《2.5 等比数列的前n项和》 教学案 1-公开课-优质课(人教A版必修五精品)

等比数列前n项和（第2课时）等比数列前n项和（第2课时）一、教材分析等比数列的前n 项和（第2 课时）是普通高中课程标准实验教科书《数学（必修5）》（人教A 版）第二章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差、等比数列及其前n 项和”内容的延续，另一方面又是对本章内容的一个初步综合，与前面学习的知识有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用.等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神, 是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第二课时，重在学习了等差、等比数列后利用等差、等比数列的前n 项和公式进行一些简单非等差、等比数列的求和，初步学会分组求和和错位相减法求和。

二、教学目标知识与技能目标：掌握等差、等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过体会分组求和、错位相减求和在数列求和中的应用，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感态度与价值观目标：通过对公式应用的探索与体会，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等差、等比数列的前n项和公式在数列求和中的简单应用．难点：比较熟练的利用分组求和法、错位相减法进行数列求和。

四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究- 建构教学相结合的教学模式.五、教学过程（一） 复习导入上一节课我们学习了等比数列前 n 项和公式，至此，我们本章内容学习了数 列的概念和简单表示法，等差数列，等差数列前 n 项和，等比数列，等比数列前 n 项和，并布置了预习任务，下面，同学们翻开新教材新学案。

等比数列的前n 项和公式【学习目标】1．学会推导等比数列前n 项和公式的方法；2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.【学习重点】探索推导等比数列的前n 项和公式.【学习过程】一、新课引入：国际象棋起源于古代印度，棋盘上共有8行8列，构成64个格子，关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求。

发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到放满第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求。

”国王觉得这很好办，就欣然同意了他的要求。

问：(1)发明者要多少颗麦粒？(2)每个格子里放的麦粒数构成一个什么数列？(3)能否用求等差数列前n 项和的方法求这个数列的前 64项和？二、方法回顾 等差数列的前n 项和——倒序相加法三、类比探究 等比数列的前n 项和对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?探究一：小组讨论：（1）为什么两边同乘以 2？（2）同乘以(-2)可以吗？（3）由（1）、（2）你感悟到了什么？探 究二：等比数列的前n 项和公式（1）讨论：(1)解法对吗？为什么？ 23631+2+22...2=++？123...=n n S a a a a =++++？(2)当q=1时，等比数列的前n 项和是什么？这种把两式位置错开相减的推导方法，称之为错位相减法.探 究三：等比数列的前n 项和公式（2）探究成果：等比数列的前n 项和公式的两种形式五、题组训练：题 组 训 练1： 题 组 训 练2：求下列等比数列的前8项和：六、自我小结：1、这节课你学到了哪些知识？有哪些收获？ （一种方法，两个公式）2、这节课你存在的主要问题是什么？七、分层作业八、拓展训练{}()()1113261128,22n n n q n q a s a a a ======等比数列中,根据下列条件,求、，，、，11(1)1(1)n a q q Sn q na q a -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩11(1)(1)1(1)n a q q Sn q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩19111(1),,...;2481(2)a 27,a ,0.243q ==<. ...?2.“”--⋯135123124510必做:选作习题求等比数列，，，中从第项到第项的和； 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这个问题：的答案是多少？36948,60,n a s s s ==等比数列中,求。

等比数列的前n项和（第一课时）一、教学内容解析1、教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版（必修5）第二章第三节的内容，本节计划授课2课时。

2、地位与作用本节是数列这章中的一个重要内容，也是两大基本数列求和之一，在现实生活中有着广泛的实际应用，公式推导过程中所渗透的数学思想和方法，错位相减法是数列求和的主要解题方法之一，也是学考高考重点解法。

二、教学目标设置理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单的知三求一问题。

2、能力方面提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

3、情感方面培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

三、本节课重点难点重点：使学生能够理解等比数列前n项和的推导过程；能够用等比数列的前n项和公式解决知“三求一”问题。

难点：用错位相减法推导等比数列的前ｎ项和公式以及等比数列前n项和公式的简单应用。

四、学生学情分析1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

2、认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能把本节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导，但不利因素是本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导又有所不同，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视。

