数学：18.2《二次根式的运算(4)》学案(沪科版八年级下)

第17章二次根式及其运算回顾与思考1．二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式。

2．二次根式的性质：(1) （a≥0）；(2) 0(a≥0)；(3)3．二次根式的乘除：(1)计算公式：(2)化简公式：4．二次根式的加减：(1)法则：.(2)概念：5．二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母。

6．二次根式的加减步骤：(1)化简；(2)判断；(3)分类；(4)合并。

7．二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．(3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．方法与技能一．题型方法【例1】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？213，75，–11116，3，x2xy，332xy，x33，13x3y思路启迪：先化二次根式为最简二次根式．最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关．【例2】计算(1)(212–1575)–(0.8–127) (2)43–118+13–7198(3)b+a3b–(b3+1ab) (4)(4bab+2a a3b)-(3a ba+9ab)(a>0,b>0)思路启迪：先化简二次根式，再合并同类二次根式．【例3】计算： (1)1210·(315–56) (2)(x 3y –3xy+xy 3)÷xy(3) 12–3÷(2+3) (4)(26–5)(2+3)2思路启迪： 这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算．二．思想方法：1.整体思想：【例4】化简下列各式： (1)m –n m –n(m>0,n>0) (2)x 4y 4–x 2y 2–xy 2–y 3x –y (x>y>0) (3)a+b+2ab a+b –a b –b a ab(a>0,b>0)2.分类思想：【例5】化简：x 2+x 2–2x+13.二次根式的非负性：【例6】(1)已知y=2x –1+1–2x+3，求x y 的值.(2)已知：△ABC 的三边长a 、b 、c ，a 、b 满足b 2+a –1+4=4b 求c 的取值范围.演练与反馈一、慎重抉择(每小题3分，共30分)1．下列格式中一定是二次根式的是（ ）A 、–5B 、32C 、9xD 、a 2+12．如果3–2x 是二次根式，那么应满足的条件是（ ）A 、x=32B 、x<32C 、x≥32D 、x≤323．化简二次根式(–3)2×6得（ ）A 、-3 6B 、3 6C 、18D 、64．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. 0.2aB. 8a+8bC. a 2–b 2D. 3ab 25．在二次根式：①12，②23，③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④6．下列各式计算正确的是（ ）A 、83·23=16 3B 、53·52=5 6C 、43·22=8 6D 、43·22=8 5 7．若18x+2x 2+x 2x=10，则x 的值等于（ ） A. 4 B.±2 C. 2 D.±4 8．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x –y 的值是（ ）A.33–3B. 3C. 1D. 3 9．等式(a+1)(a –1)=a+1·a –1成立的条件是（ ）A 、a≥–1B 、a≥1C 、–1≤a≤1D 、a≤–1或a≥110．当a<–3时，化简(2a –1)2+(a+3)2的结果是（ ）A 、3a+2B 、–3a –2C 、4–aD 、a –4二、仔细填空(每小题3分，共15分)11．计算：(1)52+122= ，(2)12·72= ，(3)32÷23 = . 12．一个三角形的三边长分别为8cm ，12cm ，18cm ，则它的周长是 cm.13．若最简二次根式324a 2+1与236a 2–1是同类二次根式，则a= 。

