初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析)

初三九年级上册数学压轴题（培优篇）（Word 版 含解析）一、压轴题1．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．2．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．3．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于226cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形．（1）求证△AEF∽△BCE；（2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；（3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离．5．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝34，OB＝8．（1）求OA、AB的长；（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．①当t为何值时，点Q与点D重合？②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．6．我们知道，如图1，AB 是⊙O 的弦，点F 是AFB 的中点，过点F 作EF ⊥AB 于点E ，易得点E 是AB 的中点，即AE ＝EB ．⊙O 上一点C （AC ＞BC ），则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”．（1）当点C 在弦AB 的上方时（如图2），过点F 作EF ⊥AC 于点E ，求证：点E 是“折弦ACB ”的中点，即AE ＝EC+CB ．（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．7．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A C B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）（2）求S 与t 的函数表达式；（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.8．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．（1）若DQ＝3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．10．如图，一次函数122y x=-+的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ，（1）如图①，当点F 与点B 重合时，DE DC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE DC 的值； （3）如图③，若DE CF =，求DE DC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解.【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F∴BE EF =，80BEF ∠=∴180502BEF EBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠= ∵AB=AC=4，D 是BC 的中点∴BD DC =,AD BC ⊥∴BF CF =，ABD ACD △≌△∴FBD FCD △≌△，1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠=∴50CFD BAD ∠=∠=∴//CF AB（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心∴∠BCF=12∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥∴9040ABC BAD ∠=-∠=∴ABC BCF ∠=∠∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立（3）由（1）和（2）知，//CF AB∴点F 的运动路径在CF 上如图，作AM ⊥CF 于点M∵8090BEF ∠=<∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4．【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．2．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【解析】【分析】（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12AH BH AB ==，求得CD 、FD ；（2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．【详解】解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =∴4AB x =∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =+= ∵OD m ⊥，m l ⊥∴//OD l∵OB OQ =∴122AH BH AB x === ∴2CD x =∴332FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q∴3AP AQ x ==∵4PC =∴64CQ x =+过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：∵90BAQ ∠=︒∴//OM AB∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒∴点O 是BQ 的中点 ∴1322QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵1522OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）∴39AP x ==∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9． （3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =①点P 在A 点的右侧时，如图：∴243x x +=∴4x =∴312AP x ==②点P 在A 点的左侧时I.当点C 在Q 右侧时i.当 407x <<时，如图：∵47DE x =-，3DF x =∴473x x -=∴25x = ∴635AP x x ==ii.当4273x ≤<时，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =（不合题意，舍去）II. 当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，如图：∵74DE x =-，3DF x =∴743x x -=∴1x =∴33AP x ==∴综上所述，当12AP =或65AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =或3AP = 【点睛】本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．3．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ， ()15242t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.4．（1）详见解析；（2）21y 2x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】【分析】（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AEBE BC =，y x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，602AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，∴∠AEF +∠AFE =90°，∵EF ⊥CE ，∴∠AEF +∠BEC =90°，∴∠AFE =∠BEC ，∴△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BEC 得AF AE BE BC =，2y x x =，∴212y x =-+，∵212y x =-+=213(22x -+，当x =y 有最大值为32， ∴302AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，∴∠EHF =90°，∴ME =MF =MH ，在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，∴MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；如图2，连接AH ，∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH中，360AHsinAB=︒=，∵AB=23∴AH=3，所以点H移动的距离为3．【点睛】此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．5．（1）OA＝6，AB＝10；（2）3011；（3）0<t≤1813或3011<t≤5．【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中，tan B＝34，OB＝8，即可求解；（2）利用△ACD∽△ABO、AD+OQ＝OA，即可求解；（3）分QC与圆P相切、QC⊥OA两种情况，求解即可．【详解】解：（1）在Rt△AOB中，tan B＝34，OB＝8，∴34OAOB=，∴OA＝6，则AB＝10；（2）OP＝AP﹣t，AC＝2t，∵AC是圆直径，∴∠CDA＝90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC ADAB AO=，即：2,106t AD=∴AD＝65t，当Q与D重合时，AD+OQ＝OA，∴66,5t t+=30.11t∴=（3）当QC与圆P相切时，∠QAC＝90°，∵OQ＝AP＝t，∴AQ＝6﹣t，AC＝2t，∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ， ∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC AB AO = 即：62106t t -= ，18.13t ∴= ∴当18013t <≤时，圆P 与QC 只有一个交点， 当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11t =∴30511t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点， 故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或30511t <≤. 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．6．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH 的长为3﹣1或3+1．【解析】【分析】（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明.（3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.【详解】解：（1）如图2，在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ，在△FAG 和△FBC 中，,FA FBFAG FBCAG BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG≌△FBC（SAS），∴FG＝FC，∵FE⊥AC，∴EG＝EC，∴AE＝AG+EG＝BC+CE；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，理由：如图3，在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，∵点F是AFB的中点，∴FA＝FB，FA FB=,∴∠FCG＝∠FCB，在△FCG和△FCB中，,CG CBFCG FCBFC FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG≌△FCB（SAS），∴FG＝FB，∴FA＝FG，∵FE⊥AC，∴AE＝GE，∴CE＝CG+GE＝BC+AE；（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴12232BC AB AC===，，当点P在弦AB上方时，如图4，在CA 上截取CG ＝CB ，连接PA ，PB ，PG ，∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG ≌△PCB （SAS ），∴PG ＝PB ，∴PA ＝PG ，∵PH ⊥AC ，∴AH ＝GH ，∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ， ∴2322AH =+，∴31AH =，当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，在△PAG 和△PBC 中，,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG ≌△PBC （SAS ），∴PG＝PC，∵PH⊥AC，∴CH＝GH，∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，∴2322CH，=+∴31CH=-，∴()233131AH AC CH=-=--=+，即：当∠PAB＝45°时，AH的长为31-或3 1.+【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.7．（1）7-t（2）()()()22904;25{1674725t tSt tππ<≤=-<<（3）516,23t t==【解析】【分析】（1）先判断出点P在BC上，即可得出结论；（2）分点P在边AC和BC上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（3）分点P在边AC和BC上两种情况：借助（2）求出的圆P的半径等于PC，建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵AC=4，BC=3，∴AC+BC=7．∵4＜t＜7，∴点P在边BC上，∴BP=7﹣t．故答案为：7﹣t；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得：AB=5，由运动知，AP=t，分两种情况讨论：①当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，如图1，记⊙P与边AB的切点为H，连接PH，∴∠AHP=90°=∠ACB．∵∠A=∠A，∴△APH∽△ACB，∴PH APBC AB=，∴35PHt=，∴PH35=t，∴S925=πt2；②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，如图，记⊙P与边AB的切点为G，连接PG，∴∠BGP=90°=∠C．∵∠B=∠B，∴△BGP∽△BCA，∴PG BPAC AB=，∴745PG t-=，∴PG45=（7﹣t），∴S1625=π（7﹣t）2．综上所述：S22904251674725t tt tππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩（＜）（）（＜＜）；（3）分两种情况讨论：①当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，由（2）知，⊙P的半径PH35=t．∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边BC相切，∴PC=PH．∵PC=4﹣t，∴4﹣t35=t，∴t52=秒；②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半径PG45=（7﹣t）．∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边AC相切，∴PC=PG．∵PC=t﹣4，∴t﹣445=（7﹣t），∴t163=秒．综上所述：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为52秒或163秒．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．8．（1）PA13O的半径为393；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或【解析】【分析】（1）过点A 作BP 的垂线，作直径AM ，先在Rt △ABH 中求出BH ，AH 的长，再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长，在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；（2）证∠APB ＝∠PAD ＝2∠PAE ，即可推出结论；（3）分三种情况：当AE ⊥BD 时，AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE ⊥AD 时，连接OB ，OE ，延长AE 交BC 于F ，通过证△BFE ∽△DAE ，求出BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE ⊥AB 时，过点D 作BC 的垂线，通过证△BPE ∽△BND ，求出PE ，AE 的长，再利用勾股定理求出直径BE 的长，即可得到半径的值．【详解】（1）如图1，过点A 作BP 的垂线，垂足为H ，作直径AM ，连接MP ，在Rt △ABH 中，∠ABH ＝60°，∴∠BAH ＝30°，∴BH ＝12AB ＝2，AH ＝AB •sin60°＝ ∴HP ＝BP ﹣BH ＝1，∴在Rt △AHP 中，AP∵AB 是直径，∴∠APM ＝90°，在Rt △AMP 中，∠M ＝∠ABP ＝60°，∴AM ＝AP sin 60︒＝3，∴⊙O ，即PA ⊙O （2）当∠APB ＝2∠PBE 时，∵∠PBE ＝∠PAE ，∴∠APB ＝2∠PAE ，在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠APB ＝∠PAD ，∴∠PAD ＝2∠PAE ，∴∠PAE ＝∠DAE ，∴AE平分∠PAD；（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴r＝12AB＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴BFAD ＝EFAE，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝BF＝12AB＝2，∴28，∴EF，在Rt△BFE中，BE，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r＝5；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，∴DN＝DC•sin60°＝CN＝12CD＝2，∴PQ＝DN＝设QE＝x，则PE＝x，在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，∵PE∥DN，∴△BPE∽△BND，∴PE DN ＝BP BN ， ∴2323x -＝BP 10， ∴BP ＝10﹣533x ， 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中，AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2，∴16+4x 2＝（10﹣533x ）2+（23﹣x ）2， 解得，x 1＝63（舍），x 2＝3，∴AE ＝23，∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27，∴r ＝7，∴⊙O 的半径为2或475或7．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.9．（1）637；（2）BE＝433；菱形与圆重叠部分的面积为833．【解析】【分析】（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图：过点P作PT⊥BQ于点T，∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3∴AQ3在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，∴BP＝DQ3，∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，∴△AQB∽△TBP，∴3,37 BT BDAQ BQ==即，∴BT=33 7，∴BE＝2BT＝637．（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝23﹣x，在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，即4+（23﹣x）2＝x2，解得x＝43 3.∵四边形BPDQ为菱形，∴BP=DP=43 3,又CP=BC-BP=233,即DP=2CP,∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，∴PQ=BP,∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.∴点E、Q重合，∴BE 43 3∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，∴S菱形833．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识． 10．(1) A （0，2），B(4，0)，2722y x x =-++；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．【解析】【分析】 (1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可．