高三数学平面向量一轮复习

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第七章平面向量

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．

3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度

和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握

平移公式．

7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

向

量概念向量的模相等的向量

单位向量

零向量

运算向量的加法

向量的减法

实数与向量的乘积

向量的数量积平面向量的坐标运算

平移公式

线段的定比分点

解三角形余弦定理

正弦定理任意三角形的面积公式

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，

成为多项内容的媒介．

主要考查：

1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．

2．向量的坐标运算及应用．

3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．

4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的

形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时向量的概念与几何运算

1．向量的有关概念基础过关知识网络考纲导读

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⑴ 既有又有的量叫向量．

的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．

⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．

⑶ 且的向量叫相等向量．

2．向量的加法与减法

⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或

法则进行．加法满足律和律．

⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量

的，方向指向．

3．实数与向量的积

⑴ 实数



与向量

a的积是一个向量，记作

a．它的长度与方向规定如下：

① |

a |＝．

② 当

＞0时，

a

的方向与

a的方向；

当

＜0时，

a

的方向与

a的方向；

当

＝0时，

a ．

⑵



(μ

a)＝．

(

＋

μ)

a＝．



(

＋

b)＝．

⑶

共线定理：向量

与非零向量

a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得．

4．⑴

平面向量基本定理：如果

、

2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平

面内的任一向量

a，有且只有一对实数

1、

2，使得．

⑵

设

、

是一组基底，

＝

2111eyex

，

＝

2212eyex

，则

与

b共线的充要条件

是．

例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设

aAB，

bAC，求

BE．

解：

BE＝

AE－

AB＝

(

AB＋

AC)－

AB＝－

a＋

变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量

CD等于（）

A．－

BC＋

B．－

BC－

C．

BC－

D．

BC＋

解:A 典型例题

B C

例2.

已知向量

2132eea

，

2132eeb

，

2192eec

，其中

、

2e不共线，求实数

、

，使

bac

．

解

c＝

a＋

b

1e－

2e＝(2λ＋

2μ)

1e＋(－3λ＋

3μ)

2e2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9

λ

＝2，且μ＝－1

变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：

POPDPCPBPA4

证明

＋

PC＝

，

＋

PD＝

PA

＋

PD＝

例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC

和AB

的中点，若

aAB

，

bAD

，试用

、

表示

和

MN．

解：连NC

，则

bADNC

baCNABCNMCMN

；

abNBNCBC



变式训练3：如图所示，OADB

是以向量

＝

，

＝

b为邻边的平行四边形，

又

BM＝

BC，

CN＝

，试用

、

表示

，

MN．

解

OM＝

a＋

，

ON＝

a＋

b，

MN＝

a－

例4.

设

，

是两个不共线向量，若

与

b起点相同，t∈R，t

为何值时，

a，

b，

(

＋

三向量的终点在一条直线上？

解：

设

])(

[baabta (

∈R)

化简整理得：

()1

(bta

∵

不共线与ba，∴



















2123

301

tt



故

t

时，

)(

,,babta三向量的向量的终点在一直线上．

变式训练4：已知

,,,,OAaOBbOCcODdOEe

，设

tR，如果

3,2,acbd



()etab

，那么

t为何值时，

,,CDE三点在一条直线上？

解：由题设知，

23,(3)CDdcbaCEectatb

，

,,CDE三点在一条

直线上的充要条件是存在实数

k，使得CEkCD

，即

(3)32tatbkakb

，

整理得

(33)(2)tkaktb

.

①若

b共线，则

t可为任意实数；

②若

b不共线，则有330

20tk

tk







，解之得，6

5t

. B

A D

C N M

高考一轮复习：平面向量的概念及线性运算

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我爱学习网高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲平面向量的概念及线性运算

【2015年高考会这样考】

1．考查平面向量的线性运算．

2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．

【复习指导】

本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义) 运算律

加法求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1) 交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生

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减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

高三数学高考一轮复习测试题：平面向量理科(A)卷

第九章 “平面向量”测试题（理科A）

一、选择题（共10小题，每小题5分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

1、

已知AB=（3，－2），点A（－2，1）则B的坐标是（ A ）

A、（1，－1） B、（－1，1） C、（5，－3） D、（－5，3）

2．有四个式子：①1·a＝a ②O＋a＝a ③0－NMMN ④｜a·b｜＝

｜a｜·｜b｜其中正确的有

( A )

A．3个 B．1个

C．2个 D．4个

3、若向量a=(3,2)，b=(0,-1)，则向量2b－a的坐标是（

D ）．

（Ａ）)4,3( （Ｂ）)4,3( （Ｃ）)4,3( （Ｄ）)4,3(

4、已知a=（－4，3），b是垂直a的单位向量，则b等于

（ B

）

A、（53，54）或（54，53） B、（53，54）或（－53，－54）

C、（53，－54）或（－54，53） D、（53，－54）或（－53， 54）

5、

已知a=（1，2），b=（x，1），且a+2b与2a－b平行，则x=

（ D ）

A、2

B、1 C、31 D、 21

6、在ABC中，设aAB，bAC，点D在线段BC上，且DCBD3，则AD用a和b表示为（）

A、ba4341

B、ba3231

C、ba4341 D、ba3231

7、若向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则c=（ B ）．

（Ａ）12a+32b （Ｂ）12a32b

（Ｃ）32a12b （Ｄ）32a+12b

高考数学一轮复习平面向量的基本定理

第1页/共4页 2019高考数学一轮复习平面向量的基本定理

平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，下面是平面向量的基本定理，希望对考生有帮助。

三种形式

平面向量有三种形式，字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头，多考虑几何形式画图解题，特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况，向量的坐标和点的坐标不要混淆，向量的坐标是其终点坐标减始点坐标，特殊情况下，若始点在原点，则向量的坐标就是终点坐标。

选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键，优先考虑用几何形式画图做，然后是坐标形式，最后考虑字母形式的变形运算。

四种运算

加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算，结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量，零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算，结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律，数量积不符合消去律和结合律。

向量运算也有三种形式：字母形式、几何形式和坐标形式。

加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要，要能熟练灵活的使用。

加减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线，数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一第2页/共4页个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法：1、向量的模乘以夹角余弦;2、两向量数量积除以另一向量的模。

加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。

两个定理

(1) 共线向量定理：两向量共线(平行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1、三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2、以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。

高三数学高考一轮复习测试题：平面向量理科(A)卷 2

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源-于-网-络-收-集第九章 “平面向量”测试题（理科A）

一、选择题（共10小题，每小题5分）

题号 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10

答案

1、

已知AB=（3，－2），点A（－2，1）则B的坐标是（ A ）

A、（1，－1） B、（－1，1） C、（5，－3） D、（－5，3）

2．有四个式子：①1·a＝a ②O＋a＝a ③0－NMMN ④｜a·b｜＝

｜a｜·｜b｜其中正确的有

( A )

A．3个 B．1个

C．2个

D．4个

3、若向量a=(3,2)，b=(0,-1)，则向量2b－a的坐标是（

D ）．

（Ａ）)4,3( （Ｂ）)4,3( （Ｃ）)4,3( （Ｄ）)4,3(

4、

已知a=（－4，3），b是垂直a的单位向量，则b等于

（

B ）

A、（53，54）或（54，53） B、（53，54）或（－53，－54）

C、（53，－54）或（－54，53） D、（53，－54）或（－53， 54）

5、已知a=（1，2），b=（x，1），且a+2b与2a－b平行，则x=

（ D ）

A、2 B、1

C、31 D、 21

6、在ABC中，设aAB，bAC，点D在线段BC上，且DCBD3，则AD用a和b表示为（

）