初中数学九年级上册菱形的性质专项练习题

九年级上册（北师大版）数学课时练习：菱形的性质与判定（有答案）菱形的性质与判定一．填空题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于．2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则= ．3．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE 交于点G，BF、CE交于点H．当▱ABCD满足，四边形EHFG是菱形．4．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件：，使得四边形BCDE成为菱形．5．如图，A、B两点的坐标分别为（5，0）、（1，3），点C 是平面直角坐标系内一点．若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为．6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．7．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形OE的长为（）A．6 B．5 C．2D．415．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35° B．45° C．50°D．55°16．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（）A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC 于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（）A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2D．50cm218．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．30°D．35°19．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A．3个 B．2个 C．1个 D．0个20．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A． cm B． cm C． cm D． cm 三．解答题（共4小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．22．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．23．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG 平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD=DE，联结BE，∠ABC=∠DBE=72°；（1）联结CE，求证：CE=BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形．参考答案一．填空题1．50+72．2．．3．AB⊥BC．4．AB=2BC．5．（﹣4，3）．6．②．7．AC⊥EF．8．AB=BC，或AC⊥BD．9．此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．10．AD=AB．二．选择题11．D．12．A．13．D．14．D．15．C．16．C．17．C．18．C．19．A．20．B．三．解答题21．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t=2t，解得t=．∴当t=秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=AE=t，又AD=40﹣4t，即40﹣4t=t，解得t=8；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，∴AD=2AE，即40﹣4t=4t，解得t=5．③若∠EF D=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t=8或5秒时，△DEF为直角三角形．22．证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=DC，BE=AB，又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴△DBC为直角三角形，又∵F为边DC的中点，∴BF=DC=DF，又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．23．解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．24．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣72°﹣72°=36°，∵AD=BD，∴∠1=∠A=36°，∴∠2=36°，∵∠DBE=72°，∴∠3=36°，∵BD=DE，∴∠DEB=∠DBE=72°，∴∠BOE=180°﹣∠3﹣∠DEB=72°，∴∠4=∠BOE﹣∠2=36°，∴∠2=∠4，∴DO=BO，∵∠2=36°，∠ACB=72°，∴∠BDC=180°﹣∠2﹣∠DCB=72°，∴BC=BD，∵BD=DE，∴BC=DE，∴DE﹣DO=BC﹣BO，∴CO=EO，∵∠7=∠8，∴∠5=∠==∠4=36°，∴∠5=∠3=36°，∴CE=BE；（2）∵∠4=∠1=36°，∴DE∥BF，∵∠2=∠5=36°，∴EF∥DB，∴四边形DEFB是平行四边形，∵DE=DB，∴四边形DBFE是菱形．。

《菱形的性质和判定》习题一、选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.能够判别一个四边形是菱形的条件是( )A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角3.菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是( )A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm24.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为( )A.43B.83C.103D.123二、填空题5.菱形的周长是8cm，则菱形的一边长是______.6.菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.7.菱形的对角线的一半的长分别为8cm和11cm，则菱形的面积是_______.三、解答题8.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.9.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？10.菱形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.11．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，与BC 相交于点E ，EF ∥AB ，与AD 相交于点F ，求证：四边形ABEF 是菱形．12．如图，将一张矩形纸片ABCD 先折出一条对角线AC ，再将点A 与点C 重合折出折痕E F ，最后分别沿AE 、CF 折叠．得到的四边形AECF 是什么样的四边形？试证明你的猜想．与第3题对照，你有什么发现？B AC ED F B A CE D F。

九年级数学 《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．求证：.AF AE =例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证：GH 垂直平分CF ．例 5 如图，A B CD中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==．求证：AF BE ⊥．例6 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形．求证：AC 与DE 互相垂直平分参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-，∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB∵︒=∠60EAF ，∴CAF BAE ∠=∠∴ACF ABE ∆≅∆∴AF AE =∵︒=∠60EAF ，∴EAF ∆为等边三角形.∴︒=∠60AEF∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，∴CEF ∠+︒=︒+︒601860∴︒=∠18CEF说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证A CF ABE ∆≅∆例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =∴四边形BGDH 是平行四边形∵DF AD =，∴BC DF =在△DFH 和△BCH 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =∵四边形BGDH 是平行四边形∴四边形BGDH 是菱形∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =∴GH 垂直平分FC ．例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG = ∵AB AD 2= ∴AB AG = 同理：BH AB = ∴BH AG = ∵BH AG //∴四边形ABHG 是平行四边形 ∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形 ∴BE AF ⊥．例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形．所以要连结AD证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点 ∴BE CE AE ==∵四边形BCDE 是平行四边形 ∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，∴四边形ABCE 是平行四边形 ∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分．。

第一章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直图12．若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为()A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm3．②如图1，在菱形ABCD中，已知∠ABD＝20°，则∠C的大小是________度．4．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求这个菱形的边长．5．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线的长也是2 cm，则另一条对角线的长是() A．4 cm B．2 3 cm C．3 cm D. 3 cm6．如图3所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是()图3A．(5，0)，(8，4) ;B．(4，0)，(8，4) ;C．(5，0)，(7，4) ;D．(4，0)，(7，4)7．2017·高密市二模如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，垂足为E，则AE的长为()图4A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.28．2017·东安县模拟如图5，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接FC，则∠DCF的度数为________度．图59．如图6，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．图610.如图7，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．4图711．如图8，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．图812．如图9，在菱形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F.求证：AB与EF互相平分．图913．如图10，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°，点P的坐标为(0，3)，设点A运动了t秒，求：(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；(2)点A在运动过程中，当t为何值时，可使得△OCP为等腰三角形？图1014．如图11，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.图1115．如图12，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()图12A．28 3 B．24 3 C．32 3 D．323－816．如图13所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC 为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；….按此规律所作的第2018个菱形的边长为________．图13参考答案1．D2．C 3．1404．解：根据题意，设对角线AC ，BD 相交于点O ，则由菱形对角线的性质，知AO ＝12AC ＝3，BO ＝12BD ＝4，且AO ⊥BO ，∴AB ＝AO 2＋BO 2＝5.5．B 6．A 7．D 8．459．解：连接P A ，如图所示．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP ＝∠CDP ＝12∠ADC ＝36°，BD 所在直线是菱形ABCD 的对称轴，∴P A ＝PC .∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴P A ＝PD ，∴PD ＝PC ，∴∠PCD ＝∠CDP ＝36°， ∴∠CPB ＝∠PCD ＋∠CDP ＝72°. 10．C 11.3＋112．证明：连接BD ，AF ，BE ，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD .∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BD .又∵AD ∥BC ，∴四边形EDBF 是平行四边形．∴DE ＝BF .∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴AE ＝BF .又∵AE ∥BF ，∴四边形AEBF 为平行四边形，∴AB 与EF 互相平分．13．解：(1)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，根据题意，得OA ＝t ＋1.∵四边形OABC 是菱形， ∴OC ＝OA ＝t ＋1. ∵∠AOC ＝60°，∴OH ＝12OC ＝12(t ＋1)，CH ＝32(t ＋1)，∴点C 的坐标为(t ＋12，3t ＋32)．(2)①当O 为等腰三角形顶点时，OC ＝OP ， ∴t ＋1＝3，∴t ＝2；②当C 为等腰三角形OCP 的顶点时，PC ＝OC ，则CH ＝12OP ＝32，即32(t ＋1)＝32，解得t ＝3－1；③当P 为等腰三角形OCP 的 顶点时，OP ＝PC ，∠POC ＝30°，∴OC ＝33，∴1＋t ＝33，∴t ＝33－1.综上可知，当t ＝3－1或2或33－1时，可使得△OCP 为等腰三角形． 14．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，BC ＝CD ，∴∠1＝∠ACD . 又∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD . 又∵ME ⊥CD ，∴CE ＝ED ＝12CD ，∴BC ＝CD ＝2CE ＝2.(2)证明：如图，延长DF ，AB 交于点N .∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠FCM ＝∠ECM .∵F 为边BC 的中点，∴CF ＝BF . 由(1)可知CE ＝ED ＝12CD ，∴CF ＝CE .又∵CM ＝CM ，∴△CMF ≌△CME ， ∴MF ＝ME .∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠N ，∠DCF ＝∠NBF . 又∵CF ＝BF ，∴△CDF ≌△BNF ，∴DF ＝NF . 又∵∠1＝∠2，∴∠N ＝∠1， ∴AM ＝MN ＝NF ＋MF ＝DF ＋ME . 15．A 16.()32017。