3、任教班级学生特点：已经走过了一学期，在师生交流和互动上，不再有隔阂。

在数学运算能力上，学生略有不足，部分学生依然存在胆怯，在和老师互动上显得被动，经过上学期的努力，衔接课让学生的基础更加扎实，部分学生思维活跃。

五、教学策略分析1、教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式。

2、教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。

3、学生的学法：探究、发现，思考与归纳。

数列求通项教学设计周村区实验中学 申臻臻一、目标分析1.知识目标 使学生掌握等差、等比数列求通项的公式法，特殊数列求通项的累加、累乘法，一般数列已知前n 项和求通项的做法和构造新数列的一般方法。

2.能力目标 培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过累加、累乘及构造等比数列的方法探究，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力等．3.情感目标 通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验. 二、教学重点、难点重点 等差等比数列公式的灵活运用，累加、累乘法的选择，已知nS 求通项的几种形式及新数列的构造方法。

难点 累加法、累乘法的运用，新数列的构造和运用。

三、教学模式与教法、学法 采用问题启发、讲练结合、归纳总结相结合的教学方法，让学生掌握并灵活应用数列求通项的几种常用方法。

教师的教法 讲练结合及时总结反馈. 学生的学法 积极主动交流，合作交流展示。

四、教具：投影仪、多媒体课件、白板。

五、教学基本流（一）成果展示 （二）课标展示 （三）合作探究 （四）典例探究 （五）小结反思 六、教学过程七、板书设计：八、教学反思：后附学案设计课题：数列求通项【课标展示】教学目标：掌握数列求通项的六种常用方法：观察法、公式法、已知S n 求a n 、累加法、累乘法、构造等比数列的方法。

重难点：已知S n 求a n 、累加法、构造等比数列的方法。

【知识梳理】1．等差数列的通项公式：1 ; .n n m a a a a =+=+等差数列的性质：在等差数列{an}中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N*)，则——————. 2．等比数列的通项公式：1 ; .n n m a a a a =⋅=⋅等比数列的性质： 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝ ． 3．a n 与S n 的关系：11 ;2 .n n a n a ==≥=当时，当时， 【学情检测】（1）.归纳数列1，-3，5，-7，9，……的通项公式________________________. （2）．已知数列{}n a 中，117,2n n a a a +=-=+，则11a = ．（3）．已知{}n a 是等差数列，且39524,8a a a a +==-，则该数列的公差d= ． （4）．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 5＝－12，则q= ；a n = ．（5）．在递增等比数列中，a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20.求a 11=___________________. （6）．已知数列{}n a 满足112,2n n a a a n +==+，则5a = ． （7）. 已知数列{}n a 满足1,111=-=-a nn a a n n ,则5a = ． 思考：对于上面的第6，7题，如果要求的是第n 项，应该如何处理？方法总结：1.观察归纳法：_________.2.公式法： ____________. 3.累加法：______________4.累乘法：_____________.[课后反馈]1．已知一个等差数列的前几项为：-1，3，7，11，则第n 项为 ．2．在等比数列}{n a 中，已知972,494==a a ，则n a = ．3．已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式： ．4．已知数列}{n a 前项和1322++-=n n S n ，则=n a _____________．5．已知数列}{n a 前项和22+=n n a S ，则=n a _____________．。

《等比数列的前n项和公式》说课《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。

下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。

它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

学情分析就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。

学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。

基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。

教学目标在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。

情境创设《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。

课题: §2.5.1等比数列的前n 项和（1）教案教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n 项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。

再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。

●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

●教学重点等比数列的前n 项和公式推导 ●教学难点灵活应用公式解决有关问题 学情分析：针对学生学习等差数列前n 项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。

引导学生完成基本技能的训练。

●教学过程 一.课题导入 [创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。

下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。

等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, na 时，用公式②.公式的推导方法一： 一般地，设等比数列n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S na a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴论同上）∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312根据等比的性质，有qa S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132即qa S a S n n n =--1⇒qa a S q n n -=-1)1(（结围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S na a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。