-应用题：联系生活实际，设计二次根式应用题，让学生在实际问题中运用所学知识。
3.拓展题：针对学有余能力。
-探究题：引导学生自主探究二次根式的性质和运算规律，培养他们的探究精神。
-竞赛题：挑选数学竞赛中与二次根式相关的题目，鼓励学生挑战自我，提升竞争力。
1.基础题：完成课本相关练习题，巩固二次根式的性质、化简方法和运算规律。
-选择题：让学生通过选择题的形式，检验对二次根式概念的理解。
-计算题：设计不同类型的二次根式运算题目，让学生在练习中熟练掌握运算技巧。
2.提高题：根据学生的实际水平，适当增加难度，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
-综合题：将二次根式与其他数学知识相结合，设计综合性的题目，提高学生解决问题的能力。
4.设计丰富的例题和练习，帮助学生巩固所学知识，形成技能。
（三）情感态度与价值观
1.养成良好的学习习惯，严谨的学习态度，对数学产生浓厚的兴趣。
2.增强学生的自信心，让他们在克服困难、解决问题的过程中，体验成功的喜悦。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在合作交流中学会倾听、尊重、互助。
4.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，激发他们运用数学知识解决实际问题的热情。
4.精讲精练，巩固知识
精选典型例题，进行详细讲解，帮助学生掌握解题思路和方法。同时，设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
5.及时反馈，调整教学
通过课堂提问、课后作业等方式，了解学生的学习情况，针对问题进行个别辅导，调整教学策略。
6.拓展延伸，提高能力
设计具有一定难度的拓展题，引导学生运用二次根式解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
7.关注情感，激发兴趣
在教学过程中，关注学生的情感态度，鼓励他们积极参与课堂活动，体验数学学习的乐趣。

难点：二次根式的化简、运算。
教
学
过
程
教
学
过
程
一、导入新课、揭示目标（2分钟左右）
1、进一步提高学生对二次根式的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次根式的性质、运算法则进行计算和化简。
2、能综合运用所学知识解决与二次根式有关的问题。
二、学生自学，质疑问难（10分钟左右）
整理二次根式的各种运算法则，并小组讨论探究以下问题：
板书
设计
教 学 反 思
二次根式的
教学
目标
知识与能力：1、进一步提高学生对二次根式的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次根式的性质、运算法则进行计算和化简。2、能综合运用所学知识解决与二次根式有关的问题。
过程与方法：小组合作探究
情感态度价值观：提高学生二次根式化简、计算能力。
重难点
重点：使学生掌握二次根式的各种运算法则，并能够利用法则进行有关计算。
一、填空
1、当x 时 成立
2、将 在实数范围内因式分解为
3、根式 最简二次根式有
4、若a＞0， 将 化成最简二次根式为
5、根式中 与 是同类二次根式的有
6、 有理化因式为 有理化因式为
二、计算下列各式
三、求值
1、
三、合作探究，解决疑难（15分钟左右）
1、
2、
四、课堂小结：本节课你的收获是？与同学们交流一下
五、布置作业，拓展延伸（3分钟）
课堂作业：课本第1８页 第5题；第6题 第7题
家庭作业：基训同步 B组复习题1、4、8题
讨论补充记录
学生自学。对不会的问题要做好批注或随笔，作为合作探究的问题进行合作探究。教师检查学情，不指导、不提问、不干扰。
讨论补充记录

第18章 二次根式18.2二次根式的运算（2）＿＿＿年级＿＿＿班 姓名：＿＿＿＿＿＿＿学习目标：1． 会进行简单的二次根式的除法运算。

2． 能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。

3． 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式。

4． 引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题。

学习重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算。

学习难点：会进行二次根式的除法运算和最简二次根式的运用。

一． 学前准备1． 二次根式的乘法法则是：__________________________________. 2． 乘法和除法互为__________. 3．(32)(32)___,(2519)(________)1()()_____a b a b +-= +-=+-=二． 探究活动 探究一：1． 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？991616(1)_____,_____;(2)____,____16361636= = = = 规律：991616________16361636; 2． 总结二次根式的除法法则：_____(0,0)aa b b=≥> 反过来得到，商的算术平方根的性质：_____(0,0)aa b b=≥> 灵活运用：教材例2探究二：问题：观察上面例2中各小题的最后结果，例如3222,,10a a，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？通过分析可以得到，二次根式有如下两个特点： （1） 被开放数的因数是_____,因式是_____; （2） 被开方数中不能含开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

灵活运用：教材例3化简时应注意：（1）有时需将被开方数分解因式；（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化。

