江西省横峰中学高中数学 第一章第三节第一课 全称量词与存在量词教学案 新人教A版选修21

2019-2020年高中数学第一章第三节第一课全称量词与存在量词教学案新人教A版选修2-1(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．（三）教学过程学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。

1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。

（3）、(4)是命题且是真命题。

（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。

注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。

因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。

（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。

事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。

也可以说命题：存在某个x ∈Ｚ使2x ＋１不是整数，是假命题．3．发现、归纳命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

1.5 全称量词与存在量词教材分析本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，然后看条件的特征得出全称量词命题及存在量词命题，从而判断命题的真假；然后归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.教学目标与核心素养课程目标1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.数学学科素养1.数学抽象：全称量词命题、存在量词命题与全称量词命题的否定与存在量词命题的否定的理解；2.逻辑推理：通过实例得出全称量词命题、存在量词命题含义，并通过两者的联系与区别得出全称量词命题与存在量词命题的否定；3.数学运算：关于命题真假的判断；4.数据分析：含有一个量词的命题的否定；5.数学建模：通过对全称量词命题、存在量词命题概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

教学重难点重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、问题导入：下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x ＋１是整数；（2）x ＞３；（3）对所有的3,∈>x x R ；（4）对任意一个21,∈+x x Z 是整数.（5）至少有一个,∈x x Z 能被2和3整除；（6）存在有一个,∈x R 使2x +1=3要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1.什么是全称量词？常见的全称量词有哪些？怎样表示全称量词命题？2.什么是存在量词？常见的存在量词有哪些？怎样表示存在量词命题？3.什么是命题的否定？4.怎样表示全称量词命题的否定？5.怎样表示存在量词命题的否定？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

1.5.1 全称量词与存在量词一、 教学内容 全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的定义及符号简记，判断全称量词命题、存在量词命题的真假。

二、教学目标（1）通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义.（2）能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题.（3）掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法.三、教学重点与难点教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别.教学难点：正确使用全称量词命题、存在量词命题.四、教学过程设计（一）复习回顾，问题导入 问题1：我们已经学习过命题，什么是命题？师生活动：学生独立思考后回答。

追问1：3x >是命题吗？师生活动：学生独立思考后回答。

追问2:对所有的,3x R x ∈>是命题吗？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。

追问3：21x +是整数，是命题吗？师生活动：学生独立思考后回答。

追问4：对任意一个,21x Z x ∈+是整数，是命题吗？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。

追问5：本来不是命题的陈述句，是如何变成了命题的？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。

设计意图：让学生明确命题时可以判断真假的陈述句，在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它不是命题，但是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以是它变成一个命题。

我们把这样的短语称为量词。

从而引出本节课的内容。

（二）探究交流，获取新知探究一:全称量词与全称量词命题定义问题2：对所有的,3x R x∈>，对任意一个,21x Z x∈+是整数，这两个都是命题，是因为变量前加了“所有的”、“任意一个”，这两个词语有什么含义呢？师生活动：学生先独立思考后回答。

追问：表示某个范围内的整体或全部的短语还有哪些呢？师生活动：学生先独立思考，讨论交流后回答问题。

设计意图：通过以上问题，引出全称量词的定义。

全称量词与存在量词教案全称量词和存在量词是数学逻辑中常见的两种量词，在逻辑推理和证明过程中起到重要作用。

下面是一个关于全称量词和存在量词的教案。

一、教学目标：1. 了解全称量词和存在量词的概念；2. 学会使用全称量词和存在量词进行逻辑推理；3. 能够根据题目要求判断何时使用全称量词和何时使用存在量词。

二、教学过程：1. 导入新知识：教师可以通过给一些例子，引导学生思考以下问题：如果有一个集合，这个集合中的元素满足某个性质，我们可以如何表达这个性质？2. 讲解全称量词：全称量词（universal quantifier）是用来表达“对于任意一个”的意思。

用“∀”来表示全称量词，例如∀x，表示对于集合中的任意一个元素x。

教师可以通过示例来解释全称量词的含义和用法，例如：如果全班同学都学习了数学，我们可以如何表达这句话？3. 练习全称量词：教师可以给出一些练习题，让学生练习使用全称量词进行逻辑推理。

