳子截成三段，各围成一个正方形。

怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？
例2、如图，等腰直角三角形AOB 的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P 的位置。

分析：
三、小结：
四、练习：
五、作业：。

选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。

③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。

推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．⑤、如果a>b >0，那么n nb a >(n ∈N ，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nn b a >(n ∈N ，且n>1)。

三、典型例题：例1、已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．例2已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >。

四、练习：五、作业：课 题： 含有绝对值的不等式的证明 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-（3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b baba 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b baba 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。

选修4_5 不等式选讲课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 三维目标： 重点难点： 教学设计： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni ini ib a ba ，其中等号当且仅当n n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-= 即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i ni i i ni i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

数学选修45不等式选讲教学设计教学目标本次教学的核心目标是梳理和讲解高中数学选修四、五阶段中关于不等式的基本知识点和常见解题思路，让学生掌握该领域中的常规算法，进一步提高数学思维和解题能力。

在具体的教学过程中，我们将通过讲解、习题演示、自主练习三个部分来达成教学目标。

具体的内容安排和教学策略会在下面的章节中逐一给出。

教学内容本次教学内容大致包括以下几个部分：•不等式的基本定义•不等式的基本性质•不等式的基本解法•常见解题思路教学步骤第一步：讲解讲解环节是本次教学的基本步骤，我们将通过简明易懂的语言，对不等式的基本知识点展开讲解，包括但不限于以下几点：不等式的基本定义在讲不等式的基本定义时，我们将强调在学习高中数学不等式知识点时，不等式的定义是最为基础且最重要的内容。

同时，我们还会指出，不等式定义中的“符号”是不等式学习中最核心的部分，是后面内容理解的基础。

不等式的基本性质在讲不等式的基本性质时，我们将重点强调以下几个方面：1.不等式的加、减、乘、除操作规律2.不等式的两边平方规律3.不等式的倒数规律4.不等式的反向性不等式的基本解法在讲不等式的基本解法时，我们将系统讲解以下几点：1.常规不等式的解法2.二次函数不等式的解法3.绝对值函数不等式的解法4.根号函数不等式的解法常见解题思路在讲常见解题思路时，我们将讲解一些常用的解题思路和技巧，包括但不限于以下几点：1.通过图像来理解不等式2.通过移项来理解不等式3.通过恒等变形来理解不等式第二步：习题演示通过习题演示，我们将重点呈现一些基础题和典型题，让学生感受到不等式知识点的实际应用和习题技巧。

本次习题演示的具体安排如下：1.基础题：从前几章的知识入手，给予学生足够的演示题量，帮助他们熟悉和掌握基础题解题思路。

2.典型题：挑选两到三道典型题，涉及不同类型的不等式，帮助学生理解和掌握不等式知识点的具体应用。

第三步：自主练习最后一个环节是自主练习，在自主练习环节，我们将配合教学案例和习题演示，提供足够的自主练习时间，让学生通过练习，巩固和提高对不等式知识点的理解和掌握程度。

数学选修45不等式选讲教学设计选修课程背景本课程是数学选修模块中的一个重要部分，旨在通过对不等式的深度探究和研究，帮助学生掌握不等式的基本性质、方法和应用，增强学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学目标本课程的教学目标主要有以下三项：1.掌握不等式的基本概念和基本性质。

