2020年高考理科数学易错题《直线与圆》题型归纳与训练

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题06 直线与圆【副题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，与函数、解析几何结合考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识和方法，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5分.【主题考前回扣】1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．【易错点提醒】1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．【副题考向】考向一 直线的方程与两直线的位置关系【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是： ①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再 由其他条件求出待定系数．2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存 在的情况．3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使 用两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y x ,的系数要对应相等．例1．“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【分析】由两直线垂直的充要条件求出a 值，再充要条件的判定方法即可作出判断. 【答案】选A. 考向二 圆的方程【解决法宝】圆的方程的求法：①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆 心、半径）和方程；②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．例2．抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【分析】先求出抛物线于坐标轴的交点，用待定系数法求出圆的方程. 【答案】D考向三 直线与圆的位置关系【解决法宝】1.在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关 图形的几何特征，尽可能地简化运算，判断直线与圆的位置关系的2种方法：(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关 系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔ 相离．2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线 斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．3．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，222d r l -=(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐 标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解． 例3．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 （ ）A. 1B. -1C.D.【分析】由是正三角形知，圆心O 到直线AB 的距离为r 23，利用点到直线的距离 即可列出关于a 的方程，即可解出a 值.【答案】C考向四 圆与圆的位置关系【解决法宝】两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .例4已知圆1C ： 2220x y kx y +-+=与圆2C ： 2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过 定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ）A. 104⎛⎫⎪⎝⎭， B.104⎛⎤⎥⎝⎦， C. 14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D. 14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 【分析】两圆方程相减即可得出两圆公共弦所在的直线方程，将公共弦所在的直线方程整 理成关于k 的一元一次方程，利用公共弦所在的直线恒过定点，则关于k 的方程的系数都为0，即可得到关于x,y 的方程组，方程组的解即为定点P 坐标，代入直线20mx ny --=，利用基本不等式即可求出mn 的取值范围.【解析】2220x y kx y +-+=与2240x y ky ++-=,相减得公共弦所在直线方程：()240kx k y +--=，即()()240k x y y +-+=，所以由240{y x y +=+=得2,2x y ==-，即()2,2P -，因此2122201,24m n m n m n mn +⎛⎫+-=∴+=≤= ⎪⎝⎭，选D.考向五 圆与其他知识的交汇 【解决法宝】1.将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题 创新．2.求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有： (1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值；(2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题； (4)形如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系．例5 以抛物线220y x =的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=的两条渐近线都相切的圆的 方程为( )A. 2220640x y x +-+=B. 2220360x y x +-+=C. 2210160x y x +-+=D. 221090x y x +-+=【分析】由抛物线220y x =即可求出其焦点即为圆心，写出双曲线的渐近线方程，利用点 到直线的距离公式即可求出圆心到渐近线的距离即为圆的半径，即可写出圆的方程.【答案】C 【主题集训】1. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直时，2350a a a +==，即0a =，∴ “2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的既不充分也不必要条件，故选D ．2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A.B.C.D.【答案】A3.已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则 实数m 的值为（ ）A. 36+或36-B. 326+或326-C. 9或3-D. 8或2-【答案】A【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为62,所以36,3622m d m -===±，选A 。

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

直线与圆、圆与圆一、学习目标1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；2. 能解决与圆有关的综合问题． 二、基础自测1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=2. 过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .44. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 .3-+三、典例分析题型一：与圆有关的求值问题1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦MN 的长为 ．3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．60o4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2题型二：与圆有关的求范围问题1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为 ．[7,13]3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．224+4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________．164a -≤≤变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .[]1,52. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ．[6262]-+，3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______. 442+4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．[21,21]-+题型三：与圆有关的综合问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d ==4分因为MN AB =而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 2. 已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求MN .【解】（1）由l 与圆交于,M N 两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+.由圆C 的方程，可得圆心为()2,3C ，则(),1d C l <1<，解得4433k <<. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，121212OM ON x x y y =+=u u u u r u u u r g g g .把直线1y kx =+代入到()()22231x y -+-=中， 得()()2214470k x k x +-++=. 由根与系数的关系，得12271x x k =+，122441kx x k ++=+.则()()21212121224117111k k x x y y x x kx k kx k k++⋅+⋅=⋅+--==+，解得1k =. 所以直线l 的方程为1y x =+.又圆心()2,3C 到直线l 的距离(),0d C l ==，即直线l 过圆心C .所以2MN =.3. 平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程； （3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解】（1）因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分 （2）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O=221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分 （3）设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分 222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--g ，故mn 为定值2． …………………16分4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(0,2)A ，(0,0)O ，(,0)(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点． （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ ∆的面积的最小值． 【解】（1）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．设2l 方程为：(1)yk x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（2）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥． 依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，88||3t -≥，解得1611t -≥或1611t +≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= ①当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ； ②当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)yx k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQS BE PQ =⋅===≥V四、自我检测1. 已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为________.(1,0)(0,2)-U2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.3. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则实数m 的最大值为 .4. 已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆O '的方程是228100x y x +-+=，若由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22220x y x y ++-=，直线l ：(1)0m x y m +--=经过定点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA，则直线l斜率的取值范围是．⎡⎣6. 如图，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M是劣弧AC（点A、C除外）上任一点．直线AM与BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．（1）当四边形ABCM的面积最大时，求直线AM的斜率；（2）求m-2n的值；（3）试探究直线PN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．。

2020年高考数学（理）总复习： 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质题型一 直线与圆、圆与圆的位置关系 【题型要点】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．【例1】直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6【解析】 由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l 必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝2 2－12＝6，故选C.【答案】 C【例2】．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．【解析】 由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，又A 、B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4. 【答案】 4【例3】．过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．【解析】 由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1. 由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12 ＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO |2＝a 2＋b 2.由|MN |＝|MO |，得a 2＋b 2－4a －4b ＋7＝a 2＋b 2，整理得4a ＋4b －7＝0. ∴a ，b 满足的关系式为4a ＋4b －7＝0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值． 在直线4a ＋4b －7＝0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得直线OM 垂直于直线4a ＋4b －7＝0，由点到直线的距离公式，得MN 的最小值为||742＋42＝728. 【答案】 728题组训练一 直线与圆、圆与圆的位置关系1．已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________【解析】 由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆心坐标是C (1,2)，半径是5，∵直线l ：mx ＋y －2m －1＝0过定点P (2,1)，且在圆内，∴当l ⊥PC 时，直线l 被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长最短，∴－m ·2－11－2＝－1，∴m ＝－1.【答案】 －12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是______________．