例如：假设有一组数字：1, 2, 3, 4, ..., n。

我们可以用全称量词来表达这组数字的性质吗？为什么？4. 讲解存在量词：存在量词（existential quantifier）是用来表达“存在一个”的意思。

用“∃”来表示存在量词，例如∃x，表示存在集合中的一个元素x。

教师可以通过示例来解释存在量词的含义和用法，例如：如果班上存在一个学生会打篮球，我们可以如何表达这句话？5. 练习存在量词：教师可以给出一些练习题，让学生练习使用存在量词进行逻辑推理。

例如：假设有一组数字：1, 2, 3, 4, ..., n。

我们可以用存在量词来表达这组数字的性质吗？为什么？6. 总结与归纳：教师可以让学生总结全称量词和存在量词的区别和用法。

三、课堂小结：本节课我们学习了全称量词和存在量词的概念和用法。

全称量词表示对于集合中的任意一个元素，而存在量词表示存在集合中的一个元素。

在逻辑推理和证明过程中，我们可以使用全称量词和存在量词来表达命题的性质。

全称量词和存在量词教案全称量词和存在量词教案一、教学目标：1.了解全称量词和存在量词的概念；2.能够正确使用全称量词和存在量词；3.培养学生的逻辑思维和语言表达能力。

二、教学内容：1.全称量词：所有、任何、每个等；2.存在量词：有些、某个、至少一个等。

三、教学过程：1.引入：引导学生回忆上次学习的内容，问学生是否还记得量词的概念和用法。

2.概念讲解：根据学生的回答，引导他们思考量词的两种类型：全称量词和存在量词。

全称量词是指适用于所有事物的词语，如所有、任何、每个等；存在量词是指适用于某些事物的词语，如有些、某个、至少一个等。

3.例子演练：以例子的形式，给学生展示全称量词和存在量词的用法。

例子1：全称量词- 所有学生都需要参加这次考试。

- 任何人都可以参加这个活动。

- 每个孩子都应该接受教育。

例子2：存在量词- 有些人喜欢吃辣的食物。

- 某个人在你的书包里放了一只小猫。

- 至少一个学生没有完成作业。

4.练习活动：让学生进行小组活动，给出一些句子，让他们判断全称量词和存在量词的用法，并解释原因。

然后让每个组派代表汇报答案和解释。

5.概念复习：让学生回答几个问题，巩固他们对全称量词和存在量词的理解程度。

四、教学总结：对学生的反馈进行总结，重点强调全称量词和存在量词的用法和区别。

五、作业布置：布置课后练习题，让学生完成，并在下堂课上交。

六、教学反思：这节课通过例子演练的方式，生动形象地介绍了全称量词和存在量词的概念和用法，培养了学生的逻辑思维和语言表达能力。

教学目标得到了很好的实现。

但是在练习活动中，学生有些困惑，对一些句子的分类判断不准确，需要多加强化练习。

下一次教学中，应该增加更多的练习环节，加强学生对全称量词和存在量词的理解和运用能力。

全称量词和存在量词教案教案标题：全称量词和存在量词教案教案目标：1. 理解全称量词和存在量词的概念和用法。

2. 能够正确使用全称量词和存在量词描述数量和存在情况。

3. 能够将全称量词和存在量词应用于实际语境中。

教学资源：1. 教材：包含全称量词和存在量词相关内容的教科书或教学参考资料。

2. 视频或图片：展示不同数量和存在情况的实例。

3. 练习题：用于巩固学生对全称量词和存在量词的理解和应用能力。

教学步骤：引入活动：1. 展示一张图片或播放一个视频，其中包含多个物体或人。

2. 引导学生观察图片或视频，并提问：“你能用一个词或短语来描述这些物体或人的数量吗？”3. 引导学生思考并回答，如“很多”、“几个”等。

知识讲解：1. 解释全称量词和存在量词的概念和区别：- 全称量词用于描述整体或全部的数量，如“每个”、“所有”等。

- 存在量词用于描述部分或存在的数量，如“一些”、“几个”等。

2. 通过教材或参考资料，提供更多全称量词和存在量词的例子，并解释其用法和意义。

示例练习：1. 分发练习题，要求学生根据给出的句子，选择合适的全称量词或存在量词填空。

2. 学生独立完成练习，并检查答案。

3. 教师与学生一起讨论答案，解释正确答案的原因和错误选项的问题。

拓展活动：1. 分组活动：将学生分成小组，要求每个小组选择一个场景或情境，然后编写一段对话或故事，其中包含全称量词和存在量词的使用。

2. 每个小组展示他们的作品，并与全班分享。

3. 教师对每个小组的作品进行评价和指导。

总结和评估：1. 教师总结全称量词和存在量词的用法和意义。

2. 学生回答几个问题来评估他们对所学内容的理解程度。

3. 教师对学生的回答进行评估，并提供必要的反馈和指导。

延伸练习：1. 布置作业：要求学生在日常生活中观察和记录使用全称量词和存在量词的实例，并写下他们的观察结果。

2. 学生将观察结果整理成报告或展示，并与全班分享。

教案评估：1. 学生对全称量词和存在量词的理解和应用能力。

全称量词和存在量词教案以下是一份关于全称量词和存在量词的教学教案：一、教学目标1. 让学生理解全称量词和存在量词的概念。

2. 能够正确使用全称量词和存在量词表述命题。

3. 通过实例培养学生的逻辑思维能力。

二、教学重难点1. 重点：全称量词和存在量词的含义与运用。

