第六章习题解答

383习 题 六1. 用矩阵的行初等变换法解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=+-531322321321321x x x x x x x x x .（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=++--=-++=+++56721145632434234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解：(1) 1,1,1321===x x x(2) 1,2,1,34321==-==x x x x2. a 取什么值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解：2,1-≠a 时，唯一解；1=a 时，无穷解 ；2-=a 时，无解.3. 试证，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.12321321321a ax x x ax ax x x x ax ＋384 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 对任何b 1, b 2, …, b n 都有解的充分必要条件是系数行列式D ≠0.证明：必要性：设T ni i i i a a a )...,,(,21=α，n i ,,2,1 =.),0,,0,1,0,,0,0( i i =ε.n i ,,2,1 =由已知向量组n εεε...,,2,1可由向量组n ααα...,,2,1线性表示.因此，向量组n εεε...,,2,1与n ααα...,,2,1等价，从而n ααα...,,2,1线性无关，秩为n .所以，.0≠D充分性：因为.0≠D 由克拉默法则可知，以D 为系数行列式的有唯一解.所以结论成立.4. 证明， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-----515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x ＝＝＝＝＝385有解的充分必要条件是a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.证明：对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a 原方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等⇔.051=∑=i i a5. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+--=+-+-=-+-.053052110325023421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+=+-=--.0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x －＋＋386 解：(1),0,1,143,145T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-,1,0,21,21T⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ().1,0,1,1T -- 6. 设A 是n 阶方阵，证明，若秩A ＝秩A 2, 则齐次线性方程组AX ＝0与A 2X ＝0有完全相同的解.证明：设AX=0的解空间为1W ，A 2X=0的解空间为2W ，显然AX=0的解是A 2X=0的解.因此，1W ⊆2W .又dim 1W =n-秩A= n-秩A 2= dim 2W若秩A ＝n ，那么dim 1W = dim 2W =0，故1W =2W .若秩A ＝r<n,设r n -ααα...,,2,1是1W 的一个基，那么r n -ααα...,,2,1也是2W 中线性无关的向量，因此r n -ααα...,,2,1也是2W 的基. 所以, 1W =2W .7. 设n 阶方阵A 的各行元素之和都为零，且秩A ＝n －1，求方程组AX ＝0的所有解.387解:C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1..11,C 为任意常数。

8. 已知A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11312221λ，三阶方阵B ≠0，且满足AB =0，求λ的值.解: ,01321≠∴秩A .2≥又由已知，齐次线性方程组AX ＝0有非零解，∴秩A<3，秩A .2=因此，令detA=0,即可解得.1=λ9. 应用线性方程组的理论证明，若m ×n 矩阵A 与n ×p 矩阵B 的积AB ＝0，则秩A ＋秩B ≤n .证明：若A=0或B=0，结论自然成立.不妨设秩A＝r>0,作齐次线性方程组AX ＝0，该方程组的解空间的维数为n-r ，由AB ＝0知，B 的列向量是AX ＝0的解向量。

