2020届河北省石家庄市高三模拟(八)数学(理)试题解析

河北省石家庄市2020届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（A卷）理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得：，结合交集的定义确定即可.【详解】由题意可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易知，结合复数模的运算法则求解其值即可.【详解】由题意可得：.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由题意结合诱导公式可得：,结合两角和的正切公式可得的值.【详解】由题意结合诱导公式可得：,据此有：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，两角和的正切公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列说法中正确的是（）A. 若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列；B. 若函数为奇函数，则；C. 在中，是的充要条件；D. 若两个变量的相关系数为，则越大，与之间的相关性越强.【答案】C【解析】【分析】对于选项A,B给出反例可说明命题错误，C由正弦定理可知命题正确，D由相关系数的定义确定其真伪即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 若，则数列为常数列，则是等差数列但不是等比数列，该说法错误；B. 函数为奇函数，但是不满足，该说法错误；C. 由正弦定理可得在中，是的充要条件，该说法正确；D. 两个随机变量相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，题中说法错误.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，正弦定理的应用，相关系数的含义，常数列与等差数列、等比数列的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知平面向量与的夹角为，且，则（）A. B. C. D.【解析】【分析】将两边平方，利用向量模的性质和运算法则计算的值即可.【详解】由题意可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可.【详解】设两个红球为，两个白球为，则第二次摸到的红球的所有可能结果为：共6种，其中第一次摸到红球的事件包括：共2种，结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最小值的点的坐标，据此确定目标函数的最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数最小值为：.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则在上，的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可.【详解】函数满足，则函数关于直线对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：的解集即函数位于直线下方点的横坐标，当时，由可得，结合可得函数与函数交点的横坐标为，据此可得：的解集是.本题选择C选项【点睛】本题主要考查函数奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算9.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用点差法求得直线AB的斜率，然后利用斜率公式求解直线AB的斜率，两斜率相等可得关于a,c的齐次方程，据此即可确定椭圆的离心率.【详解】设，直线AB的斜率为，点在椭圆上，则：，两式作差可得：，由于：，故：,.由于，故，，整理可得：，故.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.已知函数的部分函数图像如图所示，点，则函数图像的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图像可得的解析式为，结合三角函数的性质确定函数的对称轴即可.【详解】由题意可得：，则，当时，，结合函数图像可知，故函数的解析式为：，令可得函数的对称轴方程为：.令可得一条对称轴方程为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，某几何体的三视图都是边长为的正方形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后结合几何体的空间结构特征求解其体积即可.【详解】如图所示，在棱长为1的正方体中，三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥和三棱锥所得的组合体，其体积为：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12.对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求函数的值域，将原问题转化为方程至少有两个实数根，利用切线的性质考查临界条件可得实数的取值范围.【详解】令，则，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，注意到，故函数的值域为.则原问题等价于方程至少有两个实数根，即至少有两个实数根，考查临界情况，当时，直线与指数函数相切，由可得，则切点坐标为，切线斜率,切线方程为：，切线过点，故，很明显方程的根为，此时切线的斜率.据此可得实数的取值范围是.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量服从正态分布，若，则__________．【答案】1【解析】【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，据此得到关于a的方程，解方程可得a 的值.【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，结合题意有：.故答案为：1．【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14.已知双曲线，过点的直线与有唯一公共点，则直线的方程为__________．【答案】或【解析】【分析】易知点P位于双曲线内部，则直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，据此确定直线方程即可.【详解】如图所示，点P位于双曲线内部，由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为，故直线的方程为或.即或【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，属于中等题.15.在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一般的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.作于点，当最大时，四边形有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系，设，设，由于，由可得：，则：，故,故：，由可得：.故：，结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时__________．【答案】10【解析】【分析】由题意结合递推关系可得，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得取最小值时的值. 【详解】由，，两式作差可得：，即，由，，两式作差可得：，则，，故，进一步可得：，又，则，且，则取最小值时.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的面积为，且内角依次成等差数列.（1）若，求边的长；（2）设为边的中点，求线段长的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，结合面积公式得.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得的长.（2）由题意可得，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得长的最小值.【详解】（1）三内角依次成等差数列，设所对的边分别为,由可得.，由正弦定理知.中，由余弦定理可得.即的长为（2）是边上的中线，，当且仅当时取“”,即长的最小值为.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，；（1）证明：平面平面；（2）设为棱的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意结合正弦定理可得，据此可证得平面，从而可得题中的结论；（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结论求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系：设平面的一个法向量为则解得，，即设平面的一个法向量为则解得，，即由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明方法，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得的取值为，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进份时的利润和购进份时的利润即可确定利润更高的决策.【详解】（1）根据题意可得，，，，，，，的分布列如下：（2）当购进份时，利润为，当购进份时，利润为，可见，当购进份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知抛物线上一点到焦点的距离.（1）求抛物线的方程；（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意确定p值即可确定抛物线方程；（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标.结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：解得所以，抛物线的方程为.（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，. 设切线的方程为,同理可得.所以，是方程两根，.设，由得，，由韦达定理知，，所以，同理可得.设点的横坐标为，则.设，则，所以，，对称轴，所以【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数.（1）求函数的极小值；（2）求证：当时，.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得分类讨论函数的极小值即可.（2）令，原问题等价于,即证.据此分类讨论，和三种情况即可证得题中的结论.【详解】（1）当时，即时，，函数在上单调递增，无极小值；当时，即时，，函数在上单调递减；，函数在上单调递增；，综上所述，当时，无极小值；当时，（2）令当时，要证：，即证,即证，要证，即证.①当时，令，，所以在单调递增，故，即.，令，，当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号又，由、可知所以当时，②当时，即证.令，，在上单调递减，在上单调递增，，故③当时，当时，，由②知，而，故；当时，，由②知，故；所以，当时，.综上①②③可知，当时，.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）当时，若曲线与射线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得曲线的普通方程为：,然后将其化为极坐标方程即可.（2）把，利用参数的几何意义可得，据此可得的取值范围.【详解】（1）曲线的普通方程为：,令，化简得；（2）把令方程的解分别为点的极径，，，.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程与极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）不等式可化为或或，据此求解不等式的解集即可；（2）由题意可得，结合均值不等式的求解的最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】（1）不等式可化为或或解得的解集为（2），，.当且仅当时，即时，取“”，的最小值为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

石家庄市2020届高三年级阶段性训练题答案数学理科一、选择题：1.B.【解析】由题意知{}|2B x x =>，故{}3≤<2=x x B A | ，故选B.2. A.【解析】:p ⌝()0,0x ∃∈-∞，0023x x <，故选A.3. B.【解析】1(1)()11()1i i i iz i i i i -----====--⋅-，则1z i =-+，所以对应点在第二象限，故选B. 4.C.【解析】由于xy 30=.在R 上单调递减，故1=30<30<0020...；由于xy 5=在R 上单调递增，故1=5>5030.；由于x y 20=.log 在()+∞0,上单调递减，故0=1<52020..log log .故b a c <<，故选C. 5.D.【解析】由于sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数x y 2=sin 的图象向右平移6π个单位，故选D.6.C.【解析】如图阴影部分为可行域，目标函数3+=x yz 表示可行域中点()y x ,与()0,3-连线的斜率，由图可知点()3,1P 与()0,3-连线的斜率最大，故z 的最大值为43，故选C.7.D.【解析】根据正弦定理知()()()B C c B A b a sin sin sin sin +=-+化为为()()()b c c b a b a +=-+，即bc c b a ++=222，故21-=2-+=222bc a c b A cos ，故32=πA ，则23=A sin .因为4=+c b ，bc c b 2≥+，所以4≤bc ，当且仅当2==c b ，等号成立，此时ABC Δ的面积3≤21=A bc S sin ，故A BC Δ的面积的最大值为3.故选D.8.C.【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取b y x a =，即0bx ay -=．又曲线22420x y y +-+=化为()2222x y +-=，则其圆心的坐标为()0,2由题得，圆心到直线的距离1d ==1d ==．解得223b a =，所以2e ====，故选C. 9.A.【解析】由题意知||||5AC BD ==,设C 到BD 的距离为d，则有d ==，故()BD CM BD AC BD CM AC BD AM ⋅+⋅=⋅+=⋅,其中()()3-=+⋅+=⋅CD BC BC ABBD AC,2=≤⋅BD CM ,当且仅当CM 与BD 同向时，等号成立，故选A.10.D.【解析】由1+3=+1+n a a n n 得4+3=+1+2+n a a n n ，两式相减得3=-2+n n a a ，故 ,,,531a a a 和 ,,,642a a a 均为以3为公差的等差数列，11,a =，易求得()*2132k a k k N -=-∈.则9130=⎪⎭⎫ ⎝⎛911-131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-131=1++1+16159533161595331a a a a a a a a a a a a ，故选D.11.B.