巩固练习：1.化简: 90.04144(1);(2);640.49169⨯ ⨯2.计算：2368.4552(1);(2);(3);(4)36630.123x yxy÷三． 自我测试1．把化成最简二次根式，结果为： （ ）A ．B ．C ．D ．2．下列根式中，最简二次根式为： （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知t <1，化简得： （ ）A ．B ．C ．2D ．04．把aba 123分母有理化后得 （ ）A ．4bB ．b 2C ．b 21D ． b b 2 5．y b x a +的有理化因式是 （ ） A ．y x +B ．y x -C ．y b x a -D ．y b x a +6．218baab⋅=__________；222524-=________ 7．计算：35210a b ⋅=___________．8．计算：2216b ca=_____________．9．当a=3时，则215a +=____________． 10．若2233x x xx--=--成立，则x 满足__________．四．应用与拓展1．请认真阅读下列化简过程。

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计3一. 教材分析沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》是学生在掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的内容。

本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的运算规律，让学生通过观察、分析、归纳等过程，掌握二次根式的混合运算方法，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了二次根式的基本性质和运算法则，对于简单的二次根式运算已经能够熟练处理。

但是，对于一些复杂的二次根式混合运算，学生还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生观察、分析、归纳二次根式运算的规律，提高学生的运算能力。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生合作交流、归纳总结的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。

2.难点：理解并掌握二次根式运算的规律，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、归纳总结法等教学方法，引导学生观察、分析、归纳二次根式运算的规律，提高学生的运算能力。

六. 教学准备1.教师准备课件、教学素材。

2.学生准备笔记本、文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习二次根式的性质和运算法则，为学生学习本节课的内容做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些二次根式的混合运算题目，让学生观察、分析，引导学生发现二次根式运算的规律。

3.操练（15分钟）教师给出一些二次根式的混合运算题目，学生分组进行讨论、解答，教师巡回指导，帮助学生掌握二次根式的混合运算方法。

4.巩固（10分钟）教师给出一些巩固题目的二次根式的混合运算题目，学生独立完成，教师选取部分题目进行讲解，加深学生对二次根式运算规律的理解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生将二次根式的混合运算方法应用到实际问题中，让学生解决实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确二次根式的混合运算方法及其应用。

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计3一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册第16.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除法运算的基础上进行教学的。

本节的主要内容是二次根式的加减法运算和混合运算。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的加减法运算规则，以及如何将复杂的二次根式进行简化。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的基本性质和乘除法运算，但对于二次根式的加减法运算和混合运算，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去理解二次根式加减法运算的规则，以及如何将复杂的二次根式进行简化。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法运算规则。

2.让学生能够熟练地进行二次根式的混合运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减法运算规则。

2.复杂二次根式的简化方法。

五. 教学方法采用讲解法、示范法、练习法、小组合作法等教学方法。

通过讲解和示范，让学生理解二次根式加减法运算的规则；通过练习，让学生巩固所学知识；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.练习题。

3.粉笔、黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习二次根式的性质和乘除法运算，然后引出本节课的内容——二次根式的加减法运算。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现二次根式的加减法运算规则，以及复杂二次根式的简化方法。

让学生观察和思考，引导学生在实例中发现规律，总结出运算规则。

3.操练（20分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误，并给出正确的解题方法。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT呈现一些典型的例题，让学生独立解答。

教师在旁边指导，帮助学生解决问题。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：如何将复杂的二次根式进行简化？让学生通过小组合作，共同探讨简化方法。

沪科版数学八年级下册《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析沪科版数学八年级下册《二次根式的加减》是学生在学习了二次根式的性质和运算法则的基础上进行的一节内容。

本节课主要让学生掌握二次根式的加减运算法则，并能灵活运用这些法则进行计算。

教材通过具体的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，并培养学生的运算能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。

但是，对于一些复杂二次根式的加减运算，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑惑。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减运算法则。

2.培养学生运用二次根式加减法则进行计算的能力。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.掌握二次根式的加减运算法则。

2.灵活运用二次根式加减法则进行计算。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索二次根式的加减运算法则。

2.通过具体例题和练习题，让学生动手操作，培养学生的运算能力。

3.利用小组合作学习，让学生相互讨论和交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT，展示例题和练习题。

