新古典增长模型完整推导

新古典增长模型的推导
新古典增长模型是一种理论有效经济增长模型，这种模型的推导主要是基于技术进步和投资支出的不断发展，以及以资本库存量调节实现经济增长的观点。

该模型假设经济体存在完全竞争市场，企业可以自由流通资本，具有良好的市场机制和完善的政府政策，技术进步会持续改善企业的生产技术，投资支出会增加资本库存量，进而促进经济增长。

新古典增长模型的推导可以看作是关于经济增长的一个过程，即生产函数的变化，在这个过程中把技术的进步和投资的变化结合起来，用来解释实际经济的增长。

假设在一个期间内，以技术应用来表示时间t的技术水平为$A_t$，投资状况为$I_t$，整体经济产出为$Y_t$，资本库存量为$K_t$，人均经济产出为$Y_t/N_t$，在这个模型中假定有以下基本假设：
1）技术进步：技术进步能够改善资源的生产效率，因此可以认为$A_t$和$A_{t-1}$之间存在技术进步；
2）投资支出：投资支出增加了经济体的生产能力，即$I_t$会增加资本库存量，从而提高生产率和经济产出；
3）资本库存量：增加的资本库存量可能会引起对人力资源和生产要素的放大增补，这一过程。

索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。

（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。

2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。

（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。

ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。

资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。

0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。

新古典经济增长理论新古典经济增长模型对我国经济发展的启示王峰杰【摘要】新古典经济增长模型使用可变技术系数的生产函数，认为在市场机制的作用下，宏观经济能够自动沿着充分就业轨迹增长。

由于均衡增长率正好等于劳动增长率，在经济均衡增长时，人均产量将保持不变。

可以通过提高生产技术水平、提高储蓄率与降低人口增长率等，增加人均产量。

【关键词】新古典经济增长模型资本广化资本深化人均产量一、新古典经济增长模型新古典经济增长模型假设:第一，撇开政府与国际部门，为两部门经济。

第二，仅仅使用劳动与投入两种要素生产产品，且不存在技术进步，则总量生产函数为:Q=F(L,K)(1)其中，Q表示总产量，L表示劳动，K表示资本。

第三，各种要素的边际报酬递减，即随着劳动与资本投入的增加，它们的边际产量(、)递减。

第四，规模报酬不变，即:(2)令k表示资本—劳动比率，即k=KL，可得:Q=L•f(k),或QL=f(k)(3)这就是新古典经济增长模型中的生产函数。

与哈罗德经济增长模型中的生产函数不同，该生产函数中的资本—劳动比率(k)可以变动，因为人均产量(QL)就是人均资本量(k)的函数。

第五，每一时期的劳动(用L表示)按固定比率n增长，即:(4)第六，不存在资本折旧，则投资(用I表示)会增加资本存量，即:(5)第七，储蓄函数采取长期的形式，即S=s(Y)。

其中，S表示储蓄，s表示储蓄率，即s=SY，Y表示实际产量或实际收入，等同于Q。

第八，经济均衡增长的条件为总需求等于总供给。

在两部门经济中，经济均衡增长的条件就是投资等于储蓄，即:I=S(6)从上述假定条件，可以推导出新古典经济增长模型的基本方程:(9)式就是新古典经济增长模型中的基本方程。

该方程表示，从长期来看，储蓄必然等于投资。

一个社会由人均储蓄sf(k)转化而来的新资本分为两个部分:一部分(nk)是为新增加的每个劳动力提供社会平均水平的资本量，称为“资本广化”;另一部分(dkdt)则用来增加人均资本拥有量，即为每个人配备更多的资本品，称为“资本深化”。

索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。

（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。

2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。

（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。

ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。

资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。

0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。

第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）本次授课框架：总结波动理论，引出增长理论。

增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件（2） 人均形式生产函数（3） 总量与人均量之间的关系索洛稳态方程推导过程（1） 索洛稳态定义（2） 根据均衡条件的推导（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析（1） 储蓄率增加情况（2） 人口增长率增加情况总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）新古典增长理论评价一、增长方程推导假设生产函数：N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A YY N K AF Y ∆∂∂*+∆∂∂*+∆=∆=),(),(),(),(),( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。