【详解】解：(1)∵122y x =-+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)， 将x=0，y=2代入2y x bx c =-++得c=2，将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=72， ∴抛物线解析式为：2722y x x =-++； (2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，122t -)，又N 点在抛物线上，且x N =t ，∴2722N y t t =-++， ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝⎭， ∴当t=2时，MN 有最大值4．(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），由AD=MN ，得|a-2|=4，解得a 1=6，a 2=-2，从而D 点坐标为（0，6）或D （0，-2），当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，分别求出D 1N 的解析式为：162y x =-+， D 2M 的解析式为：322y x =-， 联立两个方程得：D 3（4，4），故所求的D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．【点睛】本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．11．（1）点D 的坐标为312)，抛物线的解析式为24 3?1?3y x x =-++；（2）①31n =+；②2334S m =+，S 93 【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）①在Rt △FEA 中，FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：n km b =+，求得3m =2n FB ==，3m =3n FD ==，代入n km b =+，即可求解；②求得NA 33m =，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=332，利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，∴OB=1，∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，∴AB=2OB=2，OA=2222AB OB 213-=-=，∠ABO=60︒，∴点A 的坐标为(3，0)，又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒， ∴OD=CD=OB=1，∴△DOB 为等边三角形，∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，延长CD 交OA 于H ，则CH ⊥OA ，∴DH=12OD=12，3CH=CD+DH=32， ∴点D 的坐标为312)，点C 的坐标为332)， 将A 30) ， C 的坐标为332)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1， 得：3310333142a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：433a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为24 3?1?3y x x =-+； （2）①在Rt △FEA 中，∠FAE=30︒，3FA=2AB=4，∴FB=12FA=2，FD=FB+BD=3， ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动，∴n 关于m 成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b =+，当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合，∴m =2n FB ==，当点M 运动到点A 时，点N 恰好与点D 重合，∴m =3n FD ==，代入n km b =+，得：23b b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：1k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此一次函数解析式为：1n =+； ②NA=FA-FN=4- 3n =， 过N 作NQ ⊥EA ，则NQ=12NA=32，∴2133226124S m m m m ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵012-<，当32m ==⎝⎭时，在0m ≤≤范围内，∴132226216S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭最大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．12．（1）12；（2）tan EAD ∠=13；（3）DE CD = 【解析】【分析】（1）先证明△ADP ≌△CDP ，得到∠DAP=∠DCP ，再证明△ADE ≌△CDO ，得到DE=DO ，根据O 是AD 的中点，AD=CD ，即可得到答案；（2）先证明△AFD ≌△DOC ，得到∠AFD=∠DOC ，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD ∽△FAD ，根据对应边成比例得到DP OD AD DF =,设AF=OD=x ，则AD=2x ，DF=5x ，得到DP=25x ，求出PF=35x ，再证明△DEP ∽△FAP ，得到23DE AF =，根据AF=12CD ，即可得到答案；（3）先证明△FCD ≌△EDA ，得到∠EAD=∠FDC ，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=12AD ，设OD=OP=x ，则CD=2x ，OC=5x ，可得PC=OC-OP=5x x -，根据△DPO ∽△FPC ，得到51OD FC +=，进而得到51251CF CD -==+，即可得到结论. 【详解】（1）如图①中，∵四边形ABCD 是正方形，PDA PDC ∴∠=∠，DP DP =，DA DC =，PDA ∴≌()PDC SAS ，DAE DCO ∴∠=∠，90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =，ADE ∴≌()CDO ASA ，OD DE ∴=，AO OD ∴=，CE DE ∴=，12DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．AF FB =，OA OD =，AB AD =，AF OD ∴=， AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒， FAD ∴≌()ODC SAS ，FDA OCD ∴∠=∠，90FDA CDP ∠=∠=︒，∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，90CPD ∴∠=︒，90FAO FPO ∠=∠=︒，∴A ，F ，P ，O 四点共圆，PAO PFO ∴∠=∠，1tan 2OP OPD PD∠==， 5OP ∴=，25PD =， 5DF a =，35PF ∴=， 1tan tan 3OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，∴ FCD ≌EDA ()SAS ，CDF EAD ∴∠=∠，90CDF ADP ∠=∠=︒，∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，∴ 90APD ∠=︒，OA OD =，∴ OP OA OD ==，∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，90ECF EPF ∠=∠=︒，∴E ，C ，F ，P 四点共圆，∴ CFE EPC ∠=∠，∴ CFE DCF ∠=∠，ECF DCF ∠=∠，∴ FCE ∽DCF ，∴ 2·CF CE CD =，∴ ()2y x x y =+，∴ 220y xy x --=，∴ 15y x +=15x -（舍弃）， ∴ 15y x +=， ∴ 155135DE y CD x y +-===++． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

一、中考数学压轴题1．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．2．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD ，放置在平面直角坐标系中，()0,0A ，()4,0B ，()0,3D ，M 是边CD 上一点，将ADM 沿直线AM 折叠，得到ANM ． （Ⅰ）当AN 平分MAB ∠时，求DAM ∠的度数和点M 的坐标；（Ⅱ）连接BN ，当1DM =时，求ABN 的面积；（Ⅲ）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值．（直接写出答案） 在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题． 小明：我是这样想的，延长MN 与x 轴交于P 点，于是出现了Rt NAP △．小雨：我和你想的不一样，我过点N 作y 轴的平行线，出现了两个Rt NAP △．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2393344y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）过点C 的直线5334y x =-交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．5．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．7．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值．（拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．8．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．（1）求外接圆⊙O 的半径；（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ．①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ；③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．9．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53． 10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．12．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．13．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：EG ⊥AD ；(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62之间的大小关系，并证明．14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若72CG AG =，求点P 的坐标．16．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．17．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 322m m -62=AB 与x 轴交于点,E 点F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．（1）求m 的值；（2）若45,APF ∠=︒求证：AHF HFA ∠=∠；（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 ．(用含n 的代数式表示)19．已知抛物线2y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=︒，求点Q 的坐标． 20．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ．（1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2．21．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，过点C 作CN DF ⊥于点N ，延长CN 交AD 于点M ．（1）求证：AM MD =（2）连接CF ，并延长CF 交AB 于G①若2AB =，求CF 的长度；②探究当AB AD为何值时，点G 恰好为AB 的中点．22．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ；（2）求∠AEB 的度数；（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求AF DE的值．23．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点（1）则m =_________；C 点坐标为___________；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．24．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ，（1）如图①所示．当∠CNG ＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C ，交 AB 于点 P ，直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。

适用标准文档初三数学九上压轴题难题提升题培优题一．解答题〔共8 小题〕21．如图，抛物线 y=ax +bx+c〔 a≠ 0〕经过点 A〔﹣ 3，0〕、B〔1，0〕、 C〔﹣ 2，〔 1〕求抛物线的表达式；〔 2〕 D 为抛物线在第二象限局部上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3〕抛物线上能否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为极点的三角形与△ MAO 相像〔不包含全等〕？假定存在，求点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，极点为 M 的抛物线 y=ax2+bx〔a＞0〕经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，∠AOB=120°．〔 1〕求这条抛物线的表达式；〔 2〕联络 OM，求∠ AOM 的大小；〔 3〕假如点 C 在 x 轴上，且△ ABC与△ AOM 相像，求点 C 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A〔2，0〕，B 〔 6， 0〕两点，交 y 轴于点．（1〕求此抛物线的分析式；（2〕假定此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作⊙ D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF的长；（3〕 P 为此抛物线在第二象限图象上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确立 P 点的地点，使得△ PGA的面积被直线 AC分为 1：2 两局部？4．如图，在平面直角坐标系中，点 A〔﹣ 2，﹣4〕，OB=2，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、 O、 B 三点．（1〕求抛物线的函数表达式；（2〕假定点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3〕在此抛物线上，能否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形？假定存在，求点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因．5．抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A〔0，1〕，B 〔 4， 3〕．（1〕求抛物线的函数分析式；（2〕求 tan∠ABO 的值；（3〕过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左边且平行于 y 轴的直线交线段AB 于点 N，交抛物线于点 M，假定四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．6．如图 1，抛物线的方程C1：y=﹣〔x+2〕〔x﹣m〕〔m＞0〕与x轴交于点B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左边．（1〕假定抛物线 C1过点 M 〔2，2〕，务实数 m 的值；（2〕在〔 1〕的条件下，求△ BCE的面积；（3〕在〔 1〕的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4〕在第四象限内，抛物线 C1上能否存在点 F，使得以点 B、C、F 为极点的三角形与△ BCE相像？假定存在，求 m 的值；假定不存在，请说明原因．．如图，抛物线y=x 2﹣〔b+1〕x+〔b 是实数且 b＞ 2〕与 x 轴的正半7轴分别交于点 A、 B〔点 A 位于点 B 的左边〕，与 y 轴的正半轴交于点 C．〔 1〕点 B 的坐标为，点 C 的坐标为〔用含 b 的代数式表示〕；〔 2〕请你探究在第一象限内能否存在点P，使得四边形 PCOB的面积等于2b，且△ PBC是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形？假如存在，求出点P 的坐标；假如不存在，请说明原因；（3〕请你进一步探究在第一象限内能否存在点 Q，使得△ QCO，△QOA 和△ QAB 中的随意两个三角形均相像〔全等可作相像的特别状况〕？假如存在，求出点 Q 的坐标；假如不存在，请说明原因．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的三个极点 B〔1，0〕， C〔 3，0〕，D 〔3，4〕．以 A 为极点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P， Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点E．（1〕直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的分析式；（2〕过点 E 作 EF⊥ AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为什么值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？（3〕在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为什么值时，在矩形 ABCD内〔包含界限〕存在点 H，使以 C， Q，E， H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．初三数学九上压轴题难题提升题培优题参照答案与试题分析一．解答题〔共8 小题〕1．如图，抛物线 y=ax2+bx+c〔 a≠ 0〕经过点 A〔﹣ 3，0〕、B〔1，0〕、 C〔﹣ 2，〔 1〕求抛物线的表达式；〔 2〕 D 为抛物线在第二象限局部上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3〕抛物线上能否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为极点的三角形与△ MAO 相像〔不包含全等〕？假定存在，求点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．〔 2〕将 x=0 代入抛物线表达式，得y=1．∴点 M 的坐标为〔 0，1〕．设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，那么．解得．∴直线 MA 的表达式为 y= x+1．设点 D 的坐标为〔〕，那么点F的坐标为〔〕．DF==．当时， DF 的最大值为．此时，即点 D 的坐标为〔〕．（3〕存在点 P，使得以点 P、 A、 N 为极点的三角形与△ MAO 相像．设 P〔m，〕．在 Rt△MAO 中， AO=3MO，要使两个三角形相像，由题意可知，点 P 不行能在第一象限．①设点 P 在第二象限时，∵点P 不行能在直线 MN 上，∴只好 PN=3AN，∴，即 m2+11m+24=0．解得 m=﹣ 3〔舍去〕或 m=﹣8．又﹣ 3＜ m＜0，故此时知足条件的点不存在．②当点 P 在第三象限时，∵点P 不行能在直线 MA 上，∴只好 PN=3AN，∴，即 m2+11m+24=0．解得 m=﹣3 或 m=﹣8．此时点 P 的坐标为〔﹣ 8，﹣ 15〕．③当点 P 在第四象限时，假定 AN=3PN时，那么﹣ 3，即m2+m﹣6=0．解得 m=﹣3〔舍去〕或 m=2．当 m=2 时，．此时点P的坐标为〔2，﹣〕．假定 PN=3NA，那么﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得 m=﹣3〔舍去〕或 m=10，此时点 P 的坐标为〔 10，﹣ 39〕．综上所述，知足条件的点P 的坐标为〔﹣ 8，﹣ 15〕、〔2，﹣〕、〔10，﹣39〕．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，极点为 M 的抛物线 y=ax2+bx〔a＞0〕经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，∠AOB=120°．〔 1〕求这条抛物线的表达式；〔 2〕联络 OM，求∠ AOM 的大小；〔 3〕假如点 C 在 x 轴上，且△ ABC与△ AOM 相像，求点 C 的坐标．【解答】解：〔1〕如图，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，∵AO=OB=4，∴B〔4，0〕．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD= OA=2，OD= OA=2 ．∴A〔﹣ 2，2 〕．将 A〔﹣ 2，2 〕， B〔 4， 0〕代入 y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y= x2﹣x；〔 2〕过点 M 作 ME⊥ x 轴于点 E，∵ y= x2﹣x=〔x﹣2〕2﹣，∴ M〔2，﹣〕，即OE=2，EM=．∴tan∠ EOM= = ．∴∠ EOM=30°．∴∠ AOM=∠ AOB+∠EOM=150°．（3〕过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H，∵ AH=2 ，HB=HO+OB=6，∴tan∠ ABH= = ．