2.准备黑板和粉笔，用于板书和解题过程展示。

3.准备相关学习材料和参考书籍，供学生自主学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次根式的性质和运算法则，引导学生进入本节课的学习。

2.呈现（10分钟）展示教材中的例题，让学生观察和分析，引导学生思考二次根式的加减运算法则。

3.操练（10分钟）让学生动手计算教材中的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论和交流，总结二次根式加减运算法则，并分享各自的心得体会。

5.拓展（10分钟）出示一些有一定难度的练习题，让学生独立完成，提高学生的解决问题的能力。

6.小结（5分钟）对本节课所学内容进行总结，强调二次根式加减运算法则的重要性和运用。

2.在下列括号里填写适当的因式，使等号右边的式子不含根号：
① × = ；
②（1＋ ）（）= ；
③（ ＋ ）（）= ；
④（m ＋n ）()= .
3.把下列各式分母有理化：
① ； ② ； ③
四、巩固新知，当堂训练（10分钟）
1、在下列括号里填写适当的因式，使等号右边的式子不含根号：
① ×= ；② × = ；
自学课本第9页，解决以下问题：
1.什么叫分母有理化？
2.在下列括号里填写适当的因式，使等号右边的式子不含根号：
① × = ；
②（1＋ ）（）= ；
③（ ＋ ）（）= ；
④（m ＋n ）()= .
3.把下列各式分母有理化：
① ； ② ； ③
合作探究，解决疑难（15分钟左右）
1.什么叫分母有理化？
二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法进行。把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
学生自学。对不会的问题要做好批注或随笔，作为合作探究的问题进行合作探究。
讨论补充记录
板书
设计
一、出示学习目标： 四、当堂训练
二、出示自学提纲五、课堂小结：
三、合作探究 六、布置作业
教 学 反 思
重难点
重点：使学生初步了解分母有理化、互为有理化因式的概念，并能够运用分母有理化进行二次根式的除法运算。
难点：运用分母有理化进行二次根式的除法运算。
教
学
过
程
教
学
过
程
学习目标（2分钟左右）
1.初步了解分母有理化、互为有理化因式的概念。
2.能够运用分母有理化进行二次根式的除法运算。
出示自学提纲（10分钟左右）

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计4一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册16.2章的一部分，这部分内容主要介绍了二次根式的加减乘除运算规则。

教材通过具体的例题和练习题，使学生掌握二次根式的运算方法，并能灵活运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的相关知识，对二次根式有一定的了解。

但学生在进行二次根式运算时，可能会遇到一些困难，如运算规则记不住，运算过程复杂等。

因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固二次根式的基本概念，并通过具体例题，让学生掌握运算规则。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规则。

2.能够正确进行二次根式的运算。

3.能够将二次根式的运算应用到实际问题中。

四. 教学重难点1.二次根式的加减乘除运算规则。

2.二次根式运算在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题，引导学生思考和探索二次根式的运算规则。

2.使用具体的例题，让学生通过模仿和练习，掌握二次根式的运算方法。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中，加深对二次根式运算的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括教材中的例题和练习题。

2.准备一些实际问题，用于巩固学生的二次根式运算能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次根式的运算需求，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解教材中的例题，引导学生思考和探索二次根式的运算规则。

让学生通过模仿和练习，掌握二次根式的运算方法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。

4.巩固（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题，巩固二次根式的运算能力。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：二次根式的运算规则能否推广到其他根式？让学生进行思考和讨论。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次根式的运算规则，提醒学生注意事项。