根据欧拉定理：1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。

第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。

当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。

本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。

总量表达式2 N N K K A AY YN K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ∆-+∆+∆=∆-=∂∂*=∂∂*)1(1),(),(),(),(θθθθ 总量与人均量的关系N N k k K K N N y y Y Y∆+∆=∆∆+∆=∆人均量表达式 kk A A y y ∆+∆=∆θ索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。

（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.2.1),(L K F Y =000220,0F FK K∂∂><∂∂220,0F FL L∂∂><∂∂).(),(L K F L K F λλλ=0 λ)()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅== 3.2L K k /=L Y y /= 3.2)(k f y =0K →∞→∂∂K F0→L FL ∂→∞∂lim lim KL K L F F →→==∞K→∞0→∂∂K F∞→L 0FL ∂→∂lim lim KL K L F F →∞→∞==0δ>K K δ。

t )(t I ，则)(t IK L K sF K sY K I K δδδ-=-=-=),( 3.4)()()()()()(t I t C t S t L t K t Y 、、、、、n s 、、δ （二）稳定状态1. 2. 3. 4.1.经济中各变量随时间变化的路径和增长的性质3.4K L K sF K δ-=),( Lk k sf k L K F s L K L L K sF L K δδδ-=-⋅=-=)()1,/(//),(/ 3.53.5K Kk k nk L K LK L L L K L K L L K dt L K d k -=⋅-=-==///)/(2 （L L n / =） 因此nk k L K +=/，代入3.5式 k k sf nk k δ-=+)(k n k sf k )()(δ+-= 3.63.6式为基本微分方程。

3.6式中，δ、、n s 为外生变量，因此k 只取决于kδn+2.相位图3.6k n k sf k )()(δ+-=ABCEk n )(δ+)(k f )(k sfkL Y /)0(k*k 图3.1 索洛―斯旺模型相位图3.)0(kA⋅f)0(k)(k(ksf)0(k)B⋅+)0(k(δkn)C⋅C⋅B k⋅>)0(k(0)3.6k n k sf k )()(δ+-=*k *k k = k n k sf )()(δ+=**)()(k n k sf δ+= 3.70=k*k k =0=kk n k sf k )()(δ+-= 3.6k/()/()k k sf k k n δ=-+k k /δ、、n s k k f /)(k k f /)(2[()/]'()()0'()/()/['()()/]{[()()]/}d f k k f k k k k f k k f k k k f k k dt k k k k f k f k k f k k f k k k k ⋅⋅-⋅===⋅-⋅'=-=--⋅⋅=)()(k f k k f '⋅-0=kk *k 0=k常数==)(**k f y 常数=⋅-=)()1(**k f s c 常数=⋅=)(*k f s S0)(/)(/***=+-=δn k k sf k kδ+=n k k sf **/)(**)()(k sn k f ⋅+=δ，s n 、、δ为***)()1()()1(ksn s k f s c ⋅+⋅-=⋅-=δ ***)()()(kn k sn s k f s S ⋅+=⋅+⋅=⋅=δδ 2()0Kd K LK K K L k n dt L L L L==-=-⋅= 得n K K =/ ，C L 、同样都以人口增长速率n 增长*C c L=为常数关于t 求导）。

有外生技术变动的新古典增长模型的证明
Y ＝F （AN ，K ），A 以速率g 增长
稳态：k g n sy k )(δ++-=∆
由于k ＝K/AN ，y ＝Y/AN ，所以稳态时，K ，Y 都以（n ＋g ）速度增长，而人均产出（Y/N ）则以g 增长。