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

课时练第1单元菱形的性质与判定一．菱形的性质1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．两组对边分别平行2．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（）厘米．A．8B．5C．10D．4.83．已知菱形的周长为9.6cm，两个邻角的比是1：2，这个菱形较短的对角线的长是（）A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．2.4cm4．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B 的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°5．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（）A．75°B．45°C．60°D．30°6．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．7．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为．8．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为．10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．12．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．13．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．14．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM＝2DQ．二．菱形的判定15．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A．正方形B．等腰梯形C．菱形D．矩形16．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD 为菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD 17．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形18．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．长方形D．对角线相等的四边形19．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．A．1B．2C．3D．420．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．521．已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（答案不唯一）．22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．23．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF（1）求证：FB＝AO；（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．三．菱形的判定与性质24．下列说法中错误的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．菱形的对角线长度等于边长C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形25．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5B．10C．10.5D．1126．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（）A．4B．3C．2D．127．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB 的面积为4cm2．则OC的长为（）A．2B．3C．4D．528．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．29．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案一．菱形的性质1．A2．B3．D4．C5．C6．B7．8．（）n﹣19．50°10．﹣111．212．解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，由勾股定理得，AG＝＝＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12，菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×16＝96；故答案为：12；96；＝S△ABO+S△ADO，（2）如图1，连接AO，则S△ABD所以，BD•AG＝AB•OE+AD•OF，即×16×6＝×10•OE+×10•OF，解得OE+OF＝9.6是定值，不变；＝S△ABO﹣S△ADO，（3）如图2，连接AO，则S△ABD所以，BD•AG＝AB•OE﹣AD•OF，即×16×6＝×10•OE﹣×10•OF，解得OE﹣OF＝9.6，是定值，不变，所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE﹣OF＝9.6．13．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴P A＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．14．解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE＝＝2，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在Rt△DEC中，DC＝4，EC＝＝＝2；（2）如图2，延长CD至H，使CD＝DH，连接NH、AH，∵AD＝CD，∴AD＝DH，∵CD∥AB，∴∠HDA＝∠BAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD，∠HAD＝60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN，∠NAM＝60°，∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，∴∠HAN＝∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN＝DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN＝2DQ，∴DM＝2DQ．二．菱形的判定15．C16．A17．C18．D19．C20．C21．解：由题意知，可添加：AB＝AC．则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF，∴平行四边形ADEF为菱形．22．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠F AD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．23．证明：（1）∵E是BO的中点，∴OE＝BE，∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠OCE，在△BEF和△OEC中，，∴△BEF≌△OEC，∴BF＝OC，∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，∴OA＝OC，∴FB＝AO；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴平行四边形AFBO是菱形．三．菱形的判定与性质24．B25．D26．C27．C28．3629．（1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，∵AD∥BC，∴∠F AC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE，∵OA＝OC，∴四边形AECF为平时四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即菱形的边长为5；（3）解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴OA＝AC＝2，在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝2．30．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解得t＝．∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．。

第一章 特殊平行四边形 第1课时 菱形的性质1．有一组 的平行四边形是菱形2．菱形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 .3.菱形的四条边都 ，菱形的对角线 . 知识点1: 菱形的定义4．若四边形ABCD 是平行四边形，请补件 ，使得四边形ABCD 是菱形.充的条件是AB=BC ；他补充这个条件的是 .5．在四边形ABCD 中，若已知AB ∥CD ，AB=AD 增加一个条件使四边形ABCD 为菱形，是 .6．在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,能够说明该四边形是菱形的是（ ） A.AB ∥CD ，AB=CD B.OA=OC,OB=OD,AC=BD C.OA=OC,OB=OD,AB=BC D.AB=BC ,AB ∥CD知识点2：菱形的轴对称性7.的个数是（ ）．A.1个B.2个C.3个D.4个 8．下列说法正确的是（ ）A. 菱形只是轴对称图形不是中心对称图形B. 菱形既是轴对称图形也是中心对称图形C. 菱形的对角线就是它的对称轴D.一个菱形有一条对称轴 知识点3:菱形的性质9．菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:在“边”上的性质是 ________________________________. ． 积CEEA课后作业15．如图，在菱形ABCD 中，已知BE ⊥AD,BF ⊥CD, AE=DE,那么∠EBF 等于（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D.75°16.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32㎝B ．33㎝C ．34㎝D ．3㎝17．如图，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm ，则∠ABD 的度数为 ，•∠DAB 的度数为 _；对角线BD= ，AC= ；菱形ABCD 的面积为 ．18.如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．19.如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ， 则点P 到BC 的距离是_____cm.20．（2015·龙岩）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．4B．4 C．2D．221.（2015•黔东南州）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．2422．（2015•大庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，且AF=AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．答案：第一章特殊平行四边形第1课时菱形的性质1.邻边相等2.2 对角线所在的直线3.相等互相平分、垂直、平分一组对角4.AB=BC或BC=CD或AB=AD 有一组邻边相等的平行四边形是菱形5.答案不唯一，AD ∥BC 或AB=CD.6.C7.D8.B9.四条边都相等 对角线互相垂直 10.24 11.5 12.12,96 13.解：因为四边形ABCD 是菱形，所以OA=OC,OB=OD,AC ⊥BD. 在Rt △AOB 中，根据勾股定理得OB=512132222=-=-OA AB ,所以，BD=2OB=10.14.解：CE=CF,理由是：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠BAD ， ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD.∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等）.15.B 16.B 17.60°，60°，12,123,723 18.25 19.4 20.A 21.A 22.证明：∵∠ACB=90°，E 是BA 的中点，∴CE=AE=BE ，∵AF=AE ，∴AF=CE ， 在△BEC 中，∵BE=CE 且D 是BC 的中点，∴ED 是等腰△BEC 底边上的中线，∴ED 也是等腰△BEC 的顶角平分线，∴∠1=∠2，∵AF=AE ，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F ，∴CE ∥AF ，又∵CE=AF ，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）解：∵四边形ACEF 是菱形，∴AC=CE ，由（1）知，AE=CE ，∴AC=CE=AE ，∴△AEC 是等边三角形，∴∠CAE=60°，在Rt △ABC 中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．。

