2018届苏教版 选讲部分 单元测试

解答题1．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）若AB 为定圆O 一条弦（非直径），4AB =，点N 在线段AB 上移动，F 90∠ON = ，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．2．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．【答案】121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】解：由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦则66323322a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ ，…………………………………………………………6分 解得3234a cb d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ………………………………………10分3. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线2cos 24ρθ=相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．4．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设 x ，y ，z ∈R +，且1x y z ++=，求证：2222221x y z y z z x x y++≥+++ 【答案】详见解析．【解析】222()[()()()]x y z y z z x x y y z z x x y +++++++≥++++ 22222()()()x y z x y z x y z y z z x x y∴++++≥+++++即2222221x y z y z z x x y++≥+++……………10分 5【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为n S ”．（Ⅰ）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33536587123088080()()()()33218733P C C ⨯=+⋅⋅==或【解析】（Ⅰ）||3S =ξ 的取值为1，3，又21==q p ； 故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ，41)21()21()3(33=+==ξP ． 所以ξ的分布列为：6. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N ∈n ，有)0(21>+=+c ca a a n n n .（Ⅰ）求证：121ni icca =<+∑； （Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N ∈n ，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）2018 【解析】证明：（Ⅰ）∵2111nn n ca a a +=+，∴n n n ca c a a +-=+1111，即nn n ca ca a +=-+1111，121111ca c a a +=-， 232111ca c a a +=-， ……nn n ca c a a +=-+1111， ∴nn ca c ca c ca c a a ++++++=-+111112111 ， ∴111111121ni in c ca a a a =+=-<=+∑ . …5分 （Ⅱ）∵n n n n a a a a >+=+2120161，∴}{n a 单调递增. 得20162121a a a <<<= ， 由201621n n n aa a +=+⇒20161111+=-+n n n a a a ⇒201612016120161122016212017++++++=-a a a a ，∵)2016,,2,1(0 =>i a i ， ∴201620161122017⨯<-a ， 解得：12017<a ，7．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【答案】详见解析【解析】AE AC = ，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠又EAC PDE ∠=∠ PDE POC ∴∠=∠.8．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．9．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l的倾斜角θ的值． 【答案】6πθ=【解析】把cos sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入椭圆方程，并整理得：()2212sin cos 10tθθ+--=，设点A 、B 对应的参数为A t 、B t ，由1F B AC =结合参数t 的几何意义得：A B C t t t +==1sin 2θ=，依题意知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πθ=.10．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2(0)f x x a x a =-+->，若正实数c b ,满足1=++c b a ，且不等式cb c b a x f +++≥222)(对任意实数x 都成立，求a 的取值范围． 【答案】270-≤<a【解析】由条件可知10<<a ，故2)(-+-=x a x x f a a -=-≥22又因1=++c b a ，故a c b -=+1，故2222)1(21)(21a c b c b -=+≥+ 原不等式可化为22222)1(21)1)(2(a a c b a a a -+≥++≥--化简得0342≤-+a a ，解之得270-≤<a .11．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分） 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．31434712(0)35C C P C ξ⋅===；4224434719(2)35C C C P C ξ+⋅===；1343474(4)35C C P C ξ⋅===，121945402435353535E ξ=⨯+⨯+⨯=.12．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）已知三位数abc ，其中c b a ,,不全相同，若将这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数（如百位数字为0，也视作三位数），两者相减得到一个新数，定义这一操作为f ，如792038830)308(=-=f ，再对新数进行第二次操作f ，依次类推，若记经过第n 次后所得新数为n f（1）已知618=abc ，求2f ，3f ；（2）设abc 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为d ，经n 次操作后新数n n n c b a 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为n d ①已知61=d ，求证：当1>n 时，5=n d ； ②求证：当6≥n 时，495=n f .【答案】（1）5943699632=-=f ，4954599543=-=f ；（2）详见解析当51=d 时，4959952=⨯=f ，结论成立；当61=d 时，由①已证结论成立； 当71=d 时，6939972=⨯=f ，由（1）可证结论成立； 当81=d 时，7929982=⨯=f ，从而72=d ，故证结论成立； 当91=d 时，8919992=⨯=f ，从而82=d ，故证结论成立； 综上所述，当6≥n 时，495=n f .13．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于点F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线； （Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．