立体几何知识点梳理

水墨江南整理版

1 立体几何

1. 位置关系证明（主要方法）：

（1）线面平行

思考途径： I. 转化为直线与平面无公共点；

II. 转化为线线平行；

III. 转化为面面平行

可用定理：

① ////abbaa；

注：A、三个条件缺一不可。

B、 线 线 平行  线 面平行

面外线 面内线 面外线

C、找面内线证线线平行

② ////aa；

注：A、三个条件缺一不可。

B、 面面平行 线线平行

与第三面的交线

可间接证明的结论：

//aaa：a a b



 a 水墨江南整理版

2 （2）线线平行：

思考途径： I. 转化为判定共面二直线无交点；

II. 转化为二直线同与第三条直线平行；

III. 转化为线面平行；

IV. 转化为线面垂直；

V. 转化为面面平行.

可用定理：

① ////aaabbI

② //aabb；

③ ////aabbII；

④ //////abcbac

（3）面面平行：

思考途径：I.转化为判定二平面无公共点；

第1页 一、立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体

（一）空间几何体的结构特征

（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.

围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，球的结构特征

1.棱柱

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱

②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体

1.3棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：

①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211ACABADAA

②（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是，，，那么222coscoscos1，222sinsinsin2；

③（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，，，则222coscoscos2，222sinsinsin1. 侧棱侧面底面E'B'D'C'A'F'BDEAFCC1D1B1CDABA1第2页 1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

9.1平面的基本性质

㈠ 点、直线、平面之间平面的位置关系

1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化

图形语言

文字语言

符号语言

点A在直线a上

点B在直线a外 A∈a

Ba

点A在平面α内

点B在平面α外 A∈α

Bα

直线a在平面α内

直线b在平面α外 aα

bα

直线a与平面α相交于点A a∩α=A

直线a与直线b相交于点A a∩b=A

平面α与平面β交于直线a α∩β=a

★2 平面的基本性质

公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理二：不共线的三点确定一个平面。

推论一：直线与直线外一点确定一个平面。

推论二：两条相交直线确定一个平面。

推论三：两条平行直线确定一个平面。

公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。

9.2 空间图形的位置关系

1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)

1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。

即：a∥b，b∥c a∥c

1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3 异面直线

⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。

1.4 异面直线所成的角

⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].

⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。

注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。

2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)

9.3直线与平面的位置关系

1 线面平行

1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。

1.2 判定定理：

《立体几何》知识点

一、空间几何体的结构特征：

图形 结构特征 面积、体积

多

面

体 棱柱

定义：有两个面互相平行，其余各面

都是四边形，侧棱互相平行且相等.

斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱.

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱.

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱. 直棱柱：hCS底侧

hSV底

棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面

是有一个公共顶点的三角形.

正棱锥：底面是正多边形，顶点在底

面的射影是底面的中心. 正棱锥：

hCS底侧21 hSV底31

棱台

定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台. 略

旋

转

体 圆柱

由矩形绕其任一边旋转得到. rhS2侧

222rrhS表 hrShV2

圆锥

由直角三角形绕其直角边旋转得到. rlS侧(l为母线)

hrShV23131(其中22rlh）

圆台

由直角梯形绕其直角腰旋转得到或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到. 略

球

由半圆或圆绕其直径旋转得到. 24RS表 334RV

注：hSV底柱体 hSV底锥体31（柱体包括棱柱、圆柱；椎体包括棱锥、圆锥）

二、三视图与直观图

三视图 1.空间几何体的三视图是用正投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图.

2.画法规则是：长对正、高平齐、宽相等.

直观图 “斜二侧法”画直观图的基本步骤：

第一步：在已知图形中取互相垂直的轴oyox,（即取90xoy ）；

第二步：画直观图时，把它画成对应的轴yoxo,，取45yox（或135），它们确定的平面表示水平平面；

第三步：在坐标系yox中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半.

结论：原图形直观图SS42