【解析】 由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，所以OA ⊥OB ，如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需∠BOD ≥90°，即∠COB ≥45°，连接CB ，∵CB ⊥OB ，由于C (－2，m )，|CO |＝m 2＋4，|CB |＝3，由sin ∠COB ＝|CB ||CO |＝3m 2＋4≥sin 45°＝22，解得－2≤m ≤ 2. 【答案】 [－2，2]3．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．【解析】 当AB 垂直于直线CM 时，∠ACB 最小(小边对小角原理，此时弦最短，故角最小)，设直线l 的斜率为k ，则k ×4－23－1＝－1，得k ＝－1，又直线l 过M (1,2)，所以y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0，故直线l 的方程为x ＋y －3＝0.【答案】 x ＋y －3＝0题型二 圆锥曲线的定义与方程 【题型要点】(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．【例4】已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)【解析】 若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n >0，3－n >0，∴－1<n <3. 若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2>0，－m 2－n >0， 即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在． 【答案】 A【例5】．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1【解析】 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2，①又双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b ，②由①②得a ＝25，b ＝5，∴双曲线的方程为x 220－y 25＝1，故选A.【答案】 A【例6】．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x【解析】 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.【答案】 C题组训练二 圆锥曲线的定义与方程1．经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由题意知|－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3，则双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎨⎧22a 2－12b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，【答案】 A2．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( )A.π6B.π4 C.π3D.π2【解析】 设∠F 1PF 2＝θ，根据余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2|PF 1|·|PF 2|cos θ.由|PF 1→＋PF 2→|＝23，得12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|cos θ.两式相减得4|PF 1|·|PF 2|·cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.【答案】 D3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________．【解析】 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.【答案】2题型三 圆锥曲线的几何性质 【题型要点】 圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．注： 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．【例7】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13【解析】 以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，2a 2＝3c 2，从而e 2＝c 2a 2＝23，椭圆的离心率e ＝ca ＝23＝63.故选A. 【答案】 A【例8】．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝( )A.32B.72C ．2D.13【解析】 ∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，不妨设点A 在点B 的上方，则A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ,1，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ,1.∴|AB |＝2b a . 又S △AOB ＝12×1×2ba ＝23，∴b ＝23a ，则c ＝a 2＋b 2＝13a ，因此双曲线的离心率e＝ca＝13. 【答案】 D题组训练三 圆锥曲线的几何性质1．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+372,1 B.⎥⎦⎤⎝⎛+372,1 C.()1，2D.(]1，2【解析】 根据正弦定理可知，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c，即|PF 2|＝a3c|PF 1|, ||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a 31||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac3c －a ， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【答案】 A2．过点(0,3b )的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b ＝1(a >0，b >0)的一条斜率为正的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是________．【解析】 由题意得双曲线的斜率为正的渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则直线l的方程为y ＝ba x ＋3b ，即bx －ay ＋3ab ＝0.因为双曲线的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，所以渐近线y ＝b a x 与直线l 的距离不小于b ，即3abb 2＋(－a )2≥b ，结合c 2＝a 2＋b 2化简得9a 2≥c 2，所以1<e ＝ca≤3，即双曲线的离心率的最大值为3.【答案】 3题型四 圆锥曲线的定义在解题中的应用在历届的高考中圆锥曲线都是考查的重点，无论小题还是大题，都是考查的难点，不仅考查学生的计算能力，还特别强调学生解决问题的灵活性和技巧性．而恰当地利用定义解题，许多时候能达到以简驭繁，事半功倍的效果．应用一 求周长(弦长)、面积问题我们把以焦点为顶点或过焦点的三角形称为“焦点三角形”，该类与周长、面积有关的问题与圆锥曲线的定义浑然一体，应先考虑用定义来解题．【例10】 (1)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 (2)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(3)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【解析】 (1)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2242,44b bb由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)由双曲线C ：x 29－y 216＝1，知a ＝3，b ＝4，则c ＝a 2＋b 2＝5，|PQ |＝4b ＝16. ∴F (－5,0)，点A (5,0)为右焦点．又右焦点A (5,0)在线段PQ 上，知点P ，Q 在双曲线的右支上． 根据双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. 相加，得|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝12， 于是|PF |＋|QF |＝12＋|PQ |＝28.从而△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝44.(3)根据题设条件，作如图所示的几何图形，设线段MN 的中点为P ，点F 1，F 2为椭圆的焦点，连接PF 1，PF 2.