【解析】由()()x f x f -2=知()x f 关于1=x 对称，如图，令()0=x g ，即()x f x m =2-，设()2-=x m x h ，当0>x 时，()2-=mx x h ，设()x h 与()1≤=x x y ln 相切时的切点为()00x x P ln ,，xy 1='，则有0001=2+x x x ln ，解得e x 1=0，此时e x m =1=0，当()x h 过点()12,时，23=m ，故B 选项正确.若()x g 恰有两个零点，则0≤m 或e m =，故A 选项错误；若()x g 恰有四个零点，则23≤<0m ，故C 、D 选项错误.故选B.12. C.【解析】由题意知2+2+=2+2+=2+2+=323312211x x d x x d x x d ,,，带入2312=+d d d 得()31321+2=+2+x x x x x ，即312+=2x x x .由F 为321P P P Δ的重心，则有0=3++2=3++321321y y y x x x ,，即22-6=2x x ，即2=2x ，所以4-=2y ，因此有4=+31y y .故31P P 所在直线的斜率2=+8=--=313131yy x x y y k ，故选C.二、填空题:13.5【解析】由题意知sin α==. 14.15.【解析】61x ⎫⎪⎭展开式的通项为33216C r r r T x -+=，33022r r -=⇒=，所以展开式的常数项为26C 15=. 15.4π；π40.【解法一】作⊥PE 平面A B C D ，由︒60=∠=∠PAD PAB 知点E 在线段AC 上，过E 作AB EH ⊥，连结PH ,因为E PE EH PE AB EH AB =⊥⊥ ,,，故⊥AB 平面PEH ,故PH AB ⊥.在PAH Rt Δ中，3=1=PH AH ,；在E A HRt Δ中，1=2=EH AE ,；在PEH Rt Δ中，2=PE ,因此1=∠PAE tan ，故4=∠πPAE ；取M 为AC 中点，设该四棱锥的外接球的球心为O ，半径为R ，⊥OM 平面ABCD ，设d OM =，作OM PF ⊥，易知四边形PFME 为正方形.则有()⎪⎩⎪⎨⎧2+2+=8+=2222d R d R ，解得⎪⎩⎪⎨⎧10=2=R d ，故外接球表面积为πR πS 40=4=2.16. 515-1.【解析】由题意知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率()()()43-1+-1=p p p p p f ，()()()2+10-5-1='22p p p p f ，令()0='p f ，解得515-1=p ，故()p f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515-10,上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛1515-1,上单调递减，故当515-1=p 时，()p f 取得最大值. 三、解答题17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , 由621S =得：()166212a a +=，所以167a a +=，………………………………2分 又因为369a a +=，所以1d =.………………………………………………………4分 于是11a =，故n a n =.……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设{}n b 的前项和为n T ，因为12nn n a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2n n b n =⨯，……………………8分依题1212222n n T n =⨯+⨯++⨯， 则231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯于是1211212122n n n T n +-=⨯+⨯+⨯-⨯()1122n n +=-⨯-………………………10分即()1122n n T n +=-⨯+故：()1122n n T n +=-⨯+.…………………………………………………………………12分18.证明：（Ⅰ）在图1△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边中点 所以DE ∥BC …………1分 又因为AC ⊥BC 所以DE ⊥AC在图2中DE ⊥A 1D ， DE ⊥DC 且A 1D ∩DC =D ，则DE ⊥平面A 1CD …………3分 又因为DE ∥BC 所以BC ⊥平面A 1CD又因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1BC ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面A 1CD 且DE ⊂平面BCDE所以平面A 1CD ⊥平面BCDE,又因为平面A 1CD ∩平面BCDE =DC 在正△A 1CD 中过A 1作A 1O ⊥CD ，垂足为O . 所以A 1O ⊥平面BCDE分别以CD ，梯形BCDE 中位线，OA 1所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立如图坐标系 ………………………………………………………………………………7分 则A 1(0,0,3) ，B (1,4,0) ，C (1,0,0)， E (-1,2,0) .)3,0,1(1-=C A ，)3,2,1(1-=EA ，)0,2,2(=EB . 设平面A 1BE 的法向量为n 111(,,)x y z =，则11111120220EA n x y EB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取(1,1,=-n .………………………………………………………………9分设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ， 则sin θ=111cos ,⋅==⋅A C AC A C n n n……………………11分=.所以直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为5. ………………12分 19.解：（Ⅰ）设()(),00F c c -> ，由条件知()0,B b ，所以△ABF 的面积为()13222c b +⋅= ○1……1分 由2c a =得222a c =，从而2222b c c +=，化简得b c = ○2 ……………………………2分 ○1○2联立解得1b c==， ……………………………4分 从而a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=； …………………………… 5分（Ⅱ）当l x ⊥轴时，不合题意，故设():2l y k x =-， ……………………………6分将()2y k x =-代入2212x y +=得()2222128820.k x k x k +-+-=由题()24240k ∆=->得k <<， …………………………… 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22121222882,1212k k x x x x k k-+==++ ……………………………8分 因为13OP OQ ⋅=， 所以()()()()22221212121212121221243x x y y x x k x x k x x k x x k +=+--=+-++=……………… 9分 从而()2222222828112412123k k kk k k k -+-+=++解得1,222k ⎛=±∈- ⎝⎭，…………………………11分 所以直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=. ……………………………12分（2）解法二：当l y ⊥轴时，其方程为0y =， 2OP OQ ⋅=-，不合题意， ………………………………6分当l 与y 轴不垂直时，设:2l x my =+，将2x my =+代入2212x y +=得()222420.m y my +++=由题()2820m ∆=->得m >m <， …………………………… 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12122242,22m y y y y m m -+==++ …………………………… 8分 因为13OP OQ ⋅=， 所以()()()()21212121212121221243x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++=，…………9分从而()222241124223m m m m m -+++=++解得(()2,2,m =±∈-∞+∞，……………11分所以直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=. ……………………………12分 20.解：（Ⅰ）以样本的频率作为概率，在昼批次中随机抽取1件为合格品的概率是910，在夜批次中随机抽取1件为合格品的概率是34，…………2分 故两个批次中分别抽取2件产品，其中恰有1件不合格产品的概率为22112219313981101044410200C C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………4分 （Ⅱ）①若对所有产品不做检测，设1Y 为昼批次中随机抽取1件的利润，1Y 的可能取值为10，-25， 所以1Y 的分布列为所以1250.1100.9 6.5EY =-⨯+⨯=,故在不对所有产品做检测的情况下，1000件产品的利润的期望值为110006500EY =，……… 6分设2Y 为夜批次中随机抽取1件的利润，2Y 的可能取值为10，-25， 所以2Y 的分布列为所以2250.25100.75 1.25EY =-⨯+⨯=，故在不对所有产品做检测的情况下，1000件产品的利润的期望值为210001250EY =，…………8分②若对所有产品做检测，昼批次1000件产品的合格品的期望为900件，不合格品的期望为100件，所以利润为90010 2.5100010056000⨯-⨯-⨯=，夜批次1000件产品的合格品的期望为750件，不合格品的期望为250件，所以利润为75010 2.5100025053750⨯-⨯-⨯=，……………………………… 10分综上，昼批次不做检测的利润期望6500大于做检测的利润期望6000，故昼批次不做检测为好；夜批次不做检测的利润期望1250小于做检测的利润期望3750，故夜批次做检测为优．………… 12分21. 解：（Ⅰ）由()b ee xf xx-2+-='-，得()b f -2=0'；由()ax x g 2='，得()a g 21='.………………………1分根据题意可得()⎩⎨⎧-++=+==bb a g a 212122，解得2=1=b a ,；………………………………………3分（Ⅱ）解法一：由不等式()()22+-≥k x kg x f 对任意R x ∈恒成立知022≥--+-kx e e x x 恒成立，令()2--+=2-kx e e x F x x ，显然()x F 为偶函数，故当0≥x 时，()0≥x F 恒成立.……………………4分 ()kxe e x F x x 2--='-，令()()02≥--=-x kx e e x h x x ，()ke e x h x x 2-+='-，令()()()x x x x e e x H x k e e x H ---='≥-+=,02，显然()x H '为()+∞,0上的增函数，故()()00='≥'H x H ，即()x H 在()+∞,0上单调递增，()k H 220-=.…………………………………………………………………………5分 ①当()0220≥-=k H ，即1≤k 时，()0≥x H ，则有()x h 在()+∞,0上单调递增，故()()00=≥h x h ，则()x F 在()+∞,0上单调递增，故()()0=0≥F x F ，符合题意；……………………………………6分②当()0220<-=k H ，即1>k 时，因为()0212ln >=kk H ，故存在()k x 2ln ,01∈，使得()01=x H ，故()x h 在()1,0x 上单调递减，在()+∞,1x 上单调递增.当()1,0x x ∈时，()()00=<h x h ，故()x F 在()1,0x 上单调递减，故()()0=0<F x F 与()0≥x F 矛盾.综上，1≤k .……………………………………………………………………………………8分解法二：由不等式()()22--≥k x kg x f 对任意R x ∈恒成立知022≥--+-kx e e x x 恒成立，当0=x 时，不等式成立；当0≠x 时，2-2-+≤x e e k x x ，令()2-2-+=x e e x h x x ，由于()x h 为偶函数，故只需考虑()+∞0,的情况即可.………………………………………………………………………………………………4分 当()+∞0∈,x 时，()()()3--2-+2--='x e e e e x x h x x x x .令()()()2-+2--=--x x x x e e e e x x F ，()()()x x x x e e e e x x F ----+='，令()()()()()xx x x x x e e x x G e e e e x x G ----='--+=,，当()+∞0∈,x 时，()0>'x G ，故()x G 在()+∞0,上单调递增，故()()0=0>G x G .……………………………………………………………………………………6分因此当()+∞0∈,x 时，()0>'x F ，故()x F 在()+∞0,上单调递增，即有()()0=0>F x F ，故()0>'x h ，所以()x h 在()+∞0,上单调递增，由洛必达法则有1=2+=2-=2-+-0→-0→2-0→x x x x x x x x x e e x e e x e e lim lim lim ，故1≤k .………………………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）解法一：()()()()()21122121221121x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e x f x f +---+--+++=++=⋅，由（2）知()()22212121++≥++-+x x e e x x x x ，当且仅当120x x +=时，等号成立；()22211221+-≥+--x x e e x x x x ，当且仅当120x x -=时，等号成立.故()()422222121++≥⋅x x x f x f ，当且仅当120x x ==时等号成立.…………………………………………………………………………………………………………10分 因此有()()4cos 2sin 2cos sin 2121++>n n f f θθθθ，()()4cos 2sin 2cos sin 122212++>--n n f f θθθθ，…， ()()4cos 2sin 2cos sin 1221++>θθθθn n f f以上n 个式子相加得()()()()()()()()n f f f f f f f f n n n n 6cos sin cos sin cos sin cos sin 121121>⋅+⋅++⋅+⋅--θθθθθθθθ .……………………………………………………………………………………………12分解法二：由（Ⅱ）知()()()()42242222222122212221222121++≥+++=++≥x x x x x x x x x f x f ，当且仅当120x x ==时等号同时成立.……………………………………………………………10分故()()4cos 2sin 2cos sin 2121++>n n f f θθθθ，()()4cos 2sin 2cos sin 122212++>--n n f f θθθθ，…， ()()4cos 2sin 2cos sin 1221++>θθθθn n f f以上n 个式子相加得()()()()()()()()n f f f f f f f f n n n n 6cos sin cos sin cos sin cos sin 121121>⋅+⋅++⋅+⋅--θθθθθθθθ .……………………………………………………………………………………………………12分 （二）选考题：22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数).