运筹学 运输问题案例

运筹学运输问题案例
以下是一个简单的运筹学运输问题的案例：
假设有一个公司需要将产品从三个工厂运输到四个销售点。

工厂和销售点的位置以及它们之间的运输成本如下：
工厂A到销售点1：10元
工厂A到销售点2：20元
工厂A到销售点3：30元
工厂A到销售点4：40元
工厂B到销售点1：20元
工厂B到销售点2：30元
工厂B到销售点3：10元
工厂B到销售点4：40元
工厂C到销售点1：30元
工厂C到销售点2：10元
工厂C到销售点3：20元
工厂C到销售点4：20元
公司希望找到一种运输策略，使得总运输成本最低。

可以使用运筹学中的运输模型来解决这个问题。

首先，我们需要确定每个工厂向每个销售点运输的货物数量。

为了最小化总成本，可以使用线性规划来求解这个问题。

在Excel或其他电子表格软件中，可以使用“Solver”插件来找到最优解。

根据最优解，我们可以计算出最低总运输成本。

例如，如果最优解是工厂A 向销售点1运输3个单位，向销售点2运输2个单位，向销售点3运输1
个单位，向销售点4运输0个单位；工厂B向销售点1运输2个单位，向
销售点2运输3个单位，向销售点3运输0个单位，向销售点4运输1个
单位；工厂C向销售点1运输1个单位，向销售点2运输0个单位，向销
售点3运输3个单位，向销售点4运输2个单位，那么最低总运输成本为150元。

在运筹学中，运输问题是一类经典的线性规划问题，涉及将有限数量的货物从多个供应点运输到多个需求点，并且对应的成本最小化或者利润最大化。

以下是一个运输问题的例题：
假设有三个供应点A、B和C，和四个需求点X、Y、Z和W。

每个供应点都有一定数量的货物可供运输，每个需求点需要一定数量的货物。

给定的成本矩阵代表从每个供应点到每个需求点的运输成本。

供应点的供应量和需求点的需求量以及成本矩阵如下：
供应量：
A: 80单位
B: 70单位
C: 60单位
需求量：
X: 50单位
Y: 40单位
Z: 30单位
W: 70单位
成本矩阵：
X Y Z W
A 4 6 8 9
B 5 7 10 12
C 6 8 11 14
问题是如何将货物从供应点运输到需求点，以使总运输成本最小化。

在这个例题中，可以使用线性规划方法来解决运输问题，通过确定每个供应点向每个需求点运输的数量来最小化总成本。

解决该问题的线性规划模型可以表示为：
最小化ΣΣ(cost(i, j) * x(i, j))
i j
满足以下约束条件：
1. 每个供应点的供应量不能超过其可供应的数量：Σx(i, j) ≤供应点i的供应量, for each i
2. 每个需求点的需求量必须得到满足：Σx(i, j) ≥需求点j的需求量, for each j
3. x(i, j) ≥0, for each i, j
其中，x(i, j) 表示从供应点i到需求点j运输的货物数量，cost(i, j) 表示从供应点i到需求点j的运输成本。