∴∠ ABH=30°，∵∠ AOM=150°，∴∠ OAM＜30°，∴∠ OMA＜30°，∴点 C 不行能在点 B 的左边，只好在点 B 的右边．∴∠ ABC=180°﹣∠ ABH=150°，∵∠ AOM=150°，∴∠ AOM=∠ ABC．∴△ ABC与△ AOM 相像，有以下两种可能：①△ BAC与∽△ OAM，②△ BAC与∽△ OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2 ，BH=6，∴ AB=4 ．①当△ BAC与∽△ OAM 时，由 = 得，解得 BC=4．∴C1〔8，0〕．②当△ BAC与∽△ OMA 时，由 = 得，解得 BC=12．∴C2〔16， 0〕．综上所述，假如点 C 在 x 轴上，且△ ABC与△ AOM 相像，那么点 C 的坐标为〔 8， 0〕或〔 16，0〕．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A〔2，0〕，B 〔 6， 0〕两点，交 y 轴于点．（1〕求此抛物线的分析式；（2〕假定此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作⊙ D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF的长；（3〕 P 为此抛物线在第二象限图象上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确立 P 点的地点，使得△ PGA的面积被直线 AC分为 1：2 两局部？【解答】解：〔1〕∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A〔2，0〕，B〔6，0〕，；∴，解得；∴抛物线的分析式为：；（2〕易知抛物线的对称轴是 x=4，把 x=4 代入 y=2x，得 y=8，∴点 D 的坐标为〔 4，8〕；∵⊙ D 与 x 轴相切，∴⊙ D 的半径为 8；连结 DE、DF，作 DM⊥ y 轴，垂足为点 M ；在 Rt△MFD 中， FD=8，MD=4，∴cos∠ MDF= ；∴∠ MDF=60°，∴∠ EDF=120°；∴劣弧 EF的长为：；〔 3〕设直线 AC 的分析式为 y=kx+b；∵直线 AC经过点，∴，解得；∴直线 AC的分析式为：；设点，PG交直线 AC于 N，那么点 N坐标为，∵S△PNA： S△GNA=PN：GN；∴①假定 PN：GN=1： 2，那么 PG：GN=3：2，PG= GN；即=；解得： m1﹣，2〔舍去〕；= 3 m =2当 m=﹣3 时，=；∴此时点 P 的坐标为；②假定 PN：GN=2：1，那么 PG： GN=3：1，PG=3GN；即=；解得： m1﹣， 2〔舍去〕；=12 m =2当 m=﹣12 时，=；∴此时点 P 的坐标为；综上所述，当点 P 坐标为或时，△ PGA的面积被直线AC分红 1：2 两局部．4．如图，在平面直角坐标系中，点 A〔﹣ 2，﹣4〕，OB=2，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、 O、 B 三点．（1〕求抛物线的函数表达式；（2〕假定点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3〕在此抛物线上，能否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形？假定存在，求点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因．【解答】解：〔1〕由 OB=2，可知 B〔 2， 0〕，将 A〔﹣ 2，﹣ 4〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕三点坐标代入抛物线 y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．〔2〕由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴 x=1 是线段 OB 的垂直均分线，连结 AB 交直线 x=1 于点 M ，M 点即为所求．∴MO=MB，那么 MO+MA=MA+MB=AB作 AC⊥ x 轴，垂足为 C，那么 AC=4，BC=4，∴ AB=∴ MO+MA 的最小值为．答： MO+MA 的最小值为．（3〕①假定 OB∥AP，此时点 A 与点 P 对于直线 x=1 对称，由 A〔﹣ 2，﹣ 4〕，得 P〔4，﹣ 4〕，那么得梯形OAPB．②假定 OA∥BP，设直线 OA 的表达式为 y=kx，由 A〔﹣ 2，﹣ 4〕得， y=2x．设直线 BP的表达式为 y=2x+m，由 B〔2，0〕得， 0=4+m，即 m=﹣ 4，∴直线 BP的表达式为 y=2x﹣4由，解得 x1=﹣4，x2=2〔不合题意，舍去〕当 x=﹣4 时， y=﹣ 12，∴点 P〔﹣ 4，﹣ 12〕，那么得梯形OAPB．③假定 AB∥OP，设直线 AB 的表达式为 y=kx+m，那么，解得，∴ AB 的表达式为 y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线 OP的表达式为 y=x．由，得 x2=0，解得 x=0，〔不合题意，舍去〕，此时点 P 不存在．综上所述，存在两点P〔4，﹣ 4〕或 P〔﹣ 4，﹣ 12〕使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形，点 P 的坐标是〔 4，﹣ 4〕或〔﹣ 4，﹣ 12〕．5．抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A〔0，1〕，B 〔 4， 3〕．（1〕求抛物线的函数分析式；（2〕求 tan∠ABO 的值；（3〕过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左边且平行于 y 轴的直线交线段AB 于点 N，交抛物线于点 M，假定四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．【解答】解：〔1〕∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A〔 0， 1〕，B 〔4，3〕，∴，解得，因此，抛物线的函数分析式为y=﹣x2+x+1；（2〕如图，过点 B 作 BC⊥x 轴于 C，过点 A 作 AD⊥OB 于 D，∵A〔0，1〕，B 〔4，3〕，∴ OA=1，OC=4，BC=3，依据勾股定理， OB===5，∵∠ OAD+∠AOD=90°，∠ AOD+∠BOC=90°，∴∠ OAD=∠BOC，又∵∠ ADO=∠ OCB=90°，∴△ AOD∽△ OBC，∴= = ，即==，解得 OD= ，AD= ，∴BD=OB﹣ OD=5﹣ = ，∴ tan∠ ABO= ==；〔 3〕设直线 AB 的分析式为 y=kx+b〔 k≠0，k、b 是常数〕，那么，解得，因此，直线 AB 的分析式为 y=x+1，设点 M 〔 a，﹣ a2+ a+1〕， N〔 a，a+1〕，那么 MN=﹣a2+ a+1﹣ a﹣1=﹣ a2+4a，∵四边形 MNCB 为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣ a2+4a=3，整理得， a2﹣4a+3=0，∵ MN 在抛物线对称轴的左边，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣ 12+×1+1=，∴点 M 的坐标为〔 1，〕．6．如图 1，抛物线的方程 C1：y=﹣〔x+2〕〔 x﹣ m〕〔 m＞0〕与 x 轴交于点B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左边．（1〕假定抛物线 C1过点 M 〔2，2〕，务实数 m 的值；（2〕在〔 1〕的条件下，求△ BCE的面积；（3〕在〔 1〕的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4〕在第四象限内，抛物线 C1上能否存在点 F，使得以点 B、C、F 为极点的三角形与△ BCE相像？假定存在，求 m 的值；假定不存在，请说明原因．【解答】解：〔1〕将 x=2， y=2 代入抛物线的分析式得：﹣×4×〔2﹣m〕=2，解得： m=4，经查验： m=4 是分式方程的解．∴ m 的值为 4．（2〕 y=0 得： 0=﹣〔x+2〕〔x﹣m〕，解得 x=﹣ 2 或 x=m，∴B〔﹣ 2，0〕， C〔 m，0〕．由〔 1〕得： m=4，∴C〔4，0〕．将 x=0 代入得： y=﹣×2×〔﹣m〕=2，∴E〔0，2〕．∴BC=6， OE=2．∴S△BCE= BC?OE= × 6× 2=6．（3〕如图 1 所示：连结 EC交抛物线的对称轴于点 H，连结 BH，设对称轴与 x 轴的交点为 P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点 B 与点 C 对于 x=1 对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当 H 落在线段 EC上时， BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△ PHC∽△ EOC．∴，即．解得HP=．∴点 H 的坐标为〔 1，〕．〔 4〕①如图 2，过点 B 作 EC的平行线交抛物线于F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即 BC2时，△∽△．=CE?BF BCE FBC设点 F 的坐标为〔 x，﹣〔x+2〕〔x﹣m〕〕，由，得．解得 x=m+2．∴F′〔m+2，0〕．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．2又∵ BC =CE?BF，∴，整理得： 0=16．此方程无解．②如图 3，作∠ CBF=45°交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥ x 轴于 F′，∵OE=OB，∠ EOB=90°，∴∠ EBO=45°．∵∵∠ CBF=45°，∴∠ EBC=∠CBF，∴当，即 BC2时，△∽△．=BE?BF BCE BFC在 Rt△BFF′中，由 FF′=BF，′得〔 x+2〕〔x﹣m〕 =x+2，解得 x=2m．∴F′〔2m， 0〕．∴BF′=2m+2，∴ BF=2m+2．2，得〔〕2×〔〕．解得．由 BC2m+2=BE?BF m+2 =2∵m＞0，∴ m=2+2 ．综上所述，点 m 的值为 2+2．7．如图，抛物线y= x2﹣〔b+1〕x+〔b是实数且b＞2〕与x轴的正半〔 1〕点 B 的坐标为〔b，0〕，点C的坐标为〔0，〕〔用含b的代数式表示〕；（2〕请你探究在第一象限内能否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△ PBC是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形？假如存在，求出点 P 的坐标；假如不存在，请说明原因；（3〕请你进一步探究在第一象限内能否存在点 Q，使得△ QCO，△QOA 和△ QAB 中的随意两个三角形均相像〔全等可作相像的特别状况〕？假如存在，求出点 Q 的坐标；假如不存在，请说明原因．【解答】解：〔1〕令 y=0，即 y= x2﹣〔b+1〕x+=0，解得： x=1 或 b，∵b 是实数且 b＞2，点 A 位于点 B 的左边，∴点 B 的坐标为〔 b，0〕，令 x=0，解得： y=，∴点 C 的坐标为〔 0，〕，故答案为：〔 b， 0〕，〔 0，〕；〔 2〕存在，假定存在这样的点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且△ PBC是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形．设点 P 的坐标为〔 x， y〕，连结 OP．那么 S 四边形PCOB=S△PCO+S△POB= ? ?x+ ?b?y=2b，∴x+4y=16．过 P 作 PD⊥x 轴， PE⊥ y 轴，垂足分别为D、E，∴∠ PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形 PEOD是矩形．∴∠ EPD=90°．∴∠ EPC=∠DPB．∴△ PEC≌△ PDB，∴ PE=PD，即 x=y．由解得由△ PEC≌△ PDB得 EC=DB，即﹣=b﹣，解得 b=＞2切合题意．∴ P 的坐标为〔，〕；（3〕假定存在这样的点 Q，使得△ QCO，△ QOA 和△ QAB 中的随意两个三角形均相像．∵∠ QAB=∠AOQ+∠ AQO，∴∠ QAB＞∠ AOQ，∠ QAB＞∠ AQO．∴要使△ QOA与△ QAB 相像，只好∠ QAO=∠BAQ=90°，即 QA⊥ x 轴．∵b＞ 2，∴AB＞OA，∴∠ Q0A＞∠ ABQ．∴只好∠ AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由 QA⊥x 轴知 QA∥ y 轴．∴∠ COQ=∠ OQA．∴要使△ QOA与△ OQC相像，只好∠ QCO=90°或∠OQC=90°．〔 I〕当∠ OCQ=90°时，△ CQO≌△ QOA．∴AQ=CO= ．由 AQ2=OA?AB得：〔〕2=b﹣ 1．解得： b=8± 4．∵b＞ 2，∴ b=8+4 ．∴点 Q 的坐标是〔 1，2+〕．（II〕当∠ OQC=90°时，△ OCQ∽△QOA，∴ = ，即 OQ2 =OC?AQ．又 OQ2=OA?OB，∴OC?AQ=OA?OB．即 ?AQ=1× b．解得： AQ=4，此时 b=17＞2 切合题意，∴点 Q 的坐标是〔 1，4〕．∴综上可知，存在点 Q〔 1，2+ 〕或 Q〔1，4〕，使得△ QCO，△ QOA 和△ QAB 中的随意两个三角形均相像．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的三个极点 B〔1，0〕， C〔 3，0〕，D 〔3，4〕．以 A 为极点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P， Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点E．（1〕直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的分析式；（2〕过点 E 作 EF⊥ AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为什么值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？（3〕在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为什么值时，在矩形 ABCD内〔包含界限〕存在点 H，使以 C， Q，E， H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．【解答】解：〔1〕A〔1，4〕．由题意知，可设抛物线分析式为y=a〔x﹣1〕2+4∴0=a〔3﹣1〕2+4，解得， a=﹣ 1，∴抛物线的分析式为 y=﹣〔 x﹣1〕2+4，即 y=﹣x2+2x+3．（2〕∵ A〔1，4〕， C〔 3， 0〕，∴可求直线 AC的分析式为 y=﹣2x+6．∵点 P〔1，4﹣t 〕．∴将 y=4﹣t 代入 y=﹣ 2x+6 中，解得点 E 的横坐标为 x=1+．∴点 G 的横坐标为 1+，代入抛物线的分析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴ GE=〔4﹣〕﹣〔4﹣t〕=t﹣．又∵点 A 到 GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即 S△ACG=S△AEG+S△CEG= ?EG? + ?EG〔2﹣〕=?2〔 t﹣〕 =﹣〔t﹣ 2〕2+1．当 t=2 时， S△ACG的最大值为 1．〔 3〕第一种状况如图 1 所示，点 H 在 AC 的上方，由四边形 CQEH是菱形知CQ=CE=t，依据△ APE∽△ ABC，知=，即 =，解得t=20﹣8；第二种状况如图 2 所示，点H 在 AC 的下方，由四边形CQHE 是菱形知CQ=QE=EH=HC=t， PE= t，EM=2﹣t， MQ=4﹣2t．那么在直角三角形 EMQ 中，依据勾股定理知222，即〔 2﹣2+〔4﹣EM +MQ =EQ t〕2t〕2=t2，解得， t 1=，t2=4〔不合题意，舍去〕．综上所述， t=20﹣ 8或t=．文案大全文案大全。

初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析)一．选择题（共10小题）1．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值2．下列说法错误的是（）A．2是8的立方根B．±4是64的立方根C．﹣是的平方根D．4是的算术平方根3．用同样多的钱，买一等毛线，可以买3千克；买二等毛线，可以买4千克，如果用买a千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（）A．a千克 B．a千克 C．a千克 D．a千克4．如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×10177．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A． B． C． D．8．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．若4与可以合并，则m的值不可以是（）A．B．C．D．10．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1二．填空题（共12小题）11．与最接近的整数是．12．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为．13．若，则=．14．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为．15．已知A=2x+1，B是多项式，在计算B+A时，某同学把B+A看成了B÷A，结果得x2﹣3，则B+A=．16．若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣=．17．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=．18．已知：x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002的值为．19．若=+，对任意自然数n都成立，则a=，b=；计算：m=+++…+=．20．已知三个数x，y，z满足=﹣3，=，=﹣．则的值为．21．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为．22．化简二次根式的正确结果是．三．解答题（共18小题）23．对于任何实数，我们规定符号的意义是：=ad﹣bc．按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1=0时，的值．24．分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．25．（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．26．若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）=2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．27．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．28．已知+=0，求的值．29．已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．30．老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：（﹣）÷=（1）求所捂部分化简后的结果：（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？31．阅读下列材料，解决后面两个问题：我们可以将任意三位数（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a≠0），显然=100a+10b+c；我们形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．（1）写出任意两对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和；（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．32．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x m+y n）．例如：=1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：=；（2）代数式为完全平方式，则k=；（3）解方程：=6x2+7．33．阅读与计算：对于任意实数a，b，规定运算@的运算过程为：a@b=a2+ab．根据运算符号的意义，解答下列问题．（1）计算（x﹣1）@（x+1）；（2）当m@（m+2）=（m+2）@m时，求m的值．34．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．35．斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n=a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．36．问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N．问题解决如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab．∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0．∴M﹣N＞0．∴M＞N．类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．37．附加题：若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．38．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．（1）设A=﹣，B=，求A与B的积；（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题．39．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．40．观察并验证下列等式：13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，（1）续写等式：13+23+33+43+53=；（写出最后结果）（2）我们已经知道1+2+3+…+n=n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=；（结果用因式乘积表示）（3）利用（2）中得到的结论计算：①33+63+93+…+573+603②13+33+53+…+（2n﹣1）3（4）试对（2）中得到的结论进行证明．