一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分)（1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。
（）
（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。
（）
（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
（）
（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。
（）
（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
（）
（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。
（）
（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。
（）
（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。
（）
（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。
（）
（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
（）
二．单项选择题（共20分，每小题2分）
1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，
这类方法称为________________。
（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法
2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的
插值函数。
（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同
3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。
（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数
4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。
（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律
5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试
探函数必须至少是______完全多项式。
（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次
6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。
（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵
7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。
（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。
（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号
9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。
（A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n
10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。
（A ）对称性 （B ）稀疏性 （C ）奇异性
三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。
3、简述有限单元法的收敛性准则。
4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。
四．计算题（共40分，每题20分）
1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比
0ν=；单元的边长及结点编号见图中所示。
求 (1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵e K
2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，
荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。
设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。
试求
(1) 利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为
4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。
给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。
(2) 设单元结点的局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵e
K 相同，试在图（b ）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K 。
(3) 计算等效结点荷载。
1
2
3
图
(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要
求解）。
图
（a
（b
同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A卷标准答案
2007—2008学年第二学期
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分)
×√√××√××√√
二．单项选择题（共20分，每小题2分）
C B B C B C
D C C C
三．简答题（共20分，每小题5分）
1、答：（答对前3个给4分）
（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
2、答：
一般原则有
(1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
(2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；
(3)多项式的选取应由低阶到高阶；
(4)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。
3、答：
完备性要求，协调性要求(2分)
具体阐述内容(3分)
4、答：
计算精度（1）>（3）>（2）
计算速度 （2）>（3）>（1）
四．计算题 1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0） 于是，可得单元的面积为 1
2
A =2a ，及
(1)
形函数矩阵N 为
(7分)
12122121
(0a a )a
1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+ ； [][]123123 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7
分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，32-a 0100a 0-a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ； []12
3=B B B B
12a 00-a a 11-a a 2
2E ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，22000a a 1a 02E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，32-a 000a 10-a 2E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
S ；
[][]
123123 ==S D B B B S S S
(3)
单元刚度矩阵e K
(6分)
11
1213T 21
222331
32
333110211312011110014020200200020111001e Et tA ---⎡⎤
⎢⎥---⎢⎥⎡⎤
--⎢⎥
⎢⎥===⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
K K K K B DB K K K K K K
2、解：
(1) 对称性及计算模型正确
(5分)
(2) 正确标出每个单元的合理局部编号
(3分)
3① ② ③
④ (3) 求单元刚度矩阵e K (4分)
(4) 计算等效结点荷载
(3分)
(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要
求解）。
(5分)
j m m m m i i
i
i
j j j
1N /m
2
1N /m 1
24
5
6
对 1011012020031214301201e Et --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥
--⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
K 对 123356322000026121006120146101620212v v u Et t v u u ⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦-⎢⎥
⎣⎦。
