椭圆方程及其应用

椭圆及其标准方程

一、教学目标

(一)知识目标

1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导；

2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；

(二)能力目标

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力；

(三)学科渗透目标

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)

2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．)

3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。

2、实验演示。

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。

实验探究：

保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义

椭圆定义：平面内与两个定点21,FF距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为21,FF的椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有)22(22121FFcaaMFMF

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M

2F 1F

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为21,FF的椭圆，且21FF=2c,对椭圆上任一点M，有

aMFMF221，尝试推导椭圆的方程。

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用

学

习

任

务

核

心

素

养 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)

2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养．

2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.

类比点与圆的位置关系，点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有怎样的位置关系？

知识点1 点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；

点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；

点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.

1.(1)点P(2,1)与椭圆x24＋y29＝1的位置关系是________．

(2)若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________．

(1)点P在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P(2,1)在椭圆的外部．

(2)∵点A在椭圆内部，

∴a24＋12＜1，∴a2＜2， ∴－2＜a＜2.]

类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？

知识点2 直线与椭圆的位置关系

(1)判断直线和椭圆位置关系的方法

直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y，得关于x的一元二次方程．

当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；

当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；

当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．

(2)弦长公式

设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

椭圆方程的几何解释与实际意义

概述

椭圆方程是一类常见的二次方程，其几何解释和实际意义在数学和物理学中具有重要的应用。本文将介绍椭圆方程的几何解释和实际意义，以帮助读者更好地理解和应用该方程。

几何解释

椭圆方程的几何解释是指该方程描述的曲线形状和特征。椭圆方程可以用以下形式表示：\[ \frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1 \]，其中\( (h。k) \)表示椭圆的中心点，\( a \)和\( b \)分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。

几何上，椭圆是平面上所有满足椭圆方程的点的集合，其特点是到中心点距离之和等于常数\( 2a \)。该常数\( 2a \)是椭圆的长轴长度。椭圆的长轴与短轴垂直，且经过中心点。当\( a=b \)时，椭圆变为圆。

实际意义

椭圆方程在许多领域中都有重要的实际意义。

光学

在光学中，椭圆方程被广泛应用于描述椭偏振光的传播。椭偏振光是光波的一种特殊形态，其电场和磁场方向沿椭圆轨迹变化。通过椭圆方程可以计算出椭偏振光的振幅、相位和偏振态轨迹，从而研究光的传播性质和应用。

天体力学

在天体力学中，椭圆方程被应用于描述行星和卫星的轨道。开普勒椭圆轨道定律表明，行星和卫星在引力作用下运动的轨道是椭圆。椭圆方程可以精确地描述行星和卫星的位置、速度和轨道形状，有助于预测它们的运动和研究行星系统的演化。

工程建模

在工程建模中，椭圆方程常被用于建立模型和求解实际问题。例如，在地质勘探中，椭圆方程可用于处理地震波传播的速度和路径，提供地下地质结构的信息；在电力系统中，椭圆方程可用于分析电流的分布和电场的变化，优化电力传输效率等。

总结 椭圆方程描述了椭圆的形态和特征，几何上代表平面上满足该方程的所有点的集合。在实际应用中，椭圆方程具有广泛的应用，包括光学、天体力学和工程建模等领域。通过理解椭圆方程的几何解释和实际意义，读者能够更好地应用该方程解决实际问题。

椭圆及其标准方程

一、教材依据

本节课的教材依据是语文出版社出版的《数学》第一版第三册第十章第一节椭圆及其标准方程的内容。封面及目录复印件附后。

二、设计理念

紧扣教学大纲是我的教学指导思想，尽量让每一个问题都变的通俗易懂，提高学生分析解决问题的能力是我的讲课宗旨。针对授课班级高二商贸班学生好奇好学好问好动手的心理特点，设计在教师的指导下通过演示引导学生发现知识，以培养学生进行研究探讨和创造的能力，因此，我采用的教法是发现教学法。同时根据本节课的教学目标、重点、难点，我还采用启发式讨论法教学，学法始终以"学生自学"为主，同时积极运用多媒体辅助教学等，这样既能体现教学的直观性，又能激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。

三、教学目标

1、知识目标：椭圆的定义；根据定义导出并掌握椭圆的标准方程；解标准方程中各字母的含义及关系式a2+b2=c2；熟练求得适合条件的椭圆的标准方程

2、能力目标：培养学生用解析法解决问题的能力，即由形向数转化的能力

3、教学方法：发现教学法。启发式讨论法教学，学法始终以"学生自学"为主，同时积极运用多媒体辅助教学等，这样既能体现教学的直观性，又能激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。

4、情感态度与价值观：培养学生的学习兴趣、创新意识和科学探索精神，让学生体会到数学中的美。

四、教学重点

椭圆的定义及其标准方程

五、教学难点

标准方程的导出过程，提高学生分析问题的能力

六、教学准备

本节课我打算采用多媒体教学课件辅助教学。所以在上课之前自制多媒体课件一个，内容涵盖了本节课的主要知识点：天体运行的轨迹，多媒体动画：地球围绕太阳转；细绳、图板，图钉；题组。

七、教学过程

（一）组织教学

（二）导入新课

为了使学生了解椭圆的广泛应用，明确椭圆的重要性和必要性，我首先演示天体运行的轨迹，多媒体动画：地球围绕太阳转。让学生从感性上认识椭圆，然后让学生讨论口答日常生活中常见的椭圆形实物，由此导入新课，这样既直观又激发学生的学习兴趣。