因此，秩B ≤n-r ，于是秩A ＋秩B ≤n .10.证明，F n 的任意一个子空间都是某一个含n 个未知量的齐次线性方程组的解空间.388 证明：设1V 是F n 的任意一个子空间.并设dim 1V =r,若0<r<n,任取1V 的一个基，则)...,,(,21in i i i T a a a =αi=1,2,…，r. 则齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,22112222212111212111n n rn r r n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1）的基n-r个向量，任取它的一个基础解系 βT i ＝( b i 1, …, b ip ), i ＝1, 2, …, n-r .那么每个i T α（i=1,2,…r.）都满足齐次线性方程组 （2） 但（2）的系数矩阵秩为n-r,它的基础解系含r 个向量.因此，,1T α2T α，…, T r α是（2）的一个基础解系，从而由它生成的子空间1V 就是（2）的解空间.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++=---==0,22,11,0222212101212111............................................n n r n r n r n n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b389若0=r ,则1V 是系数矩阵的秩为n 的n 个未知量的齐次线性方程组的解空间.若n r =,则1V 是系数矩阵为0的齐次线性方程组的解空间.11. 设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101102121c c c已知方程组AX ＝0的解空间的维数为2，求方程组的基础解系.解: ()()TT 0,0,1,0,0,1,1,1-- （提示: ∵ 秩A=2 , ∴C=1. 求C=1 代入即可求出 AX=0的基础解系.）12. 求方程组的全部解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=----=+-+-=-+-.16351749524311325432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x390 解: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102121017179002121c c 其中21,c c 为任意常数.13. 如果u 1, u ２, …, u t 都是方程组AX ＝B 的解，证明，c 1u 1＋c 2u 2＋…＋c t u t 也是AX ＝B 的解，这里c 1＋c 2＋…＋c t ＝1.证:.,,2,1,t i B Au i ⋅⋅⋅==∴A (c 1u 1＋c 2u 2＋…＋c t u t )＝c 1Au 1＋c 2Au 2＋…＋c t Au t ＝c 1B ＋c 2B ＋…＋c t B ＝(c 1＋c 2＋…＋c t ) B ＝B . 故c 1u 1＋c 2u 2＋…＋c t u t 是AX ＝B 的解.14. 设A 为n ×n 矩阵，证明，如果A 2＝I ，那么秩(A ＋I )＋秩(A －I )＝n[提示：根据定理6.5.1与习题9. ]证: ∵ A 2＝I ， ∴n=秩(A 2)≤秩A .又由习题9,(A ＋I )(A －I )＝A 2－I =0∴ 秩(A ＋I )＋秩(A －I )≤n再由定理6.5.1,秩(A ＋I )＋秩(A －I )≥n∴ 秩(A ＋I )＋秩(A －I )＝n.39115. 设A 为n 阶方阵，且A 2＝A ，证明秩A ＋秩(A －I )＝n[提示：根据定理6.5.1与习题9. ]证: ∵0)(2=-=-A A I A A .由习题9,∴ 秩A ＋秩(A －I )≤n又由定理6.5.1, =n 秩I=秩(I －A+A )≤ 秩(I －A)+秩A=秩(A －I ) +秩A∴ 秩A ＋秩(A －I )＝n.16. 设αi ＝(a i 1, a i 2, …, a in )∈F n (i ＝1, 2, …, n ), 证明，α1, α2, …, αn 线性相关的充要条件是行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211＝0 证: 设 02211=+++n n x x x ααα即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⑴ α1, α2, …, αn 线性相关⇔齐次线性方程组⑴有非零解⇔行列式392 0212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a. 17. 设αi ＝(a i 1, a i 2, …, a in )∈F n (i ＝1, 2, …, m )线性无关，对每一个αi 任意添上p 个数，得到F n +p 的m 个βi ＝(a i 1, …, a in , b i 1, …, b ip ), i ＝1, 2, …, m .证明，β1, β2, …, βm 也线性无关.证: 设 F k k k m ∈,,,21 , 使02211=+++m m k k k βββ .即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0002211121211122111212111mp m p p m m mn m n n m m b k b k b k b k b k b k a k a k a k a k a k a k (*)∵ α1, α2, …,m α线性无关,∴ 齐次线性方程组393⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022111212111mn m n n m m a k a k a k a k a k a k只有零解:021====m k k k .从而齐次线性方程组(*)也只有零解: 021====m k k k .所以, β1, β2, …, βm 也线性无关.18. 求向量组α1＝(1, 1, 2, 3), α2＝(1, －1, 1, 1), α3＝(1,3,3, 5) , α4＝(4, 2, 5, 6)的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.解: 极大线性无关组α1, α2, α4 .α３＝2α1－α219. 利用齐次线性方程组的理论判断下列向量组是否线性相关？(1) α1＝(6, 4, 1, －1, 2 ), α2＝(1, 0, 2, 3, －4), α3＝(1, 4, －9, －16, 22) , α4＝(7, 1, 0, －1, 3);(2) α1＝(－1, 2, 0, 0, …, 0, 0, 0),α2＝(0,－1, 3, 0, …, 0, 0, 0),α3＝(0, 0,－1, 4, …, 0, 0, 0),………………………………αn －2＝(0, 0 ,0, 0, …, －1, n －1, 0),αn －1＝(0, 0 ,0, 0, …, 0,－1, n ).394 解: ⑴线性相关⑵线性无关20. 设α1, α2,…,αt , β1, β2,…,βs 都是数域F 上向量空间V 的向量，A 是F 上t ×s 矩阵，且(β1, β2,…,βs )＝(α1, α2,…,αt ) A . 证明(1) 秩(β1, β2,…,βs )≤秩A ；(2) 若{α1, α2,…,αt }线性无关，则秩(β1, β2,…,βs )＝秩A .证明：(1)设),...,,(21s A A A A =，且秩A ＝r )(s r ≤ 不失一般性，不妨设r A A A ,...,,21线性无关，由(β1, β2,…,βs ) ＝(α1, α2,…,αt ) A 得βi ＝(α1, α2,…,αt ) A i ，i=1，2，…，s.因为秩A ＝,r 因此),...1(s r j A j +=可由r A A A ,...,,21线性表示。