2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海•数学试卷（文史类）考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()213sin f x x =-的最小正周期为 . 【答案】π【解析】据题意可得()()33111cos2cos2222f x x x =--=-，所以22T ππ== 2. 设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则UA B = .【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32UB x x x =><或，故{}1,4UAB =.3. 若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】1142i + 【解析】设(),z x yi x y R =+∈，根据题意，有z x yi =-，可把31z z i +=+化简成 331x yi x yi i ++-=+，对于系数相等可得出11,42x y ==，1142z i ∴=+.4. 若()1f x -为()21xf x x =+的反函数，则()12f -= . 【答案】23-【解析】利用反函数与原函数的性质求解即可. 令221x x =+，解得23x =-，即()1223f -=-. 5. 若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= . 【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=. 6. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = . 【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式31=42V h S a a a =⋅⨯⨯===底.7. 抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点时，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 122pQP OP p ===⇒=. 8.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 . 【答案】2【解析】由题意可得()11954320x x ---=->()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--=1133,2,31,1x x x x --=⇒==⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合.9. 若,x y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 .【答案】3【解析】根据题意作出可行域，如图所示： 由图可知，当直线20x y f +-=过()1,1A 时有2f x y =+的最大值为1213+⨯=.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=. 11. 在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）【答案】240【解析】6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式()66631266122rr r r r r r T x x x C C ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 2x y=+令630r -=，即3r =，所以常数项为24462240T C =⋅=.12. 已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y -=.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 放入一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】22144x y -=【解析】设2C 的方程为22214x y b -=，可得2C 的一条渐近线方程为2b y x =，1C 的一条渐近线方程为2xy =.由题意可知12222b b =⋅⇒=，故2C 的方程为22144x y -=.13.已知平面向量,,a b c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则ab c ++的最大值是 . 【答案】3+【解析】令,,OA a OB b OC c ===，a b OA OB OD +=+=，如图所示， 当OC 与OD 方向相同时有a b c ++取最大值，又{}{},,1,2,3a b c =，经计算可知，当1,2OA OB ==，3OC =时有a b c ++的最大值为314.已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 .【答案】8；【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m =取最值点，考虑到1206m x x x π≤<<<≤，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件所以m 的最小值为8；二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.12,z z C ∈，则“1z 、2z 均为实数”是“12z z -是实数”的（ ）B C【答案】A ；【解析】充分性成立，“1z 、2z 均为实数”可以推出“12z z -是实数”；必要性不成立，采用反证法，若12z z -是实数，可设1z a ci =+，()2,,,0z b ci a b c R c =+∈≠，显然1z 、2z 均为虚数，选择A.16. 下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是（ ） A.()()28232x x x +++< B. ()28223x x x +<++C. 212238x x x <+++ D. 223182x x x ++>+【答案】B【解析】因为()22231220x x x ++=++≥>恒成立， 所以由不等式的性质可得()28223x x x +<++，选择B. 17.已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（ ）B.C.112D.132【答案】D【解析】由题意可知7，所以1sin 7AOx ∠=、cos AOx ∠由任意角三角比的定义可知：13sin sin 7sin cos cos sin 33332B y OB AOx OA AOx AOx AOx ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∠+=∠+=∠⋅+∠⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选择D.(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n ny x →∞-=-（ ） A. 1-B.12-【答案】A【解析】采用极限思想求解 【法一】当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r =，即=，解之1k =-，即1lim11n n ny x →∞-=--.【法二】(),n n n P x y 在222x y +=上，可得22221121111n n n n n n n n y x x y x y x y -++=⇒-=-⇒=--+，同【法一】可得(),n n n P x y 趋向于()1,1P ，所以11limlim 111n n n n n ny x x y →∞→∞-+=-=--+选择A.三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点. 已知2PO =，1OA =. 求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.【答案】13P AOC V -=，异面直线PA 与OE所成的角为.【解析】（1）∵C 为半圆弧AB 的中点， ∴90AOC ∠=，∴12AOC S ∆=，∴111123323P AOC AOC V S PO -∆=⋅=⋅⋅=；（2）由题意可知45OAC BOE ∠=∠=，∴OE AC ，∴PAC ∠的大小即为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角的大小，易知PA ==PC =AC = 在PAC ∆中，由余弦定理可得：222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠===⋅，即异面直线PA 与OE所成的角为.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()21f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若()1,3a ∈，判断函数()f x 在[]1,2上的单调性，并说明理由.【答案】（1）当0a =时，()f x 为奇函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数. （2）增函数. 【解析】（1）由题意可知()(),00,x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称.AB EAB①()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-()221110ax a x x x x⇔+=--⇔=对任意 ()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立，显然10x≠，∴()f x 不可能为偶函数； ②()f x 为奇函数()()f x f x ⇔-=-()222110a x ax ax x x ⎛⎫⇔--=-+⇔= ⎪⎝⎭对任意()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立， 显然有0a =时，20ax =对任意()(),00,x ∈-∞⋃+∞恒成立， ∴当0a =时，()f x 为奇函数；综上可知，当0a =时，()f x 为奇函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数. （2）()f x 在[]1,2上为增函数，理由如下：任取1212x x ≤<≤， 则()()()()1212221212121212111ax x x x f x f x ax ax x x x x x x +-⎛⎫-=+-+=- ⎪⎝⎭， 由()1,3a ∈和1212x x ≤<≤21211x x x ⇒>≥，12122x x x +>≥ ∴()3121211212121110ax x x x ax a +->-≥->⋅-=>，又120x x -<， ∴()()120f x f x -<， 故()f x 在[]1,2上为增函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米. 