和差角三角函数公式

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和差角公式与二倍角公式

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来源：《数学金刊·高考版》2015年第04期

本节内容是三角恒等变形的核心知识，两角和与差的三角公式揭示了“同名不同角的三角函数的运算规律”，二倍角公式揭示了角的系数变化与三角式次数变化之间的“守恒”规律，应用公式求值、化简及恒等式的证明时要善于观察差异，寻找联系，实现转化，同时注意公式的正用、逆用及变用. 不论是考查三角的选择题、填空题还是解答题一般都会考查到这两组公式，这是高考每年必考的内容，特别是用和差角公式顺用、逆用、变形运用来进行三角求值的问题.

本节内容包括利用三角公式进行三角函数式的化简、三角函数的求值及三角恒等变换. 三角函数式化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③函数式尽可能简单（不含根式）；④次数尽可能低、尽可能求出值. 求值问题的基本类型及方法：①给角求值；②给值求值；③给值求角.

三角恒等式的证明实质是：①通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）；②证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进统一；③证明三角恒等式的基本方法有化繁为简、左右归一、变更问题.

例1 已知sin（α+β）= ，sin（α-β）=- ，且α，β>0，α+β< ，则tan2α=________.

破题思路 对于三角求值中的给值求值问题主要是找到已知角与所求角之间的联系，然后通过三角公式变形求解，本题注意到2α=α+β+α-β即可.

答案详解 0

- ，可得cos（α-β）= ，所以tan（α-β）=- .

故tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]= .

例2 sin410°+sin450°+sin470°的值为________.

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

一、选择题：

1、若)tan(,21tan),2(53sin则的值是

A．2 B．－2 C．211 D．211

2、如果sincos,sincosxxxx3那么·的值是

A．16 B．15 C．29 D．310

3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(

A．1318 B．322 C．1322 D．1318

4、若fxxf(sin)cos,232则等于

A．12 B．32 C．12 D．32

5、在ABCABAB中，··sinsincoscos,则这个三角形的形状是

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形

二、填空题：

6、角终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371 ；

7、若23tan，则所在象限是 ；

8、已知sin2coscossin234cot，则 ；

9、70tan65tan70tan65tan· ；

10、化简3232sincosxx 。

三、解答题：

11、求的值。·100csc240tan100sec

12、的值。，求已知)tan1)(tan1(43

13、已知求的值。cos,sincos23544

14、已知)sin(2)(sin053tan,tan22的两个根，求是方程xx

·cos()的值。

两角和与差的三角函数及倍角公式答案

一、

1、B

2、D 提示: tanx = 3, 所求122sinx, 用万能公式。

3、B 提示: 44

三角函数的和差公式与倍角公式

三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。其中，和差公式与倍角公式是三角函数中的重要内容，它们在解决三角函数的运算中起到了重要的作用。本文将介绍三角函数的和差公式与倍角公式的概念、推导过程及应用。

一、和差公式的概念与推导

和差公式是用来表示两个角的和差的三角函数关系的公式。对于任意两个角A和B，和差公式可以表示如下：

1. 两角的和的正弦函数公式：

sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB

2. 两角的差的正弦函数公式：

sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB

3. 两角的和的余弦函数公式：

cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB

4. 两角的差的余弦函数公式：

cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB

5. 两角的和的正切函数公式：

tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)

6. 两角的差的正切函数公式： tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)

这些和差公式的推导过程可以利用向量运算、三角函数性质等方法进行推导。由于篇幅限制，本文将不进行具体的推导，但读者可以通过学习向量运算和三角函数性质，自行推导出这些和差公式。

二、倍角公式的概念与推导

倍角公式是用来表示一个角的两倍角关系的三角函数公式。对于任意一个角A，倍角公式可以表示如下：

1. 正弦函数的倍角公式：

sin(2A) = 2 * sinA * cosA

2. 余弦函数的倍角公式：

cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2 * cos^2(A) - 1 = 1 - 2 * sin^2(A)

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1 / 4 1.同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/（1－tanα ·tanβ）

tan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（1＋tanα ·tanβ）

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

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1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————