消去t 得0x =,将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线1C 的极坐标方程c o 3i n 30,s i n .62πρθθρθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭整理得 … … … … … … 2分 因为 222221sin -2cos cos ϕϕϕ=-y x… … … … …4分=221-sin =1cos ϕϕ所以曲线的普通方程为=1. … … … … … 5分（Ⅱ）因为23P ⎫-⎪⎪⎝⎭在曲线上,所以将的参数方程,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数).代入到的直角坐标方程得, ………………………………………… 8分则有126445t t ⋅=-,由参数t 的几何意义得1264.45PA PB t t ⋅=⋅= … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10分23. 解：()1()31,2,13,2,2131,,2x x f x x x x x <<⎧⎪--≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪+≥⎪⎩… … … … … … … … … … … … 2分当时,;当时,;当时,. ()5.2f x 所以的最小值为 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5分()()521=2 5.2M a b += 由知，即 1C 2C 22y 2x -1C 1C 2C 25480839t t +-=2x ≤-()f x 5≥122x -<<5()52f x <<12x ≥()f x 52≥()()00111211111217121又因为，，所以+++⎛⎫=++++>>⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭a b a b a b a b… … … … … …… … … … … … …… 7分121127121++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭b a a b … … … … … … … … … … … … … …… … … … … … … …8分1117121⎛⎫+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭a b 4=.7114.1217a b +≥++所以… … … … … … …… … … … … … … … … … 10分。

2020届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)A卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数131ii -+=A.2+iB.2-iC.-l-2iD.-1+2i2．已知集合{}{}0,1,2,|3xP Q y y===，则错误!未定义书签。

A. {}0,1B.{}1,2C.{}0,1,2D. ∅3.已知cos,,(,)2a k k R aππ=∈∈，则sin()aπ+=A．B．C．D．k-4．下列说法中，不正确的是A．已知,,a b m R∈，命题“若22am bm<，则a<b”为真命题；B．命题“2000,0x R x x∃∈->”的否定是：“2,0x R x x∃∈-≤”；C．命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题；D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．5．已知偶函数f(x)，当[)0,2x∈时，()sinf x x=，当[)2,x∈+∞时，2()logf x x=则()(4)3f fπ-+=A．2+ B.1 C．3 D．2+6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为A ．2B ． 22C ．4D ．6 7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2的正三角形，侧棱长为3，则 1BB 与平面11AB C 所成的角的大小为A ． 6πB ． 4πC ． 3πD ．2π8．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在D 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O 地为一磁场，距离其不超过3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是A ． 12 B ． 22 c ．312-D ． 212- 9．已知抛物线 22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线 22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C 12+ D 13+10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.64B.72C.80D.11211.已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形 一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4， CD=5．DA =3，则四边形ABCD 面积．s 的最大值为 A ．30 B ． 230 C ． 430 D ． 63012．已知函数 ln x>0()241,0x f x x x x ⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，若关于戈的方程2()()0f x bf x c -+= (,b c R ∈）有8个不同的实数根，则由点(b ，c)确定的平面区域的面积为A ． 16B ． 13C ． 12D ． 23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a ，b 的夹角为 22,13a b π==，，则 a b +=__________．14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为_________（用数字作答）．15.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1l ，总存在过曲线 ()2cosg x ax x =+上一点处的切线 2l，使得 12l l ⊥，则实数a 的取值范围为______．16.已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为 12,F F ，设P 为椭圆上一点， 12F PF ∠的外角平分线所在的直线为 l ，过 1,F F分别作 l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项和为11,1,1(,1)n n n S a a S n N λλ*+==+∈≠-，且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项．(I)求数列 {}n a 、 {}n b 的通项公式； (II)求数列{}n n a b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为112,,223，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．(I)求集成电路E 需要维修的概率；(II)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠BAC=∠BAD=90o，AP=AD=AB=2,BC=t,∠PAB=∠PAD=α(I)当32t=时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时AEEP的值；(II)当α=60 o时，若平面PAB ⊥平面PCD，求此时棱BC的长．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点1(,0)2且与直线12x=-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(I)求曲线E的方程；(II)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为22(1)1x y-+=求△PBC面积的最小值．21.（本小题满分12分）已知函数22()lnf x x a xx=++(I)若以()f x在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；(II)设()f x的导函数'()f x的图象为曲线C，曲线C上的不同两点1111(,)(,)A x yB x y、所在直线的斜率为k，求证：当4a≤时1k>.请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，已知e O和e M相交于A、B两点，AD为e M的直径，延长DB交e O于C，点G为弧BD中点，连结AG分别交e O 、BD 于点E 、F ，连结CE. (I)求证： AG EF CD GD ⋅=⋅(II)求证：22GF EF AG CE = 23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 1C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为ρ=2. (I)分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程．(n)已知M ，N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN+的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x =R ．(I)求实数m 的取值范围．(II)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足 2132n a b a b +=++时，求7a+4b 的最小值．2020年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 高三数学(理科答案) 选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 填空题 1314 815[]1,2- 16 2a π解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分） 17解： （1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n na a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠，又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分∴23(1)a λ=+，∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………4分 ∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………6分 解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分 ∴11(),n n a S n N *+=+∈∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥，又121,2a a == ∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………………………………6分 （2）1(32)2n n n a b n -=-g∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L L L ………………………①∴12312124272(35)2(32)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ………②…………8分—②得12111323232(32)2n nn T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅L12(12)13(32)212n nn -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得：(35)25n n T n =-⋅+…………………………………………………………12分18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===.依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为2()()()()p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==……………5分所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=． ……………6分 （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5(2,)12B ξ:，而100X ξ=，2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-===== …………9分X 的分布列为：………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分X 0 100200 p 49144 3572 2514419解：证明一连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E ,因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDEPC ∥平面BDE ，---------------2 AD因为∥,BC 1,3AF AD FC BC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4证明二在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =,------------2连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BC 1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE所以PC ∥平面BDE -------------4(2)取BC 上一点G使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形.C连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-----------7）,,OG OB OP 因为两两垂直，以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP u u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）设棱BC 的长为t ，则,1,0)C,(1,0,1),(0,1,1),1),(0,1,1)PA PB PC PD =--=-=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r --------------9,111(,,),00,001,(1,1,1)PAB x y z PA x z y z PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m-----------10222(,,),0(1)0,001,(11)PCD x y z PC y z PD y z y PCD t =⎧=+--=⎪⎨=⎪⎪⎩--=⎩==--u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=g m n 解得t=BC 即棱的长为20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.