通过求解该线性规划模型，我们可以获得最优的货物运输方案，以最小化总运输成本。

运筹学案例九:运输规划问题•问题的提出某地区有A B 、C 、D 四个煤矿，可向另外的①一⑤需求区供煤，其可能的运输线路如 图所示•图中实线为已有的铁路线，点划线为拟议中的新建铁路线或新建的复线 ，虚线为拟议中的输煤管线•图中实箭头和虚箭头都表示煤炭可能的运输方向 ，线路旁边的数字是给铁路加的编号•已知现有铁路的运煤能力已经饱和 ，由于仍不能满足需要，故拟建新输煤管道和线路•新建第13、14、15条线路的投资分别为 70、90和30（百万）元,各条线路的运煤能力 及吨煤的运输成本如表所示•运输成本和运输能力表假定投资回收成本为 12%,各需求区缺煤1吨所引起的经济损失为 400、350、550、450、 500元.试求最佳的输煤方案和最佳的新建管道和线路方案④⑤二.构造数学模型设X i第i条路线的年运输量，其中X3 X3 X3， X4 x4 X2， X7 X7 X2，(这三条路线上有正反两个方向 ).又设约束条件有：(1).煤炭产量限制 A 矿区：X 1 x 3 x 3 X 15 75.6C 矿区：X 51 X 4 2X 445.0D 矿区：X 6 X 5 16.8(2).需求限制① .. X 1 X 15 X 21 X 72X 7 X 8 X 9 Z 115・0② ...... X 13X 6 1X 7 2X 7 X 10 Z 2 24.5 ③ ... X 9X 14X 12X 11 Z 3 12.0X 12 Z 4 55.5⑤ (X)10X 11 Z 539.1这里,Z i 为差额变量，即允许供需之间存在一定缺口 ，以避免为满足少量需求而修建一条耗资巨大的新运输线.在目标函数中，将为差额变量加上适当的罚因子,以尽量减少差额变量的值.(3).运输能力限制x 1 < 57.0x 4 w 36.0 X 8 w 30.0 X 13 w 15.0y 1x 2 < 15.0 x 5w 10.0 X 9w 20.0X 14w 45.0y 2 x ； w 10.0 x 6 w 28.0X 1°w 15.0 X15 w 45.0y 3xf w 10.0x 7 w 20.0 X nw 25.0x ；w 36.0 x 2 w 20.0X12w 27.0(4).非负限制x i > 0, z i > 0, y i {0,1}.目标函数为年费用最低,其中包括全年煤炭运输成本，新建线路的投资回收成本，各需求 区因缺煤而引起的经济损失.综合起来，可写为：Mi nZ 3.92x i 5.1x 2 2.1x 3 2.1x 2 1.8x 4 1.8x 4 1.5x 5 1.9x 6 2.1x 7 2.1x 23.4x 8 1.2x 9 3.3x 10 3.8x 11 3.5x 124.5x 13 3.1x 14 3.7x 15 0.12 70y 1 0.12 90 y 2 0.12 30 y 3 400z 1 350z 2 550z 3 450z 4 500z 5二.求解用分支定界法解上述混合整数线性规划，得：2 1x 1=54.3, x 4=33.8, x 5=10.0, x 6=26.8, x 7=11・8, x 8=30.0, x 9=17.5, x 10=14.1, x 11=25.0, x 12=25.5, x 14=45.0, x 15=20.0, y 2=1, y 3=1,其余为 0. Z *=946.073(百万)元.y i1,若建造相应路线 0,其他(分别对应拟议中的第 13、14、15 条路线).B 矿区：X 2■2^1 ^12 3XX2 4XX34。

第七章运输问题7.1 一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。

解：这是一个产销平衡的运输问题。

可以建立以下的运输模型：代入产销平衡的运输模板可得如下结果：得种植计划方案如下表：7.2 某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。

该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车的成本情况如下表：根据该厂的情况，假设制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维护费用为4万元。

在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。

问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？解：得运价表〔产大于销的运输模型〕如下：第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台；第二季度正常生产38台，不安排加班。

加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台；第三季度正常生产15台，不安排加班。

加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台；第四季度正常生产42台。

加班生产23台。

拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。

剩余25台以后务用。

7.3 某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供给给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。

由于工艺、技术的差异，各分厂运往各销售地区的单位运价〔万元/吨〕、各厂单位产品成本〔万元/吨〕和各销地的销售价格〔万元/吨〕如下表：12、如果E地区至少供给100吨，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

2、如果E地区至少供给100吨，C地区的需要必须全部得到满足，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1

第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ

在运输问题中，混合整数规划可以处理更为复 杂的约束条件和多阶段决策过程。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。

X ij a i ( i 1, 2 ,..., m ) j1 m X ij b j ( j 1, 2 ,..., n ) i 1 X 0 ( i 1 , 2 ,..., m , j 1 , 2 ,..., n ) ij
13
销地 运价 产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量（万吨）
A1 A2
7 5
10 9
30 40
8 7
0
6 +0 20 4 -0 12-0
0
20
40 40
6
+0
A3
销量（万吨）
3
30
B1
6
40
B2 10 9
40
5
60
B3 8 7 5 60ຫໍສະໝຸດ 60820
B4 6
11
20
B5
20 4
90
产量（万吨）
20 40 0
A1 A2 A3 销量（万吨）
①用最小元素法确定初始方案（即初始基可行解）
基本思想：最小费用法是尽可能选取单位费最小的变量作为基 变量。然后尽可能多地满足它的需要，再划去满足的行(或列,若行 列同时满足,也只划去一行或一列)，接着对未划去的行和列调整供 4 应量和需要量，继续上述步骤，直到得到初始可行基解。
例18（P37）设某产品从产地A1，A2，A3运往销地B1， B2，B3，B4，B5，运量和单位运价如下表所示，问如何 调运才能使总的运费最少？
i 1 j 1 3 5
X 11 X 21 X 31 X 11 s . t . X 12 X 13 X 14 X 15 X ij

运筹学中的运输问题例题运筹学中的运输问题例题在运筹学领域中，运输问题一直是研究的焦点之一。

它是一种经典的线性规划问题，旨在寻找最佳的物流运输方案，以最小化运输成本或最大化利润。

下面将给出几个运输问题的例题，以便更好地理解运筹学中的运输问题。

例题一：某物流公司需要将货物从A、B、C三个仓库分别运输到D、E、F 三个地点。

已知各仓库的存货数和各地点的需求量如下：仓库存货数地点需求量A 50 D 30B 70 E 40C 80 F 20已知运输成本矩阵如下：D E FA 5 7 9B 6 8 10C 4 6 8要求给出最佳的物流运输方案，并计算出最小的运输成本。