初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2009秋•和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选D．方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1，故选D．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．2．（2016秋•郑州月考）下列说法错误的是（）A．2是8的立方根B．±4是64的立方根C．﹣是的平方根D．4是的算术平方根【分析】正数平方根有两个，算术平方根有一个，立方根有一个．【解答】解：A、2是8的立方根是正确的，不符合题意；B、4是64的立方根，原来的说法错误，符合题意；C、﹣是的平方根是正确的，不符合题意；D、4是的算术平方根是正确的，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查立方根，平方根和算术平方根的概念．3．（2016秋•全椒县期中）用同样多的钱，买一等毛线，可以买3千克；买二等毛线，可以买4千克，如果用买a千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（）A．a千克 B．a千克 C．a千克 D．a千克【分析】先设出买1千克的一等毛线花的钱数和买1千克的二等毛线花的钱数，列出一等毛线和二等毛线的关系，再乘以a千克即可求出答案．【解答】解：设买1千克的一等毛线花x元钱，买1千克的二等毛线花y元钱，根据题意得：3x=4y，则=，故买a千克一等毛线的钱可以买二等毛线a．故选A．【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是认真读题，找出等量关系，列出代数式，是一道基础题．4．（2009•江干区模拟）如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【分析】观察图形可知：阴影部分的面积=大圆的面积﹣小圆的面积，大圆的直径=a，小圆的直径=，再根据圆的面积公式求解即可．【解答】解：据题意可知：阴影部分的面积S=大圆的面积S1﹣小圆的面积S2，∵据图可知大圆的直径=a，小圆的半径=，∴阴影部分的面积S=π（）2﹣π（）2=π（2ab﹣b2）．故选A．【点评】此题主要考查学生的观察能力，只要判断出两圆的直径，问题就迎刃而解．本题涉及到圆的面积公式、整式的混合运算等知识点，是整式的运算与几何相结合的综合题．5．（2015•湖北校级自主招生）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】等式两边乘以2，利用配方法得到（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，根据非负数的性质得到2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，则a=b，且a2+b2=c2．然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断．【解答】解：∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，∴c=a，c=b，∴a=b，且a2+b2=c2．∴△ABC为等腰直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键．6．（2015•河北模拟）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×1017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．故选D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．7．（2016春•雁江区期末）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A． B． C． D．【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为S．倒立放置时，空余部分的体积为bS，正立放置时，有墨水部分的体积是aS因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的=，故选A．【点评】考查列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点．8．（2016秋•乐亭县期末）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】分式，讨论就可以了．即m+1是2的约数则可．【解答】解：∵=1+，若原分式的值为整数，那么m+1=﹣2，﹣1，1或2．由m+1=﹣2得m=﹣3；由m+1=﹣1得m=﹣2；由m+1=1得m=0；由m+1=2得m=1．∴m=﹣3，﹣2，0，1．故选C．【点评】本题主要考查分式的知识点，认真审题，要把分式变形就好讨论了．9．（2004•十堰）若4与可以合并，则m的值不可以是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同．【解答】解：A、把代入根式分别化简：4=4=，==，故选项不符合题意；B、把代入根式化简：4=4=；==，故选项不合题意；C、把代入根式化简：4=4=1；=，故选项不合题意；D、把代入根式化简：4=4=，==，故符合题意．故选D．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．10．（2016•邯郸校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣===，∴a的小数部分=﹣1；∵﹣===，∴b的小数部分=﹣2，∴﹣====．故选B．【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．二．填空题（共12小题）11．（2014•雨花区校级自主招生）与最接近的整数是6．【分析】先利用完全平方公式将分母化简变形，再进行分母有理化即可．【解答】解：∵=======≈5.828，∴与最接近的整数是6．故答案为：6【点评】本题主要考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再分母有理化是解决问题的关键．12．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为4．【分析】求出的范围，求出+1的范围，即可求出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]=4，故答案为：4．【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定+1的范围，题目比较新颖，是一道比较好的题目．13．（2013•德阳）若，则=6．【分析】根据非负数的性质先求出a2+、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵，∴+（b+1）2=0，∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，∴a+=3，∴（a+）2=32，∴a2+=7；b=﹣1．∴=7﹣1=6．故答案为：6．【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出a2+的值．14．（2012•佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为2m+4．【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），解得x=2m+4．故答案为：2m+4．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．15．（2012•河南模拟）已知A=2x+1，B是多项式，在计算B+A时，某同学把B+A 看成了B÷A，结果得x2﹣3，则B+A=2x3+x2﹣4x﹣2．【分析】由B除以A商为x2﹣3，且A=2x+1，利用被除数等于商乘以除数，表示出B，利用多项式乘以多项式的法则计算，确定出B，再由B+A列出关系式，去括号合并后即可得到结果．【解答】解：根据题意列出B=（2x+1）（x2﹣3）=2x3﹣6x+x2﹣3=2x3+x2﹣6x﹣3，则B+A=（2x3+x2﹣6x﹣3）+（2x+1）=2x3+x2﹣4x﹣2．故答案为：2x3+x2﹣4x﹣2．【点评】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．16．（2011•乐山）若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣=3．【分析】由，得m2﹣3m﹣1=0，即=，因为m为正实数，可得出m的值，代入，解答出即可；【解答】解：法一：由得，得m2﹣3m﹣1=0，即=，∴m1=，m2=，因为m为正实数，∴m=，∴=（）（）=3×（），=3×，=；法二：由平方得：m2+﹣2=9，m2++2=13，即（m+）2=13，又m为正实数，∴m+=，则=（m+）（m﹣）=3．故答案为：．【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．17．（2002•益阳）因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=（x﹣y+3）（x+y﹣3）．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题后三项提取﹣1后y2﹣6y+9可运用完全平方公式，可把后三项分为一组．【解答】解：x2﹣y2+6y﹣9，=x2﹣（y2﹣6y+9），=x2﹣（y﹣3）2，=（x﹣y+3）（x+y﹣3）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．18．（2002•福州）已知：x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002的值为2003．【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，﹣x3+2x2+2002，=﹣x3+x2+x2+2002，=﹣x（x2﹣x）+x2+2002，=﹣x+x2+2002，=1+2002，=2003．故答案为：2003．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．19．（2015•梅州）若=+，对任意自然数n都成立，则a=，b=﹣；计算：m=+++…+=．【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值．【解答】解：=+=，可得2n（a+b）+a﹣b=1，即，解得：a=，b=﹣；m=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故答案为：；﹣；．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2013•涟水县校级一模）已知三个数x，y，z满足=﹣3，=，=﹣．则的值为﹣6．【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值．【解答】解：∵=﹣3，=，=﹣，∴=﹣，，=﹣，整理得，+=﹣①，+=②，+=﹣③，①+②+③得，++=﹣+﹣=﹣，∴=﹣，=﹣，∴=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题的关键．21．（2013•六盘水）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为m≥9．【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通过偶次方（x﹣3）2是非负数可求得9﹣m≤0，则易求m 的取值范围．【解答】解：由题意，得x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，∵（x﹣3）2≥0，要使得（x﹣3）2﹣9+m恒大于等于0，∴m﹣9≥0，∴m≥9，故答案为：m≥9．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．（2009•琼海模拟）化简二次根式的正确结果是．【分析】根据二次根式的性质及定义解答．【解答】解：由二次根式的性质得﹣a3b≥0∵a＜b∴a＜0，b＞0∴原式==﹣a．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．2、性质：=|a|．三．解答题（共18小题）23．（2010•东莞校级一模）对于任何实数，我们规定符号的意义是：=ad ﹣bc．按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1=0时，的值．【分析】应先根据所给的运算方式列式并根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把已知条件整体代入求解即可．【解答】解：=（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2），=x2﹣1﹣3x2+6x，=﹣2x2+6x﹣1，∵x2﹣3x+1=0，∴x2﹣3x=﹣1，∴原式=﹣2（x2﹣3x）﹣1=2﹣1=1．【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，弄清楚规定运算的运算方法是解题的关键．24．（2016秋•昌江区校级期末）分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．【分析】先分组得到原式=（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1），再根据完全平方公式，提取公因式法，平方差公式得到原式=（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1），再根据十字相乘法即可求解．【解答】解：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1=（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1）=（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1）=（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）．【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，本题关键是式子分组，以及熟练掌握完全平方公式，提取公因式法，平方差公式，十字相乘法的计算方法．25．（2013•黔西南州）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．【分析】（1）先分别根据0指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式=1×4+1+|﹣2×|=4+1+|﹣|，=4+1+0，=5；（2）原式====．当x=﹣3时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．26．若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）=2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣=y+，同理得②式：x+=y﹣，将两式相加可得结论；（2）将x=y代入原式或①式得：x2=2016，代入所求式子即可．【解答】解：（1）∵（x﹣）（y﹣）=2016，∴x﹣===y+①，同理得：x+=y﹣②，①+②得：2x=2y，∴x=y，（2）把x=y代入①得：x﹣=x+，x2=2016，则3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017，=3x2﹣2x2+3x﹣3x﹣2017，=x2﹣2017，=2016﹣2017，=﹣1．【点评】本题是二次根式的化简和求值，有难度，考查了二次根式的性质和分母有理化；二次根式中分母中含有根式时常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．27．（2017春•启东市月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．28．（2017春•滨海县月考）已知+=0，求的值．【分析】因为一个数的算术平方根是非负数，先由非负数的和等于0，求出a、b 的值，把a、b代入并求出的值．【解答】解：∵≥0，≥0，又∵+=0，∴a﹣，b﹣+2=0，即a=，b=﹣2∴a2+b2+7=（）2+（﹣2）2+7=5+4+4+5﹣4+4+7=25∴==5．【点评】本题考查了非负数的算式平方根和二次根式的化简．解决本题的关键是根据非负数的和为零求出a、b的值．初中阶段学过的非负数有：一个数的绝对值、一个数的偶次方、一个数的算术平方根．29．（2016•海淀区校级模拟）已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．【分析】由条件利用非负数的性质可先求得a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0∴a=2，b=1，∴==7+．【点评】本题主要考查二次根式的运算，利用非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．30．（2016•滦南县一模）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：（﹣）÷=（1）求所捂部分化简后的结果：（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？【分析】（1）设所捂部分为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；（2）令原代数式的值为﹣1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．【解答】解：（1）设所捂部分为A，则A=•+=+==；（2）若原代数式的值为﹣1，则=﹣1，即x+1=﹣x+1，解得x=0，当x=0时，除式=0，故原代数式的值不能等于﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．31．（2016•重庆校级模拟）阅读下列材料，解决后面两个问题：我们可以将任意三位数（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a≠0），显然=100a+10b+c；我们形如和的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．（1）写出任意两对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和；（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．【分析】（1）根据“姊妹数”的意义直接写出两对“姊妹数”，根据“姊妹数”的意义设出一个三位数，表示出它的“姊妹数”，求和，用2331建立方程求解，最后判断即可；（2）表示出这对“姊妹数”，并且求和，写成37×6（x﹣1），判断6（x﹣1）是整数即可．【解答】解：（1）根据“姊妹数”满足的条件得，和是一对姊妹数，和是一对姊妹数；假设是一对“姊妹数”的和，设这对“姊妹数”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x﹣1），百位数字为（x+1），（x为大于1小于9的整数），∴这个三位数为100（x+1）+10x+x﹣1=111x+99，∴另一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x+1），百位数字为（x﹣1），则这个三位数为100（x﹣1）+10x+x+1=111x﹣99，∴这对“姊妹数”的和为（111x+99）+（111x﹣99）=222x=2331，∴x=10，不符合题意，∴2331不是一对“姊妹数”的和；（2）∵x表示一个三位数的百位数字，（x为大于2小于9的整数），根据“姊妹数”的意义得，这个三位数的十位数字为（x﹣1），个位数字为（x﹣2），∴这个三位数为：100x+10（x﹣1）+（x﹣2）=111x﹣12，∴它的“姊妹数”为：100（x﹣2）+10（x﹣1）+x=111x﹣210，∴这对“姊妹数”的和为：（111x﹣12）+（111x﹣210）=222x﹣222=222（x﹣1）=37×6（x﹣1），∵x为大于2小于9的整数，∴（x﹣1）是整数，∴6（x﹣1）是整数，∴37×6（x﹣1）能被37整除，即：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．【点评】此题是因式分解的应用，主要考查了新定义，解一元一次方程，这出问题，解本题的关键是理解“姊妹数”的意义，并且会用它解决问题．32．（2017春•崇仁县校级月考）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x m+y n）．例如：=1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：=﹣；（2）代数式为完全平方式，则k=±3；（3）解方程：=6x2+7．【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）=[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]=﹣6÷4=﹣．故答案为：﹣；（2）=[x2+（3y）2]+xk•2y=x2+9y2+2kxy，∵代数式为完全平方式，∴2k=±6，解得k=±3．故答案为：±3；（3）=6x2+7，（3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]=6x2+7，解得x=﹣4．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．33．（2016•太原二模）阅读与计算：对于任意实数a，b，规定运算@的运算过程为：a@b=a2+ab．根据运算符号的意义，解答下列问题．（1）计算（x﹣1）@（x+1）；（2）当m@（m+2）=（m+2）@m时，求m的值．【分析】（1）根据题目中的新运算可以化简题目中的式子；（2）根据题目中的新运算可以对题目中的式子进行转化，从而可以求得m的值．【解答】解：（1）∵a@b=a2+ab，∴（x﹣1）@（x+1）=（x﹣1）2+（x﹣1）（x+1）=x2﹣2x+1+x2﹣1=2x2﹣2x；（2）∵a@b=a2+ab，∴m@（m+2）=（m+2）@m即m2+m（m+2）=（m+2）2+（m+2）m，化简，得4m+4=0，解得，m=﹣1，即m的值是﹣1．【点评】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、新运算，解题的关键是明确题目中的新运算，利用新运算解答问题．34．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；。