2. 难点：理解含有全称量词和存在量词的命题的真假判断。

三、教学准备多媒体课件。

四、教学过程师：同学们，今天我们来学习一个新的内容，全称量词和存在量词。

那什么是全称量词呢？大家来看这个例子，“所有的正方形都是矩形”，这里的“所有的”就是一个全称量词。

谁能再举个例子呀？生：“所有的三角形内角和都是 180 度。

”师：非常好！那存在量词又是什么呢？比如“存在一个实数 x，使得x^2=1”，这里的“存在一个”就是存在量词。

谁再来举个例子？生：“存在一个质数是偶数。

”师：不错。

那我们来练习一下，用全称量词或存在量词改写这些命题。

比如“平行四边形的对角线互相平分”。

生：“所有平行四边形的对角线互相平分。

”师：很好。

那“方程 x^2-5x+6=0 有实数根”呢？生：“存在实数 x，使得方程 x^2-5x+6=0 有实数根。

”师：下面我们来探讨一下怎么判断含有这些量词的命题的真假。

大家思考一下这个命题“所有的实数 x，都有x^2≥0”是真还是假呀？生：真。

师：对啦。

那“存在一个整数 x，使得x^2+1=0”呢？生：假。

师：非常棒！大家理解得很不错。

五、教学反思通过这节课的教学，学生对于全称量词和存在量词的概念有了较好的理解，能够正确运用它们表述命题，在判断命题真假方面也掌握得较好。

但在一些复杂情境中，学生可能还需要更多练习来巩固。

在今后的教学中，可以增加更多实例，帮助学生深入理解和应用。

1.4全称量词与存在量词一、教学目标【核心素养】发展数学思维，形成辩证的逻辑推理能力.【学习目标】(1)理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；(2)掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；(3)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【学习重点】通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【学习难点】全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1：阅读教材预习教材P21—P23，思考：什么叫“全称量词”和“特称量词”任务2：思考如何否定含有一个量词的命题2.预习自测1.判断下列全称命题的真假，其中真命题为（）A.所有奇数都是质数B.2∀∈+≥x R x,11C.对每个无理数x，则x2也是无理数D.每个函数都有反函数答案：B2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A.,x y R∀∈，都有222+≥x y xyB.,x y R∃∈，都有222+≥x y xyC.0,0x y∀>>，都有222+≥x y xyD .0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤答案：A3.判断下列命题的真假，其中为真命题的是（ ）A .2,10x R x ∀∈+=B .2,10x R x ∃∈+=C .,sin tan x R x x ∀∈<D .,sin tan x R x x ∃∈<答案：D4.对于下列语句:（1）2,3x Z x ∃∈=（2）2,2x R x ∃∈=（3）2,302x R x x ∀∈>++（4）2,05x R x x ∀∈>+-其中正确的命题序号是 .（全部填上）答案：（2）（3）（二）课堂设计1.知识回顾（1）给定一个命题p ，如何得到命题p 的否定，它们的真假有什么关系？（2）回顾逻辑联结词“非”的含义和用法.2.问题探究问题探究一 全称量词观察与思考：观察以下命题：（1）对任意R x ∈，x >3；（2）所有的正整数都是有理数；（3）若函数f (x )对定义域D 中的每一个x ，都有f (-x )=f (x )，则f (x )是偶函数；（4）所有中国国籍的人都是黄种人想一想：（1）这些命题中的量词有何特点?（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫全称量词与全称命题（1）短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“_____”表示.含有_______的命题，叫做全称命题.(2)全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为__________，读作“________________.试一试：判断下列全称命题的真假.（1）所有的素数都是奇数；（2）11,2≥+∈∀x R x ；（3）每一个无理数x ，2x 也是无理数.（4）{}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2.想一想：你是如何判断全称命题的真假的？问题探究二 特称量词观察与思考：观察以下命题：（1）存在一个,0R x ∈使3120=+x ；（2）至少有一个00,x Z x ∈能被2和3整除；（3）有些无理数的平方是无理数.