又F 1是线段AM 的中点，∴PF 1为△MAN 的中位线，|AN |＝2|PF 1|.同理|BN |＝2|PF 2|，又因为点P 在椭圆C ：x 29＋y 24＝1上，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a＝2×3＝6，所以|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝12. 【答案】 (1)D (2)44 (3)12 应用二 求最值最值问题是解析几何的重点和难点，有的具有相当的难度．通过数形结合，利用图形的定义和几何性质问题可迎刃而解．【例11】 已知A (3,0)，B (－2,1)是椭圆x 225＋y 216＝1内的点，M 是椭圆上的一动点，则|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和等于________．【解析】 易知A 为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，如图，由a 2＝25，知|MF 1|＋|MA |＝10，即|MA |＝10－|MF 1|，因此，|MA |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF 1|，连接BF 1并延长交椭圆于两点，一个点使|MB |－|MF 1|最大，最大值为2；另一个点使|MB |－|MF 1|最小，最小值为－2，于是|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和为20.【答案】 20 应用三 求离心率利用圆锥曲线的定义求其离心率是椭圆中的另一个重点．凡涉及圆锥曲线焦半径与焦点弦的问题，一般均可考虑利用定义帮助求解．【例12】 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )A.3－12B.5－12C.22D.32(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为________．【解析】 (1)由题设圆的半径r ＝a ＋c 2，则b 2＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-c a a ＝22⎪⎭⎫⎝⎛+c a ，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B. (2)由双曲线定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又因为(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ， 所以4a 2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0. 由a ＋b ≠0，得b ＝4a ，从而c ＝a 2＋b 2＝17a ， 因此双曲线的离心率e ＝ca ＝17.【答案】 (1)B (2)17 应用四 求动点的轨迹方程动点轨迹(或曲线方程)问题是解析几何的重点和难点，在求动点轨迹的诸多方法中，围绕圆锥曲线的定义设计的问题小巧灵活，综合性强，有的具有相当的难度．【例13】 (1)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．则圆C 的圆心轨迹L 的方程为________．(2)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3 【解析】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F 2(5，0)，半径为2. 由题意得|CF 1|＝r ＋2且|CF 2|＝r －2或|CF 1|＝r －2且|CF 2|＝r ＋2 ∴||CF 1|－|CF 2||＝4.∵|F 1F 2|＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F 2(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由|PM |＋|PN |＝4，结合椭圆的定义可知，点P 是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上的点，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.则“A 型直线”和该椭圆有交点．容易验证直线①、④与椭圆有交点，故证直线①、④是“A 型直线”，直线②和椭圆没有交点，故证直线②不是“A 型直线”．对于直线③，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x 24＋y 23＝1得7x 2－24x ＋24＝0，此方程无解，从而直线③和椭圆没有交点，故证不是“A 型直线”．【答案】 (1)x 24－y 2＝1 (2)①④【专题训练】一、选择题1．设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( )A ．±3B ．±6C ．±3D ．±9【解析】 由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |2＝3，解得a ＝±6，故选B.【答案】 B2．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49【解析】 x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+94112222b a b a ＝19⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++222245a b b a ≥19⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+2222425a b b a ＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2即a ＝±2b 时取等号，故选A. 【答案】 A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1【解析】 设A (x ，y )，∵右焦点为F (c,0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →，∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2，∴b＝6a 2.∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.【答案】 D4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为12，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长为12，那么C 的方程为( ) A.x 225＋y 2＝1 B.x 216＋y 24＝1 C.x 225＋y 224＝1 D.x 216＋y 212＝1 【解析】 由题设可得c a ＝12⇒a ＝2c ，又椭圆的定义可得2a ＋2c ＝12⇒a ＋c ＝6，即3c＝6⇒c ＝2，a ＝4，所以b 2＝16－4＝12，则椭圆方程为x 216＋y 212＝1，应选答案D.【答案】 D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1【解析】 因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2p p ，B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,2p p ，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选D. 【答案】 D6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2]【解析】 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.【答案】 C7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3 D ．2【解析】 由F 2()c ，0到渐近线y ＝b a x 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF →2＝b ，则||BF →2＝3b .在△AF 2O 中， ||OA →＝a ，||OF →2＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4b a＝212⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a b a b，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.【答案】 A8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径， 即|k |2<2，由k >0，得0<k <2 2. ① 如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2. ② 综①②得2≤k <2 2. 【答案】 B9．