………………………4分 （2）设00(,)P x y ，(0,),(0,)B b C c ，直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1，0）到PB 的距离为1，1=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， …………………………6分同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分依题意0bc <，即02x >，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：022x b c x -=-，………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.………………………12分解二： （2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则1=，整理得：22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x --+=-=--,………………………8分依题意02x >那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-，由韦达定理得：12022k k x -=-，则0022B Cx y y x -=-，…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.…………………12分21. 解：（1）由()22ln f x x a x x =++，得()'222af x x x x =-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220af x x x x =-+≥在[]2,3上恒成立，………………2分 即222a x x ≥-在[]2,3上恒成立，设22()2g x x x =-，则22()40g x x x '=--<，所以()g x 在[]2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-．……………4分（2）解法一：12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =()()240u t t t t =+>，则()242u t t t '=-令()0u t '=得t =，列表如下：()4u t a≥=>≥ ………………………10分∴()1212122x x x x a x x ++> ∴()()''1212f x f x x x ->-， 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时，1k >…………………12分解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥＝3 4.5a >> …………………8分∴()12221212221x x ax x x x ++-> 而()'222af x x x x =-+∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分故：()()''1212f x f x x x ->- ， 即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >………12分22. 证明：（1）连结AB ，AC ， ∵AD 为M e 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC 为O e 的直径, ∴0=90CEF AGD ∠=∠,t()+∞()'u t_0 +()u t]极小值Z∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分∴CE AGEF GD =， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（八）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}．B ＝{﹣1，0，1，2}，则（ ） A ．A ∩B ＝{2}B ．A ∪B ＝RC ．B ∩（∁R A ）＝{﹣1，2}D ．B ∪（∁R A ）＝{x |﹣1＜x ＜2}2．已知a 是实数，a+i 1−i是纯虚数，则a 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．√2D ．−√23．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．11B ．13C ．14D ．175．若a →，b →是两个非零向量，且|a →+b →|=m|a →|=m|b →|，m ∈[1，√3]．则向量b →与a →−b →夹角的取值范围是（ ） A ．[π3，2π3]B ．[π3，5π6]C ．[2π3，5π6] D ．[5π6，π]6．函数y =1x−ln(x+1)的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（ ） A ．4M NB ．4(N−M)NC ．2M+N ND ．4M+2N N8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）9．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为4√2，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4C ．2√3D ．810．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =(S n −1)2S n．数列{b n }满足b n ＝（﹣1）n •（2n +1）a n ，则数列{b n }的前100项和T 100为（ ） A ．101100B ．−101100C ．−100101D ．10010111．对于函数f(x)=12(sinx +cosx)−12|sinx −cosx|．有下列说法： ①f （x ）的值城为[﹣1，1]；②当且仅当x =2kπ+π4(k ∈Z)时，函数f （x ）取得最大值； ③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当x ∈(2kπ，2kπ+π2)(k ∈Z)时f （x ）＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P ﹣ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的余弦值为−√63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π．则三棱锥体积的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．13二、填空题：13．已知（x ﹣1）（ax +1）5的展开式中，x 2的系数为0，则实数a ＝ ． 14．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB ＝120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足a nn =n−1n (a n+1n+1−1)+1（n ∈N *），且a 2＝6，则{a n }的通项公式为 ．16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）＝0.6826， P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）＝0.9544， P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）＝0.9974三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A−sin 2CsinB=√2a−b2，且△ABC 外接圆的半径为1． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF ∥AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y ＝1被椭圆截得的弦的中点坐标为P(34，14)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程． 20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x ﹣12|≤1为一级品，1＜|x ﹣12|≤2为二级品，|x ﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由． 21．已知函数f （x ）＝lnx +ax +1．（Ⅰ）若函数f （x ）有两个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤xe x 恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1，y =2t+1t+1（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ1=β(0＜β＜π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知a ，b ，c 为正实数．（Ⅰ）若a +b +c ＝1，证明：(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8； （Ⅱ）证明：ab+c+b a+c+c a+b≥32．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}．B ＝{﹣1，0，1，2}，则（ ） A ．A ∩B ＝{2}B ．A ∪B ＝RC ．B ∩（∁R A ）＝{﹣1，2}D ．B ∪（∁R A ）＝{x |﹣1＜x ＜2}【分析】先求出集合A ，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 解：∵A ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}．∴A ∩B ＝{2}． 故选：A ． 2．已知a 是实数，a+i 1−i是纯虚数，则a 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．√2D ．−√2【分析】利用复数的运算法则即可得出． 解：∵a+i 1−i=(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+a+12i 是纯虚数，∴a−12=0，a+12≠0，解得a ＝1，故选：A ．3．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵log 51＜log 52＜log 5√5，∴0＜a ＜12， ∵log 0.50.2＝log 25＞log 24，∴b ＞2， ∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴12＜c ＜1，∴a ＜c ＜b ， 故选：B ．4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．11B ．13C ．14D ．17【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被3除余2， ②被4除余1， 故输出的n 为17， 故选：D ．5．若a →，b →是两个非零向量，且|a →+b →|=m|a →|=m|b →|，m ∈[1，√3]．则向量b →与a →−b →夹角的取值范围是（ ） A ．[π3，2π3]B ．[π3，5π6] C ．[2π3，5π6] D ．[5π6，π] 【分析】根据题意，设|a →|＝|b →|＝t ，向量b →与a →−b →夹角为θ，又由|a →+b →|＝mt ，由向量模的计算公式变形可得：a →•b →=m 2t 22−t 2，进而可得|a →−b →|的值，由数量积公式可得cos θ=b →⋅(a →−b →)|b →||a →−b →|=−12×√4−m 2m 的范围，分析可得cos θ的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案．解：根据题意，设|a →|＝|b →|＝t ，则|a →+b →|＝mt ，再设向量b →与a →−b →夹角为θ，则有|a →+b →|2＝（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →=m 2t 2，变形可得：a →•b →=m 2t 22−t 2，则有|a →−b →|2＝（a →−b →）2=a →2+b →2﹣2a →•b →=2t 2﹣2（m 2t 22−t 2）＝4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a →−b →|=√4−m 2t ，则cos θ=b →⋅(a →−b →)|b →||a →−b →|=a →⋅b →−b→2|b →||a →−b →|=m 2t 22−t 2−t2t×√4−m t=12×2√4−m =−12×√4−m 2，又由1≤m ≤√3，则1≤√4−m 2≤√3，则有−√32≤cos θ≤−12，又由0≤θ≤π，则有2π3≤θ≤5π6，即θ的取值范围为[2π3，5π6]；故选：C ．6．函数y =1x−ln(x+1)的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数是否存在零点，以及f （1）的符号，利用排除法进行判断即可． 解：f （1）=11−ln2＞0，排除C ，D ， 由y =1x−ln(x+1)=0，则方程无解，即函数没有零点，排除B ， 故选：A ．7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（ ） A ．4M NB ．4(N−M)NC ．2M+N ND ．4M+2N N【分析】N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，若a ，b ，1能构造锐角三角形，则a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2＝1外的有M 对，再利用几何概率的概率公式即可求出π的近似值．解：学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角， 所以a 2+b 2−12ab＞0，即a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2＝1外的有M 对， 由几何概率的概率公式可得：MN=1×1−14π×121×1=1−14π，所以π=4(N−M)N， 故选：B ．8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】根据函数为奇函数求出f （1）＝0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）＝0， ∴f （1）＝﹣f （﹣1）＝0，在（﹣∞，0）内也是增函数 ∴f(x)−f(−x)x=2f(x)x＜0，即{x ＞0f(x)＜0或 {x ＜0f(x)＞0根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x ∈（﹣1，0）∪（0，1） 故选：D ．9．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为4√2，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4C ．2√3D ．8【分析】求得抛物线的焦点F 的坐标，可设直线l 的方程为x ＝ty +1，联立抛物线的方程，消去x ，可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得t ，进而得到所求值．