想一想：（1）这些命题中的量词有何特点? 与全称量词有何区别？（2）上述3个命题，可以用同一种形式表示它们吗？阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？想一想：请大家根据以上结论类比归纳，思考什么叫存在量词与特称命题：(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“___”表示.含有________的命题，叫做特称命题.(2)特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为____________，读作“_______________.练一练：判断下列特称命题的真假. 命题 命题的否定∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，p (x 0)（1）有一个实数2000230x x x ++=，使；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；（3）有些整数只有两个正因数.问题探究三、含有量词的命题的否定常见词语的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x 0∈A 使p (x 0)假3.课堂总结【知识梳理】 1.命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词.全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等.存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等.含有量词的命题通常包括存在性命题和全称命题二种.2.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题.全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p (x )”的命题，记为: ∀x ∈M ，p (x )存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x ，q (x )”的命题，记为: ∃x ∈M ，q (x )注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"any "中的首字母.存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist "中的首字母.存在量词的“否”就是全称量词.【重难点突破】(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.命题的否定与命题的否命题是不同的.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.(3)要判断“¬p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与¬p 的真假相反.4.随堂检测1.下列命题不是“0x R ∃∈,203x >”的表述方法的是（ ）A.有一个0x R ∈,使203x >B.有些0x R ∈,使203x >C.任选一个x R ∈,使23x >D.至少有一个0x R ∈,使203x >解析：【知识点：特称命题】答案：C2.下列命题中的真命题是（ ）A .,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=B .(0,),1x x e x ∀∈+∞>+C .(,0),23x x x ∃∈-∞<D .(0,),sin cos x x x π∀∈>解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】答案：B(0,)x ∀∈+∞,设()1x f x e x =--,则()10x f x e '=->,而(0)0f =,所以有10x e x -->,即1x e x >+,故选B.3.已知命题⌝p :0,23x x ∃≥=,则（ ）A . p :0,23x x ∀<≠B . p :0,23x x ∀≥≠C . p :0,23x x ∃≥≠D . p :0,23x x ∃<≠解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】答案：B因为特称命题的否定是全称命题,故选B.4.给出下列四个命题:①a ⊥b ⇔a ·b =0 ;②矩形都不是梯形;③220000,,1x y R x y ∃∈+≤;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是________.答案：①②④解析：【知识点：全称命题】在②,④中含有全称量词“都”“任意”,为全称命题.③为特称命题.又①中的实质是:对任意a ,b 有a ⊥b ⇔a ·b =0,故①②④为全称命题.5.下列说法正确的是（ ）A.对所有的正实数t,有t t <B.存在实数x 0,使错误！未找到引用源。