１菱形的性质一、选择题1. 若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长是（ ） A．B．C．12D2. 如图，在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，作EF BC ∥，交AC 于点F ，如果4EF =，那么CD 长为（ ）A ．10B ．4C ．6D ．83. 如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则CDF ∠等于（ ） A ．80 B ．70 C ．65 D ．604. 如图所示，在菱形ABCD 中，120A ∠=，周长为a ，则较长的对角线长为（ ）A．2a B．4a C．8a D．16a5. 菱形ABCD 中，若:2:1A B ∠∠=，CAD ∠的平分线AE 与边CD 间的关系是 （ ）ＡＣＡ２A ．相等B ．互相平分但不垂直C ．互相垂直但不平分D ．垂直平分6. 菱形周长为4p ，两条对角线的差为2(0)m m p <<，则该菱形面积为（ ）A ．221()4p m -B ．221()2p m -C ．22p m -D ．22p m +7. 若菱形周长52cm ，一条对角线长24cm ，则它的面积是（ ）2cm ．A ．60B ．80C ．120D ．408. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，则下列性质： ①AO BO CO DO ===；②AO CO =，BO DO =且AC BD ⊥； ③4AB AB BC CD DA =+++； ④BAC DAC ∠=∠，ABD CBD ∠=∠． 其中菱形一定具有的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④9. 菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，则下列说法不正确的是（ ） A ．AO BO ⊥ B ．ABD CBD ∠=∠ C ．AO BO =D ．AO BD =10. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ） A ．对边平行B ．对边相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直11. 菱形的周长等于它的高的8倍，则它各个角是（ ） A ．30和150 B ．45和135 C ．60和120D ．20和16012. 若菱形的一条对角线是另一条对角线长的2倍，且此菱形的面积为16，则它的边长为（ ） A ．4B ．2C．D．13. 菱形和矩形一定．．都具有的性质是（ ） A ．对角线相等． B ．对角线互相平分．Ｂ３C ．对角线互相垂直．D ．每条对角线平分一组对角． 二、填空题14. 菱形周长为24cm ，高为3cm ，则菱形相邻两角的度数分别为 ． 15. 已知菱形两条对角线之比为34∶，它们的差为2cm ，则菱形的面积是________．16. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC =6，BD =8，则菱形的高为_______．17.已知菱形的周长为，两条对角线长的比为12∶，则此菱形两条对角线的长分别为 ．18. 已知菱形ABCD 的边长为6，60A ∠=，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==AP 的长为 ．19. 已知菱形的一条对角线长为4cm ，周长为16cm ，则菱形的四个角分别为 ．20. 菱形的四条边_________对角线__________且每一条对角线__________． 21. 菱形的两条对角线把菱形分割成一些三角形，其中直角三角形有_________个．22. 菱形ABCD 的对线交于O 点，则图中等腰三角形的个数是________个． 23. 已知菱形的周长为40，两个相邻角之比为12∶，则较短对角线长为__________．24. 菱形ABCD 中，点A 到边BC CD ，所在直线的距离 ．25. 在菱形ABCD 中，AE BC ⊥交BC 于E ，1EC =，513AE AB =∶∶，则菱形ABCD 的周长为 ．26. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是______．27. 已知菱形的两条对角线的长都是8cm ，则菱形的边长为 cm ．28. 在菱形ABCD 中，AE 、AF 分别垂直平分边BC 、CD ，则∠EAF ＝ ．DCBA４三、证明题29. 已知如图，在菱形ABCD 中，CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ．请说明：AE AF =．30. 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE DF =． 求证：（1）ABE ADF △≌△； （2）AEF AFE ∠=∠．ＣＢＢ５参考答案 一、选择题 1. D 2. D 3. D 4. B 5. D 6. C 7. C 8. D 9. C 10. D 11. A 12. D 13. B 二、填空题 14. 30和150 15. 224cm 16. 2.417. 8cm ，16cm18.19. 60，120，60，12020. 都相等，互相垂直平分，平分一组对角 21. 4 22. 4 23. 10 24. 相等 25. 4226.27.28. 60三、证明题29. 提示：AEC AFC△≌△30. （1）利用“边角边”可证；（2）ABE ADF∵△≌△，AE AF∴．∠=∠=∴，AEF AFE６。

第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。

9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是_____菱形的性质答案1、【答案】 C2、【答案】 B3、【答案】 D4、【答案】 5 cm；24 cm25、【答案】BD=6，面积是24.6、【答案】B7、【答案】24 cm28、【答案】9.6cm9、【答案】60°10、【答案】（1）BD=12cm，AC=123cm （2）S菱形ABCD=723cm211、【答案】 A12、【答案】 C1213、【答案】5214、【答案】312515、【答案】24【提示】方程加勾股定理北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分A.1B.2C.3D.44.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是 A.23 B.12 C.13 D.49 8.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________. 12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________. 13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜 若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获 胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