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一•解答题(共8小题)1 •如图，抛物线y=a«+bx+c (a^0)经过点A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y 轴于点M .(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△ MAO相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在，2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx (a>0)经过点A 和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求/ AOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且△ ABC与△ AOM相似，求点C的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B (6, 0)两点，交y轴于点■■-二-.(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作。

D与x轴相切D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位置，使得△ PGA的面积被直线AC分为1: 2两部分？已知点 A (- 2, - 4), 0B=2 抛物线 y=af+bx+c (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 若点M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+0M 的最小值； (3) 在此抛物线上，是否存在点 P ,使得以点P 与点0、A 、B 为顶点的四边形 是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5. 已知抛物线y=-貳+bx+c 经过点A (0，1 )，B (4，3). (1) 求抛物线的函数解析式； (2) 求 tan / AB0 的值； (3) 过点B 作BC 丄x 轴，垂足为C ,在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线 段AB 于点N,交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标. 6. 如图1,已知抛物线的方程 G ： y=-L (x+2) (x - m ) (m >0)与x 轴交于点 ID B 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧. (1) 若抛物线G 过点M (2, 2),求实数m 的值； (2) 在(1)的条件下，求△ BCE 的面积；4.如图，在平面直角坐标系中, 经过点A 、0、B 三点.(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线C i上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△ BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.7•如图，已知抛物线y二x2-丄(b+1) x* (b是实数且b>2)与x轴的正半4 44轴分别交于点A、B (点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.(1)__________________ 点B的坐标为_________ ，点C的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b，且厶PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△ QCO, △ QOA和厶QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q8•如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (1, 0)，C (3, 0)，D (3, 4).以A为顶点的抛物线y=af+bx+c过点C•动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P, Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE± AB交AC于点 E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF丄AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P, Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界) 存在点H,使以C, Q, E,H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.第3页(共22页)第4页（共22页）第5页(共22页)初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一•解答题(共8小题)1 •如图，抛物线y=a«+bx+c (a^0)经过点A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y 轴于点M .(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△ MAO相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在，•••抛物线的表达式为y=- — y--■—-13(2)将x=0代入抛物线表达式，得y=1.「.点M的坐标为(0,1). 设直线MA的表达式为y=kx+b'则宵;+Slb=l•直线MA的表达式为y=-x+1.设点D的坐标为(和务『上叱十1),则点F的坐标为(x0, ys0+l).1 A9 1DF=pR°-yx0+l-(yM0+ l)一-一一当叶#时，DF 的最大值为务 此时一:-V ■!--，即点D 的坐标为 （3）存在点P ,使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△ MAO 相似•设P （m , 1 2 2^.） 在Rt A MAO 中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在 第一象限. ①设点P 在第二象限时，•••点P 不可能在直线MN 上，二只能PN=3AN, 即 m 2+11m+24=0.解得 m=- 3 （舍去）或 m=- 8 .又 -3v m v 0,故此时满足条件的点不存在. ②当点P 在第三象限时，•••点P 不可能在直线MA 上，二只能PN=3AN, ，即 m 2+11m+24=0. 解得m=- 3或m=- 8 .此时点P 的坐标为（-8， - 15）. 6=0. 解得m=-3 （舍去）或m=2.若 PN=3NA 则-务4X3（昭3），即 m 2- 7m - 30=0. 解得m=-3 （舍去）或m=10,此时点P 的坐标为（10,- 39）. 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（-8,- 15）、（2 ,-丄）、（10,- 39）.-^T T- TT-：③当点P 即 m 2+m — 当m=2时, 一矍,-1-丄.此时点P 的坐标为（2, 1）*32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax?+bx (a>0)经过点A 和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求/ AOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且△ ABC与△ AOM相似，求点C的坐标.【解答】解：(1)如图，过点A作AD丄y轴于点D，•/ AO=OB=4•-B (4, 0). vZ AOB=120,•••/ AOD=30，••• AD-*, OD「OA=2；.••• A (- 2, 2 「；).将 A (-2,斯),B (4, 0)代入y=af+bx,得:•••这条抛物线的表达式为y= . x2-：x；{:卅，解得(2)过点M作ME丄x轴于点2-) ，即OE=2••• tan / EOM 輕巫 OE 3 •••/ AOM=/ AO 涉/ EOM=150 . (3)过点A 作AH 丄x 轴于点H , ••• AH=2 二 HB=HGOB=6, ••• tan / ABH 王二；. HB 3 •••/ ABH=30, •••/ AOM=150 •••/ OAM v 30° •••/ OMA v 30° •••点C 不可能在点B 的左侧，只能在点B 的右侧. •••/ ABC=180-/ ABH=150, •••/ AOM=150 , • / AOM=/ ABC. • △ ABC 与△ AOM 相似，有如下两种可能： ①厶 BAC 与^△ OAM ，②△ BA^sA OMA ••• OD=2, ME 二., •••OM=：— 3 ••• AH=2 :■；, BH=6, ••• AB=4 \ ①当△ BAC 与s △ OAM 时, 由 •C (8, 0). ②当△ BAC 与s △ OMA 时, 由鼻丄^得，解得BC =12 D C A D A0 Cli l A B BC • C 2 (16, 0). 综上所述，如果点C 在x 轴上，且△ ABC 与厶AOM 相似, 导，解得BC=43. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B (6, 0)两点，交y轴于点’I工 .(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作。

九年级数学上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）一、压轴题1．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：162y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线2l：12y x=交于点A.（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且COD△的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．4．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E 不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．问题探究：（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；问题解决：（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、EC、EF、⊥.FC，且EC EF∽；（1）求证：AEF BCEAC=，求AB的长；（2）若23△的外接圆圆心之间的距离？（3）在（2）的条件下，求出ABC的外接圆圆心与CEF6．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA=，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.（1）①依题意补全图形.②求证：∠OFC=∠ODC．（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.7．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 8．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2GDGO=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.9．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．11．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．12．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ＝BD ，点D 在AB 上，连接CO ，并延长CO 交线段AB 于点F ，连接OA 、OB ，且OA ＝5，tan ∠OBA ＝12． （1）求证：∠OBA ＝∠OCD ；（2）当△AOF 是直角三角形时，求EF 的长；（3）是否存在点F ，使得S △CEF ＝4S △BOF ，若存在，请求EF 的长，若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502BEFEBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠=∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥∴BF CF =，ABD ACD △≌△∴FBD FCD △≌△，1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=12∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M∵8090BEF ∠=<∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．2．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q 点坐标为：(-3，3)或)或(6，6).【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形；②当四边形OP2CQ2为菱形时；③当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.【详解】解：(1)由题意得16212y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得63 xy=⎧⎨=⎩∴A(6，3)在y=-162x+中，当y=0时，x=12，∴B(12，0)当x=0时，y=6，∴C(0，6).(2)∵点D在线段OA上，∴设D(x，12x) (0≤x≤6)∵S△COD=12∴12×6x=12x=4∴D(4，2)，设直线CD的表达式为y=kx+b，把(10，6)与D(4，2)代入得624bk b=⎧⎨=+⎩解得16 kb=-⎧⎨=⎩直线CD的表达式为y=-x+6(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时OC==OP1，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时Q1P1=OP1=OC=6，即Q:（6，6）；②当四边形OP2CQ2为菱形时，OP2=CP2，由C坐标为（0，6），得到Q2纵坐标为3，把y=3代入直线OQ2解析式y=-x中，得：x=-3，此时Q2（-3，3）；③当四边形0Q3P3C为菱形时，OC=CP3，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，设坐标为（x，-x+6），∵OC=CP3∴x2+x2= CP32= OC2=62解得，x=32，P的坐标为 (32，6-32)此时Q3 (32，-32).综上，点Q的坐标是(-3，3)或(32，-32)或(6，6).【点睛】本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用，是一道压轴题，在考试中第一问必须作答，二三问可以根据自己的情况进行取舍.3．（1）①18；②t=4或t=－1；（2）48；，或；（3）【解析】试题分析：（1）根据给出的新定义进行求解；（2）过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小；根据当y=0是y=8时求出x的值得到取值范围；（3）根据最佳外延矩形求出半径的取值范围.试题解析：（1）①18；②t=4或t=－1；（2）如图，过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48，∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．抛物线与轴交于点T（0，5）．令，有，解得：x=－1（舍去），或x=5．令y=8，有，解得x=1，或x=3．∴，或．（3）．考点：新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质.4．（1）4；（2）52；（3）600（2+1）．【解析】【分析】（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝（2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．【详解】解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴S△EOB＝S△OFC，∴S四边形OEBF＝S△OBC＝14•S正方形ABCD＝4，故答案为：4；（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC＝∠DAC，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠DBQ＝45°，根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝22BQ＝52．（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°，∴B，A，E三点共线，∵DE＝DB，∠EDB＝90°，∴BE2BD，∴AB+BC＝AB+AE＝BE2BD，∴BC+BC+BD2+1）BD，∴当BD最大时，AB+BC+BD的值最大，∵A，B，C，D四点共圆，∴当BD为直径时，BD的值最大，∵∠ADC＝90°，∴AC 是直径，∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝600+1）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（1）详见解析；（2）3）12【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到AFE BEC =∠∠，即可证明相似；（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度. 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒， ∴90AEF AFE ∠+∠=︒， ∵EC EF ⊥， ∴90FEC ∠=︒， ∴90AEF BEC ∠+∠=︒， ∴AFE BEC =∠∠， ∴AEF BCE ∽；（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴22,2AB AE BE AD AF ===； ∵AEF BCE ∽， ∴AE AFBC BE=， ∴222AB BC =，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，222AB BC AC +=，∴221122AB AB +=，解得：AB = （3）如图：∵△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处， 同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处， ∴线段MN 为△ACF 的中位线， ∴1124MN AF AD ==， 由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴2AD AB =， ∴22122882MN AB ===. 【点睛】本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 6．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=21 【解析】 【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②由CD ⊥OA 可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC =，利用等量代换可得AD CE =，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD ，由切线性质可得OC ⊥FC ，可得∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC ； （2）连接BF ，作BG ⊥l 于G ，根据OB=12OA ，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC 的长，根据垂径定理可得CD 的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC ，可得FC=CD ，由BG ⊥l ，OC ⊥l 可得OC//BG ，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG 的长，利用勾股定理可求出BG 的长，即可求出FG 的长，利用勾股定理求出FB 的长即可. 【详解】（1）①延长OE ，交直线l 于F ，如图即为所求，②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，∴AD AC=，∵CE CA=，∴AD CE=，∴∠EOC=∠AOD，∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥FC，∴∠OFC+∠FOC=90°，∴∠OFC=∠ODC.（2）连接BF，作BG⊥l于G，∵B是OA的中点，⊙O半径为4，∴OB=12OA=12OC=2，∵OA⊥CD，∴∠OCD=30°，22OC OB-2242-3∴CD=2BC=43由（1）可知∠OFC=∠ODC，∴FC=CD=3∵BG⊥l，OC⊥l，∴OC//BG，∴∠CBG=∠OCD=30°，∴CG=12322BC CG-，∴FG=FC+CG=53，∴22FG BG+21【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.7．（1）223y x x =+-；（2）是，定值为8；（3）1557,416⎛⎫-⎪⎝⎭或939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b 、c 的值．（2）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把x ＝1-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM +DN 为定值．（3）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使AH ＝AB 构造等腰△ABH ，作BH 中点G ，即有∠PAB ＝2∠BAG ＝2∠ACO ，利用∠ACO 的三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H '，求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （1，0），C （0，－3），∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3． （2）结论：DM +DN 为定值．