2.掌握不等式的求解方法，并能够灵活运用。

3.掌握不等式在各种问题中的应用方法。

教学内容第一部分：不等式的基本概念和基本性质1.不等式的定义和表示方法。

2.不等式的基本性质及其证明。

3.不等式的常见类型和特殊形式。

第二部分：不等式的求解方法1.不等式的变形和化简。

2.不等式的分析法和代数法求解。

3.不等式的图像法和几何法求解。

第三部分：不等式在问题中的应用1.利用不等式解决实际问题。

2.利用不等式证明数学定理。

3.利用不等式进行数学游戏和思维拓展。

教学方法1.讲授法：通过板书、示例和解题过程，使学生理解不等式的定义、性质和求解方法。

2.练习法：通过习题解析和课堂练习，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧和能力。

3.探究法：通过引导学生自主思考、探究不等式的性质和应用，提高学生的创新性和独立思考能力。

4.案例法：通过案例分析，让学生了解不等式在实际问题中的应用，培养学生的实际解决问题的能力。

教学评价1.写作评价：要求学生在课后完成一篇题目相关的论文或报告，对所学知识进行总结和归纳，并提出自己的思考和建议。

2.课堂测验：每节课结束时进行小测验，测试学生对所学知识的掌握情况和解题能力，并在下节课回顾和分析小测验，让学生真正理解知识点和解题技巧。

3.期末考试：期末考试主要考查学生对不等式知识的理解、运用和综合能力，包含理论分析和实际解题两部分。

教学资源1.教材：使用教育部最新出版的选修45数学教材，包含了不等式相关的所有知识点和例题。

2.资料：收集整理相关的教学资料和习题集，供学生参考和练习。

3.工具：利用计算机提供的各种工具和软件进行图像展示和数学计算，提高教学效率和趣味性。

不等式选讲1课 题： 第01课时 不等式的基本性质一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a mb ++，只要证m a m b ++>a b即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

选修4－5 不等式选讲1．不等式的性质和绝对值不等式(1)能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．(2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．(3)掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．2．不等式的证明(1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．(2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．(3)理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点一绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易误提醒1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立条件．如|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时成立，其他类似推导．[自测练习]1．设a，b为满足ab<0的实数，那么( )A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b | 解析：∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |. 答案：B2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]3．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤－，2x －－1<x，x当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2.又当x ≥2时，f (x )＝3>1.所以解集为{x |x ≥1}．答案：[1，＋∞) 知识点二 不等式的证明 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c 全为正实数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b.步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证AB≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．易误提醒(1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[自测练习]4．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是( ) A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<t解析：∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.答案：A5．已知x，y均为正数，且x＋y＝1，则3x＋4y的最大值为________．解析：由柯西不等式得3x＋4y＝3·x＋4·y ≤32＋42x＋y＝7.答案：7考点一绝对值不等式的解法|1．(2015·高考山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)解析：当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.答案：A2．(2015·南宁二模)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，∵1≤1＋t2≤2，∴0≤x ≤1＋t2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)．∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t 2＋1；当t ＝2时x ∈[2，＋∞)．求解该类问题的关键是去绝对值符号，常运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．考点二 不等式的证明|不等式的证明是考查热点、归纳起来常见的命题角度有： 1．比较法证明不等式． 2．综合法证明不等式． 3．分析法证明不等式． 4．放缩法证明绝对值不等式． 探究一 比较法证明不等式1．(2016·莆田模拟)设a ，b 是非负实数．求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．证明：因为(a 2＋b 2)－ab (a ＋b )＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． 探究二 综合法证明不等式2．(2015·长春三模)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2；(2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .②c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2， 从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .探究三 分析法证明不等式3．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2. 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． 探究四 放缩法证明绝对值不等式4．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．考点三 绝对值不等式的综合应用|(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1；(2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2， ∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x －1＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.34.绝对值不等式中最值思想的应用【典例】 (1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．(2)若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．[思考点拨] 利用绝对值不等式直接求最值．[解] (1)|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(x ＋1)≥0，即－1≤x ≤1时取等号．故当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.(2)因为a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立所以a <(|x ＋1|－|x －2|)min .因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.所以(|x ＋1|－|x －2|)min ＝－3.所以a <－3，即a 的取值范围为(－∞，－3)．[方法点评] (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．[跟踪练习] (2015·辽宁协作体一模)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2.(1)解不等式f (x )≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≥0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－1－2x ＋x －2≥0，或②⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <0，2x ＋1＋x －2≥0，或③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，2x ＋1－x －2≥0，解不等式组①得x ≤－3，不等式组②无解，解不等式组③得x ≥1，∴所求的不等式解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)f (x )≤|x |＋a ，即为|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a 2. 由绝对值的几何意义，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |的最小值为－12，故要满足题意，只需－12≤1＋a 2⇒a ≥－3.A 组 考点能力演练1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1得1≤x ≤2， ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即x <|a |＋1.2．(2016·唐山一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3；(2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2， 当且仅当(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2≤0且x －a 2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0.3．已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1， 所以a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ac ＋1ab <1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c， 即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 4．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值．解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又∵f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，∴m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1， 又∵a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得z ＝a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9， ∴z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值为9.5．(2016·大庆模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|.(1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－4|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －4<x <12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5， 即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1，或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9.∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}．B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷改编)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a <x ≤－13x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >af (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.2．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．3．(2015·高考陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤32＋124－t 2＋t 2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.4．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)， 则△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。