北师大版九上1.1菱形的性质与判定同步练习一、选择题（共10题）1. 菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，若其周长为8，则菱形ABCD的高为( )B．4C．1D．2 A．123. 菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．3C．2D．234. 菱形ABCD中，AC=10，BD=24，则该菱形的周长等于( )A．13B．52C．120D．2405. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )A．12B．16C．20D．246. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )A．AB=BC B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．∠A=∠B=∠C=90∘7. 如图，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形8. 点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，AC，BD交于点O，当四边形ABCD的对角线满足( )条件时，四边形EFGH是菱形．A．AC⊥BD B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．OA=OB9. 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(―3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0,―2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC，BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD二、填空题（共10题）11. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是cm．12. 已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为．13. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是cm2．14. 如图，若菱形的边长为4，∠BAD=120∘，则较短对角线AC长为．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为．16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，反向延长交BC于点F，则EF的长为．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为．18. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥CE．从中选择条件可使四边形BECF是菱形．19. 如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：，使得四边形AEDF是菱形．三、解答题（共7题）21. 【测试4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 连接DG，若DG=BG，则四边形BECF是什么特殊四边形？请说明理由．23. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：(1) ∠CEB=∠CBE；(2) 四边形BCED是菱形．24. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．(1) 求证AB=BC；(2) 若AB=2，AC=23，求平行四边形ABCD的面积．25. 在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF，求证：(1) △ABF≌△DAE．(2) DE=BF+EF．26. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 试判断四边形AECF的形状，并说明理由．27. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】B二、填空题（共10题）11. 【答案】212. 【答案】1313. 【答案】2414. 【答案】415. 【答案】2416. 【答案】24517. 【答案】618. 【答案】②19. 【答案】AD=BC20. 【答案】如：AB=AC，答案不唯一三、解答题（共7题）21. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在 △MOD 和 △NOB 中，∠DMO =∠BNO,∠MOD =∠NOB,OD =OB,∴△MOD ≌△NOB (AAS)，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴ 四边形 BNDM 是菱形．(2) ∵ 四边形 BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12BD =12，OM =12MN =5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13， ∴ 菱形 BNDM 的周长 =4BM =4×13=52．22. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，在 △ABE 和 △CDF 中，AB =CD,∠BAE =∠DCF,AE =CF,∴△ABE ≌△CDF (SAS)；(2) 四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∵AE =CF ，∴DE =BF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB =OD ，∵DG =BG ，∴EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．23. 【答案】(1) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ ∠ABC =∠ABD ．∵ CE ∥BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∴ ∠CEB =∠CBE ．(2) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ BC =BD ．∵ ∠CEB =∠CBE ，∴ CE =CB ，∴ CE =BD ．∵ CE ∥BD ，∴ 四边形 CEDB 是平行四边形．∵ BC =BD ，∴ 四边形 CEDB 是菱形．24. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥BC ，所以 ∠DAC =∠BCA ，因为 ∠BAC =∠DAC ，所以 ∠BAC =∠BCA ，所以 AB =BC ．(2) 连接 BD 交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，AB =BC ，所以四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =3，OB =OD =12BD ，所以 OB =AB 2―OA 2=22―(3)2=1，所以 BD =2OB =2，所以 S 平行四边形ABCD =12AC ⋅BD =12×23×2=23．25. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AD ∥BC ，∴∠BOA =∠DAE ，∵∠ABC =∠AED ，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠ABF =∠BPF ，∠BPA =∠DAE ，∴∠ABF =∠DAE ，∵AB =DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2) ∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF =AE +EF =BF +EF ，∴DE =BF +EF ．26. 【答案】(1) ∵ 正方形 ABCD ，∴AB =AD ，∠ABE =∠ADF =135∘，在 △ABE 和 △ADF 中，AB =AD,∠ABE =∠ADF,BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS)．(2) 四边形 AECF 为菱形．证明：连接 AC ，∵△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF ，∵正方形ABCD，∴EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，∴EA=EC=FA=FC，∴四边形AECF是菱形．27. 【答案】(1) ∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积=1AC⋅BD=24．2。