理由：∵抛物线y ＝x 2＋2x －3的对称轴为：直线x ＝－1， ∴D （﹣1，0），x M ＝x N ＝﹣1， 设Q （t ，t 2+2t ﹣3）（﹣3＜t ＜1）， 设直线AQ 解析式为y ＝dx +e∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩解得：33d t e t =+⎧⎨=--⎩， ∴直线AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3，当x ＝﹣1时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6， ∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6， 设直线BQ 解析式为y ＝mx +n ，∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3，当x ＝﹣1时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2， ∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2，∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．（3）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH ＝AB ，过点B 作BI ⊥x 轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI ⊥BI 于点I ．∵当x 2+2x ﹣3＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1， ∴B （﹣3，0），∵A （1，0），C （0，﹣3），∴OA ＝1，OC ＝3，AC 221310+=AB ＝4， ∴Rt △AOC 中，sin ∠ACO ＝010A AC =，cos ∠ACO ＝310OC AC =， ∵AB ＝AH ，G 为BH 中点， ∴AG ⊥BH ，BG ＝GH ，∴∠BAG ＝∠HAG ，即∠PAB ＝2∠BAG ， ∵∠PAB ＝2∠ACO ， ∴∠BAG ＝∠ACO ，∴Rt △ABG 中，∠AGB ＝90°，sin ∠BAG ＝10BG AB =， ∴BG 10210AB =， ∴BH ＝2BG 410， ∵∠HBI +∠ABG ＝∠ABG +∠BAG ＝90°， ∴∠HBI ＝∠BAG ＝∠ACO ， ∴Rt △BHI 中，∠BIH ＝90°，sin ∠HBI ＝HI BH 10，cos ∠HBI ＝310BI BH =，∴HI＝1010BH＝43，BI＝31010BH＝125，∴x H＝411355-+=-，y H＝125-，即1112,55H⎛⎫--⎪⎝⎭，设直线AH解析式为y＝kx+a，∴111255k ak a+=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：3434ka⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AH：3344y x=-，∵2334423y xy x x⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得：1xy=⎧⎨=⎩（即点A）或943916xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴939,416P⎛⎫--⎪⎝⎭．②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称．∴1112,55H⎛'⎫-⎪⎝⎭，设直线AH'解析式为y k x a='+'，∴111255k ak a+='''⎧-'⎪⎨+=⎪⎩，解得：3434ka⎧=-⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，∴直线AH'：3344y x=-+，∵2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩（即点A ）或1545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1557,416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 综上所述，点P 的坐标为939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．运用到分类讨论的数学思想，理清线段之间的关系为解题关键．8．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 992m -+= 【解析】 【分析】 (1)把,,代入,解方程组即可.(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG,则点G 在线段BC 上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,由,推出,,M 、N 关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.【详解】 (1),,,代入,得,解得,∴抛物线的解析式为(2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K.由题意,,,,,,,将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,,,,是等腰直角三角形,,∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, ,∴直线OD的解析式为,,∴直线OG的解析式为,由解得或, 点P在对称轴左侧,点P坐标为(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到,,,,,,,,,,设,,则,设平移后的抛物线的解析式为,由消去y 得到,,, ∴M 、N 关于直线对称,,设,则,,(负根已经舍弃), ,,【点睛】本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大.9．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或． 【解析】【分析】（1）由3OB OC ==及图像可得B 、C 两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；（2）由题意易得35COF COD S S =，进而得到点D 、F 横坐标之间的关系为53D F x x =，设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，则有直线BC 的解析式为3y x =-+，然后可直接求解；（3）分∠PBE 或∠PEB 等于2∠OBE 两种情况分别进行求解即可．【详解】解：(1)3OB OC ==，则：()()3003B C ，，，， 把B C 、坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：2y x 2x 3=-++①；(2)∵32COF CDF S S =△△：：， ∴35COF COD S S =，即：53D F x x =， 设F 点横坐标为3t ，则D 点横坐标为5t ，点F 在直线BC 上，而BC 所在的直线表达式为：3y x =-+，则33(3)F t t -，， 则直线OF 所在的直线表达式为：3313t t y x x t t--==， 则点55(5)D t t -，， 把D 点坐标代入抛物线解析式，解得：15t =或2 5， 则点D 的坐标为(14)，或(2)3，； (3)①当2PBE OBE ∠=∠时，当BP 在x 轴上方时，如图2，设1BP 交y 轴于点E '， ∴12PBE OBE ∠=∠ ， ∴E BO EBO ∠'=∠ ，又60E OB EBO BO BO ∠'=∠=︒=， ，∴()E BO EBO AAS '≌ ，∴32EO EO ==， ∴点3(20)E '，，直线1BP 过点BE '、，则其直线方程为：1322y x =-+②， 联立①②并解得：12x =- ， 故点P 1的坐标为17()24-，；当BP 在x 轴下方时， 如图2，过点E 作//EF BE '交2BP 于点F ，则FEB EBE ∠=∠'，∴222E BE OBE EBP OBE ∠'=∠∠=∠， ，∴FEB EBF ∠=∠ ，∴FE BF = ，直线EF 可以看成直线BE '平移而得，其k 值为12-， 则其直线表达式为：1322y x =-- ，设点13()22F m m --，，过点F 作FH y ⊥轴交于点H ，作BK HF ⊥于点K ， 则点13()202H m --，，13()232K m --，， ∵EF BF =，则22FE BF =， 即：()2222331313()()22222m m m m +-++=-++， 解得：52m =， 则点511()24F -，， 则直线BF 表达式为：113322y x =-…③， 联立①③并解得：132x =-或3(舍去3)， 则点213209()24P --，； ②当2PEB OBE ∠=∠时，当EP 在BE 上方时，如图3，点E '为图2所求，设BE '交3EP 于点F ，∵2EBE OBE ∠'=∠，∴3EBE P EB ∠'=∠ ，∴FE BF = ，由①知，直线BE '的表达式为：1322y x =-+， 设点13()22F n n -+，，13()232K n -+，， 由FE BF =，同理可得：12n =， 故点15()24F ，，则直线EF 的表达式为：11322y x =-④， 联立①④并解得：1n =或92- (舍去负值)， ∴34(1)P ， ； 当EP 在BE 下方时，同理可得：x =舍去负值)，故点458(417P +-+，．故点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或(54178+-+，． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解．10．（1）点D 的坐标为(2，12)，抛物线的解析式为24 ?1?3y x =-+；（2）①1n =+；②234S m =+，S 【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）①在Rt △FEA 中，FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：n km b =+，求得m =2n FB ==，m =3n FD ==，代入n km b =+，即可求解；②求得NA 3m =，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=32，利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，∴OB=1，∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，∴AB=2OB=2，=ABO=60︒，∴点A 的坐标为0)，又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒，∴OD=CD=OB=1，∴△DOB为等边三角形，∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，延长CD交OA于H，则CH⊥OA，∴DH=12OD=12，3CH=CD+DH=32，∴点D的坐标为312)，点C的坐标为332)，将A30) ， C的坐标为(32，32)代入抛物线的解析式y = ax2 + bx + 1，得：3310333142a ba⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：433ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为243?1?3y x x=-+；（2）①在Rt△FEA中，∠FAE=30︒，3FA=2AB=4，∴FB=12FA=2，FD=FB+BD=3，∵动点M、N同时作匀速直线运动，∴n关于m成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b=+，当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合，∴3m=2n FB==，当点M运动到点A时，点N恰好与点D重合，∴23m=3n FD==，代入n km b =+，得：23b b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴此一次函数解析式为：1n =+； ②NA=FA-FN=4- 33n m =-， 过N 作NQ ⊥EA ，则NQ=12NA=32，∴2133224S m m ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵0<，当3m ==⎝⎭0m ≤≤范围内，∴1322S ⎛=-= ⎝⎭最大 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或2或2x <<【解析】【分析】()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=，综上所述，当2x 22<<3个P 点．∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（1）见解析；（2）EF ＝32或512；（3）存在 【解析】【分析】（1）先判断出∠ECB ＝∠EBC ，再判断出∠OCB ＝∠OBC ，即可得出结论；（2）先求出EF ，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论； （3）先利用面积关系得出53CO FO =，进而利用△OAF ∽△EFC 得出比例式，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，连接BC ，∵AC BD = ，∴∠ECB ＝∠EBC ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCD ＝∠ECF ＝∠ECB ﹣∠OCB ＝∠EBC ﹣∠OBC ＝∠OBA ；（2）∵OA ＝OB ，∴∠OAF ＝∠OBA ，∴∠OAF ＝∠ECF ，①当∠AFO ＝90°时，∵OA tan ∠OBA ＝12，∴OC ＝OA OF ＝1，AB ＝4，∴EF ＝CF •tan ∠ECF ＝CF•tan ∠OBA ②当∠AOF ＝90°时，∵OA ＝OB ，∴∠OAF ＝∠OBA ，∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝12，∵OA∴OF ＝OA •tan ∠OAF ， ∴AF ＝52， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OFA ＝∠EFC ，∴△OFA ∽△EFC ，∴EF CF OC OF OF AF AF +===∴EF OF ＝32,即：EF ＝32； （3）存在，如图2，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S△OEC＝S△OEB，∵S△CEF＝4S△BOF，∴S△CEO+S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），∴53CEOEFOSS∆∆=，∴53COFO=，∴FO＝35CO＝35，∵△OFA∽△EFC，∴53CE AD COEF FO FO===，∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝23EF，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣23EF，∵△OAF∽△EFC，∴CF EFFA FO=，∴855235435EF=-，∴EF＝3﹣355．【点睛】圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出53CE AD COEF FO FO===是解本题的关键．。

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．6．如图1，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于1点E，且点B在点C的左侧．过点M（2，2），求实数m的值；（1）若抛物线C1（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？（4）在第四象限内，抛物线C1若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．（8，0）．∴C1②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．（16，0）．∴C2综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得 x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S△BCE=BC•OE=×6×2=6．（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴BF′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB =S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG =S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时，S△ACG的最大值为1．（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。

初三数学九上压轴题难题提升题培优题一．解答题（共8 小题）1．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）经过点 A（﹣ 3，0）、B（1，0）、C（﹣ 2，1），交 y 轴于点 M ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2） D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）抛物线上能否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为极点的三角形与△ MAO 相像（不包含全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，极点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（ a＞0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，∠ AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联络 OM，求∠ AOM 的大小；（3）假如点 C 在 x 轴上，且△ ABC与△ AOM 相像，求点 C 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 +bx+c 交 x 轴于 A（2，0），B （ 6， 0）两点，交 y 轴于点．（1）求此抛物线的分析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作⊙ D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF的长；（3） P 为此抛物线在第二象限图象上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确立 P 点的地点，使得△ PGA的面积被直线 AC分为 1：2 两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣ 2，﹣ 4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A、 O、 B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，能否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．5．已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（0，1）， B （4，3）．（1）求抛物线的函数分析式；（2）求 tan ∠ABO的值；（3）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左边且平行于 y 轴的直线交线段AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．6．如图 1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左边．（ 1）若抛物线 C1过点 M （2，2），务实数 m 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，求△ BCE的面积；（ 3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（ 4）在第四象限内，抛物线 C1上能否存在点 F，使得以点 B、C、F 为极点的三角形与△ BCE相像？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明原因．．如图，已知抛物线2﹣（b+1）x+（b 是实数且 b＞ 2）与 x 轴的正半7y= x轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左边），与 y 轴的正半轴交于点 C．（ 1）点 B 的坐标为，点 C 的坐标为（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探究在第一象限内能否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△ PBC是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形？假如存在，求出点 P 的坐标；假如不存在，请说明原因；（3）请你进一步探究在第一象限内能否存在点 Q，使得△ QCO，△QOA 和△ QAB中的随意两个三角形均相像（全等可作相像的特别状况）？假如存在，求出点 Q 的坐标；假如不存在，请说明原因．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（1，0），C（3，0），D（ 3，4）．以 A 为极点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P， Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC于点E．