选修4－5不等式选讲全国卷错误!年考情图解高考命题规律把握高考对本章考查主要有以下两个方面：1绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；2绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立❶定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb－c≥0时，等号成立2绝对值不等式的解法1含绝对值不等式||＜a与||＞a的解法：不等式a＞0a＝0a＜0||＜a 错误!∅∅||＞a {|＞a或＜－a}{|∈R且≠0}R2|a＋b|≤cc＞0和|a①|a＋b|≤c⇔－c≤a＋b≤c；②|a＋b|≥c⇔a＋b≥c或a＋b≤－c3|－a|＋|－b|≥cc＞0和|－a|＋|－b|≤cc＞0型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想1等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大小值时，应特别注意2定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0分区间讨论时，要注意以下两点：1不要把分成的区间的端点遗漏2原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集[熟记常用结论]错误![小题查验基础]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若||＞c的解集为R，则c≤02不等式|－1|＋|＋2|＜2的解集为∅3对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立4对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立答案：1×2√3×4×二、选填题，b为满足ab＜0的实数，那么A|a＋b|＞|a－b|B|a＋b|＜|a－b|C|a－b|＜||a|－|b|| D|a－b|＜|a|＋|b|解析：选B∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|2不等式3≤|5－2|＜9的解集为A[－2,1∪[4,7 B－2,1]∪4,7]C－2，－1]∪[4,7 D－2,1]∪[4,7解析：选D由题意得错误!即错误!解得错误!不等式的解集为－2,1]∪[4,73不等式|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，则a＋b的值为A－2 B2C8 D－8解析：选C∵|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，∴b＞0，由|2－a|＜b，得－b＜2－a＜b，即错误!＜＜错误!∴错误!＝4，∴a＋b＝8，故选C4不等式|＋1|－|－2|≥1的解集是________解析：令f＝|＋1|－|－2|＝错误!当－1＜＜2时，由2－1≥1，解得1≤＜≥2时，f＝3＞错误!答案：错误!＝|－4|＋|＋4|的最小值为________解析：因为|－4|＋|＋4|≥|－4－＋4|＝8，所以所求函数的最小值为8答案：8考点一绝对值不等式的解法[师生共研过关][典例精析]2021·洛阳第一次统考已知函数f＝错误!|－a|a∈R1当a＝2时，解不等式错误!＋f≥1；2设不等式错误!＋f≤的解集为M，若错误!⊆M，求实数a的取值范围[解]1当a＝2时，原不等式可化为|3－1|＋|－2|≥3①当≤错误!时，原不等式可化为－3＋1＋2－≥3，解得≤0，所以≤0；②当错误!＜＜2时，原不等式可化为3－1＋2－≥3，解得≥1，所以1≤＜2；③当≥2时，原不等式可化为3－1＋－2≥3，解得≥错误!，所以≥2综上所述，当a＝2时，原不等式的解集为{|≤0或≥1}2不等式错误!＋f≤可化为|3－1|＋|－a|≤3，依题意知不等式|3－1|＋|－a|≤3在错误!上恒成立，所以3－1＋|－a|≤3，即|－a|≤1，即a－1≤≤a＋1，所以错误!解得－错误!≤a≤错误!，故所求实数a的取值范围是错误![解题技法]解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a∈R＋，||＜a⇔－a＜＜a，||＞a⇔＜－a或＞a平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解[过关训练]已知函数f＝|＋1|－|2－3|1画出＝f的图象；2求不等式|f|＞1的解集解：1由题意得f＝错误!