解：抛物线y 2＝4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x ＝ty +1， 代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，则|AB |=√1+t 2•|y 1﹣y 2|=√1+t 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2•√16t 2+16， △MAB 的面积为12|MF |•|y 1﹣y 2|=12×2|y 1﹣y 2|＝4√2， 即√16t 2+16=4√2，解得t ＝±1， 则|AB |=√1+1•√16+16=8， 故选：D ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =(S n −1)2S n．数列{b n }满足b n ＝（﹣1）n•（2n +1）a n ，则数列{b n }的前100项和T 100为（ ） A ．101100B ．−101100C ．−100101D ．100101【分析】由a n =(S n −1)2S n求出a 1，a 2，猜想出a n =1n(n+1)，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列{b n }的前100项和T 100．解：∵a n =(S n −1)2S n，∴当n ＝1时，有a 1=(S 1−1)2S 1，解得a 1=12；当n ＝2时，可解得a 2=16，故猜想：a n =1n(n+1)，下面利用数学归纳法证明猜想：①当n ＝1，2时，由以上知道a n =1n(n+1)显然成立；②假设当n ＝k （k ≥2）时，有a k =1k(k+1)成立，此时S k =11×2+12×3+⋯+1k(k+1)=11−12+12−13+⋯+1k −1k+1=k k+1成立，那么当n ＝k +1时，有a k +1=(S k+1−1)2S k+1=(S k +a k+1−1)2S k +a k+1=(k k+1+a k+1−1)2k k+1+a k+1，解得a k +1=1(k+1)[(k+1)+1]，这说明当n ＝k +1时也成立．由①②知：a n =1n(n+1)．∵b n ＝（﹣1）n •（2n +1）a n ，∴b n ＝（﹣1）n•（2n +1）•1n(n+1)=（﹣1）n （1n+1n+1），∴数列{b n }的前100项和T 100＝﹣（11+12）+（12+13）﹣（13+14）+…+（1100+1101）＝﹣1+1101=−100101． 故选：C ．11．对于函数f(x)=12(sinx +cosx)−12|sinx −cosx|．有下列说法： ①f （x ）的值城为[﹣1，1]；②当且仅当x =2kπ+π4(k ∈Z)时，函数f （x ）取得最大值； ③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当x ∈(2kπ，2kπ+π2)(k ∈Z)时f （x ）＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据绝对值的定义将函数f （x ）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真假． 解：因为f （x ）={cosx ，sinx ≥cosxsinx ，sinx ＜cosx，作出函数f （x ）的图象，如图所示：所以，f（x）的值城为[﹣1，√22]，①错误；函数f（x）的最小正周期是2π，③错误；当且仅当x=2kπ+π4(k∈Z)时，函数f（x）取得最大值，②正确；当且仅当x∈(2kπ，2kπ+π2)(k∈Z)时，f（x）＞0，④正确．故选：B．12．三棱锥P﹣ABC中．AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为−√63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π．则三棱锥体积的最大值为（）A．1B．2C．12D．13【分析】由已知作出图象，找出二面角P﹣AC﹣B的平面角，设出AB，BC，AC的长，即可求出三棱锥P﹣ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC长度的字母表示），再设出球心O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC的长度，则三棱锥体积的最大值可求．解：如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作ED⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE=√63，易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，∴D为AC中点，设AB＝a，BC＝b，AC=√a2+b2=c，则PE ＝PD sin ∠PDE =√32×c ×√33=c 2，故三棱锥P ﹣ABC 的体积为：V =13×12ab ×c 2=112abc ≤112c ×a 2+b 22=c 324， 当且仅当a ＝b =√22c 时，体积最大，此时B 、D 、E 共线．设三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ， 由已知，4πR 2＝8π，得R =√2．过点O 作OF ⊥PE 于F ，则四边形ODEF 为矩形，则OD ＝EF =√2−(c2)2，ED ＝OF ＝PD cos ∠PDE =√32c ×√63=√22c ，PE =c 2，在Rt △PFO 中，（√2）2=(√22c)2+(c2−√2−(c 2)2)2，解得c ＝2．∴三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值为：c 324=2324=13．故选：D ．二、填空题：13．已知（x ﹣1）（ax +1）5的展开式中，x 2的系数为0，则实数a ＝12．【分析】将原式转化为x （ax +1）5﹣（ax +1）5，然后利用（ax +1）5的通项研究x 2． 解：原式＝x （ax +1）5﹣（ax +1）5， 因为（ax +1）5＝（1+ax ）5，故原式x 2项为：xC 51ax −C 52(ax)2=(aC 51−a 2C 52)x 2，令aC 51−a 2C 52=0，即5a ﹣10a 2＝0，解得a =12或a ＝0（舍）．故答案为：12．14．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB ＝120°，则双曲线的离心率为 √2 ．【分析】设P （m ，n ）在第二象限，由题意可得|PA |＝|AB |＝2a ，求得P 的坐标，代入双曲线的方程，化简可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率．解：设P （m ，n ）在第二象限，由△PAB 为等腰三角形，∠PAB ＝120°，可得|PA |＝|AB |＝2a ，可得m ＝2a cos120°﹣a ＝﹣2a ，n ＝2a sin60°=√3a ，即P （﹣2a ，√3a ）， 由P 在双曲线上，可得4a 2a 2−3a 2b 2=1，即有b 2a 2=1，即a ＝b ，可得e =c a=√1+b 2a2=√2，故答案为：√2． 15．已知数列{a n }满足a n n=n−1n (a n+1n+1−1)+1（n ∈N *），且a 2＝6，则{a n }的通项公式为 2n 2﹣n ．【分析】易求a 1＝1，当n ≥2时，对已知等式变形得a nn−1n−1=a n+1n+1−1n ，所以数列{a n n−1n−1}从第二项开始是常数列，所以a nn−1n−1=2，从而求出a n ，验证首项满足a n ，进而得到{a n }的通项公式． 解：数列{a n }满足a n n=n−1n (a n+1n+1−1)+1（n ∈N *），a n n −1=n−1n (a n+1n+1−1) ①当n ＝1时，a 1＝1， ②当n ≥2时，a n n−1=n−1n(a n+1n+1−1)∴a nn−1n−1=a n+1n+1−1n，∴数列{a n n −1n−1}从第二项开始是常数列，又a 22−12−1=2，∴a nn−1n−1=2，∴a n =2n 2−n （n ≥2）， 又a 1＝1满足上式， ∴a n =2n 2−n ， 故答案为：2n 2﹣n ．16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．则以上说法中正确的序号是②④．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9974【分析】利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案．解：若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≥45）=1−P(21＜Z＜45)2=1−0.99742=0.0013．∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；若8：02出门，江先生乘坐公交．∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤41）=1−P(25＜Z＜41)2+P(25＜Z＜41)=0.9772时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁．∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤48）=1−P(40＜Z＜48)2+P(40＜Z＜48)=0.9972时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确；若8：06出门，江先生乘坐公交．∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤37）=1−P(29＜Z＜37)2+P(29＜Z＜37)=0.8413时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁．∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤44）=12=0.5时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误；若8：12出门，江先生乘坐公交．∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤31）时，江先生乘坐公交不会迟到，而P（Z≤31）＞P（Z≤29）=1−P(29＜Z＜37)2=0.1857；若8：12出门，江先生乘坐地铁．∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤38）=1−P(38＜Z＜50)2=0.00135时，江先生乘坐地铁不会迟到．由0.1857＞0.00135，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A−sin 2CsinB=√2a−b2，且△ABC 外接圆的半径为1． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理可得sin A =a 2，sin B =b2，sin C =c2，代入已知等式整理可得a 2+b 2−c 22ab=√22，由余弦定理可得cos C ，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可得c ，由余弦定理，基本不等式可求ab ≤22−2=2+√2，进而利用三角形的面积公式可求△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）∵由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2，可得sin A =a2，sin B =b2，sin C =c2，又sin 2A−sin 2CsinB=√2a−b2， ∴a 24−c 24b 2=√2a−b2， ∴a 2﹣b 2=√2ab ﹣b 2，即a 2+b 2−c 22ab =√22，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =√22， ∵C ∈（0，π）， ∴C =π4． （Ⅱ）由正弦定理c sinC=2，可得c ＝2sinπ4=√2，由余弦定理2＝a 2+b 2﹣2ab ⋅√22≥2ab −√2ab ＝（2−√2）ab ，可得ab ≤2−2=2+√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，可得S △ABC =12ab sin C =√24ab ≤√2+12，当且仅当a ＝b 时等号成立，即△ABC 面积的最大值为√2+12．18．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF ∥AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AO 中点H ，连结EH ，则EH ∥平面ABCD ，从而EH ⊥BD ，再由AC ⊥BD ，能证明BD ⊥平面ACF ．（Ⅱ）以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴，HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）证明：取AO 中点H ，连结EH ，则EH ∥平面ABCD ， ∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ，又菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且EH ∩AC ＝H ， EH ，AC 在平面EACF 内，∴BD ⊥平面EACF ，∴BD ⊥平面ACF ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴， HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH ＝45°， ∵AB ＝4，∴AO ＝2√3，AH =√3，EH =√3，∴H （0，0，0），A （√3，0，0），D （−√3，﹣2，0），O （−√3，0，0），E （0，0，√3），平面ABCD 的法向量n →=（0，0，1），AO →=（﹣2√3，0，0），DE →=（√3，2，√3），∵EF ∥AC ，∴EF →=λAO →=（﹣2√3λ，0，0），设平面DEF 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DE →=√3x +2y +√3z =0m →⋅EF →=−2√3λx =0，取y =√3，得m →=（0，√3，﹣2）， ∴cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=1⋅7=−2√77．∴平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值为√1−(−277)2=√217．19．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y ＝1被椭圆截得的弦的中点坐标为P(34，14)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程． 【分析】（Ⅰ）利用点差法和斜率公式即可求出；（Ⅱ）设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），联立直线与椭圆的方程可得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，由三角形面积公式和基本不等式即可求出．