现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米），甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待，设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时， 求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]12,t t 上的最大值是否超过3？说明理由. 【答案】（1）138t =，()18f t =；（2）()f t 3788t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；最大值没有超过3.PQO（1）13=8乙OP t V =， 此时，设甲所在位置为A ，则1158OA t V =⋅=甲，如图所示 ∴ ()1f t AP === （2）()f t 在[]12,t t 上的最大值不超过3，理由如下： 设甲、乙所在位置分别为A 、B . 易知138t =，27=8乙OP PQ t V +=.如图所示：55QA t =-，348788QB t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，当[]12,t t t ∈即37,88t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()()2222247855278552542185f t AB t t t t t t ==-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦，即()f t 而函数2254218y t t =-+的对称轴37,125828t =⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且212125537828>--， ∴当38t =时有()max 338f t f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭， ∴所以()f t 在[]12,t t 上的最大值没有超过3.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记AOC 的面积为S .（1）设()()1122,,,A x y C x y ，用A C 、的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-； （2）设1:l y kx =，C ⎝⎭，13S =，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，并使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【答案】（1）C 到直线1l ；证明见解析；（2）1k =-或15k =-；（3）12m =-时，此时面积为定值S =.PQO AB（1）由题意可知()11,OA x y =，1l 的一个法向量()111,n y x =-，∴111:0l y x x y -=，∴点()22,C x y C 到直线1l的距离d =，故1212122y x x y S OA d -=⋅==. （2）由（1）可得：)1113x y =-，即11x y -=221121x y +=∴()()2221111423x y x y -=+， 由此可得211115610y yx x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即25610k k ++=，解之1k =-或15k =-；（3）易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l yk x =，由1l 与2l 的斜率之积为m 可得： 1212y y mx x =，又()2211112y x =-，()2222112y x =-， 所以()()()2222222222212121212121111144y y m x x x x x x x x ==--=--+，即()222221212114x x m x x +=+-，而()22222212211221121211224S x y x y x y x y x x y y ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭()()222222211212111112422x x x x mx x ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦化简得()22222121212184m S x x x x +=+-， 将()222221212114x x m x x +=+-代入得：()222222212122111421188488m m m S x x x x +⎛⎫-+=+-=-⎪⎝⎭ 欲使面积S 为定值，只需12m =-即可，此时面积4S =.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 与{}n b 满足()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即()0*N n n a a n ≥∈，求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设()*130,N n n a b n λλ=<=∈，求λ的取值范围，使得对任意*,N ,0n m n a ∈≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()*65N n a n n =-∈；（2）证明见解析；（3）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】（1）由35n b n =+可得：()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈，又11a =，所以数列{}n a 为以1为首项，6为公差的等差数列， 即有()*65N n a n n =-∈. （2）【法一】由()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈可得：()21212a a b b -=- ()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥将上述式子累加可得：()()1122n n a a b b n -=-≥，当1n =时，左式也成立， 所以()()*112N n n a a b b n -=-∈， 由此可得111122n n b a b a =+-，由于1112b a -为常数，所以当{}n a 的第0n 项是最大项时，111122n a b a +-最大，即{}n b 的第0n 项是最大项；【法二】任取*m N ∈，不妨设0n m >，由0n n a a ≥可得()()()0000011210n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-≥即()()()000011212220n n n n m m b b b b b b ---+-+-++-≥⇒00n m b b -≥，∴0n m b b ≥，同理可证当0n m <时，0n m b b ≥.所以故对任意的*m N ∈，可得对任意的*n N ∈都有0n n b b ≥， 故{}n b 的第0n 项是其最大项.（3）由()112n n n n a a b b ++-=-和累加法可得()()*112N n n a a b b n -=-∈， 即1122n n a b a b =+-，结合13,n n a b λλ==可得2n n a λλ=⋅+， 若对任意*,N ,0n m n a ∈≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则要求数列{}n a 各项符号相同，且{}n a 的最大项与最小项之比属于1,66⎛⎫⎪⎝⎭，分三种情况进行讨论：①当1λ=-时，则n 为偶数时1n a =，n 为奇数时3n a =-，此情况不满足条件“数列{}n a 各项符号相同”； ②当1λ<-时，当n 足够大时，{}n a 中奇数项为负，偶数项为正，不满足条件“数列{}n a 各项符号相同”； ③当()1,0λ∈-时，此时n 为奇数时，n a 为负，据题意要求n 为偶数时的n a 也要恒为负，由于n a 中偶数项单调递减，所以只需最大项2220a λλ=+<即可，解之1,02λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；又()()2222221n n n n n a a λλλλλλ++-=+-+=-， 当n 为奇数时，上式为正；当n 为偶数时，上式为负， 即{}n a 中数项递增，偶数项递减，又21212n n a λλλ--=+<和222n n a λλλ=+>可得：212n n a a λ-<<， 故数列{}n a 中小项为13a λ=，最大项为222a λλ=+， ∴{}n a 的最大项与最小项之比为22121,636a a λλλ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，解之1,04λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ----完整版学习资料分享---- 综上可得符合条件的1,04λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.。