故＝f的图象如图所示2由f的表达式及图象可知，当f＝1时，可得＝1或＝3；当f＝－1时，可得＝错误!或＝5，故f＞1的解集为{|1＜＜3}；f＜－1的解集为错误!所以|f|＞1的解集为错误!考点二绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析] 2021·银川模拟设函数f＝2－－15，且|－a|＜11解不等式|f|＞52求证：|f－fa|＜2|a|＋1[解]1因为|2－－15|＞5，所以2－－15＜－5或2－－15＞5，即2－－10＜0或2－－2021，解得错误!＜＜错误!或＜－4或＞5，所以不等式|f|＞5的解集为错误!2证明：因为|－a|＜1，所以|f－fa|＝|2－－15－a2－a－15|＝|－a＋a－1|＝|－a|·|＋a－1|＜1·|＋a－1|＝|－a＋2a－1|≤|－a|＋|2a－1|＜1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2|a|＋1，即|f－fa|＜2|a|＋1[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b∈R，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式[过关训练]若对于实数，有|1－|≤2，|＋1|≤1，求|2＋3＋1|的最大值解：因为|2＋3＋1|＝|2－1＋3＋1|≤2|－1|＋3|＋1|≤7，所以|2＋3＋1|的最大值为7考点三含绝对值不等式的综合问题[师生共研过关][例1]2021·辽宁五校联合体模拟已知函数f＝|－a|＋|2－a|a∈R1若f1＜11，求a的取值范围；2若∀a∈R，f≥2－－3恒成立，求的取值范围[解]1f1＝|1－a|＋|2－a|＝错误!当a≤1时，3－2a＜11，解得a＞－4，∴－4＜a≤1；当1＜a＜2时，1＜11恒成立；当a≥2时，2a－3＜11，解得a＜7，∴2≤a＜7综上，a的取值范围是－4,72∵∀a∈R，f≥2－－3恒成立，又f＝|－a|＋|2－a|≥|－a－2－a|＝||，∴||≥2－－3，∴错误!或错误!解得0≤≤3或－错误!≤＜0，∴的取值范围是[－错误!，3][例2]2021·南昌模拟设函数f＝|2＋3|＋|－1|1解不等式f＞4；2若存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立，求实数a的取值范围[解]1由已知，得f＝错误!∴f＞4⇔错误!或错误!或错误!⇔＜－2或0＜≤1或＞1综上，不等式f＞4的解集为－∞，－2∪0，＋∞2存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立⇔a＋1＞f min，∈错误!由1得，∈错误!时，f＝＋4，f min＝错误!，∴a＋1＞错误!，∴a＞错误!，∴实数a的取值范围为错误![解题技法]1含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法1分离参数法：运用“f≤a⇔f ma≤a，f≥a⇔f min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值2更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法3数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题2不等式能成立问题1在区间D上存在实数使不等式f＞A成立，等价于在区间D上f ma＞A；2在区间D上存在实数使不等式f＜B成立，等价于在区间D上f min＜B3不等式恰成立问题1不等式f＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f＞A的解集为D；2不等式f＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f＜B的解集为D[过关训练]12021·惠州第一次调研已知函数f＝|2－1|＋|＋1|，g＝|－a|＋|＋a|1解不等式f＞9；2若∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，求实数a的取值范围解：1f＝错误!f＞9等价于错误!或错误!或错误!解得＞3或＜－3，所以原不等式的解集为{|＞3或＜－3}2∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，等价于f min≥g min因为g＝|－a|＋|＋a|≥2|a|，由1知f≥f 错误!