解：（Ⅰ）直线x +y ＝1与y 轴的交于（0，1）点，∴b ＝1， 设直线x +y ＝1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=32，y 1+y 2=12， ∴x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减可得1a2（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+1b2（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，∴y 1−y 2x 1−x 2=−b 2(x 1+x 2)a (y 1+y 2)，∴−b 2a 2•3212=−1，解得a 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（−√2，0），F 2（−√2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4）， 讲直线l 的方程x ＝my −√2代入x 23+y 2＝1，可得（m 2+3）y 2﹣2√2my ﹣1＝0，则y 3+y 4=2√2m m 2+3，y 3y 4=−1m 2+3，|y 3﹣y 4|=√(y 3−y 4)2−4y 1y 2=2√3⋅√m 2+12，∴S △ABF 2=12|F 1F 2|•|y 3﹣y 4|=√2|•|y 3﹣y 4|=2√6⋅√m 2+1m 2+3=√6√m +1+2m +1≤√626=√3， 当且仅当√m 2+1=√m +1，即m ＝±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y +√2=0或x +y +√2=0．20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x ﹣12|≤1为一级品，1＜|x ﹣12|≤2为二级品，|x ﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．【分析】（I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；（II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论；（III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论．解：（I）抽取的40件产品中，产品尺寸x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]＝18，其中x∈[14，15]的产品件数为40×（0.075×1）＝3，∴ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ＝0）=C152C182=3551，P（ξ＝1）=C151⋅C31C182=517，P（ξ＝2）=C32C182=151，∴ξ的分布列为：ξ01P35515 17∴Eξ＝0×3551+1×517+2×151=13．（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1＝0.175，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用50×100＝5000；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用50×10+200×90×0.175＝3650，∵5000＞3650，故不对剩余产品进行逐一检验．（III）设甲设备生产一件产品的利润为y1，乙设备生产一件产品的利润为y2，则E（y1）＝500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175＝415，E（y2）＝500×25+400×12+200×110=420．∵E（y1）＜E（y2）．∴应选购乙设备．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）研究函数f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于a的不等式求解；（Ⅱ）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数a ，即问题转化为a ≤e x −lnx x −1x在（0，+∞）上恒成立．再研究函数g （x ）=e x −lnx x −1x的单调性，求其最小值即可． 解：（Ⅰ）由已知得x ＞0，f′(x)=1x+a ． ①当a ≥0时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）是增函数，故不会有两个零点； ②当a ＜0时，由f′(x)=1x +a =0，得x =−1a＞0， 此时x ∈(0，−1a)时，f′(x)＞0，此时f(x)递增；当x ∈(−1a，+∞)时，f′(x)＜0，此时f(x)是减函数．所以x =−1a 时，f （x ）取得极大值，由f （x ）有两个零点，所以f(−1a )＞0，解得﹣1＜a ＜0．又f(1e )=ae ＜0，所以f （x ）在（0，−1a ）有唯一零点． 再取x 0=e(−a)2＞−1a ，则f(x 0)=1+2ln(−1a )+e a +1＜2+2(−1a −1)+e a =e−2a ＜0． 所以f （x ）在（−1a，+∞）有唯一实数根．a 的取值范围是（﹣1，0）．（Ⅱ）f （x ）≤xe x 恒成立，即xe x ≥lnx +ax +1在（0，+∞）上恒成立，即a ≤e x −lnx x−1x在（0，+∞）上恒成立． 令g （x ）=e x −lnx x −1x ，则g′(x)=e x +lnx x 2=x 2e x +lnxx 2． 令h （x ）＝x 2e x +lnx ，则h′(x)=2xe x +x 2e x +1x＞0．所以h （x ）在（0，+∞）上递增．而h （1）＝e ＞0，h （1e ）=e 1e e 2−1＜0，故存在x 0∈(1e ，1)使得h （x 0）＝0，即x 02e x 0+lnx 0=0． ∴x 0ex 0=−1x 0lnx 0=1x 0ln 1x 0=ln 1x 0e ln 1x 0．令λ（x ）＝xe x ，在（0，+∞）上，λ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，所以λ（x ）在（0，+∞）上递增，∴x 0=ln 1x 0．而在（0，x 0）上，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，所以g （x ）在（0，x 0）上递减；在（x 0，+∞）上，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，故g （x ）在（x 0，+∞）上递增．所以g （x ）min ＝g （x 0）=e x 0−lnx 0x 0−1x 0=e ln1x 0−−x 0x 0−1x=1，∴a ≤1．所以a 的取值范围是（﹣∞，1]． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1，y =2t+1t+1（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ1=β(0＜β＜π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =tt+1，y =2t+1t+1（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x ﹣y +1＝0．曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x＝0，根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ．（Ⅱ）由于ρ＝4cos θ，设点P （4cos β，β），由于直线C 1的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+1＝0． 得到Q （1cosβ+sinβ，π2+β），所以S △POQ =12×4cosθ×1cosβ+sinβ=1，解得cos β＝sin β，所以β=π4， 所以|OP |＝4cos β=2√2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知a ，b ，c 为正实数．（Ⅰ）若a +b +c ＝1，证明：(1a −1)(1b −1)(1c−1)≥8；（Ⅱ）证明：ab+c +ba+c+ca+b≥32．【分析】（Ⅰ）直接利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可．【解答】证明：（Ⅰ）(1a −1)(1b−1)(1c−1)=1−a a⋅1−b b⋅1−c c=b+c a⋅a+c b⋅a+b c≥2√bca⋅2√ac b ⋅2√abc=8，当且仅当“a＝b＝c”时取等号；（Ⅱ）ab+c +ba+c+ca+b=(a+b+cb+c−1)+(a+b+ca+c−1)+(a+b+ca+b−1)=12[(b+c)+(a+c)+(a+b)](1b+c+1a+c+1a+b)−3≥12(√b+c⋅b+c +√a+ca+c+√a+b⋅a+b)2−3=12×32−3=32，当且仅当“a＝b＝c”时取等号．。

数学理一、选择题（共12小题）.1.已知集合1|244xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，则AB =（）A.[]22-,B.(1,)+∞C.(]1,2- D.(](1)2-∞-⋃+∞,,答案：C 【分析】先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 解：由题,不等式1244x≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤；因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-,则(]1,2A B ⋂=-, 故选:C点评：本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域. 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则1zi =+（） A.3322i -+ B.3122i -+ C.1322i -+D.1322i + 答案：D 【分析】根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，可以确定12z i =-+，再由复数代数形式的除法运算化简1zi+，即可得答案. 解：由题意知复数12z i =-+， 则12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++， 故选：D.点评：本小题考查复数的几何意义，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.3.若,a b 是非零向量,则“a b =”是“a b a b +=-”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D由条件知a b =，不一定有a b a b +=-，由向量的加法法则得到，两个模长相等的向量相加得到的和与差向量是作为四边形的对角线的，而对角线不一定相等；反之a b a b +=-，两边平方可得两个向量垂直，四边形对角线相等，但是不一定有边长相等，故也不能反推．故是既不充分也不必要条件. 故答案为D ．4.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（）A. B. C.D.答案：A 【分析】因为1()cos 1x x e f x x e +=⋅-，先判断函数的奇偶性，结合当0x +→时，函数值的为正，即可求得答案. 解：11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=⋅-=-⋅=---，∴()f x 为奇函数，排除C ，当0x +→时，()0f x >，排除B,D ， 故只有A 符合题意 故选：A.点评：本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（）A.0，0B.0，5C.5，0D.5，5答案：B 【分析】由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论解：两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合．故选：B ．点评：本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（）钱？ A.23B.13C.56D.16答案：A【分析】设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式即可求解.解：设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为12345,,,,a a a a a ，公差为d ，则1234552a a a a a +=++=，即115225392a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，15243a a d ∴-=-=. 故选：A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 7.将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（）A.8π B.4π C.2π D.34π答案：B 【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 解：将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设22x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π， 故选：B .点评：本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，且16||||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（）A.22y x =± B.3y x =±C.y x=± D.2y x =±答案：D 【分析】根据2F G OG ⊥，先确定出2,GF GO 的长度，然后利用双曲线定义将16||||OG GF =转化为,,a b c 的关系式，化简后可得到ba的值，即可求渐近线方程. 解：如图所示：因为2F G OG ⊥，所以22222,1bc a GF b OG c b a b a===-=+，又因为16OG GF =，所以16OG GF =，所以2216OG GF F F =+， 所以222216OG GF F F =+，所以()222216422cos 180a b c b c GF F =++⨯⨯︒-∠，所以2226422b a b c b c c ⎛⎫=++⨯⨯- ⎪⎝⎭，所以222,2b b a a ==， 所以渐近线方程为2y x =±. 故选：D.点评：本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.9.如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（）A.12πB.32πC.8πD.24π答案：A 【分析】 将侧面ABC 和ACD 沿AC 边展开成平面图形为菱形ABCD ,可得到BE 的长即为BP PE +的最小值,设DE x =,在Rt BCE 中,利用勾股定理可得2x ,则棱长为22,进而可求得正四面体的外接球的表面积解：将侧面ABC 和ACD 沿AC 边展开成平面图形,如图所示,菱形ABCD ,在菱形ABCD 中,连接BE ,交AC 于点P ,则BE 的长即为BP PE +的最小值,即14BE =因为正四面体ABCD ,所以AC AB =,所以120BCD ∠=︒, 因为E 是棱AD 的中点,所以30DCE ∠=︒， 所以90BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒, 设DE x =,则2AB BC CD AD x ====, 所以3CE x =,则22714BE BC CE x =+=所以2x =则正四面体ABCD 的棱长为22所以正四面体的外接球半径为6234=所以该正四面体外接球的表面积为24312S ππ==,故选：A点评：本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力10.