例题二：某公司有两个工厂，分别位于城市X和城市Y，需要向三个销售点分别运输产品。

已知两个工厂的产能和三个销售点的需求量如下：工厂产能销售点需求量X 60 P 18Y 80 Q 30R 22已知运输成本矩阵如下：P Q RX 6 5 9Y 8 7 6要求确定最佳的运输方案，并计算出最小的运输成本。

例题三：某电子产品制造商面临着将产品从几个工厂运输到多个供应商的问题。

已知各工厂的产能和各供应商的需求量如下：工厂产能供应商需求量F1 80 S1 30F2 60 S2 50F3 70 S3 20已知运输成本矩阵如下：S1 S2 S3F1 4 7 6F2 6 3 8F3 5 7 9寻找最优的运输方案，以满足供应商的需求，并计算出最小的运输成本。

以上是几个常见的运输问题例题，这些例题涵盖了不同规模和不同约束条件的情况，帮助我们了解运筹学中的运输问题的解决方法。

通过运用线性规划等方法，可以得出最佳的运输方案，实现物流运输的优化，减少成本，并提高效率。

运输问题不仅在物流行业中有广泛应用，也可在其他领域中找到类似的应用场景，例如生产调度、供应链管理等。

因此，掌握运输问题的解决方法对于提高运营效率和降低成本是非常重要的。

综上所述，通过解决运输问题例题，我们可以更深入地理解运筹学中的运输问题，并通过适当的模型和算法，找到最佳的运输方案，实现资源的合理配置和优化。

2、判断是否最优；——闭回路法、位势法
3、若不是最优，进行调整，直到找到最优解。
例：某公司有三个生产厂商和四个销售公司，运价，产量， 销量如下表： 运
销 地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量
7 4 9 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
1、确定初始基本可行解——西北角法 运
目标函数：
min f
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
约束条件：

j 1 n
x ij s i ( i 1, 2 ,..., m ) x ij d j ( j 1, 2 ,..., n )

i 1
m
x ij 0
注意：
运输问题可能的一些变化：
1、目标函数是求最大值。如运输公司要求营业额最大化。
销 地
B1 2 10 7 2
B2 11 3 8 3
B3 3 5 1 4
B4 4 9 2 6
D 0 0 0 4
产量 7 5 7 19
A1 A2 A3 销量
例：有三个地方B1、B2、B3 分别需要煤3000、1000、2000吨， 由A1,A2两个地方来供应，其供应量分别为4000，1500吨，其 运价如下表：
1 广州
2 大连
解：Xij表示从I到j的运输量。
min f 2 x13 3 x14 3 x 23 x 24 2 x 35 6 x 36 4 x 45 3 x 37 6 x 38 4 x 46 6 x 47 5 x 48 4 x 28

运筹学运输问题建模例题运筹学是一门研究如何最优地利用有限资源以满足特定目标的学科。

在运筹学中，运输问题是一个常见的问题，涉及到如何在限定条件下有效地分配物品从一个地点到另一个地点。

运输问题可以简单地描述为如何将一组物品从一组起点运送到一组终点，以最小化总的运输成本。

这个问题可以用线性规划的方法进行建模和求解。

以下是一个运输问题的具体例子，用来说明如何进行建模。

假设有一家电子制造公司，它有三个工厂（A、B和C）和三个销售点（X、Y和Z）。

公司需要将某种零件从工厂运送到销售点，但在每个工厂的生产能力和每个销售点的需求量有限。

公司希望以最小的成本满足销售点的需求。

首先，我们需要确定一些变量。

假设有三个工厂和三个销售点，我们可以建立一个3x3的矩阵来表示运输量。

令变量x(i,j)表示将产品从工厂i运送到销售点j的数量，其中i表示工厂的索引（i=1, 2, 3），j表示销售点的索引（j=1, 2, 3）。

因此，x(1,1)表示将产品从工厂A运送到销售点X的数量，x(2,3)表示将产品从工厂B运送到销售点Z的数量，以此类推。

接下来，我们需要确定目标函数和约束条件。

目标函数是希望最小化的总运输成本。

在这个例子中，假设每个单位的运输成本为c(i,j)，则目标函数可以表示为：Minimize Z = c(1,1)x(1,1) + c(1,2)x(1,2) + c(1,3)x(1,3) + c(2,1)x(2,1) + c(2,2)x(2,2) + c(2,3)x(2,3) + c(3,1)x(3,1) + c(3,2)x(3,2) + c(3,3)x(3,3)其中x(i,j)表示各运输路径的数量，c(i,j)表示每个单位的运输成本。