＝错误!，所以2|a|≤错误!，解得－错误!≤a≤错误!，所以实数a的取值范围是错误!22021·全国卷Ⅰ已知函数f＝－2＋a＋4，g＝|＋1|＋|－1|1当a＝1时，求不等式f≥g的解集；2若不等式f≥g的解集包含[－1,1]，求a的取值范围解：1当a＝1时，不等式f≥g等价于2－＋|＋1|＋|－1|－4≤0①当＜－1时，①式化为2－3－4≤0，无解；当－1≤≤1时，①式化为2－－2≤0，从而－1≤≤1；当＞1时，①式化为2＋－4≤0，从而1＜≤错误!所以f≥g的解集为错误!2当∈[－1,1]时，g＝2所以f≥g的解集包含[－1,1]，等价于当∈[－1,1]时，f≥2又f在[－1,1]的最小值必为f－1与f1之一，所以f－1≥2且f1≥2，得－1≤a≤1 所以a的取值范围为[－1,1]错误! 12021·沈阳模拟已知函数f＝|－1|＋|－a|1若函数f的值域为[2，＋∞，求实数a的值；2若f2－a≥f2，求实数a的取值范围解：1∵|－1|＋|－a|≥|－1－－a|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－12由f2－a≥f2，得3|a－1|－|a－2|≥1，则错误!或错误!或错误!解得a≤0或错误!≤a≤2或a＞2，综上，实数a的取值范围是－∞，0]∪错误!＝|2＋3|－|2－1|1求不等式f＜2的解集；2若存在∈R，使得f＞|3a－2|成立，求实数a的取值范围解：1不等式f＜2等价于错误!或错误!或错误!解得＜－错误!或－错误!≤＜0，∴不等式f＜2的解集是－∞，02∵f≤|2＋3－2－1|＝4，∴f ma＝4，∴|3a－2|＜4，解得－错误!＜a＜2，∴实数a的取值范围是错误!32021·成都模拟已知函数f＝|－2|＋|＋1|，∈R1当＝1时，若不等式f＜4的解集为{|1＜＜2}，求1＋2的值；2当∈R时，若关于的不等式f≥恒成立，求的最大值解：1由题意，得|－2|＋|＋1|＜4当＞2时，原不等式可化为2＜5，∴2＜＜错误!；当＜－1时，原不等式可化为－2＜3，∴－错误!＜＜－1；当－1≤≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤≤2综上，原不等式的解集为错误!，即1＝－错误!，2＝错误!∴1＋2＝12由题意，得|－2|＋|＋1|≥在∈R上恒成立，则当＝2时，不等式3≥成立，∴≥0①当≤－2或≥0时，∵|＋1|≥1，∴不等式|－2|＋|＋1|≥恒成立②当－2＜≤－1时，原不等式可化为2－－－≥，可得≤错误!＝－1＋错误!，∴≤3③当－1＜＜0时，原不等式可化为2－＋＋≥，可得≤1－错误!，∴＜3综上，可得0≤≤3，即的最大值为342021·全国卷Ⅰ已知f＝|＋1|－|a－1|1当a＝1时，求不等式f＞1的解集；2若∈0,1时不等式f＞成立，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝|＋1|－|－1|，即f＝错误!故不等式f＞1的解集为错误!2当∈0,1时|＋1|－|a－1|＞成立，等价于当∈0,1时|a－1|＜1成立若a≤0，则当∈0,1时，|a－1|≥1，不满足题意；若a＞0，则|a－1|＜1的解集为错误!，所以错误!≥1，故0＜a≤2综上，a的取值范围为0,2]52021·甘肃第二次诊断检测设函数f＝|－3|，g＝|－2|1解不等式f＋g＜2；2对于实数，，若f≤1，g≤1，证明：|－2＋1|≤3解：1解不等式|－3|＋|－2|＜2①当＜2时，原不等式可化为3－＋2－＜2，可得＞错误!，所以错误!＜＜2②当2≤≤3时，原不等式可化为3－＋－2＜2，可得1＜2，所以2≤≤3③当＞3时，原不等式可化为－3＋－2＜2，可得＜错误!，所以3＜＜错误!综上，不等式f＋g＜2的解集为错误!2证明：|－2＋1|＝|－3－2－2|≤|－3|＋2|－2|≤1＋2＝3，当且仅当错误!或错误!时等号成立＝5－|＋a|－|－2|1当a＝1时，求不等式f≥0的解集；2若f≤1，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝错误!。

选修4-5_《不等式选讲》全册教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲 不等式和绝对值不等式 课题：第01课时 不等式的基本性质教学目标：1． 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a mb ++，只要证m a m b ++>ab即可。