已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（） A.123P P P == B.321P P P >> C.123P P P >> D.213P P P >>答案：C 【分析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GACS S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．解：由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C.点评：本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ，横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm )，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（）A.77B.80C.100D.772答案：D 【分析】 设ACD α，BCD β，则θαβ=-，利用两角差的正切公式用x 表示出θ，再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，设ACD α，BCD β，则θαβ=-，则2371751577BD（cm ），7777154AD（cm ）， ∴154tan ADCD xα，77tan BDCDxβ， ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx， ∴当且仅当11858x x即772x 时，tan θ有最大值，此时θ也最大，故选：D ．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题． 12.已知点P 是曲线sin ln y x x 上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，给出下列四个命题：①存在唯一点P 使得1k =-； ②对于任意点P 都有k 0<； ③对于任意点P 都有1k <； ④存在点P 使得1k，则所有正确的命题的序号为（） A.①② B.③C.①④D.①③答案：D 【分析】结合正弦函数的值域和对数函数ln y x =和直线1y x =-的关系，即可判断③正确，④错误.当ππ2x ≤<时，sin ln 0y x x =+>，即可判断②错误；对于①，存在唯一点P 使得1k =-，即sin ln 1x xx存在唯一解，令()sin ln g x x x x =++，则()0g x =存在唯一解，运用导数判断单调性结合零点存在定理，可判断①正确，由排除法即可得到结论. 解：任意0x >，一方面sin ln ln 1y x x x =+≤+，另一方面由ln y x =和直线1y x =-的图象易证ln 1x x ≤-成立， 即ln 1x x +≤，∴sin ln y x x x =+≤，∵sin ln ln 1y x x x =+≤+与ln 1x x +≤中两个等号成立条件不一样， ∴sin ln y x x x =+<恒成立， ∴1k <，则③正确，④错误. 当ππ2x ≤<时，sin ln 0y x x =+>， ∴0k >，则②错误；对于①，存在唯一点P 使得1k =-，也就是sin ln 1x xx存在唯一解，令()sin ln g x x x x =++，则()0g x =存在唯一解， ∵()()1sin ln cos 10g x x x x x x''=++=++>恒成立， ∴函数()sin ln g x x x x =++，在()0,∞+上单调递增， 又()10g >，()0.10g <，∴sin ln 0x x x 存在唯一解，故①正确， 故选：D点评：本题主要考查直线的斜率范围，同时考查了利用导数解决方程的根，考查了学生分析问题和判断问题的能力，属于难题.二.填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x y +的最小值为__________答案：6-【分析】首先根据题意作出可行域，根据x y +的几何意义，从而求出最小值. 【详解】由题意作平面区域如下，由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，()4,2A --，令z x y =+则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最小值. 故z x y =+的最小值是6-. 故答案为：6-点评：本题主要考查线性规划问题，根据题意画出可行域为解题的关键，属于简单题. 14.已知121101πx dx m --=⎰，则mx x ⎫-⎪⎭的展开式中2x 的系数为__________（用数字表示） 答案：10- 【分析】首先根据定积分的几何意义求解m ，再根据5()x x通项公式求解即可. 解：因为121x dx --⎰表示以()0,0为圆心，1为半径的圆的上半圆的面积，所以12π12x dx --=⎰，1211015πx dxm --==⎰；∴5m x x x x ⎫⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其展开式的通项公式为： 3552155()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅；令35232r r -=⇒=. ∴()m x x-的展开式中2x 的系数为：335(1)10C -⋅=-. 故答案为：10-点评：本题主要考查二项式定理，同时考查了定积分的几何意义，属于中档题.15.已知点P 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为__________. 答案：22【分析】设P ，G 的坐标，由题意可得Q ，E 的坐标，由题意可得22QG PGb k k a⋅=-，再由PQG 为直角三角形，所以1OP PG k k ⋅=-，可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 的关系求出离心率.解：设()P m n ,，(),G x y ，则由题意可得：(),Q m n --，(),0E m ，2222QG PGy n y n y n k k x m x m x m+--⋅=⋅=+--， 由2222222211m n a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可得：222222m x n y a b --=-， 所以222222QG PGy n b k k x m a-⋅==--. 2GQ EQn k k m ==，所以222222PG b m b m k a n na =-⋅=-， 所以OP n k m=. 因为PQG 为直角三角形，所以1OP PG k k ⋅=-，所以，2221n mb m na -⋅=-，即：222a b =. 22222222122c a b b e a a b -====，离心率e =.故答案为：2. 点评：本题主要考查椭圆中离心率的求法，根据题意找到a ，b ，c 的关系式为解题的关键，属于中档题.16.若函数()f x 的导函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ'=+>><，()f x '的部分图象如图所示，()()12g x f x π=-，当1x ，2[,]123x ππ∈-时，则12()()g x g x -的最大值为_________.答案：32【分析】由图象可得：A ＝2，1254126πππω⨯=-，解得ω＝2．可得f ′（x ）＝2cos （2512π⨯+φ）＝﹣2，|φ|2π＜），把x 512π=，5'12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2代入解得φ．可得f ′（x ），进而得出f （x ），g （x ）＝f （x 12π-），利用正弦函数的单调性即可得出结论．解：由图象可得：A ＝2，1254126πππω⨯=-，解得ω＝2． ∴f ′（x ）＝2cos （2512π⨯+φ）＝﹣2，|φ|2π＜），解得φ6π=． ∴f ′（x ）＝2cos （2x 6π+）． ∴f （x ）＝sin （2x 6π+）+c ．（c 为常数）． g （x ）＝f （x 12π-）＝sin2x +c ．x ∈[12π-，3π]时，2x ∈263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． sin2x ∈112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 当x 1，x 2∈[12π-，3π]时，则|g （x 1）﹣g （x 2）|＝|sin2x 1﹣sin2x 2|≤1﹣（12-）32=．因此当x 1，x 2∈[12π-，3π]时，则|g （x 1）﹣g （x 2）|的最大值为32．故答案为32．点评：本题考查了导数的运算法则、三角函数的图象与性质、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（共70分，第22、23题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.） 17.如图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，12AB BC AD ==，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析（2）15- 【分析】（1）证明四边形EFBC 是平行四边形，可得CE BE ∥，进而得证.（2）首先取AB 的中点O ，连接PO ，根据题意易证PO ⊥底面ABCD ，再建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值. 解：（1）取PA 的中点F ，连接FE ，FB ，∵E 是PD 的中点，∴1//2FE AD ， 又1//2BC AD ，∴//FE BC ， ∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴//CE BF ，又CE 不在平面PAB 内，BF 在平面PAB 内， ∴//CE 平面PAB .（2）取AB 的中点O ，连接PO . 因为PA PB =，所以PO AB ⊥又因为平面PAB ⊥底面ABCD AB =，所以PO ⊥底面ABCD .分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴，以底面内AB 的中垂线为y 轴 建立空间直角坐标系，令122AB BC AD ===，则4=AD ， 因为PAB △是等边三角形，则2PA PB ==，O 为AB 的中点，3PO =， 则(3P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,4,0D - ∴(1,2,3PC =-，()0,2,0BC =，()2,2,0CD =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，平面PDC 的法向量为(),,n a b c =，则2300200m PC x y z m BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3x =()3,0,1m =，2302200n PC a b c n CD a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1a =，故可取(1,1,3n =， ∴2315cos ,=525m n m n m n⋅<>==，经检验，二面角B PC D --的余弦值的大小为155-. 点评：本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查向量法求二面角的余弦值，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知_____， （1）判断1S ，2S ，3S 的关系； （2）若133a a -=，设12n n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是1S ，3S ，2S 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. 答案：（1）1232S S S +=（2）见解析 【分析】（1）可补充公比q 的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论；（2）由等比数列的通项公式求得2132nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，不等式的性质，即可得证. 解：（1）由题意可得11S a =，2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，即1S ，3S ，2S 成等差数列； （2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=，解得14a =， 112141212232n nn n n n b a n -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则2111112332482n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭，11211111232348162n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭， 上面两式相减可得112111111232481622n n n T n +⎛⎫=+++++-⋅ ⎪⎝⎭1111212213212n n n +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 化简可得142132n n n T ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由12112n n ++-<，可得43nT<. 点评：本小题主要考查证明数列是等差数列，考查错位相减求和法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.19.椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由答案：（1）22142x y +=；（2）见解析.解：（1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ） 又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅＝－1于是222211{2b c a a b c -=-=-=，解得a ＝2，b所以椭圆E 方程为22142x y +=.（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1 A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）联立221{421x y y kx +==+，得（2k 2＋1）x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝（4k ）2＋8（2k 2＋1）＞0 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+ ＝－所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 20.调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设4n =，分别以1a ，2a ，3a ，4a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则2X =）. （1）写出X 的所有可能值构成的集合；（2）假设1a ，2a ，34,a a 的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的数学期望； （3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2X≤.（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由. 