（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的分析式；（2）过点 E 作 EF⊥ AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为什么值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为什么值时，在矩形 ABCD内（包含界限）存在点 H，使以 C， Q，E， H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．初三数学九上压轴题难题提升题培优题参照答案与试题分析一．解答题（共8 小题）1．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）经过点 A（﹣ 3，0）、B（1，0）、C（﹣ 2，（ 1）求抛物线的表达式；（ 2） D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）抛物线上能否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为极点的三角形与△ MAO 相像（不包含全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（ 2）将x=0 代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）．设直线MA 的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线 MA 的表达式为 y= x+1．设点D 的坐标为（），则点 F 的坐标为（）．DF==．当时， DF 的最大值为．此时，即点D 的坐标为（）．（3）存在点 P，使得以点 P、 A、 N 为极点的三角形与△ MAO 相像．设 P（m，）．在 Rt△MAO 中， AO=3MO，要使两个三角形相像，由题意可知，点 P 不行能在第一象限．①设点 P 在第二象限时，∵点P 不行能在直线 MN 上，∴只好 PN=3AN，∴，即 m2+11m+24=0．解得 m=﹣ 3（舍去）或 m=﹣8．又﹣ 3＜ m＜0，故此时知足条件的点不存在．②当点 P 在第三象限时，∵点P 不行能在直线 MA 上，∴只好 PN=3AN，∴，即 m2+11m+24=0．解得 m=﹣3 或 m=﹣8．此时点 P 的坐标为（﹣③当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN时，则﹣ 38，﹣ 15）．，即 m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当 m=2 时，．此时点P 的坐标为（2，﹣）．若 PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得 m=﹣3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（ 10，﹣ 39）．综上所述，知足条件的点 P 的坐标为（﹣ 8，﹣ 15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，极点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（ a＞0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（ 1）求这条抛物线的表达式；（ 2）联络 OM，求∠ AOM 的大小；（ 3）假如点 C 在 x 轴上，且△ ABC与△ AOM 相像，求点 C 的坐标．【解答】解：（ 1）如图，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，∵AO=OB=4，∴ B（ 4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD= OA=2，OD= OA=2 ．∴A（﹣ 2，2 ）．将 A（﹣ 2，2 ）， B（4，0）代入 y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（ 2）过点M 作ME⊥ x 轴于点E，∵ y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠ EOM= = ．∴∠ EOM=30°．∴∠ AOM=∠ AOB+∠EOM=150°．（3）过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H，∵ AH=2 ，HB=HO+OB=6，∴tan∠ ABH= = ．∴∠ ABH=30°，∵∠ AOM=150°，∴∠ OAM＜30°，∴∠ OMA＜30°，∴点 C 不行能在点 B 的左边，只好在点 B 的右边．∴∠ ABC=180°﹣∠ ABH=150°，∵∠ AOM=150°，∴∠ AOM=∠ ABC．∴△ ABC与△ AOM 相像，有以下两种可能：①△ BAC与∽△ OAM，②△ BAC与∽△ OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2 ，BH=6，∴ AB=4 ．①当△ BAC与∽△ OAM 时，由 = 得，解得 BC=4．∴C1（8，0）．②当△ BAC与∽△ OMA 时，由 = 得，解得 BC=12．∴C2（16， 0）．综上所述，假如点 C 在 x 轴上，且△ ABC与△ AOM 相像，则点 C 的坐标为（ 8， 0）或（ 16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 +bx+c 交 x 轴于 A（2，0），B （ 6， 0）两点，交 y 轴于点．（1）求此抛物线的分析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作⊙ D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF的长；（3） P 为此抛物线在第二象限图象上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确立 P 点的地点，使得△ PGA的面积被直线 AC分为 1：2 两部分？【解答】解：（ 1）∵抛物线 y=ax2 +bx+c 经过点 A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的分析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是 x=4，把 x=4 代入 y=2x，得 y=8，∴点 D 的坐标为（ 4，8）；∵⊙ D 与 x 轴相切，∴⊙ D 的半径为 8；连结 DE、DF，作 DM⊥ y 轴，垂足为点 M ；在 Rt△MFD 中， FD=8，MD=4，∴cos∠ MDF= ；∴∠ MDF=60°，∴∠ EDF=120°；∴劣弧 EF的长为：；（ 3）设直线 AC 的分析式为 y=kx+b；∵直线 AC经过点，∴，解得；∴直线 AC的分析式为：；设点，PG交直线 AC于 N，则点 N坐标为，∵S△PNA： S△GNA=PN：GN；∴①若 PN：GN=1： 2，则 PG：GN=3：2，PG= GN；即=；解得： m1=﹣ 3， m2=2（舍去）；当 m=﹣3 时，=；∴此时点 P 的坐标为；②若 PN：GN=2：1，则 PG： GN=3：1，PG=3GN；即=；解得： m1=﹣ 12，m2=2（舍去）；当 m=﹣12 时，=；∴此时点 P 的坐标为；综上所述，当点 P 坐标为或时，△ PGA的面积被直线AC分红 1：2 两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣ 2，﹣ 4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A、 O、 B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，能否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）由 OB=2，可知 B（2，0），将 A（﹣ 2，﹣ 4）， B（2，0）， O（0，0）三点坐标代入抛物线 y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（ 2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴 x=1 是线段 OB 的垂直均分线，连结 AB 交直线 x=1 于点 M ，M 点即为所求．∴MO=MB，则 MO+MA=MA+MB=AB作 AC⊥ x 轴，垂足为 C，则 AC=4，BC=4，∴ AB=∴ MO+MA 的最小值为．答： MO+MA 的最小值为．（3）①若 OB∥AP，此时点 A 与点 P 对于直线 x=1 对称，由 A（﹣ 2，﹣ 4），得 P（ 4，﹣ 4），则得梯形OAPB．②若 OA∥BP，设直线 OA 的表达式为 y=kx，由 A（﹣ 2，﹣ 4）得， y=2x．设直线 BP的表达式为 y=2x+m，由 B（2，0）得， 0=4+m，即 m=﹣ 4，∴直线 BP的表达式为 y=2x﹣4由，解得 x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当 x=﹣4 时， y=﹣ 12，∴点 P（﹣ 4，﹣ 12），则得梯形OAPB．③若 AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，则，解得，∴ AB 的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线 OP的表达式为 y=x．由，得 x2=0，解得 x=0，（不合题意，舍去），此时点P 不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣ 4）或 P（﹣ 4，﹣ 12）使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为极点的四边形是梯形，点 P 的坐标是（ 4，﹣ 4）或（﹣ 4，﹣ 12）．5．已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（0，1）， B （4，3）．（1）求抛物线的函数分析式；（2）求 tan ∠ABO的值；（3）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左边且平行于 y 轴的直线交线段AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．【解答】解：（ 1）∵抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（0，1）， B （4，3），∴，解得，因此，抛物线的函数分析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点 B 作 BC⊥x 轴于 C，过点 A 作 AD⊥OB 于 D，∵A（0，1）， B （4，3），∴ OA=1，OC=4，BC=3，依据勾股定理， OB===5，∵∠ OAD+∠AOD=90°，∠ AOD+∠BOC=90°，∴∠ OAD=∠BOC，又∵∠ ADO=∠ OCB=90°，∴△ AOD∽△ OBC，∴= = ，即==，解得 OD= ，AD= ，∴BD=OB﹣ OD=5﹣ = ，∴ tan∠ ABO= ==；（ 3）设直线 AB 的分析式为 y=kx+b（ k≠0，k、b 是常数），则，解得，因此，直线 AB 的分析式为 y=x+1，设点 M （ a，﹣ a2+ a+1）， N（a，a+1），则 MN=﹣a2+ a+1﹣ a﹣1=﹣ a2+4a，∵四边形 MNCB 为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得， a2﹣4a+3=0，解得 a1=1，a2=3，∵ MN 在抛物线对称轴的左边，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣ 12+×1+1=，∴点 M 的坐标为（ 1，）．6．如图 1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左边．（ 1）若抛物线 C1过点 M （2，2），务实数 m 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，求△ BCE的面积；（ 3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1上能否存在点 F，使得以点 B、C、F 为极点的三角形与△ BCE相像？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）将 x=2，y=2 代入抛物线的分析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得： m=4，经查验： m=4 是分式方程的解．∴ m 的值为 4．（2） y=0 得： 0=﹣（x+2）（ x﹣m），解得 x=﹣2 或 x=m，∴B（﹣ 2，0）， C（m，0）．由（ 1）得： m=4，∴C（ 4， 0）．将 x=0 代入得： y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（ 0， 2）．∴BC=6， OE=2．∴S△BCE= BC?OE= ×6×2=6．（3）如图 1 所示：连结 EC 交抛物线的对称轴于点 H，连结 BH，设对称轴与 x 轴的交点为 P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点 B 与点 C 对于 x=1 对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当 H 落在线段 EC上时， BH+EH 的值最小．∵HP∥OE，∴△ PHC∽△ EOC．∴，即．解得HP=．∴点 H 的坐标为（ 1，）．（4）①如图 2，过点 B 作 EC的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥x 轴于F′．∵ BF∥EC，∴∠ BCE=∠FBC．∴当，即 BC2时，△∽△．=CE?BF BCE FBC设点 F 的坐标为（ x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得 x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．2又∵ BC =CE?BF，∴，整理得： 0=16．此方程无解．②如图 3，作∠ CBF=45°交抛物线于 F，过点 F 作 FF′⊥ x 轴于 F′，∵ OE=OB，∠ EOB=90°，∴∠ EBO=45°．∵∵∠ CBF=45°，∴∠ EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE?BF时，△ BCE∽△ BFC．在 Rt△BFF′中，由 FF′=BF，′得（ x+2）（ x﹣m）=x+2，解得 x=2m．∴F′（2m， 0）．∴BF′=2m+2，∴ BF=2m+2．2，得（）2×（）．解得．由 BC=BE?BF m+2 =22m+2∵ m＞0，∴ m=2+2．综上所述，点 m 的值为 2+2．27．如图，已知抛物线y= x ﹣（b+1）x+（b是实数且b＞ 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左边），与 y 轴的正半轴交于点C．（ 1）点 B 的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探究在第一象限内能否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△ PBC是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形？假如存在，求出点 P 的坐标；假如不存在，请说明原因；（3）请你进一步探究在第一象限内能否存在点 Q，使得△ QCO，△QOA 和△ QAB 中的随意两个三角形均相像（全等可作相像的特别状况）？假如存在，求出点 Q 的坐标；假如不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）令 y=0，即 y= x2﹣（b+1）x+=0，解得： x=1 或 b，∵b 是实数且 b＞2，点 A 位于点 B 的左边，∴点 B 的坐标为（ b，0），令 x=0，解得： y=，∴点 C 的坐标为（ 0，），故答案为：（ b，0），（ 0，）；（ 2）存在，假定存在这样的点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且△ PBC是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形．设点 P 的坐标为（ x， y），连结 OP．则 S 四边形PCOB=S△PCO+S△POB= ? ?x+ ?b?y=2b，∴x+4y=16．过 P 作 PD⊥x 轴， PE⊥ y 轴，垂足分别为D、E，∴∠ PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形 PEOD是矩形．∴∠ EPD=90°．∴∠ EPC=∠DPB．∴△ PEC≌△ PDB，∴ PE=PD，即 x=y．由解得由△ PEC≌△ PDB得 EC=DB，即﹣=b﹣，解得 b=＞2切合题意．∴ P 的坐标为（，）；（3）假定存在这样的点 Q，使得△ QCO，△ QOA 和△ QAB 中的随意两个三角形均相像．∵∠ QAB=∠AOQ+∠ AQO，∴∠ QAB＞∠ AOQ，∠ QAB＞∠ AQO．∴要使△ QOA与△ QAB 相像，只好∠ QAO=∠BAQ=90°，即 QA⊥ x 轴．∵b＞ 2，∴AB＞OA，∴∠ Q0A＞∠ ABQ．∴只好∠ AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由 QA⊥x 轴知 QA∥ y 轴．∴∠ COQ=∠OQA．∴要使△ QOA与△ OQC相像，只好∠ QCO=90°或∠ OQC=90°．（I）当∠ OCQ=90°时，△ CQO≌△QOA．∴ AQ=CO= ．由 AQ2=OA?AB得：（）2=b﹣1．解得： b=8± 4．∵b＞ 2，∴b=8+4 ．∴点 Q 的坐标是（ 1，2+）．（II）当∠ OQC=90°时，△ OCQ∽△QOA，∴ = ，即 OQ2 =OC?AQ．又 OQ2=OA?OB，∴OC?AQ=OA?OB．即 ?AQ=1×b．解得： AQ=4，此时 b=17＞2 切合题意，∴点 Q 的坐标是（ 1，4）．∴综上可知，存在点 Q（1，2+ ）或 Q（1，4），使得△ QCO，△QOA 和△ QAB中的随意两个三角形均相像．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（1，0），C（3，0），D（ 3，4）．以 A 为极点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P， Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC于点E．（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的分析式；（2）过点 E 作 EF⊥ AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为什么值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为什么值时，在矩形 ABCD内（包含界限）存在点 H，使以 C， Q，E， H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．【解答】解：（ 1）A（ 1，4）．y=a（x﹣1）2+4由题意知，可设抛物线分析式为∵抛物线过点 C（ 3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得， a=﹣ 1，∴抛物线的分析式为 y=﹣（ x﹣1）2+4，即 y=﹣x2+2x+3．（ 2）∵ A（1，4）， C（3，0），∴可求直线 AC 的分析式为 y=﹣2x+6．∵点 P（1，4﹣t ）．∴将 y=4﹣t 代入 y=﹣ 2x+6 中，解得点 E 的横坐标为 x=1+．∴点 G 的横坐标为 1+，代入抛物线的分析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴ GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点 A 到 GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即 S△ACG=S△AEG+S△CEG= ?EG? + ?EG（2﹣）= ?2（ t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当 t=2 时， S△ACG的最大值为 1．（ 3）第一种状况如图 1 所示，点 H 在 AC 的上方，由四边形 CQEH是菱形知CQ=CE=t，依据△ APE∽△ ABC，知=，即 =，解得t=20﹣8；CQHE 是菱形知第二种状况如图 2 所示，点H 在 AC 的下方，由四边形CQ=QE=EH=HC=t， PE= t， EM=2﹣t ， MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ 中，依据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（ 2﹣t）2+（ 4﹣2t）2=t2，解得， t 1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述， t=20﹣ 8或t=．。