除了最小化总运输成本外，还有一些约束条件需要满足。

首先，每个工厂的生产能力要小于等于总需求量。

我们可以通过以下约束条件来表示：x(1,1) + x(1,2) + x(1,3) ≤生产能力Ax(2,1) + x(2,2) + x(2,3) ≤生产能力Bx(3,1) + x(3,2) + x(3,3) ≤生产能力C其次，每个销售点的需求量要满足。

运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。

然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。

它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。

运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。

§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。

公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。

各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。

问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。

表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。

将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。

注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。

（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。

除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。

由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。

第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题.这类问题一般可用线性规划模型来描述,当然可以用单纯形法求解。

但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法-—表上作业法.此外，有些线性规划问题从实际意义上看,并非运输问题,但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。

第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。

例3。

1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。

三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。

已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt）,问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。

表3-2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0,i=1,2，3；j=1,2,3生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。

运筹学运输问题生活案例运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，其中运输问题是其中一个重要的应用领域。

下面我将从多个角度给出一些关于运筹学运输问题的生活案例。

1. 物流配送，物流公司面临着如何合理安排货物的运输路线和运输方式的问题。

运筹学可以通过优化算法来确定最佳的配送路线，以最小化成本和时间。

例如，一个快递公司可以利用运筹学方法来确定每辆送货车的最佳路线，以便在最短的时间内将包裹送达目的地。

2. 交通拥堵，城市交通拥堵是一个普遍存在的问题。

运筹学可以帮助城市交通管理部门优化交通流量，减少拥堵。

例如，通过调整交通信号灯的配时，可以最大程度地减少交叉口的等待时间，提高交通效率。

3. 航空航班调度，航空公司需要合理安排航班的起降时间和航线，以最大程度地利用飞机资源并提高乘客的满意度。

运筹学可以通过航班调度算法来帮助航空公司做出最佳决策。

例如，考虑到飞机的燃油消耗、乘客的转机需求和机场的容量限制等因素，可以确定最佳的航班起降时间和航线。

4. 供应链管理，供应链中的物流运输是一个重要的环节。

运筹学可以帮助企业优化供应链中的物流运输安排，以最小化库存成本和运输成本。

例如，通过运筹学方法，可以确定最佳的运输路径和运输模式，以确保产品按时到达目的地，同时最大程度地降低成本。

5. 城市垃圾收集，城市垃圾收集也是一个需要合理安排的运输问题。

通过运筹学方法，可以确定最佳的垃圾收集路线和收集车辆的分配，以最小化运输成本和提高垃圾收集的效率。

以上是一些关于运筹学运输问题的生活案例。

运筹学在各个领域都有广泛的应用，通过优化算法和决策模型，可以帮助解决各种运输问题，提高效率，降低成本。

第七章运输问题一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。

解：这是一个产销平衡的运输问题。

可以建立下列的运输模型：代入产销平衡的运输模板可得如下结果：得种植计划方案如下表：某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。

该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车的成本情况如下表：根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维护费用为4万元。

在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。

问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？解：得运价表（产大于销的运输模型）如下：第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台；第二季度正常生产38台，不安排加班。

加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台；第三季度正常生产15台，不安排加班。

加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台；第四季度正常生产42台。

加班生产23台。

拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。

剩余25台以后务用。

某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。

由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：单位：（万元/吨）12、如果E地区至少供应100吨，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

2、如果E地区至少供应100吨，C地区的需要必须全部得到满足，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

表上作业法步骤: 初始方案最优性检验改进方案 一、初始方案的确定
1.最小元素法
2.Vogel法
二、最优性检验 1.闭回路法
2.位势法
三、方案改进方法 在闭回路内改进。
2008/11 --8--
--《运筹学》 运输问题--
产销平衡表
单位运价表
B1 A1 (1) A2 3 A3 (10) 销量 3
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · 0
· · · · · ·
· · · · · ·1
· · · · · ·
i=m j=1 j=2
0 0 1 0 0 1
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · · 0 · · · · · · 0 · · · · · · 0
B2 B3 B4 产量 (2) 4 3 7 (1) 1 (-1) 4 6 (12) 3 9 6 5 6
A1 A2 A3
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
△z=c11-c13+c23-c21=1=11 △z=c12-c14+c24-c22=2=12
B1 B2
B3
A1
B1
3吨
B2
6吨
产 地
4吨 A2
B3
5吨
销 地
9吨
A3
x34
B4
6吨
2008/11
--3--
--《运筹学》 运输问题--
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有 Min z = cij·xij

判别的方法是计算空格（非基变量）的检 验数，若所有的检验数都大于等于0，为最优 解。
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4