有驱动力的两端固定弦振动问题的差分方程数值计算

数学物理方程之基于数值计算方法的弦振动方程求解2数学物理方法中的平行四边形法则目录摘要、关键词…………………………………………… 2页有限差分法介绍………………………………………… 3页程序描述………………………………………………… 6页计算机处理……………………………………………… 8页Matlab作图…………………………………………… 10页特别鸣谢………………………………………………… 11页摘要、关键词摘要：继上次关于弦振动方程的“平行四边形法则”求解之后，我们又从数值计算的角度入手，对弦振动方程进行计算和模拟，从而验证“平行四边形法则”解弦振动方程的正确性。

关键词：有限差分法、数值计算、弦振动方程附： 弦振动方程：4(0,)(1,)0(,0)(1),(,0)8tt xxtu uu t u tu x x x u t x =⎧⎪==⎨⎪=-=⎩211((1))()'()()''()()+()()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h -=+-+-+-……！211((1))()'()''()+()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h +=+++ ……！()((1))'()()u ih u i h u ih o h h--=+((1))()'()()u i h u ih u ih o h h+-=+2((1))((1))'()()2u i h u i h u ih o h h+--=+有限差分法介绍以弦振动方程为例：2(,)(0,)(,)0(,0)()(,0)()tt xx t u a u f x t u t u l t u x x u x x ⎧=+⎪==⎪⎨=Φ⎪⎪=ψ⎩对于一定的u （x ，t ），我们用“差分”代替“微商”，从而将 数差值描述，可得：以及将第一个式子的右边第一项移至左边,得： ^…同理可得， 两式做差：22((1))((1))ih =h u i h u i h u +--（）(,)(,)ni u x t u i x n t u =∆∆=1122(,)n n n i i i tt tt u u u u u i n t +--+==∆1122(,)n n n i i i xx xx u u u u u i n x +--+==∆21122(,)n n n i i i tt uu u u a f i n x+--+=+∆2222ta r x∆=∆ 2122122112(1)(,)n n n n n i i i i iu r u r u r u n t f i n ---+-=+-+-+∆用中心差分的一阶导数表示二阶导数，化简： 由此引入 则 则弦振动方程 可以表示为：我们定义 为网格比则由此可知，每一个格点u （i ，11(,0)()()2i it u u u x x i t--=ψ=ψ=∆(,0)t u i 1i u 202020221121221221100,/10.5(2(1)2()(,)0,0/12(1)(,)ni i i i n n n n i i i i i l x u r u r u r u t i x t f i x n t n i l x r u r u r u n t f i x n t +----+-=∆-⎧⎪=+-++∆Φ∆+∆∆∆=<<∆-⎨⎪+-+-+∆∆∆⎩ 其他n)均由u （i+1，n+1）、u （i ，n ）、u(i-1,n-1)、 u(i,n-2)等其余四点所确定：由此我们可以采用“递归”的思想，借助计算机进行快速计算，从而得到各个格点的值.值得注意的是,①在边界上u ≡0.②在初始层上的点(即u （i ，0））无法用上述公式计算，还需借助初始条件，即：012020201211(,0)()2(1)(,1)i i i i i i u i u x u r u r u r u u t f i -+-∴==Φ=+-+-+由 和 两式相加，消去可得020*********.5(2(1)2()(,)i i i i u r u r u r u t i x t f i x n t +-=+-++∆Φ∆+∆∆∆综上：届此，我们可以将此式编入程序（采用“递归”思想），详细代码见下一节。

由此得：
d d s y
px py
d d s x
关于边界上任一点处
x
y
y A
B B
的值，可将上式从A点到B点对s 积分得到：

B
A
px d s
B
x A
(1 1)
(1 2)
同理，在网线４-０-２上可得到差分公式
f f f4 2 y 2h 0 2 f y 2 f f4 2 f0 2 2h 0 (1 3) (1 4)
以上(１-１)~(１４)是基本差分公式,从 而可导出其它的差分 公式如下：
整理即得
20 0 8(1 2 3 4 ) 2(5 6 7 8 ) (9 10 11 12 ) 0 (2 2)
对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立 这样一个差分方程。
二、联立求解这些线性代数方程，就 能求得各内结点处的值。 一般建立和求解差分方程，在数学上不 会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行 的（距边界为h的）结点，建立的差分方程 还将涉及边界上各结点处的φ值，并包含边 界外一行的虚结点处的φ值。
2 f 1 2 [( f 6 f 8 ) ( f 5 f 7 )] xy 0 4h 4 f 4 x 1 4 [6 f 0 4( f 1 f 3 ) ( f 9 f 11 )] h 0 (1 6)
第二节
应力函数的差分解
当不计体力时，我们 已把弹性力学平面问题归 结为在给定边界条件下求 解双调和方程的问题。用 差分法解平面问题，就应 先将双调和方程变换为差 分方程，而后求解之。

弦振动方程积分法建模弦振动是一种常见的振动现象，广泛应用于乐器、工程结构和科学研究领域。

本文将深入探讨弦振动方程的积分法建模，包括基本方程、积分法的原理和步骤，以及在实际工程中的应用。

通过对弦振动的积分法建模的综述，读者将更好地理解和应用这一振动现象。

一、引言弦振动是一种机械波的传播形式，广泛存在于各个领域。

从乐器的弦乐器到工程结构的振动分析，弦振动方程的建模对于理解和优化系统具有重要意义。

本文将围绕弦振动方程的积分法建模展开综述，为读者提供深入了解和应用的视角。

二、弦振动方程的基本形式弦振动的数学描述通常采用弦振动方程，其基本形式为：其中，是弦的横向位移，x 是弦上的位置，t 是时间，c 是波速。

三、积分法建模的原理和步骤积分法是一种常用的数值建模方法，通过将微分方程转化为积分形式进行求解。

弦振动方程的积分法建模主要分为以下几个步骤：离散化：将弦的长度和时间区间进行离散化，将连续的变量转化为离散的网格点。

差分近似：利用差分方法对微分方程进行离散近似，将弦振动方程转化为差分方程。

积分求解：将差分方程转化为离散的积分形式，通过迭代等方法求解得到弦的位移随时间和位置的变化。

边界条件：添加适当的边界条件，如弦的固定端或自由端条件，以模拟实际情况。

验证与调整：验证模型的准确性，并根据实际情况对模型进行调整，以提高模型的精度。

四、弦振动方程积分法建模的应用乐器设计：在乐器设计中，通过弦振动方程的积分法建模可以预测不同材料和张力下的弦振动特性，为乐器的声学性能优化提供依据。

结构振动分析：在工程结构振动分析中，通过积分法建模可以模拟建筑、桥梁等结构在外力作用下的振动响应，有助于评估结构的稳定性和安全性。

声波传播：弦振动方程的积分法建模也可应用于声波传播领域，例如预测海底电缆中声波的传播特性，有助于通信系统的设计和优化。

医学成像：在医学领域，通过弦振动方程的积分法建模，可以模拟超声波在人体组织中的传播和反射，为医学成像技术提供理论基础。

弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2