导
学
内
容
1．复习旧知：
二次根式有哪些性质？
性质1：（ ）2=.
性质2： =.
性质3：
如果 a≥0,b≥0, 则有 =.
性质4：
如果a≥0,b＞0,则有 .
2.阅读教材29～31页
5.尝试做教材P31页练习题.
探
究
归
纳
化简下列二次根式：
= 3 = = =
=
问题：通过化简所得结果你发现了什么？
同类二次根式：
2.在同类二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用。
例
题
讲
解
例6 计算：
（1） 2 （2） （
解解
（3）
解
例7计算：
（1） （2） （2 ＞0，y＞0）
解解
巩
固
提
高
1.计算:
(1) (2) ( 3)
解解解
(4) (
解
2.次根式?
, , , .
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如 、3 、 、 、 化成最简二次根式以后所得结果中都是 与一个有理数的乘积，所以它们就是同类二次根式.
问题：△ABC中，∠C=900，AB= cm, BC= cm, 求△ABC的周长l.
解
注意：
1.在进行二次根式相加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法与合并同类项类似。
课 题
18.2 二次根式的运算
课 型
新 授
时 间
主备人
审查人
参与教师
教学
目标
1.会进行二次根式的四则混合运算.
2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.

沪科版初中数学初二数学下册《二次根式的运算》教案及教学反思教学背景本次教学是初二数学下册《二次根式的运算》知识点，属于初中数学二次根式的运算部分，初中数学二次根式的运算是初中数学的重要知识点。

在初中数学教学中占有重要的地位。

因此，对于学生的学习有着重要的影响。

教学目标1.理解二次根式的基本形式和概念。

2.掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则及其应用。

3.能够灵活应用二次根式的运算解决实际问题。

教学内容二次根式的基本形式及运算法则1.二次根式的基本形式：$a\\sqrt{b}$，其中a、b为实数，且b>0。

2.二次根式的加减法则：–同类项相加减。

即当两个二次根式的底数和幂指数都相同时，才可以进行加减运算，同时保持原有的根式形式。

–不同类项，不能直接加减。

3.二次根式的乘法法则：可将两个二次根式的底数和幂指数分别相乘，再将其合并为一个二次根式，保持原有的根式形式。

4.二次根式的除法法则：可将两个二次根式的底数和幂指数分别相除，再将其合并为一个二次根式，保持原有的根式形式。

二次根式的运用1.计算 $2\\sqrt{50}+3\\sqrt{50}$。

2.计算 $4\\sqrt{12}+5\\sqrt{27}-3\\sqrt{48}$。

3.计算 $\\sqrt{20}\\times \\sqrt{45}$。

4.计算 $\\frac{\\sqrt{8}}{\\sqrt{2}}$。

教学过程1.导入新知识，激发学生学习兴趣，可讲一些和二次根式相关的实际问题，如数学中有些定理或公式用到二次根式，探讨二次根式运算的重要性，让学生理解二次根式的概念，明确学习目的。

2.教师进行讲解，通过板书、PPT课件等形式给学生呈现二次根式的基本形式和运算法则，同时对于学生提出的问题进行解答，让学生熟悉二次根式在代数中的表达方式。

3.教师让学生进行分组，在小组内讨论、总结二次根式的运算法则，多种加减乘除运算方法，并带领学生进行一些练习和实际问题的讨论，深化学生的应用能力。

二次根式的运算【教学内容】二次根式的乘除【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．掌握二次根式的乘法运算法则。

2．会进行二次根式的乘法运算。

【教学重难点】会进行二次根式的乘法运算。

【教学过程】（一）情境导入小颖家有一块长方形菜地，长m，宽m，那么这个长方形菜地的面积是多少？（二）合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件。

式子成立的条件是（）A．≤2 B．≥－1C．－1≤≤2 D．－1<<2解析：根据题意得，解得－1≤≤2。

故选C。

方法总结：运用二次根式的乘法法则：（≥0，≥0），必须注意被开方数是非负数这一条件。

探究点二：二次根式的乘法。

类型一：二次根式的乘法运算。

1．计算：（1）（2）（3）（4）（≥0，≥0）解析：第（1）小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第（2）、（3）、（4）小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘。

解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘。

最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号。

类型二：逆用性质3（即，≥0，≥0）进行化简。

2．化简：（1）（2）（3）（≥0，≥0）解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，（2）小题中先确定符号。

解：（1）（2）＝＝＝＝（3）方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如（2）小题。

类型三：二次根式的乘法的应用3．小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留根号）。

解析：根据“矩形的面积＝长宽”“圆的面积＝半径的平方”进行计算。

解：设圆的半径为cm。

因为矩形木板的面积为＝(cm)2，所以＝，＝（＝－舍去）。

（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：二次根式一. 教材分析《二次根式》是沪科版八年级数学下册的一章内容。