推导过程：Y ＝F （AN ，K ）
γY ＝F （γAN ，γK ）（Y 是K 和有效劳动AN 的一次齐次函数）
取γ＝1/AN ，有
Y/AN ＝F （1，K/AN ）
人均产量y ＝Y/AN ，k ＝K/AN
得到：y ＝f （k ）＝F （1，k ）
新古典增长模型的基本方程
在一个只有两部门的简单经济中，经济的均衡为：
I ＝S （资本存量的增加等于储蓄）
K I K δ-=∆（折旧比率固定）
K sY K δ-=∆（储蓄率固定）
两边同除以AN ，得到
k sy AN
K δ-=∆ （1）
另一方面：
K ＝k ·A N
全微分：
A kN N kA k AN A A
K N N K k k K K ∆•+∆•+∆•=∆•∂∂+∆•∂∂+∆•∂∂≈
∆ 两边同除以AN ：
gk nk k AN
K ++∆=∆ （2） 结合（1）和（2），得到：
k g n sy k )(++-=∆δ（新古典增长模型的基本方程）。

1．评述新古典增长理论答：(1)新古典增长理论放弃了哈罗德-多马模型中关于资本和劳动不可替代的假设。

模型的假设前提大致是：①全社会只生产一种产品；②储蓄函数为S =sY ，s 是作为参数的储蓄，且0<s <1；③不存在技术进步，也不存在资本折旧；④生产的规模报酬不变；⑤劳动力按一个不变的比率n 增长。

索洛推导出新古典增长模型的基本方程为：()sf k k nk =+，其中，k=K/L=资本与劳动力之比，大致为每一个劳动力所能分摊到的(或按人口平均的)资本设备；d /d k k t ==每单位时间k 的增加量，即按人口平均的资本增加量；()/f k y Y L ===每个劳动力的平均生产量，大致为按人口平均的产量；s 为储蓄比例，n 为人口增长率。

这一基本方程式说明，一社会的人均储蓄可以被用于两个部分：一部分为人均资本的增加k ，即为每一个人配备更多的资本设备，这被称为资本的深化。

另一部分是为每一增加的人口配备每人平均应得的资本设备nk ，这被称为资本的广化。

大致意思是说，在一个社会全部产品中减去被消费掉的部分(C )以后，剩下来的便是储蓄；在投资等于储蓄的条件下，整个社会的储蓄可以被用于两个部分：一部分用于给每个人增添更多的资本设备(即资本深化)，另一部分则为新生的每一人口提供平均数量的资本设备(即资本的广化)。

(2) 新古典增长理论的四个关键性结论：①稳态中的产量增长率是外生的。

在上面的模型中为n ，它独立于储蓄率s 。

②尽管储蓄率的增加没有影响到稳态增长率，但是通过增加资本-产量比率，它确定提高了收入的稳态水平。

③产量的稳态增长率保持外生。

人均收入的稳态增长率决定了技术进步率，总产量的稳定增长率是技术进步率与人口增长率之和。

④如果两个国家有着相同的人口增长率、相同的储蓄率和相同的生产函数，那么它们最终会达到相同的收入水平。

如果两个国家之间有着不同的储蓄率，那么它们会在稳态中达到不同的收入水平，但如果他们的技术进步率和人口增长率相同，那么它们的稳定增长率也将相司。

新古典经济增长模型索洛经济增长模型概述索洛经济增长模型〔SolowGrowthModel〕是罗伯特·索洛所提出的开展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。

正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛〔RobertM·Solow〕许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动乱，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。

可是，他的这一理论———说明各种不同因素是如何对经济增长和开展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为?对经济增长理论的奉献?的论文中就提出来了。

索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资索洛模型的数学公式模型的根本假定索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。

索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡〞，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。

这些参数值假设稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。

用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡〞是以保证增长率〔用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯〕和自然增长率〔用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加〕的相等来支撑的。

索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。

倘假设放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡〞也就随之消失。

基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。

该模型的假设条件包括：1.只生产一种复合产品。

2.产出是一种资本折旧后的净产出。