2023中考一轮复习：等腰三角形

1考点12等腰三角形

【命题趋势】

等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典

的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。在浙江中考中，等腰三角形可以以选择题、填空题出现，来

考察其性质；也可以以解答题出题，来考察其性质和判定的综合(此时多为压轴题)。所占分值也是比较多，属于

是中考必考的中等偏上难度的考点。

【中考考查重点】

一、等腰三角形的性质和判定

二、角平分线的性质与判定三、线段垂直平分线的性质与判定

考向一：等腰三角形的性质和判定

一．等腰三角形的性质和判定定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三

边叫做底

性质轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴

等边对等角

三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。

判定①定义法；②等角对等边

二．等边三角形的性质和判定定义三边长都相等的三角形是等边三角形

性质轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

等边三角形三个角都相等，分别都等于60°

三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。

判定定义法

有两个角相等的等腰三角形是等边三角形

有两个角等于60°的三角形是等边三角形【方法提炼】

特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接

得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。

等边三角形面积的求解方法：243边长正三角形S

2【同步练习】1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为（）

A．35°B．45°C．55°D．60°

2．等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（）

A．10B．21C．27D．21或27

3．在直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），在y轴负半轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（）

A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，1）D．（0，﹣）

4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN

＝9，则线段MN的长（）

A．大于9B．等于9C．小于9D．不能确定

6．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的

周长为12，MQ＝m，则△MGQ周长是（）

A．8+2mB．8+mC．6+2mD．6+m

37．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相

交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN

＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

8．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°，则顶角的度数为．

9．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．

10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．

11．“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的

速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处

时与灯塔A的距离AC．

412．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；

（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．

13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求

证：△ABC是等腰三角形．

5☆其中：

1.平行线的引入方法常见的有：

①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边；④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；1.

“知2

得1”在圆中应用时，常用“角平分线＋等腰→∥”，进而得某角=Rt∠，证直线与圆相切。考向二：角平分线的性质与判定

一．角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

二、角平分线常见的处理策略：

1.角平分线＋∥→等腰△

2.角平分线＋⊥→等腰△；

（即“三线合一”的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察）

3.见角平分线，作双垂→得全等或线段相等，亦可以用；

（作“⊥”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”；

再往后还可延伸“平行线等积模型”、面积比=底边之比等）

4.见角平分线，作对称

（即截长补短构全等）

5．圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4；

6．重要思想→倍半角模型：

与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。特别地：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。即：三条件满足“知2得1”

其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步的应用方向可以是：

①用于“等量代换”；②再证全等的条件；③将“双垂”看作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是角平分线

6【同步练习】1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）

A．16B．20C．40D．80

2．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：

①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．

②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．

③连接OE交CD于点M．

下列结论中错误的是（）

A．∠CEO＝∠DEOB．CM＝MD

C．∠OCD＝∠ECDD．S四边形OCED＝CD•OE

3．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，

若PC＝6．

（1）求证：△OPC是等腰三角形．

（2）求PD的长．

7考向三：线段垂直平分线的性质与判定

线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。

判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。

【易错警示】角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别：

角平分线：过点作到边的垂线段；

线段垂直平分线：连接两个端点

【同步练习】1．1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（）

A．140°B．130°C．120°D．110°

2．如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝．

3．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB的角平分线上一点，OP的垂直平分线交OA，OB分别于点M，N，点E

为OA上异于点M的一点，且PE＝ON＝2，则△POE的面积为．

81．（2021•温岭市一模）如图，已知∠ABC＝26°，D是BC上一点，分别以B，D为圆心，相等的长为半径画弧，

两弧相交于点F，G，连接FG交AB于点E，连接ED，则∠DEA＝．

2．（2021•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为cm．

3．（2020•浙江自主招生）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（）

A．B．4C．D．4.5

4．（2021•余杭区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为．

95．（2021•杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂

足是D，S△AED：S△ABC＝．

6．（2021•吴兴区二模）如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于

点Q，连接PQ，则∠QPN＝．

7．（2021春•永嘉县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边

作▱ABED，则∠E的度数为（）

A．50°B．55°C．65°D．70°

8．（2021•东阳市模拟）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，点D在边AC上，则AD：BE的值（）

A．.：1B．：1C．5：3D．不能确定

109．（2021•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC＝5，点B和点C的坐标分别为（﹣2，0），（4，0），

反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，且与AC相交于另一点D，作AE⊥BC于点E，交BD于点F，则点

F的坐标为．

10．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交

BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝°．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）

11．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD＝AE，

求证：DE⊥BC．