环节三全称量词与存在量词◆教学目标1．通过对一些语句与命题之间关系的分析，抽象出全称量词，全称量词命题，存在量词，存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过具体问题的分析解决，掌握判断全称量词命题、存在量词命题真假的方法，在这个过程提升逻辑推理、直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：全称量词和存在量词的意义；教学难点：判断全称量词和存在量词命题的真假．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）整体概览问题1：阅读教科书第24页第一段（见下图片），本节将要研究哪些内容？请你罗列出来，如果让你来设计本节内容及其研究思路，你将会如何展开？师生活动：学生自主阅读教科书，独立梳理，展示交流，老师板书．预设的答案：研究内容及思路：通过具体实例，了解什么是全称量词和存在量词？因为加上量词的限定，使得语句成为一个命题，所以接下来要学习含有一个量词的命题的真假判断．进而研究对含有一个量词的命题的否定．设计意图：通过阅读教科书，梳理本节的研究内容及研究过程，初步构建本节学习内容的框架，让学生对将要学习的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：下列语句是命题吗？为什么？ （1）3>x ； （2）12+x 是整数．师生活动：学生独立作出判断，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）（2）都不是命题，因为在这两个语句中，不知道变量x 代表什么数，无法判断真假，所以它们不是命题．设计意图：从学生熟悉的问题出发，为后续引出量词、认识量词的作用做好铺垫． （三）新知探究 1．形成概念问题3：语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）3>x ； （2）12+x 是整数；（3）对所有的x ∈R ，3>x ；（4）对任意一个x ∈Z ，12+x 是整数．师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．预设的答案：（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“所有的”对变量x 进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．老师讲解：用一个短语对变量的取值范围进行限定，可以使类似“3>x ”“12+x 是整数”的开语句成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．通常，将含有变量x 的语句用 ),(),(),(x r x q x p ，表示，变量x 的取值范围用M 表示．那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，)(x p 成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∀．2．辨析理解问题4：你还能说出哪些全称量词？全称量词的含义是什么？并试着举出几个全称量词命题．师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正，老师将学生举出的例子板书在黑板上．预设的答案：常见的全称量词：“每一个”“一切”“任给”等． 全称量词的含义：在指定范围内，表示整体或者全部的含义． 全称量词命题举例：（1）对任意的x ∈R ，012>+x ；（2）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数； （3）所有的一元二次方程都有实根； ……追问：全称量词命题可以简记为“)(,x p M x ∈∀”．在上述命题中，“M ”，“p （x ）”分别指的是什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师或者同伴更正． 预设的答案：（1）“M ”指的是R ，“p （x ）”指的是“012>+x ”；（2）“M ”指的是“所有无理数”，“p （x ）”指的是“2x 也是无理数”； （3）“M ”指的是“所有一元二次方程”，“p （x ）”指的是“方程都有实根”； ……设计意图：通过举例，进一步加深学生对全称量词的认识，熟悉全称量词命题的概念和符号表示．问题5：请判断上述全称命题的真假，并说明理由．师生活动：学生独立判断，写出判断结果及理由，展示交流．老师帮助学生规范过程． 预设的答案： （1）是真命题；对于∀x ∈R ，总有0112>≥+x ．所以，全称量词命题“对任意的x ∈R ，012>+x ”为真命题；（2）是假命题；因为2是无理数，2)2(2=是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题；（3）是假命题；一元二次方程012=++x x 没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．追问：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？师生活动：学生独立思考，自主总结，展示交流，教师引导，形成方法． 预设的答案：如果对集合M 中的每一个x ，p （x ）都成立，那么“)(,x p M x ∈∀”为真命题； 如果在集合M 中存在一个x 0，使得p （x 0）不成立，那么“)(,x p M x ∈∀”为假命题． 设计意图：通过对具体的全称量词命题真假的判断，使学生进一步理解全称量词的意义．学会全称量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．3．形成概念问题6：下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）312=+x ； （2）x 能被2和3整除；（3）存在一个x ∈R ，使312=+x ； （4）至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除．师生活动：学生独立思考，回答问题，展示交流，互相更正．预设的答案：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“存在一个”对变量x 进行限定；（4）在（2）的基础上增加了短语“至少有一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．老师讲授：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在M 中的元素x ，)(x p 成立”可用符号简记为)(,x p M x ∈∃．4．辨析理解问题7：你还能说出哪些存在量词？存在量词的含义是什么？并试着举出几个存在量词命题．师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正． 预设的答案：常见的存在量词：“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 存在量词的含义：在指定范围内，表示个别或一部分的含义． 存在量词命题：（1）有一个实数x ，使012=+x ； （2）存在一个无理数x ，2x 也是无理数； （3）有些平行四边形是菱形； ……设计意图：通过举例，进一步加深学生对存在量词的认识，熟悉存在量词命题的概念． 问题8：你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．师生活动：学生独立判断，写出判断结果、理由、总结，展示交流．老师帮助学生规范过程．预设的答案：（1）是假命题；对于∀x ∈R ，总有012>+x ，即不存在x ∈R ，使得012=+x ．所以，存在量词命题“有一个实数x ，使012=+x ”为假命题；（2）是真命题；因为12+是无理数，223)12(2+=+是无理数．所以，存在量词命题“存在一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题；（3）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．所以，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．方法：如果在集合M 中存在一个x 0，使得p （x 0）成立，那么“)(,x p M x ∈∃”为真命题；如果对集合M 中每一个x ，p （x ）都不成立，那么“)(,x p M x ∈∃”为假命题． 设计意图：通过对具体的存在量词命题真假的判断，使学生进一步理解存在量词的意义．学会存在量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．（四）归纳小结问题9：本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．。

