浅谈均值不等式的应用

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均值不等式的认识与应用

作者：吴晨

来源：《速读·中旬》2018年第02期

摘 要：均值不等式在不等式理论中处于比较重要的地位，也是数学中最重要的基本不等式之一。同时，它在数学中的各个领域中有着广泛的应用。利用均值不等式，我们可以解决最值或者是数学其他方面的问题。因此，研究均值不等式有着很大的意义。本文在概述了均值不等式定义的基础上，分析了两种均值不等式典型的证明方法，最后论述了均值不等式的应用，以加深人们对均值不等式的认识和理解。

关键词：均值不等式；认识；应用

一、均值不等式的概述

均值不等式，又称为平均值不等式或者是平均不等式，是数学中的一个重要公式。它的表达式为Hn≤Gn≤An≤Qn，指的是调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简单来说就是“调几算方”。其中，

调和平均数：[Hn=ni=1n1ai=n1a1+1a2+…+1an]

几何平均数：[Gn=i=1nain=a1a2…ann]

算术平均数：[An=i=1nain=a1+a2+…+ann]

平方平均数：[Qn=i=1na2in=a21+a22+…+a2nn]

二、均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法有很多，接下来我们就讨论下泰勒公式法和不等式法这两种典型的证明方法。

（一）泰勒公式法

设[fx=logxa]（00），于是有[fnx=-1x2lna>0]，将[fx]在[x0]展开，由泰勒公式我们可以得到[fx=fx0+fx0x-x0+fnx0x-x022]，因此有：

（二）不等式法 龙源期刊网

在均值不等式的证明方法中，有一个特殊的不等式ex≥1+x，我们就可以利用这个不等式进行推导。

均值不等式在实际生活中的应用

在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．

例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？

解 设围墙的邻边长为x米，则围墙对边长为(1002)x米，那么所围场地面积为

(1002)Sxx12(1002)2xx

2121002()125022xx，

当且仅当21002xx，即25x米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．

机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．

例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h米，盖子的边长为a米，容器的容积为V，问当a为何值时，V最大，并求最大值．

解 因为底面积为2a，四个侧面积均为221()22aah，所以全面积为

2224()222aaSah，

整理得211ah (0)h，而容积

213Vha21131hh1113hh，

由均值不等式，得

1111613()32Vhhhh， 当且仅当1hh时，取等号，即1h，22a时，容器的容积最大，其最大值为16立方米．

近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．

例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系式为311xQx (0)x，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？

均值不等式在解物理极值中的应用

均值不等式：对于n个正数a

1，a

2，…，a

n，它们的算术平均值不小于它们的几何平

均值，即（a

1+a

2+…+a

n）/n≥(a

1a

2…a

n)1/n

当且仅当a

1=a

2=…=a

n时，等号成立。

一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当

且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。

常用的正数为两个和三个：如果a，b为正数，

那么有：abba2

，当且仅当a=b时，

上式取“=”号。若两个正数的积一定，则两数相等时和最小；若两个正数的和一定，

则两数相等时积最大。

如果a，b，c为正数，

则有33abccba

，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。

若三个正数的积则当三数相等时和最小；若三个正数的和一定则三数相等时积最大。

下面举例来说明利用均值不等式解决一些物理极值问题

例1.某点电荷Q分成q和（Q-q）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库

仑力为最大值的条件是（ ）

两电荷间库仑力F=k q（Q-q）/r2

, q+（Q-q）的和一定，当q=（Q-q）时，库仑力F

才有最大值，

例2.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。假定经过长时间的开采

后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（ ）

a.地球与月球间的万有引力将变大

b.地球与月球间的万有引力将变小

c.月球绕地球做圆周运动的周期将变长

d.月球绕地球做圆周运动的周期将变短

地月间万有引力F=GMm/r2

，M+m和一定，长时间地搬运，导致M、m的差值变大，即

M、m的乘积变小，选b。

例3：在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在离水面多高处，才能使得

从小孔中喷出的水射程最远？

解析：从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中

水面离桌面高H，小孔离水面为h，如图1

由机械能守恒定律易得从小孔射出的水流初速度

为：

gh2v

大学数学毕业论文(设计)

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浅谈均值不等式在生活中的应用价值

[摘 要] 均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.而且形式众多，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门等方面，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值.

[关键词] 均值不等式 平均数 最值 生活 应用

一、引言

均值不等式是数学中一个重要的不等式.它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.可以说，均值不等式的发现、验证和应用也是数学文化的精髓所在.这对于我们来说是一项巨大的财富.但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值.

二、均值不等式的有关概念与结论

（一）几种平均数的概念

这几种平均数在高中的课程中就已经有介绍了，分别为算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数.，它们的定义如下：

定义一：若naaa,,,21均为正数，我们就称naaan21为naaa,,,21的算术平均数.

定义二： 若naaa,,,21均为正数，我们就称naaa21为naaa,,,21的几何平均数.

定义三：若naaa,,,21均为正数，我们就称naaan11121为naaa,,,21的调和平均数.

定义四:若naaa,,,21均为正数，我们就称naaan22221为naaa,,,21的平方平均数.

(二)均值不等式的重要结论