新人教A版高一数学必修四第二章 平面向量2.5平面向量应用举例

第二章 平面向量复习课（一）

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.

5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1. 实数与向量的积的运算律：

babaaaaaa)( (3) )( (2) )()( (1)

2. 平面向量数量积的运算律:

)1(abba )()()( )2(bababa cbcacba )( )3(

3. 向量运算及平行与垂直的判定:

).0(),,(),,(2211byxbyxa设

则),(2121yyxxba ),(2121yyxxba 2121yyxxba

.0//1221yxyxba .02121yyxxba

描述：

例题：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例

一、学习任务

了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具．

二、知识清单

平面向量的应用

三、知识讲解

1.平面向量的应用

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中

具有广泛的应用．

已知点 ．

（1）求过点 与向量 平行的直线方程；

（2）求过点 与向量 垂直的直线方程．

解：设所求直线上任取一点 ，则 ．

（1）由 ，所以 ，即 ，所以所求直线方程为

．

（2）由题意知 ，所以 ，即 ，所以

所求直线方程为 ．A(−2,1)

A=(3,1)a→

A=(−1,2)b→

P(x,

y

)

=(x+2,y−1)AP−→−

∥AP−→−

a→

(x+2)×1−3(y−1)=0x−3y+5=0

x−3y+5=0

⊥AP−→−

b→

(x+2)×(−1)+(y−1)×2=0x−2y+4=0

x−2y+4=0

河水自西向东的速度为 ，小船自南岸沿正北方向航行，静水速度为 ，求小

船的实际航行速度．

解：

设 ， 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 作 ，

，以 ， 为邻边作矩形 ．连接 ，如图，则 ，并且 10 km/h10km/h3√

a→

b→

O=OA−→−

a→

=OB−→−

b→

OA−→−

OB−→−

OACBOC−→−

=+OC−→−

a→

b→

−−−−−−−−

四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）

高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。 即为小船的实际速度．所以 ，

，所以 ．所以小船的实际航行速度为 ，按北偏东

方向航行．OC−→−

||===20(km/h)OC−→−

(+a→

b→

)2−−−−−−−−

√

+a→2

b→2−−−−−−−−

√

tan∠AOC=3√∠AOC=60∘20 km/h

30∘

答案：1. 点 在平面上作匀速直线运动，速度向量 （即点 的运动方向与 相同，且每秒移动的

2.5 平面向量应用举例

[教学目标]

一、 知识与能力：

1. 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

2. 运用向量方法解决某些简单的物理问题.

二、过程与方法：

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题的过程；体会向量是一种处理几何问题和物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.

[教学重点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题.

[教学难点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题.

[教学时数]

2课时．

[教学要求]

教师应该引导学生运用向量解决一些物理和几何问题，例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题.

[教学过程]

第一课时

一、复习回顾

1． 向量的概念；

2． 向量的表示方法：几何表示、字母表示；

3． 零向量、单位向量、平行向量的概念；

4． 在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；

5． 相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；

6． 共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.

7． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量； 8． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；

9． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.

10． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；

11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；

12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；

13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.

二、讲授新课

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.

第 1 页 共 6 页 高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义

同步练习（II）卷

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、

选择题 (共8题；共16分)

1.

（2分） (2017高一下·桃江期末)

在以下关于向量的命题中，不正确的是（

）

A .

若向量 ，向量 （xy≠0），则

B . 若四边形ABCD为菱形，则

C . 点G是△ABC的重心，则

D . △ABC中， 和 的夹角等于A

2. （2分） ﹣=（ ）

A .

B .

C .

D . 2

3. （2分） (2018·广东模拟) 如图， 是平行四边形 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）

A .

B .

第 2 页 共 6 页 C .

D .

4.

（2分）

已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点，

=

，

=

，

= ，则向量 等于（ ）

A . + +

B . + ﹣

C . ﹣ +

D . ﹣ ﹣

5. （2分） 在△ABC中，∠C=90°，则k的值是（ ）

A . 5

B . －5

C .

D .

6. （2分） (2016高一下·重庆期中) 在△ABC中， =2 ， = ， = ， = ，则下列等式成立的是（ ）

A . =2 ﹣

B . =2 ﹣

C . = ﹣

D . = ﹣

7. （2分） 化简﹣﹣+得（ ）

第 3 页 共 6 页 A .