2023-2024学年九年级数学上册《第一章菱形的性质与判》同步训练及答案（北师大版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共8小题，满分32分）1．在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（）A．测量两条对角线是否分别平分两组内角B．测量四个内角是否相等C．测量两条对角线是否互相垂直且平分D．测量四条边是否相等2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10B．12C．16D．203．如图，菱形ABCD，∠DAB＝70°，点E是对角线AC上一点，点F是边BC上一点，且DE＝FE，则∠DEF的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．140°4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（）A．16B．16√2C．32D．32√25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A ．6B ．8C ．245D ．4856．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）A ．150°B ．135°C ．120°D ．100°7．如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ：AB ＝4：5，则下列结论：①DE ＝8cm ；②BE ＝4cm ；③BD ＝4√5cm ；④AC ＝8√5cm ；⑤S菱形ABCD ＝80cm 2，正确的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．①②③④⑤8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点C 作AB 垂线交AB 延长线于点E ，连接OE ，若AB ＝2√5，BD ＝4，则OE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．2√5D ．4二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，菱形ABCD 中，若BD ＝8，AC ＝6，则AB 的长等于 ，菱形ABCD 的面积等于 ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A （0，4），D （﹣3，0），若点C 在x 轴正半轴上，则点B 的坐标为 ．11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ．AD＝10，EF＝4，则BG的长．12．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．13．菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点E为AC上的动点，连接BE，以AE、BE为边作平行四边形AEBF，则EF长的最小值为．14．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为．15．如图，已知AB＝2√2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C 重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．三．解答题（共6小题，满分48分）17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．20．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE 于点F，交BD于点G，连接AG，EG．（1）根据题意补全图形，并证明AG＝EG；（2）用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明．21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：BF＝DE；（2）分别延长BE和AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝1，求DG的值．22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A、测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判定菱形，故故选A不符合题意；B、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B符合题意；C、测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项C不符合题意；D、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D不符合题意．故选：B．2．解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：∵ABCD为菱形∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．∴AB＝5．∴周长＝4×5＝20．故选：D．3．解：连接BD交AC于G，连接BE∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝70°，ED＝EF∴ED＝EB＝EF，∠AGD＝90°，∠DCE＝∠BCE＝35°，∠GBC＝55°∴∠EDB＝∠EBD，∠DEG＝90°﹣∠EDB，∠EBD+∠DBC＝∠EFB＝∠CEF+∠ECF ∴∠CEF＝20°+∠EBD∴∠DEF＝∠DEG+∠CEF＝90°﹣∠EDB+20°+∠EBD＝110°4．解：∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC ∴∠BAD+∠B＝180°∵∠DAB＝45°∴∠BCD＝∠BAD＝45°∵DE⊥BC∴△CDE是等腰直角三角形∴∠CDE＝45°，CD=√2DE∵PF⊥CD∴△DPF是等腰直角三角形∴PF＝DF，PD=√2PF设PF＝DF＝x，则PD=√2x∵△PDF的周长为8∴x+x+√2x＝8解得：x＝8﹣4√2∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD∴PE＝PF＝x∴DE＝x+√2x＝（1+√2）×（8﹣4√2）＝4√2∴BC＝CD=√2DE＝8∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4√2=32√2故选：D．5．解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD∵AC＝6，DB＝8∴OC＝3，OB＝4∴BC=√OB2+OC2=√32+42=5∵AC＝6，DB＝8∴菱形ABCD的面积=12×AC⋅BD=12×6×8=24∴AE=S菱形ABCDBC=245故选：C．6．解：过A作AE⊥BC由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC∴∠ABC＝60°∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．7．解：∵菱形ABCD的周长为40cm∴AB=14×4cm＝10cm∵DE：AB＝4：5∴DE＝8cm故①正确；∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm∴AE=√AD2−DE2=√102−82=6（cm）∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm故②正确；∵DE＝8cm，BE＝4cm∴BD=√BD2+BE2=√82+42=4√5（cm）故③正确；∵四边形ABCD是菱形∴BO=12BD＝2√5cm，且AC⊥BD∴AO=√AB2−BO2=√102−(2√5)2=4√5（cm）故④正确；∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×8√5×4√5=80（cm2）故⑤正确；∴正确的为①②③④⑤故选：D．8．解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB ∴OE＝OA＝OC∵BD＝4∴OB=12BD＝2在Rt△AOB中，AB＝2√5，OB＝2∴OA=√AB2−OB2=4∴OE＝OA＝4．故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设AC与BD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=12AC＝3，BO=12BD＝4∴AB=√AO2+BO2=√32+42=5∵BD＝8，AC＝6∴菱形的面积=12×AC×BD＝24故答案为：5，24．10．解：∵菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0）∵∠AOD＝90°∴AD=√42+32=5∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝5∴B（5，4）；故答案为：（5，4）．11．解：∵四边形ABCD是菱形∴OB＝OD∵E是AD的中点∴OE是△ABD的中位线∴OE∥FG∵OG∥EF∴四边形OEFG是平行四边形∵EF⊥AB∴∠EFG＝90°∴平行四边形OEFG是矩形；∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，AB＝AD＝10∴∠AOD＝90°∵E是AD的中点∴OE＝AE=12AD＝5；∵四边形OEFG是矩形∴FG＝OE＝5∵AE＝5，EF＝4∴AF=√AE2−EF2=√25−16=3∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2故答案为2．12．解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB则四边形ABCD 是菱形证明：∵AC 平分∠DAB∴∠DAO ＝∠BAO在△AOD 和△AOB 中{AD =AB ∠DAO =∠BAO AO =AO∴△AOD ≌△AOB （ASA ）∴DO ＝CB∵AO ＝OC∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AB ＝AD∴四边形ABCD 是菱形若①AB ∥CD ； ②AO ＝OC ；④AC 平分∠DAB 或①AB ∥CD ； ③AB ＝AD ；④AC 平分∠DAB 或 ②AO ＝OC ；③AB ＝AD ；④AC 平分∠DAB ．都可以判定四边形ABCD 为菱形．故答案为：②③④或①②④或①③④或②③④．13．解：如图∵四边形ABCD 是菱形∴AO ＝CO ＝4，AC ⊥BD∴BO =√AB 2−AO 2=√25−16=3∵四边形AEBF 是平行四边形∴BF ∥AE∴当EF ⊥AC 时，EF 有最小值此时EF＝BO＝3故答案为：3．14．解：如图，连接AC交BD于点O∵四边形AECF是菱形∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF又∵点E、F为线段BD的两个三等分点∴BE＝FD∴BO＝OD∵AO＝OC∴四边形ABCD为平行四边形∵AC⊥BD∴四边形ABCD为菱形；∵四边形AECF为菱形，且周长为20∴AE＝5∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点∴EF＝8，OE=12EF=12×8＝4由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√52−42=3∴AC＝2AO＝2×3＝6∴S四边形ABCD=12BD•AC=12×24×6＝72；故答案为：72．15．解：连接PC、CQ．∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°∴∠ACE ＝120°，∠FCB ＝60°∵P ，Q 分别是对角线AE ，BF 的中点∴∠ECP =12∠ACE ，∠FCQ =12∠BCF∴∠PCQ ＝90°设AC ＝2a ，则BC ＝2√2−2a ，PC ＝a ，CQ =√32BC =√3（√2−a ）．∴PQ =√PC 2+QC 2=√a 2+3(√2−a)2=4(a −3√24)2+32．∴当a =3√24时，点P ，Q 之间的距离最短，最短距离是√62． 解法二：连接CD 、CG 、DG ，构造中位线解决，当DG 与AD 或BG 垂直时，取最值．故答案为：√62． 16．解：连接OP ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝12，BD ＝16∴AC ⊥BD ，BO =12BD ＝8，OC =12AC ＝6 ∴BC =√OB 2+OC 2=√82+62=10∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AC ⊥BD∴四边形OEPF 是矩形∴FE ＝OP ∵当OP ⊥BC 时，OP 有最小值此时S △OBC =12OB ×OC =12BC ×OP∴OP=6×810=4.8∴EF的最小值为4.8故答案为：4.8．三．解答题（共6小题，满分48分）17．证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD∴∠AOE＝∠AOF＝90°∵在△AEO和△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△AEO≌△AFO（ASA）∴EO＝FO∵EF垂直平分AD∴EF、AD相互平分∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD∴平行四边形AEDF为菱形．18．（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD ∴四边形BDCE是平行四边形∴CE＝BD∵CE＝AD∴BD＝AD又∵∠ACB＝90°∴CD=12AB＝BD∴四边形BDCE是菱形；（2）解：连接DE，如图所示：由（1）得：四边形BDCE是菱形∴BC⊥DE BD＝BE OB＝OC∵EF⊥BD，点F是BD的中点∴BE＝DE∴BE＝DE＝BD∴∠DBE＝60°∠EBC=12∠EBD＝30°∴OE=12EB＝3∴OB=√EB2−OE2=√62−32=3√3∴BC＝2OB＝6√3．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO∴∠AEF＝∠CFE在△AOE和△COF中{∠AEF=∠CFE ∠AOE=∠COF AO=CO∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE∵AO＝CO∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC∴∠AEF＝∠CEF∴∠CFE＝∠CEF∴CE＝CF∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形∴AC⊥EF AO＝CO=12AC＝1∴∠AOE＝90°∵∠DAC＝60°∴OE=√3AO=√3∴EF＝2OE＝2√3∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×2×2√3=2√3．20．（1）证明：如图，连接CG∵GF是CE的垂直平分线∴CG＝GE∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD∠ADB＝∠BDC 在△ADG和△CDG中{AD=CD∠BDA=∠BDC DG=DG∴△ADG≌△CDG（SAS）∴AG＝CG∴AG＝GE；（2）解：CE=√3AG，理由如下：延长EG，交CD于点H∵GE＝GC GF⊥CE∴∠CGF＝∠EGF=12∠CGE，EF＝CF∵AB∥CD∵AG＝GE∴∠GAE＝∠GEA＝∠CHG∵△ADG≌△CDG∴∠DCG＝∠DAG∵AB∥CD，∠ABC＝60°∴∠DAB＝120°∴∠DAG+∠BAG＝120°∵∠CGE＝∠GHC+∠GCH＝∠DAG+∠GAE＝120°∴∠FGE＝60°∴∠GEF＝30°∴GE＝2GF，EF=√3GF∴EC=√3GE=√3AG．21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴CB＝CD∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F∴∠BEC＝∠DFC＝90°在△BEC与△DFC中{∠BEC=∠DFC ∠C=∠CBC=CD∴△BEC≌△DFC（AAS）∴EC＝FC∴BF＝DE；（2）解：如图，延长AD，BE交于点G∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD∴∠ABG＝∠BEC＝90°∵∠A＝45°∴∠G＝∠A＝45°∴AB＝BG＝1∴AG=√2∴DG=√2−1．22．（1）证明：∵AB∥CD∴∠OAB＝∠DCA∵AC为∠DAB的平分线∴∠OAB＝∠DAC∴∠DCA＝∠DAC∴CD＝AD∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形∵AD＝AB∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形BD＝8∴OA＝OC，BD⊥AC OB＝OD=12BD＝4∴∠AOB＝90°∴OA=√AB2−OB2=√62−42=2√5∴AC＝2OA＝4√5∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×4√5×8＝16√5∵CE⊥AB∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16√5∴CE=8√5 3．。