答案：（1）{}0,2,4,6,8（2）5（3）（ⅰ）1216（ⅱ）我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测. 【分析】（1）在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，从而2a ，4a 中的奇数个数等于1a ，3a 中的偶数个数，进而1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同，由此能举出使得X 所有可能值构成的集合.（2）可用列表法列出1，2，3，4的一共24种排列，求得分布列进而求出X 的数学期望. （3）（ⅰ）首先()()()41202246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由独立性假设能求出结果. （ⅱ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X≤的结果的可能性很小，从而我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.解：（1）X 的可能值集合为{}0,2,4,6,8， 在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以2a ，4a 中的奇数个数等于1a ，3a 中的偶数个数，因此1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同，从而()()13241324X a a a a =-+-+-+-必为偶数，X 的值非负，且易知其值不大于8.由此能举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子. （2）可用列表列出1，2，3，4的一共24种排列，如下表所示：计算每种排列下的X 值如上表所示，在等可能的假定下，得到0246852424242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）（ⅰ）首先()()()41202246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得3116216p ==. （ⅱ）由于152161000p =<是一个很小的概率， 这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.点评：本小题主要考查随机变量分布列及其期望值的求法，考查相互独立事件概率计算，考查数据处理能力，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程；（2）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,∞+上恒成立，求实数λ的取值范围； （3）若()()120f x a f x a -=-=，且12x x <，证明：()2221112x x e ae --<+.答案：（1）2y x e -=--（2）1λ=（3）证明见解析 【分析】（1）首先求导，求出切线的斜率，再写出切线方程即可.（2）等价()()()()1ln 10g x f x x x x x λλ=--=--≥，()0,x ∈+∞恒成立.对()g x 求导，求出单调区间和最小值，再根据最小值的单调性和最值即可得到λ的取值范围.（3）首先证明()2f x x e -≥--，再设直线2y x e -=--与y a =的交点为()1,x a '，则2211e e a x x --'=--≥--，则21x a e -'=--，且11x x '≤，直线1y x =-分别于y a =交于点()2,x a '，则2211a x x '=-≥-，21x a '=+，且22x x '≤，可得()()222121121x x x x a a e a e --''-≤-=+---=++. 即可证明()2221112x x e ae --<+.解：解：（1）()1ln f x x '=+， 所以()221ln 1k f ee--'==+=-，()222f e e --=-，切点为()22,2e e ---.故切线方程为()222y e x e --+=--，即2y x e -=--.（2）由题知：等价于：()()()()1ln 10g x f x x x x x λλ=--=--≥，()0,x ∈+∞恒成立.()ln 1g x x λ'=+-令()0g x '=，解得1x e λ-=. 当()10,x e λ-∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x eλ-∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.所以()()()()1111min 11g x g e ee e λλλλλλλ----==---=-.设()1h eλλλ-=-，()11h eλλ-'=-.令()0h λ'=，解得1λ=.当()0,1λ∈时，()0h λ'>，()λh 为增函数， 当()1,λ∈+∞时，()0h λ'<，()λh 为减函数， 所以()max (1)0h h λ==，所以10e λλ--≤. 又因为10eλλ--≥恒成立，所以1λ=.（3）设()()()22ln k x f x x e x x x e--=---=++，0x >，则()2ln k x x '=+，当20x e -<<时，()0k x '<，()k x 单调递减，当2x e ->时，()0k x '>，()k x 单调递增， 故当2x e -=时，函数()k x 取得最小值，()222220k e ee e ----++-==.因此()2f x x e -≥--.设直线2y x e -=--与y a =的交点为()1,x a '，则2211a x e x e --'=--≥--，∴21x a e -'=--，且11x x '≤，当且仅当22a e -=-时取等号.又由（2）可知()1f x x ≥-，设直线1y x =-分别于y a =交于点()2,x a '. 则2211a x x '=-≥-，∴21x a '=+，且22x x '≤，当且仅当0a =时取等号. 因此()()222121121x x x x a a e a e --''-≤-=+---=++. 因为等号成立的条件不能同时满足，∴22121x x a e --<++.∴()2221112x x e ae --<+.点评：本题第一问考查导数的切线问题，第二问考查利用导数解决恒成立问题，第三问考查利用导数证明不等式，同时考查了学生分析问题和计算的能力，属于难题.（二）选考题（共10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线1C：11x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02πρθ≥≤<.答案：（1）2cos +2sin ρθθ=（2）极坐标分别为()0,0，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）将曲线1C：11x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩的参数消去可得：()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得到极坐标方程.（2）曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=，化为普通方程2220x y y +-=，联立解得直角坐标再求极坐标即可.解：（1）把曲线1C：11x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩的参数他消去可得：()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=.把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得22cos 2sin 0ρρθρθ--=.即1C 的极坐标方程为：2cos +2sin ρθθ=.（2）曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=， 化为普通方程：2220x y y +-=.联立222222020x y x y x y y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. ∴极坐标分别为()0,0，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点评：本题第一问考查圆的参数方程和极坐标方程，第二问考查点的极坐标，熟记公式为解题的关键，属于中档题.23.已知绝对值不等式：│x+1│+│x-1│>a 2－5a+4（1）当a=0时，求x 的范围；（2）若对于任意的实数x 以上不等式恒成立，求a 的范围 答案：（1）x ＞2或x ＜－2；（2）5522a +<<.试题分析：（1）将条件带入，零点分段去绝对值求解即可；（2）由│x+1│+│x-1│≥2，│x+1│+│x-1│>a 2－5a+4恒成立，即2>a 2－5a+4恒成立，进而求解即可.试题解析：（1）、当a=0时，原不等式变为：│x+1│+│x-1│>4，解此不等式可得：x＞2或x＜－2,（2）由│x+1│+│x-1│≥2，所以│x+1│+│x-1│>a2－5a+4恒成立，即2>a2－5a+4恒成立<<.a点睛：含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.。

绝密★启用前河北省石家庄市普通高中2020届高三毕业班第八次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年5月注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则( )A. {2}A B =B. A B R =C. (){1,2}R B C A =-D. (){|12}R B C A x x =-<<【答案】A【解析】【分析】 首先解不等式220x x +->得到{|2A x x =<-或1}x >,再根据{2}A B =即可得到答案.【详解】因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >,{1,0,1,2}B =-,所以{2}A B =,AB R ≠,(){1,0,1}RC A B =-,()[2,1]{2}R C A B =- 故选：A【点睛】本题主要考查集合的运算,同时考查了一元二次不等式的解法,属于简单题.2.已知a 是实数,1a i i+-是纯虚数,则 a 等于（ ）A. B. 1- D. 1【答案】D【解析】 分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+, 1a i i +-为纯虚数,则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩,据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知5log 2a =,0.5log 0.2b =,0.20.5c =,则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A【解析】【分析】 利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<, 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=,10.200.50.50.5<<,故112c <<, 所以a c b <<．故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题,关键选择中间量和函数的单调性进行比较．4.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡。

2020届高三五月模拟考试（八）数学试卷（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合{}220A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A.{}2A B =IB.A B R =UC.(){}1,2R B A =-I ðD.(){}12R B A x x =-<<I ð2.已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则a =（ ）A. 1B.1--D.3.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则（ ） A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.c a b <<4.右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()mod n N m ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A.11B.13C.14D.175.若a ，b 是两个非零向量，且a b m a m b +==，m ⎡∈⎣则向量b 与a b -夹角的取值范围是（ ） A.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.25,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.函数()()1ln 1f x x x =-+的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（ ） A.4MNB.()4N M N-C.2M NN+ D.42M NN+ 8.设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（ ）A.()()1,01,-+∞UB.()()1,00,1-UC.()(),11,-∞-+∞UD.()(),10,1-∞-U9.过抛物线24y x =的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点()3,0M .若MAB △的面积为，则AB =（ ） A.2B.4C.D.810.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21nnnS a S -=.数列{}n b {满足()()121nn n b n a =-⋅+，则数列{}n b 的前100项和100T 为（ ）A.101100B.101100-C.100101-D.100101 11.对于函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x =+--，有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()2,22x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >. 其中正确结论的个数是（ ） A.1B.2C.3D.412.三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，PAC △为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为3-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π，则三校锥体积的最大值为（ ） A.1 B.2 C.12D.13第II 卷 二、填空题：.13.已知()()511x ax -+的展开式中，2x 的系数为0，则实数a =______.14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若PAB △为等腰三角形，120PAB ∠=︒，则双曲线的离心率为______. 15.已知数列{}n a 满足()*11111n n a n a n N n n n +-⎛⎫=-+∈ ⎪+⎝⎭，且26a =，则{}n a 的通项公式为______. 16.改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求，某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行。