狄拉克符号（Dirac）狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量⼦体系状态的描述，前述波动⼒学和矩阵⼒学两种⽅法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类⼒学量的本征函数的线性组合，⽽展开系数模平⽅具有⼒学量概率的含义。
问题：能否不从单⼀⾓度描述体系，⽽⽤统⼀的⽅式全⾯概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论⽅⾯，构造了⼀个抽象的、⼀般⽮量--态⽮，并引进了⼀套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量⼦⼒学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引⼊ 1.1.1 态空间任何⼒学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基⽮构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的⼀个态⽮，有∑=nn n u a ψ（1）n a 即为态⽮ψ在基⽮n u 上的分量，态⽮ψ在所有基⽮{}n u 上的分量{}n a 构成了态⽮在{}n u 这个表象中的表⽰（矩阵）= n a a a 21ψ (),,,,**2*1n a a a =+ψ（2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态⽮相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表⽰某⼒学量的本征态，⽽抛开其具体表象；（2）式的右⽅是ψ的{}n u 表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态⽮A ψ与B ψ在同⼀表象{}n u 中的分量表⽰各为{}n a 与{}n b ，则两态⽮内积的定义为()∑==+n n n n n B Ab a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ（3）注意：A B B A ψψψψ++≠1.1.3狄拉克符号的引⼊态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间引⼊符号>，称为右⽮ [Ket ⽮，Bra ⽮（Bracket 括号><）]微观体系的⼀个量⼦态ψ⽤>ψ表⽰，>ψ的集合构成右⽮空间，>ψ在右⽮空间中的分量表⽰可记为矩阵=> n a a a 21ψ（4）约定：右⽮空间的态⽮ ,,,B A ψψψ⼀律⽤字母 ,,,>>>B A ψψψ表⽰⼒学量的本征态⽮⼀律⽤量⼦数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表⽰引⼊符号 <，称为左⽮微观体系的⼀个量⼦态ψ也可⽤ψ<表⽰，但在同⼀表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ（5）ψ<的集合构成左⽮空间引⼊狄拉克符号后，任意两个态⽮>>B A ,的内积定义为同⼀表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=nn n n b a b a b a A B ***11| （6）这⾥*||>>=<>λ|,|n 仍为抽象的本征⽮ 1.2 基⽮的狄拉克符号表⽰ 1.2.1 离散谱⼒学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征⽮>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归⼀化的完全系，可以作为⽮量空间的基⽮，作为基⽮可表⽰为??>= 0011| ?>= 0102| …… ←>= 010|n 第n ⾏（7）（1）基⽮具有正交归⼀性 mn n m δ>=<| （8）（2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ（9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=m mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态⽮在基⽮上的分量（3）封闭性把>=<ψ|n a n 代⼊>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以 1||=<>∑n n n（11）称为基⽮的封闭性※狄拉克符号运算中⾮常重要的关系式 1.2.2 连续谱当⼒学量本征值构成连续谱λ时，对应的基⽮记为{}>λ|x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p -=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>==< px ie p x2/1)2(1|π>=< 1.3 态⽮在基⽮下的形式 1.3.1 离散谱基⽮为{}>n |，态⽮记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，⽤基⽮展开><>>=?>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成><><><= >= ψψψψ||2|1|21n a a a n （17）相应的左⽮ ∑><<= n n |||ψψ（18）()()><><><==1ψψψψ（19）1.3.2 连续谱><>>=ψλλλψ|||d （20）或 ?<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表⽰⼀个抽象的态⽮，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄⽶算符的作⽤1.4.1 离散谱（1）算符作⽤在基⽮上∑∑>>=><>=∧∧n算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23）（2）算符作⽤在态⽮上（算符⽅程）>>=∧ψ||F （24）即有 >>=<<∧?ψ|||n F n （25）或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψ?||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符⽅程，（25），（26）式是具体表象中的算符⽅程，><>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
Dirac 符号系统与表象一、Dirac 符号1. 引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。
2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。
例如：=n na n ψ∑（2）. 左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。
右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
<p ’ |, <x ’ |, <Q n | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。
（3）. 伴矢量<ψ | 和 |ψ>的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：12n a a a ψ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<ψ| 按 Q 的左基矢 <Q n | 展开：<ψ| = a*1 <Q 1 | + a*2 <Q 2 | + ... + a*n <Q n | + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开：<φ| = b*1 <Q 1 | + b*2 <Q 2 | +... + b*n <Q n | + ... 定义|ψ>和 <φ|的标积为：*n n nb a ϕψ=∑。