北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题（附答案）一、单选题1.下列命题中正确的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦B. 与直径垂直的直线是圆的切线C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 联结等腰梯形四边中点的四边形是菱形2.菱形的周长为，高为，则该菱形两邻角度数比为（）A. 5:1B. 4:1C. 3:1D. 2:13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A. B. C. D.4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，若平移点到点，使以点为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A. 向左平移（）个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位5.下列说法中，错误的是( )A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形二、填空题6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________.7.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其它字母）。

8.菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC 相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为________．9.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF 的面积为________ 。

10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．三、解答题11.求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形．12.如图（1），在∆ABC中，AB=BC=5，AC=6，∆ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。

1.1 菱形的性质与判定专题训练一．选择题（共10小题）1．下面性质中，菱形不一定具备的是A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角C．邻角互补D．对角线相等2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形3．在菱形中，，，则此菱形的面积是A．48B．96C．60D．1204．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是A．13B．52C．120D．2405．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为A．B．C．D．6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为A．B．C．4D．87．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是A．B．C．D．8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为A．B．C．D．9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为A．B．C．D．10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等二．填空题（共8小题）11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为．13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：可使其成为菱形（只填一个即可）．14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为．15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则．16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为．17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为．18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是．三．解答题（共7小题）19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：（1）的度数；（2）的长．22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：（1）的度数；（2）的度数．23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的周长．25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；（2）当为多少时，四边形是菱形．参考答案一．选择题（共10小题）1．下面性质中，菱形不一定具备的是A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角C．邻角互补D．对角线相等解：、菱形的四条边都相等，故此选项不符合题意；、菱形的每一条对角线平分一组对角，故此选项不符合题意；、菱形的对角相等，邻角互补，故此选项不符合题意；、菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；故选：．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形解：、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：．3．在菱形中，，，则此菱形的面积是A．48B．96C．60D．120解：四边形是菱形，，，，，，在中，，，；故选：．4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是A．13B．52C．120D．240解：菱形中，，，，，在中，，菱形的周长．故选：．5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为A．B．C．D．解：菱形，，，，，，故选：．6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为A．B．C．4D．8解：四边形是菱形，，，，在中，，，，，菱形的面积．故选：．7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是A．B．C．D．解：四边形中，，，四边形是平行四边形，，当或时，均可判定四边形是菱形；当时，可判定四边形是矩形；当时，由得：，，，四边形是菱形；故选：．8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为A．B．C．D．解：菱形对角线，，，，，根据勾股定理，，菱形的面积，即，解得．故选：．9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为A．B．C．D．解：连接，如图：四边形是菱形，，，，，，，点是中点，，是等边三角形，，，；即菱形的较大内角度数为；故选：．10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等解：连接，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，，，，在和中，，，，，故选：．二．填空题（共8小题）11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为6解：菱形周长为20，则，，，，，故答案为：6．12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为．解：连接交于，如图，四边形为菱形，，，，，，为等边三角形，，．故答案为：．13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：或（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）．解：的对角线，相交于点，当或使其成为菱形．故答案为：或（答案不唯一）．14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为．解：在菱形中，，，，，．故答案为：．15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则35．解：四边形是菱形，，．垂直平分，，，，故答案为35．16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为．解：如图，连接交于．四边形是菱形，，，，，，，，，．故答案为．17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为3．解：四边形是菱形，，，，，，，，故答案是：3．18．如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是．解：作点关于的对称点，交于点，连接，则就是的最小值，在菱形中，，，为中点，，，，点为的中点，是等边三角形，，，，故答案为：．三．解答题（共7小题）19．如图，已知菱形的一条对角线恰好与其边的长相等，求这个菱形各内角的大小．解：四边形为菱形，，，，，为等边三角形，，，即这个菱形各内角的大小分别为，，，．20．如图，在已知平行四边形中，平分，与相交于点，，与相交于点．求证：四边形是菱形．【解答】证明：四边形是平行四边形，，又，四边形为平行四边形，平分，，，，，平行四边形为菱形．21．已知，如菱形，垂直于，且为的中点，已知．求：（1）的度数；（2）的长．解：（1）于，且为的中点，．四边形是菱形，．．是等边三角形．．（2），是等边三角形，，，．．22．如图，四边形和四边形都是菱形，点，在上．已知，，求：（1）的度数；（2）的度数．解：（1）四边形是菱形，，，，；（2），四边形是菱形，，则，．23．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：，，为的平分线，，，，，四边形是平行四边形，，是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，，，菱形的面积，，菱形的面积，．24．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的周长．【解答】（1）证明：，，是对角线的垂直平分线，，，在和中，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，菱形的周长．25．如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．（1）连接，当经过边的中点时，试判定四边形的形状并说明理由；（2）当为多少时，四边形是菱形．【解答】（1）解：四边形是平行四边形．理由：，，，为的中点，，在和中，，，四边形是平行四边形；（2）解：若四边形是菱形，则有，则此时的时间．。

