河北省唐山一中高三上学期期中考试文数学试题

唐山一中2014—2015学年度第一学期期中考试

高三年级数学试卷（文）

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.设集合2{|21},{|10}xAxBxx，则等于（ ）

A. B. C. D.

2.若复数Z，是虚数单位）是纯虚数，则Z的值为（ ）

A.2 B.3 C. D.

3.下列说法正确的是（ ）

A.命题“使得”的否定是：“032,2xxRx”

B.“”是“)1,0(log)(aaxxfa在上为增函数”的充要条件

C.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件

D.命题p：“2cossin,xxRx”，则p是真命题

4．已知数列的前项和为，且满足，，则＝( )

A．7 B．12 C．14 D．21

5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

A B C D

6.如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线

上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

7.直线：与圆M：相切，则的值为 ( )

A.1或－6 B.1或－7 C.－1或7 D.1或

8. 已知函数 (a>0且a≠1)的图象过定点P,且点P在直线

mx＋ny－1＝0(m>0，且n>0)上，则1m＋4n的最小值是 ( )

A.12 B.16 C.25 D.24

9. 在约束条件21010xxymxy≤≥≥下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围（ ）

A. B. C. D.

10. 已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）

A. B. C. D

11.若均为单位向量，，，则的最大值是（ ）

A． B. C． D.

12. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为 .

14. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则 .

15. 把一个半径为 cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为 .

16. 函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为,则= ___ .

三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知向量，＝，函数xbaxf2cos21)(.

(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．

18.(本小题满分12分)已知数列满足,其中.

(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

(2)设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对

于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

19.(本小题满分12分)设函数312)(xxxf

（1）求函数的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

20. (本小题满分12分) 如图所示，和是

边长为2的正三角形，且平面平面，

平面，.

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积.

21.（本小题满分12分)己知函数

（1）若是的极值点，求在上的最大值；

（2）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

22. (本小题满分12分))()()(,xgxFxfDx有，则称为与在上的一个“分界函数”.如210,1,1(1)1xxxxex成立，则称21(1)10,11xyxeyxyx是和在上的一个“分界函数”。

（1）求证：是和在上的一个“分界函数”；

（2）若和xxexxgxcos2)1()(2在上一定存在一个“分界函数”，试确定实数的取值范围。

期中考试（文科）答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 A C B C C B B C D A A

B

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13． 14. 15．20cm 16．2

17、解：（１）21)62sin(2cos21sin)32cos()(2xxxxxf……………………………4分

单调递增区间是)(32,6Zkkk…………………………..6分

（２）

1)62sin(21x………………………………………………………….8分

函数f(x)的值域是………………………………………………..12分

18、解：（1）证明

212212412214112212212211nnnnnnnnnaaaaaaabb

所以数列是等差数列，，因此 nnbn22)1(2，

由得. ………………………………………………………6分

(2),2]12242nnnnccnn,

所以321112112nnTn，………………………………………………10分

依题意要使对于恒成立，只需

解得或，所以的最小值为…………………………………………12分

19.解：（Ⅰ）由题意得14,()21()32,(3)24,(3)xxfxxxxx ，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，取得最小值，此时． ……………………6分

（注：画出函数的图像，得到的最小值也可以．）

（Ⅱ）由的图像恒过点及函数的图像可知． …………………12分

20（1）证明：取的中点为，连结ＡＦ，ＥＦ，ＢＤ

∵△ＢＣＥ正三角形，∴ＥＦＢＣ，

又平面ＡＢＣ平面ＢＣＥ，且交线为ＢＣ，∴ＥＦ⊥平面ＡＢＣ

，又ＡＤ⊥平面ＡＢＣ∴ＡＤ∥ＥＦ，∴共面，

又易知在正三角形ＡＢＣ中，ＡＦ⊥ＢＣ，

∴平面，又平面

故；．．．．．．．．．．6分

（2）由（1）知ＥＦ／／ＡＤ 所以有ABFDDABFDABEABEDVVVV

所以23*21AFBFsABF，所以1*31ADSVABFABFD 即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分

21．解：（1），即xxxxfaa34)(,4,03323123令

2121'()3830,33fxxxxx，则

x 1 (1,3) 3 (3,4) 4

_ 0 +

-6 -18

-12

在［1，4］上最大值………………………………6分

（2）函数的图象与图象恰有3个交点，即恰有3个不等实根03423bxxxx，其中是其中一个根

，有两个不等零的不等实根.

∴

且…………………………… 12分

22.解：(1)记，

则，记，'()cos10Gxx

∴在上是增函数，则，∴在上是增函数

，∴时，.

记21()1cos4xxx，

则，记，'1()cos02Hxx

∴在上是增函数，则，在上是增函数

，∴时，

综上所述，时，22111cos124xxx. ………………6分

(2)要使，间一定存在“分界函数”，则时，恒成立.

由已知，

)12(cos2)1()()(32axxxxexxfxgx

xaaxxxxx)3()12()411(2132

∴时，在上恒成立.

下证时，在上不恒成立.

由已知

)12(cos2)1()()(32axxxxexxfxgx)12()211(21132axxxxx164(3)0,30bb 32322322()()(1)2cos(cos1)2112(1)(cos1)122(3)122[2(3)]21[22(3)]2xxgxfxxexxxxxxxxxxaxxxxxaxxxxa

记2()22(3)xxxa必存在使

∴必存在使，则时，在上不恒成立.

综上，. …………………12分