这一章主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。

通过学习二次根式，学生能够理解并掌握二次根式的定义，了解二次根式的性质，学会进行二次根式的运算，为后续学习二次根式的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数的运算也有一定的了解。

但学生对二次根式的概念和性质可能较难理解，需要通过具体的例子和实际操作来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标通过本章的学习，学生能够：1.理解二次根式的概念和性质；2.学会进行二次根式的运算；3.能够应用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算规则；3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法进行教学。

通过提出问题，引导学生思考和探索，通过具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握二次根式的概念和性质，以及运算规则。

六. 教学准备准备相关的教学PPT和教学案例，以及必要的教学道具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次根式的概念和性质。

例如，什么是二次根式？二次根式有哪些性质？2.呈现（15分钟）通过具体的例子，向学生介绍二次根式的概念和性质。

例如，呈现一个二次根式，让学生观察和分析其特点，引导学生理解二次根式的定义和性质。

3.操练（20分钟）让学生进行实际的操作，练习二次根式的运算。

可以提供一些练习题，让学生进行计算和解答。

同时，可以引导学生发现和总结二次根式运算的规则。

4.巩固（10分钟）通过一些巩固题，帮助学生巩固对二次根式的理解和掌握。

可以设置一些选择题和填空题，让学生进行解答。

5.拓展（10分钟）通过一些拓展题，让学生进一步理解和掌握二次根式。

可以设置一些应用题，让学生运用二次根式解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本章的内容进行小结，回顾和总结二次根式的概念、性质和运算规则。

二次根式的乘除（第三课时）教学目标：1、会二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法公式：a ab b=2、能够对二次根式的除法及其逆运算灵活应用教学重点：能进行二次根式的除法运算，掌握二次根式的乘法公式教学难点：能对有关运算结果进行化简，并能对公式进行灵活的应用教学教法：探索、讨论、交流教学过程：一、题目情境：你能写出下面式子的计算结果吗？开动脑筋，你一定能填正确！（1）425=，425= （2）916=，916=（3）49100=，49100= （4）2225=，2225=比较上面的式子，你能得到什么样的的结论呢？二、你能用你刚才发现有结论计算下面这些式子吗？祝你成功！（1）123（2）567（3）273÷（4）21133÷（1）（2）（3）（4）三、测试一下，看看同学们掌握的怎么样！P练习1 （1）（2）（3）（4）四、由a abb=（0a≥0b>），可以得到a ab b=（0a≥0b>），你能利用这个等式化简下列式子吗？（1）1625（2）917（3）316（4）2249ba（0a≥0b>）复备记录：五、测试一下，相信你们一定能够做的很好！65P 练习2（1） （2） （3） （4） 六、加点难度，还能完成吗？ （1） ①6015② 1124224÷（2）已知()()1122x x x x --=--，求x 的取值范围。

（3）已知一个长方形的面积为26cm ，其中一边长为2cm ，求长方形的对角线的长。

七、完成下列这些题目吧！这一节课的内容我们都学会了吗？你一定会做的很出色！（1）1249 （2）459 （3）10515（4）2234b a （0a >，0b ≥） （5）7515÷ （6）113132÷ （7）273 （8）312（9）42ab ab（0a > 0b >） （10）254a b ab（0a > 0b >）（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 八、小结与作业你能总结一下，我们已经学习的公式吗？复备记录：。

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计1一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册第16章第2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和乘除运算法则的基础上进行教学的。

本节课的主要内容有：二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算。

这部分内容在数学中占有重要的地位，是进一步学习函数、方程等知识的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质，如：√a⋅√b=√ab（a≥0,b>0）。

同时，学生也掌握了有理数的（a≥0,b≥0），√a÷√b=√ab加减乘除运算，这为学习二次根式的运算奠定了基础。

然而，学生在运算过程中，可能对混合运算的顺序、运算符号的转换等方面存在困惑。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减、乘除运算规则，并能熟练进行二次根式的混合运算。