完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。

2.较短对角线长为10cm。

3.边长为5cm。

4.各角分别为72°和108°。

5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。

6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。

7.对角线互相垂直。

8.菱形。

9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。

10.周长为40cm。

11.互相垂直且不平分。

12.AB长为8cm。

13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。

18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。

又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。

$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。

设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。

由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。

由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。

又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。

设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。

20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。

1.1.1菱形的性质同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A组(基础题)一、填空题1.如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝____2.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE∠AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是____3.如图，已知菱形ABCD的顶点A，B在数轴上对应的数分别为－5和1，则BC＝____4.已知菱形的周长为40 cm，两条对角线的长度为3∠4，那么两条对角线的长分别为____和____.5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D＝70°，则∠BCE的度数是____.二、选择题6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是( )A.∠BAC＝∠DACB.OA＝OCC.AC∠BDD.AC＝BD7.如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，则这个菱形的对角线AC的长是( )A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm8.如图，在菱形ABCD中，CE∠AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为( )A.100°B.120°C.135°D.150°9.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是( )A.108°B.72°C.90°D.100°三、解答题10.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.11.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将∠ABO沿点A到点C的方向平移，得到∠A′B′O′，当点A′与点C重合时，连接AB′，求AB′的长.B组(中档题)四、填空题12.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰∠BDE，则∠EBC的度数为____.13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；……按此规律所作的第2 021个菱形的边长为____.14.如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝3，O是▱ABCD的对称中心，O′是菱形ABEF的对称中心.若OO′＝d，则d的取值范围为____五、解答题15.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点.(1)如图1，若CE＝CF，求证：AE＝AF.(2)如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数.C组(综合题)16.如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P 是对角线BD上的动点(不含B，D).(1)证明无论动点P在何处，四边形PMCN的面积总是固定值，并求出这个固定值.(2)试探究动点P在何处时，四边形PMCN的周长最小，最小值是多少？参考答案1.1.1菱形的性质同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A组(基础题)一、填空题1.如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝100°.2.如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE∠AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是5.3.如图，已知菱形ABCD的顶点A，B在数轴上对应的数分别为－5和1，则BC＝6.4.已知菱形的周长为40 cm，两条对角线的长度为3∠4，那么两条对角线的长分别为12cm 和16cm.5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D＝70°，则∠BCE的度数是35°.二、选择题6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是( D )A.∠BAC＝∠DACB.OA＝OCC.AC∠BDD.AC＝BD7.如图，菱形 ABCD 的周长是4 cm ，∠ABC ＝60°，则这个菱形的对角线AC 的长是( A )A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm8.如图，在菱形ABCD 中，CE∠AB 于点E ，E 点恰好为AB 的中点，则菱形ABCD 的较大内角度数为( B )A.100°B.120°C.135°D.150°9.如图，在菱形ABCD 中，∠ADC ＝72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接 CP ，则∠CPB 的度数是( B )A.108°B.72°C.90°D.100°三、解答题10.如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE ＝DF.求证：∠BAE ＝∠DAF.证明：∠四边形ABCD 是菱形， ∠∠B ＝∠D ，AB ＝AD. 在∠ABE 和∠ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∠∠ABE∠∠ADF(SAS). ∠∠BAE ＝∠DAF.11.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将∠ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到∠A′B′O′，当点A′与点C 重合时，连接AB′，求AB′的长.解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AC∠BD ，AO ＝OC ＝12AC ＝2，OB ＝OD ＝12BD ＝8.∠∠ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到∠A′B′O′，点A′与点C 重合， ∠O′C ＝OA ＝2，O′B′＝OB ＝8，∠CO′B′＝90°. ∠AO′＝AC ＋O′C ＝6.∠AB′＝O′B′2＋AO′2＝82＋62＝10.B 组(中档题)四、填空题12.在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰∠BDE ，则∠EBC 的度数为45°或105°.13.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，连接对角线AC ，以 AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC ＝60°；连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1＝60°；……按此规律所作的第2 02114.如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，O 是▱ABCD 的对称中心，O′是菱形ABEF 的对称中心.若OO′＝d ，则d 的取值范围为0.5≤d≤3.5.五、解答题15.如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点. (1)如图1，若CE ＝CF ，求证：AE ＝AF.(2)如图2，若∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，求∠CEF 的度数.解：(1)证明：∠四边形ABCD 为菱形， ∠∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 又∠CE ＝CF ，∠BE ＝DF.在∠ABE 和∠ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∠∠ABE∠∠ADF(SAS). ∠AE ＝AF. (2)连接AC.∠四边形ABCD 为菱形，∠∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝DA. ∠∠ABC 与∠CDA 为等边三角形. ∠AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°. ∠∠EAF ＝60°， ∠∠BAE ＝∠CAF.在∠ABE 和∠ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ，∠∠ABE∠∠ACF(ASA).∠AE ＝AF. ∠∠EAF ＝60°，∠∠EAF 为等边三角形. ∠∠AEF ＝60°.∠∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AEF ＋∠CEF ， ∠60°＋20°＝60°＋∠CEF. ∠∠CEF ＝20°.C 组(综合题)16.如图，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，P 是对角线BD 上的动点(不含B ，D).(1)证明无论动点P 在何处，四边形PMCN 的面积总是固定值，并求出这个固定值. (2)试探究动点P 在何处时，四边形PMCN 的周长最小，最小值是多少？解：(1)连接MN ，BN.∠M ，N 分别是边BC ，CD 的中点， ∠MN∠BD.∠S ∠PMN ＝S ∠BMN ＝S ∠CMN ＝12∠BCN ＝14∠BCD.∠S 四边形PMCN ＝12S ∠BCD ＝14S 菱形ABCD ＝14×12×6×8＝6.(2)作点M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ 交BD 于点P ，连接MP ，此时MP ＋NP 的值最小，∠四边形ABCD 是菱形， ∠AC∠BD ，∠QBP ＝∠MBP ， 即Q 在AB 上. ∠MQ∠BD ，∠AC∠MQ.∠M 为BC 中点，∠Q 为AB 中点. ∠N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形， ∠BQ∠CD ，BQ ＝CN. ∠四边形BQNC 是平行四边形. ∠NQ ＝BC.∠四边形ABCD 是菱形， ∠CP ＝AP ＝3，BP ＝PD ＝4.在Rt∠BPC 中，由勾股定理，得BC ＝5，即NQ ＝5. ∠MP ＋NP ＝QP ＋NP ＝QN ＝5. ∠四边形PMCN 周长的最小值是10.。