初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM 于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．∴C1（8，0）．②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．∴C2（16，0）．综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B （6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S=BC•OE=×6×2=6．△BCE（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x 轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴B F′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，则S四边形PCOB∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）△ACG=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．的最大值为1．当t=2时，S△ACG（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)一．选择题（共12小题）1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队03．要使为整数，a只需为（）A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%5．有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C．D．20086．有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．07．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示5+A=F ，3+F=12，E+D=1B ，那么A+C=（ ） A ．16 B ．1C C ．1A D ．228．若ab ＞0，且a+b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞09．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（ ）A ．a 1+a 2+a 3+a 7+a 8+a 9=2（a 4+a 5+a 6）B ．a 1+a 4+a 7+a 3+a 6+a 9=2（a 2+a 5+a 8）C ．a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=9a 5D ．（a 3+a 6+a 9）﹣（a 1+a 4+a 7）=（a 2+a 5+a 8）10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）A．C135B．C136C．C1311 D．C127二．填空题（共10小题）13．2.40万精确到位，有效数字有个．14．如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是（填入M、N、P、R中的一个或几个）．15．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．18．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值．19．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010= ．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．21．若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y= ．22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+= ．三．解答题（共18小题）23．计算：++++…+．24．请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．28．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a ﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a ﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x 为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当x= 时，|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．30．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x= ．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）32．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a ﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a ﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x 为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．34．计算：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（×）．35．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了 1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家．（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1 个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？（2）小彬家距中心广场多远？（3）小明一共跑了多少千米？36．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a= ，b= ，c=（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：（1）；（2）﹣24+3﹣16﹣5；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．39．1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料，请你思考后回答：（1）直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=（2）探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12= ．40．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016春•碑林区校级期末）1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60 000÷2）纳米，然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．【解答】解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2014秋•赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．【解答】解：由题意知，红队共进4球，失2球，净胜球数为：4+（﹣2）=2，黄队共进3球，失5球，净胜球数为3+（﹣5）=﹣2，蓝队共进2球，失2球，净胜球数为2+（﹣2）=0．故选A．【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．3．（2010春•佛山期末）要使为整数，a只需为（）A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数【分析】如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．【解答】解：∵为整数，∴（a﹣5）2为4的倍数，∴a﹣5是偶数，则a可取任意奇数．故选A．【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数，任何一个偶数必定能够被2整除，偶数的平方能够被4整除．4．（2013秋•郑州期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人数除以总人数，可的达标率．【解答】解：﹣1＜0，0=0，﹣1.2＜0，﹣0.1＜0，0=0，﹣0.6＜0，达标人数为6人，达标率为6÷8=75%，故选：D．【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率．5．（2014•新华区模拟）有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C．D．2008【分析】从所给出的资料中，可得到若a1=2，a2=，a3=﹣1，a4=2…则这列数的周期为3，据此解题即可．【解答】解：根据题意可知：若a1=2，则a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，这列数的周期为3，∵2008=3×669+1∴a2008=2．故选：A．【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解．6．（2016春•沭阳县期末）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．0【分析】根据a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可．【解答】解解：∵a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，∴a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上，++的所有可能的值为±1．故选（B）【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解．7．（2013•天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示5+A=F ，3+F=12，E+D=1B ，那么A+C=（ ） A ．16 B ．1C C ．1A D ．22【分析】首先把A+C 利用十进制表示，然后化成16进制即可． 【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16． 故选A ．【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键．8．（2012秋•祁阳县校级期中）若ab ＞0，且a+b ＜0，那么（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0【分析】两数之积大于0，说明两数同号，两数之和小于0，说明两数都是负数． 【解答】解：∵ab ＞0， ∴a ，b 同号； 又∵a+b ＜0， ∴a ，b 同为负数． 故本题选C ．【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则这两个数都为负数．9．（2011秋•南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（ ）A ．a 1+a 2+a 3+a 7+a 8+a 9=2（a 4+a 5+a 6）B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）【分析】从表格中可看出a5在中间，上下相邻的数为依次大7，左右相邻的数为依次大1，所以可得到代数式．【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）﹣21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意D、（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意．故选D．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与a5的关系，从而得出结果．10．（2010•广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc【分析】m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．【解答】解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．故选：A．【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．11．（2009秋•和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选D．方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1，故选D．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）A．C135B．C136C．C1311 D．C127【分析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．【解答】解：根据题意，有C125=，C126=，∴C125+C126=+，=，=，=C136．故选B．【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．二．填空题（共10小题）13．（2009秋•绥中县期末）2.40万精确到百位，有效数字有 3 个．【分析】根据24 000确定精确度，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止共有3个有效数字．【解答】解：2.40万=24 000，精确到百位，有效数字有3个，分别是2，4，0．【点评】从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．（2016秋•余杭区期末）如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b 对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是N或P （填入M、N、P、R 中的一个或几个）．【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，且大于1，然后根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，1＜|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=2，所以原点可能在N 或P点；②当原点在M或R点时，|a|+|b|＞2，所以原点不可能在M或R点；综上所述，原点应是在N或P点．故答案为：N或P．【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．15．（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．【分析】根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．【解答】解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．故答案为．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．16．（2013•天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是13 ．【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．【解答】解：（1101）2=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．故答案为：13．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算a⊕b．【解答】解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣=+，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣=+，则a⊕b=+=．故答案为：．【点评】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键．18．（2011•越秀区校级模拟）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值±15或±9 ．【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．【解答】解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3，则13＜xy＜15，因为x、y是整数，则x=±1时，y=±14；当x=±2时，y=±7，当x=±3时，y的值不存在；当x=±4，±5，±6，±8，±9，±10，±11，±12，±13时，y的值不存在；当x=±14时，y=±1；当x=±7时，y=±2．则x+y=1+14=15，或x+y=﹣1﹣14=﹣15，或x+y=2+7=9，或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．19．（2011春•宿迁校级期末）符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010= ﹣2009 ．【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，计算即可．【解答】解：G（2010）﹣G（）﹣2010=2010×2﹣1﹣（2010﹣1）×2﹣2010=﹣2009．【点评】找到正确的规律是解答本题的关键．20．（2006•连云港）a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．【分析】首先能够根据数轴得到a，b之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析．【解答】解：根据数轴得a＜﹣1＜b，|a|＞|b|．①中，a﹣b＜0，故①正确；②中，a+b＜0，故②正确；③中，由于b的符号无法确定，所以ab＜0不一定成立，故③错误；④中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）＜0，故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．特别注意④中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号．21．（2006•贺州）若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y= ±1 ．【分析】根据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有2个，且互为相反数．根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负．【解答】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=±2，y=±3．又∵＜0，∴x，y异号，故x=2，y=﹣3；或x=﹣2，y=3．∴x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．【点评】理解绝对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．（2004•乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+= 1﹣．【分析】结合图形，知+=1﹣，++=1﹣，推而广之即可．【解答】解：结合图形，得+++…+=1﹣．【点评】此题注意运用数形结合的思想进行分析．三．解答题（共18小题）23．计算：++++…+．【分析】把++++…+变形为++++++++…++，再根据加法交换律和结合律计算即可求解．【解答】解：++++…+=++++++++…++=+（+）+（+）+（+）+…+（+）+=2×2014+=4028+=4028．【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．（2016秋•湖北月考）请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可．【解答】解：解法1，=﹣÷[+﹣（+）]=﹣÷[﹣]=﹣÷=﹣；解法2，原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣56）=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21，故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．25．（2016秋•东莞市期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x ※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．【解答】解：（1）2※4=2×4+1=9；（2）（1※4）※（﹣2）=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；（3）（﹣1）※5=﹣1×5+1=﹣4，（4）∵a※（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴a※（b+c）+1=a※b+a※c．【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规律．26．（2014秋•朝阳区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1可得a+b=0，cd=1，代入可得出答案．【解答】解：由题意得：a+b=0，cd=1，m2=4，原式=m2﹣3=4﹣3=1．【点评】本题考查了倒数和相反数的知识，难度不大，注意细心运算．27．（2016秋•东台市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c ＜0，a+b ＜0，c﹣a ＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c 的正负情况是解题的关键．28．（2016秋•镜湖区校级期中）（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a ﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a ﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1| ，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3 ；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2 ．④当x= 3或﹣2 时，|x+1|+|x﹣2|=5．【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在﹣1和3之间的线段上．④分三种情况讨论即可求得．【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4；②|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果AB=2，则x+1=±2，解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．（2016•河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．【分析】（1）将式子变形为（1000﹣1）×（﹣15），再根据乘法分配律计算即可求解；（2）根据乘法分配律计算即可求解．【解答】解：（1）999×（﹣15）=（1000﹣1）×（﹣15）。