2.培养学生解决问题的能力，提高学生对数学知识的运用能力。

3.激发学生学习数学的兴趣，增强学生对数学知识的自信。

四. 教学重难点1.重点：掌握二次根式的加减、乘除运算规则。

2.难点：混合运算中运算顺序的确定，运算符号的转换。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生理解运算规则；通过小组合作，培养学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。

2.学生准备：课本、练习本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次根式的性质和乘除运算法则。

如：√a⋅√b=√ab（a≥0,b≥0），√a÷√b=√a（a≥0,b>0）。

b2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板展示二次根式的加减、乘除运算规则，让学生初步感知运算方法。

加减运算：同底数相加减，底数不变，指数相加减。

例如：√2+√3=√2+3=√5，√2−√3=√2−3=√5。

乘除运算：同底数相乘除，底数不变，指数相乘除。

-结合二次根式的学习，引入数学文化，让学生了解数学发展的历史，培养学生的数学情怀。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合生活实际，提出以下问题：“同学们，你们在生活中遇到过不能直接用整数或分数表示的数据吗？比如，一块正方形的桌布，边长是5厘米，它的面积是多少？”通过这个问题，引导学生回顾已学的面积公式，并引出二次根式的概念。
4.通过二次根式的学习，引导学生感受数学的简洁美和统一美，培养学生的审美情趣。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的初步概念和基本运算，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。在此基础上，他们对二次根式的学习既有兴趣，也可能存在一定的困难。具体学情分析如下：
1.学生对二次根式概念的理解尚不深入，容易混淆二次根式与分数、整数的运算规律。
（二）过程与方法
1.通过导入生活中的实际问题，激发学生对二次根式的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
2.采用探究式教学方法，引导学生自主发现二次根式的性质和运算规律，培养学生的观察、分析和总结能力。
3.设计丰富的课堂练习，巩固学生对二次根式的理解和运用，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
1.基础练习题：包括二次根式的性质、运算规律、化简、分解和合并等方面的题目。这些题目旨在帮助学生巩固所学知识，提高运算技巧。建议学生完成以下题目：
- (1)计算：$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{18}$
- (2)化简：$\frac{\sqrt{72}}括课堂提问、作业、测验等，全面了解学生的学习情况；
-关注学生的个体差异，给予每个学生积极的评价和鼓励，提高学生的自信心；
-引导学生自我评价，反思学习过程中的优点和不足，促进学生的自我提高。

例2计算
对于此题，学生可能会先算括号里的，讲解时可以把两种方法作比较，以体现二次根式的性质中的优点.在这里应强调判断 中x的符号.
例3先化简再求值： ，其中x=4.
（引导学生利用性质解决问题）
经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评.
第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答.
16.1二次根式
教
学
目
标
1.认识二次根式的概念，经历二次根式概念的形成过程，了解根式是开平方运算引出的结果，理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及 的非负性.
2.经历二次根式的性质① (a≥0),② = 的观察、归纳、对比、猜想等探索发现过程,理解二次根式性质1、性质2，了解其区别与联系，并能运用性质1、2解决实际问题.
教师总结二次根式的概念.
1.由上面的提问得到什么样的结论？
2.那么对于上面的性质，a能小于0吗？（不能，a必须大于等于0）
（a≥0）
3.提问：
？
学生思考后回答： ＝
了解
非负数a的算术平方根,其中a的取值范围是a≥0,即a是非负数， 也是一个非负数.
请几个中游的学生回答.（2，2；5，5；0，0）
探
究
3.在二次根式概念、性质的形成和探索中，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学生学数学用数学意识、分类讨论意识，了解由特殊到一般再到具体的哲学思想.
4.会运用上述两个性质进行有关的计算.
教学过程（预设）
程序
教师行为
学生行为
创设
情境
引
入
新
课
1.提问：2的平方根是什么？什么数的平方是2？（ ）
得到：（ ） =2（－ =2