如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A.13 B ．3 C. 5D ．2【解析】 设||AB ＝3x ，||BF 1＝4x ，||AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2－||BF 1＝2a ，所以||BF 2＝||BF 1＋2a ＝4x ＋2a ，||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1－||AF 2＝2a ，即5x －x －2a＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.【答案】A10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y ，点P 是C 的准线l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则△AOB 面积的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4【解析】如图所示：抛物线C ：x 2＝4y ，准线l 的方程y ＝－1，设P (x 0，－1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝14x 2，求导y ′＝12x ，切线P A 的方程为y －x 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，又切线P A 过点P (x 0，－1)，－1＝12x 1x 0－y 1，整理得：x 1x 0－2y 1＋2＝0，同理切线PB 的方程x 2x 0－2y 2＋2＝0， ∴直线AB 的方程为xx 0－2y ＋2＝0， 直线AB 过定点F (0,1)，∴△AOB 面积， S ＝12|OF ||x 1－x 2|＝12|x 1－x 2|≥12×4＝2， ∴当且仅当直线AB ⊥y 轴时取等号， ∴△AOB 面积的最小值2. 【答案】 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x【解析】 由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b，cos ∠CF1F 2＝bc，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒2⎪⎭⎫⎝⎛a b －2⎪⎭⎫ ⎝⎛a b －2＝0⇒b a ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x . 【答案】 C12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈⎥⎦⎤⎝⎛4,6ππ，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛36,0 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,36 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡322,36 【解析】 因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，所以M ，N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 两点关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)，由k ON ＝k OM 可得y 0＝a 2，把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32b ，得N⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23a b .因为α为直线ON 的倾斜角，所以tan α＝a 232b＝a 3b ，因为α∈⎥⎦⎤⎝⎛4,6ππ，所以33<tan α≤1即33<a 3b≤1，33≤b a <1，13≤b 2a 2<1，又离心率e ＝1－b 2a 2，所以0<e ≤63.选A. 【答案】 A 二、填空题13．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的焦距为________．【解析】 根据题意，实数4，m,9构成一个等比数列，则有m 2＝4×9＝36，则m ＝±6，当m ＝6时，圆锥曲线的方程为x 26＋y 2＝1，为椭圆，其中a ＝6，b ＝1，则c ＝6－1＝5，则其焦距2c ＝25，当m ＝－6时，圆锥曲线的方程为y 2－x 26＝1，为双曲线，其中a ＝1，b＝6，则c ＝6＋1＝7，则其焦距2c ＝27，综合可得：圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的焦距为25或27；故答案为25或27.【答案】 25或2714．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l与C 交于A ，B 两点，则||AF 2＋||BF 2的最大值为________．【解析】 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8，即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a ＝1，因此||AF 2＋||BF 2的最大值为8－1＝7.【答案】 715．如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．【解析】因为△ABF 2为等边三角形，由点A 是双曲线上的一点知，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，由点B 是双曲线上一点知，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，从而|BF 2|＝4a ，由∠ABF 2＝60°得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中应用余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos 120°，整理得c 2＝7a 2，则e 2＝7，从而e ＝7.【答案】716．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－1，焦点为F ，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，|F A →|，|FB →|，|FC →|成等差数列，且点B 在x 轴下方，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则直线AC 的方程为________．【解析】 抛物线的准线方程是x ＝－p2＝－1，21 ∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又|F A →|，|FB →|，|FC →|成等差数列，∴|F A →|＋|FC →|＝2|FB →|，即x 1＋1＋x 3＋1＝2(x 2＋1)，即x 1＋x 3＝2x 2.∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴(x 1－1＋x 2－1＋x 3－1，y 1＋y 2＋y 3)＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 则x 1＋x 3＝2x 2，x 2＝1.由y 22＝4x 2＝4，则y 2＝－2或2(舍)，则y 1＋y 3＝2， 则AC 的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ，即(1,1)， AC 的斜率k ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234＝4y 1＋y 3＝42＝2， 则直线AC 的方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.【答案】 2x －y －1＝0。

直线与圆的常见错误归纳
直线与圆的内容相对来说还是比较简单的，考试还是以容易题和中档题为主，侧重考查一些基本知识和基本的运算方法，这也是学好圆锥曲线的基础.直线与圆的大部分知识点在考查的时候是互相交汇的，学生们对概念和公式掌握得不够扎实的话，就非常容易出错，特别是涉及直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等内容时，学生们在解题的过程中常常容易忽略一些关键点而导致错误，下面我将以几道例题来对这些常见的错误进行归纳和总结.
一、忽视了圆的一般方程的前提条件
上面几种情况就是在直线和圆的方程中常见的错误，其实这部分内容并不难，大部分学生在解答的时候都有清晰的思路，但还是有很多学生会出错，关键就是没有对一些相关的概念和公式进行深入透彻的理解，因而缺乏严谨、缜密的解题习惯，在一些含有参数或特殊情况的题目中，就容易出错.因此，教师在教学中对概念和公式的教学不能流于表面，而是要深入理解，抓住本质特征，从根本上来帮助学生们防止此类错误的再发生.
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