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勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，勾三股四弦五：3，4，55·12记一生：5，12，13连续的偶数：6，8，10企鹅是二百五 7，24，25八月十五在一起：8，15，17还有2组，不是勾股数，不过经常使用，也需要记住。
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
第17章勾股定理小结和复习
教学目标
1. 理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边
2. 勾股定理的应用.
3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
教学过程
一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，
并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：
勾般定理的逆毎用
1. 勾股定理:
(1) ________________________ 直角三角形两直角边的和等于的平方.就是说，对于任意的直
角三角形，如果它的两条直角边分别为 a b,斜边为c,那么一定有：.这就是勾股定理.
(2) 勾股定理揭示了直角三角形―之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.
2 2 | 2 ■ 2 2 2 2 ■ 2
a 二c -
b ,b 二
c -a ,c = . a b
2. 勾股定理逆定理
若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为__________ .这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边
a,b,c(a+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSSE明两个三角形全等，证明定理成立.
3. 勾股定理的作用：
(1) 已知直角三角形的两边，求第三边；
(2) 在数轴上作出表示川(n为正整数)的点.
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.
2十2 2
(3) 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若a b =c
，则三角形是直角三
角形；若a b c
，则三角形是锐角三角形；若
a b”：c「，则三角形是钝角三角
形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.
考点一、已知两边求第三边
1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_______ .
2. ___________________________________________________________ 已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是____________________________ .
3. 在数轴上作出表示-10的点.
4 .已知，如图在△ ABC中，AB=BC=CA=2cm , AD是边BC上的高.
求①AD的长；②△ ABC的面积.
考点二、利用列方程求线段的长
1. 如图，铁路上A，B两点相距25km, C，D为两村庄，DA丄AB于A , CB丄AB
于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
2. 如图，某学校（A点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）
的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离.
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1•分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5 （2）
5、12、13 （3）8
15、17 (4) 4、5、6,其中能够成直角三角形的有_____________
2. _________________________________________________________ 若三角形的三别是a2+b2,2ab,f-b2(a>b>0),则这个三角形是______________________ .
2
3. 如图1,在厶ABC中，AD是高，且AD二BD CD，求证：△ ABC为直角三角形。
團I
考点四、灵活变通
1. 在Rt A ABC中，a, b, c分别是三条边，/ B=90°,已知a=6, b=10,则边长
c= ___
2. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2, 8cm2，则以斜
边为边长的正方形的面积为___________ c m2.
3. 如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm, 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到
B点，则最少要爬行_______ cm
4. ___________________________________ 如图：带阴影部分的半圆的面积是(二取3)
5. —只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那
么它所爬行的最短路线的长是 _______________
6若一个三角形的周长12、.3cm,—边长为3cm,其他两边之差为3 cm,则这个
二角形是 _______________________ :.
7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米
考点五、能力提升
1. 已知：如图，△ ABC 中，AB > AC , AD 是BC 边上的高.
1
2. 如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =丄BC .你
4
3. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm ，BC=8cm ,现将直角边AC
沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
三、随堂检测
求证：AB 2-AC 2
=BC(BD-DC).
能说明/ AFE 是直角吗?
E
1. 已知△ ABC中，/ A= / B= / C,则它的三条边之比为（）.
A. 1: 1: 1
B. 1: 1 : 2
C. 1: 2 : 3
D. 1: 4: 1
2. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）.
A. 6, 7, 8
B. 5, 6, 7
C. 4, 5, 6
D. 3, 4, 5
3. 若等边△ ABC的边长为2cm,那么△ ABC的面积为（）.
—2 2 2 2
A . 3 cm
B . 2 cm
C . 3 cm
D . 4cm
4. 直角三角形的两直角边分别为5cm, 12cm,其中斜边上的高为（）
A . 6cm
B . 8 . 5cm
C . 30/ 13cm
D . 60/13 cm
5. 有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米.一只小鸟从一棵树的
树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_____ 米.
6. —座桥横跨一江，桥长12m, 一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流
原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶________ m .
7. ______________________________________________________________ —个三角形的三边的比为 5 ：12 ：13,它的周长为60cm,则它的面积是 ________ .
8•已知直角三角形一个锐角60°斜边长为1,那么此直角三角形的周长是___________
9. 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高
出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺.求竹竿高与门高.
10. 如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m,梯
子的顶端B到地面的距离为7m .现将梯子的底端A向外移动到A使梯子的
底端A'到墙根0的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B',那么BB'也等于
1m吗？
11. 已知：如图△ ABC 中，AB=AC=10 , BC=16 ,点D 在BC 上, DA 丄CA 于
A .
求：BD的长.
四、小结与反思A
C。