北师大九年级上《1.1菱形的性质和判定》课时练习含答案解析北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（）A．43B．33C．23D．3答案：B解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=23∴EF=AE=23过A作AM⊥EF，∴AM=AE?sin60°=3，∴△AEF的面积是：12EF?AM=12×23×3=33故选：B．分析: 首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF 是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG ∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC 于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．5答案：C解析：解答: ∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，∵AE=AF，∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE-4（8-AE）=12，解得：AE=5.5，故选C分析: 根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可3. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD 于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．12B．2 C．33D．3答案：D解析：解答: ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BE=12 BC∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴tan∠BFE的值为3故选D．分析: 首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案4.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14答案:A解析：解答: ∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．分析: 根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可5.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．183C．36 D．363答案:B解析：解答: 过点A作AE⊥BC于E，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠ABC=60°∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=33∴菱形ABCD的面积是6×33=183故选B分析: 本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键6.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．63米B．6米C．33米D．3米答案:A解析：解答: ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=2263-=33（米），则AC=2OA=63米，故选A．分析: 由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长7. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．-12 B．-27 C．-32 D．-36答案:C解析：解答：解：∵A（-3，4），∴OA=2234+=5，∴CB=OC=5，则点B的横坐标为-3-5=-8，故B的坐标为：（-8，4），将点B的坐标代入y=kx得，4=8k解得：k=-32．故选C．分析: 根据点A的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．43C．47D．28答案:C解析：解答: ∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=3∴AC=2EF=23∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD=2，∴AB=22AO BO=7∴菱形ABCD的周长为47故选：C．分析: 首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可9. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直答案:D解析：解答: A.不正确，两组对边分别平行；B.不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C.不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D.菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．分析: 根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直10.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m答案:C解析：解答: 如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．分析:根据题意和正六边形的性质及等边三角形的性质得出△BMG 是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长11. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°答案:B解析：解答: 连接PA，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP=12∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．分析: 本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键12.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F 分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°答案:A解析：解答: 如图，连接AC，∵AE⊥BC，点E是BC的中点，∴AB=AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选A．分析: 连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解13.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A．10 B．20 C．24 D．48答案:C解析：解答：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：12×6×8=24．故选C．分析: 由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．14. 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO答案: D解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，故A，B，C正确，D错误．故选D．分析: 根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案15.如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A．30 B．24 C．18 D．6答案:B解析：解答：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD 的周长=6×4=24，故选B．分析: 根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了二、填空题（共5题）16.如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．答案:AB=AC或∠B=∠C解析：解答: 需加条件AB=AC，这样可根据三线合一的性质，得出D是BC的中点，根据中位线定理可得，DE平行且等于AF，则AEDF为平行四边形，又可得AE=AF，则四边形AEDF为菱形．则添加条件：AB=AC．当∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC或∠B=∠C．分析:由三角形的中位线的性质，可得四边形AEDF为平行四边形，如AE=AF，则四边形AEDF为菱形，则添加条件：AB=AC17. 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形答案:AB=AC，答案不唯一解析：解答: 添加：AB=AC，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，∴DE=12AC，DF=12AB，∵AB=AC，∴ED=DF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC．分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形18.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．答案:AB=AD，答案不唯一解析：解答: 添加AB=AD，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AB=AD分析: 由条件OA=OC，OB=OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定19. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________答案：菱形解析：解答：∵分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．分析: 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形20.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD 相交于点O，添加一个条件：__________ ，可使它成为菱形答案：AB=BC｜AC⊥BD等解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．故答案为：AB=BC或AC⊥BD等分析: 菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案三、解答题（共5题）21.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．答案：（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC，∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．解析：分析:(1) 利用直线对称性得出△ACD≌△ACE，进而得出EA=EC=DA=DC，求出即可；（2）利用平行四边形的判定得出四边形BCDE为平行四边形，进而得出答案22. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．答案:解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点∴EF=12AB，EC=12AC，FC=12BC∴EF=EC=FC∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）解：连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形∴DF⊥EC，垂足为G∵EF=12AB=4，EF∥AB∴∠FEG=∠A=60°在Rt△EFG中，∠EGF=90°∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=43解析：分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等，即可证得；（2）连接DF，与EC相交于点G，△EFC是等边三角形，则△EFG 是直角三角形，利用三角函数即可求得GF的长，根据DF=2GF即可求得23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．答案：解答：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，又∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形．理由：∵AE=EC∴∠2=∠4，∵AE=EB，∴EB=EC，∴∠5=∠B，又因为三角形内角和为180°，∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，∴∠ACB=∠4+∠5=90°，∴△ACB为直角三角形．解析：分析: （1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．24.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CE∥AD交AB于E，AE=AD．求证：四边形AECD 是菱形答案：解答：证明:∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE=AD，∴四边形AECD是菱形；解析：分析: 首先根据定义证明四边形AECD是平行四边形，则以及菱形的定义即可证得25. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案：解答：四边形ABCD是菱形．理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR?BC=AS?CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形解析：分析: 作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP=AQ得平行四边形ABCD是菱形。

新北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》单元测试新北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》单元测试一、选择题（每小题4分，共10上题，满分40分）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2.如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm3.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD 的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm4.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC5.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（）A．2 B．3 C D．7.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A．18 B．16 C．15 D．148.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m9.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°10.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．24B．12C．5 D．4二、填空题（每小题5分，共8小题，满分40分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为．2.如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC 于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．4.如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 .5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．6.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若，BD=2，则菱形ABCD的面积为7.在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．8.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC 上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．三、解答题1.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．2.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．3.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．5.如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC 与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．6.如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．参考答案一、选择题.1.D2.A3.A4.C5.B6.D7.B8.C9.B 10.A二、填空题1.302.63.AC ⊥BD 或∠AOB=90°或AB=BC4.155.1256.°或45°，8.三、解答题1. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴AD=2DF ，CD=2DE ，∴DE=DF ，在△ADE 和△CDF 中，AD CD ADE CDF DE DF =??∠=∠??=?，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）．2. 证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD=BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，CD CB CF CE =??=?，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF=BE ．3. 证明；（1）∵△ABC ≌△ABD ，∴∠ABC=∠ABD ，∵CE ∥BD ，∴∠CEB=∠DBE ，∴∠CEB=∠CBE ．∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．4.证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=12AB，CE=12AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．5.（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=12（∠DAB+∠ABC）=12×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．6.（1）证明：∵在?ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=E C=12BC，AF=DF=12AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．∴AB=12BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，ABCD的BC边上的高为∴菱形AECF的面积为。