1.4全称量词与存在量词学案预习案学习目标：1.理解全称量词与存在量词的意义,理解全称命题与特称命题的概念,能够用符号表示全称命题与特称命题;2.掌握判断全称命题与特称命题真假的方法;3.理解全称命题与特称命题的关系,掌握对全称命题或特称命题进行否定的方法. 学习重点：理解全称命题与特称命题，会判断全称命题与特称命题的真假. 学习难点：对全称命题或特称命题进行否定. 预习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：全称量词与全称命题(1)短语“所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题的表述形式:对M 中任意一个x,有p(x)成立,可简记为: ,读作“对任意x 属于M,有p(x)成立”.(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个0x ∈M,使得()0p x 不成立即可.❖ 任务二：存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题的表述形式:存在M 中的一个0x ,使()0p x 成立,可简记为: ,读作“存在一个0x 属于M,使()0p x 成立”. (4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M 中,能找到一个0x ,使得命题()0p x 成立即可. 【做一做】下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )A.存在一个θ,使tan θ=tan(90°-θ)B.存在实数0x ,使sin 0x =2πC.对一切θ,使sin θ=sin(180°-θ)D.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β❖ 任务三：全称命题与特称命题的否定【做一做】(1)“至多有三个”的否定为 .(2)已知命题p:∀x ∈R,sin x ≤1,则p 是 .(3)命题“∃0x ∈Q,205x =”的否定是 ,这是 命题(填“真”或“假”).预习检测1.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p :∀x ∈R ,x 2-x+≥0;(2)q :所有的正方形都是矩形; (3)r :∃x ∈R ,x 2+3x+7≤0;(4)s :至少有一个实数x ,使x 3+1=0.命题类型 全称命题 特称命题 形式 ∀x ∈M ,p (x )∃x 0∈M ,p (x 0)否定结论全称命题的否定是特称命题特称命题的否定是全称命题巩固练习1.“关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( )A.∃x 0∈R ,f (x 0)>0B.∃x 0∈R ,f (x 0)≤0C.∀x ∈R ,f (x )>0D.∀x ∈R ,f (x )≤02.已知命题p :“∀x ∈[0,1],a ≥e x ”,命题q :“∃x ∈R ,x 2-4x+a=0”,若命题p ,q 均是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A.[4,+∞) B.[1,4] C.[e,4] D.(-∞,1]3.命题p :∃x 0∈R ,使20x +2a 0x +2-a=0;命题q :不等式ax 2-2ax+2>0对∀x ∈R 恒成立.若p 为真,且p 或q 为真,则a 取值范围是( ) A.(-2,1) B.(-2,0) C.[0,4) D.(0,4)4.若命题“∃x ∈R ,2x 2-3ax+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是 .5.命题“∀x>0,x+1x≥1”的否定为 . 6.命题p :∃x ∈R ,x 2+2x+5≤4,命题q :当x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时,f (x )=sin x+4sin x的最小值为4,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧qB. p ∧qC.p ∧q D.p ∧q7.若存在0x ∈R ,使a 20x +20x +a<0,则实数a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a ≤1 C.-1<a<1 D.-1<a ≤18.下列特称命题是真命题是 .(填序号)①有些不相似的三角形面积相等; ②存在实数x 0,使20x +0x +1<0;③存在实数a,使函数y=ax+b 的值随x 的增大而增大; ④有一个实数的倒数是它本身.9.命题p :函数f (x )=ax 2-4x 在(-∞,2]上递减,命题q :∀x ∈R ,16x 2-16(a-1)x+1≠0.若命题“p ∧q ”是真命题,求a 的取值范围.10.若“∀x ∈R ,∃x 0∈R ,f (x )>g (x 0)”则有( )A.f (x )max >g (x )minB.f (x )max >g (x )maxC.f (x )min >g (x )maxD.f (x )min >g (x )min 11.若命题“∀x ,y ∈(0,+∞),都有(x+y )1a x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥9”是真命题,求正实数a 的最小值.。