14．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，5)在矩阵M1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(y-2，y)，求1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M．【答案】1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦【解析】依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2yy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102320x yx y+=-⎧⎨+=⎩，，解得48xy=-⎧⎨=⎩，，...4分.由逆矩阵公式知，矩阵M1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M，......8分所以1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M213122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． ......10分15.【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，直线l过点P，且倾斜角为π6，圆C：θρsin6=．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．16．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．【答案】（Ⅰ）6≤∴m （Ⅱ）23 【解析】（Ⅰ） 函数()f x 的定义域为R ，∴240x x m ++--?恒成立，即24m x x ?+-恒成立，又6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由基本不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b++++ 1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++，当且仅当15,2626a b ==时取等号，47a b ∴+的最小值为23. ………10分 17. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)过直线2y =-上的动点P 作抛物线214y x =的两条切线,PA PB ，其中A ，B 为切点． （Ⅰ）若切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值； （Ⅱ）求证：直线AB 过定点．18. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)设f (n )＝(a ＋b )n（n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ． （Ⅰ）求证：f (7)具有性质P ；（Ⅱ）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）k ＝989或945．【解析】（Ⅰ）f (7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为123777C 7,C 21,C 35===，因为132777C C 2C +=，即123777C ,C ,C 成等差数列，所以f (7)具有性质P ． …………………………4分 （Ⅱ）设f (n )具有性质P ，则存在k ∈N *，1≤k ≤n －1，使11C ,C ,C k k k n n n -+成等差数列，所以11C C 2C k k k n n n -++=．整理得，4k 2－4nk ＋(n 2－n －2)＝0， …………………7分 即(2k －n )2＝n ＋2，所以n ＋2为完全平方数． 又n ≤2016，由于442＜2016＋2＜452，所以n 的最大值为442－2＝1934，此时k ＝989或945． ……10分19．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C .若DB DC =，求证：CA AO =.20．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是11,0,2a b c d =-===，从而110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，……7分 所以1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……10分 21. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l过点2),(3,)32A B ππ，且直线l 与曲线:sin (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值.【答案】 2.a =【解析】点2),(3,)32A B ππ的直角坐标为3(),(0,3)2A B ，从而直线l 的直角坐标方30,y -+=曲线:sin (0)C a a ρθ=>的直角坐标方程为222()24a a x y +-=……5分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|3|2,022aa a -+=>，解得2.a =……10分 22．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数y =的最大值.23. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在四棱锥P ABCD -中，直线,,AP AB AD 两两相互垂直，且//,AD BC 2AP AB AD BC ===. （1）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； （2）求钝二面角B PC D --的大小.【答案】（1（2）3.4πA PBCD24. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设数列{}n a 按三角形进行排列，如图，第一层一个数1a ，第二层两个数2a 和3a ，第三层三个数45,a a 和6a ，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如123245356,,,a a a a a a a a a =+=+=+ .（1）若第四层四个数为0或1，1a 为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？ （2）若第十一层十一个数为0或1，1a 为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？12345678910a a a a a a a a a a【答案】（1）13448C C +=（2）82=256【解析】（1）设第4层四个数字依次为1234,,,x x x x ，则第3层三个数字依次为12,x x +2334,x x x x ++，第2层两个数字依次为1232342,2x x x x x x ++++，所以1a =123433x x x x +++. ……………2分25．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 与⊙O 相切，割线DM 与⊙O 相交于点M ，N ，若∠B=30°，AC=1，求DM ⋅DN【答案】3【解析】因为AD 与O 相切，所以30DAC B ∠=∠=︒，设圆的半径为r ，则122,1sin 30r r ==∴=︒，连接OA ，则1OA OC AC ===，即OAC ∆为正三角形，所以60OCA ∠=︒，30ODA OAC DAC ∠=∠-∠=︒，在Rt OAD ∆中，1OA =，所以AD =，所以23DM DN AD ⨯==.26．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ：1xy =，若矩阵M =⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.【答案】．222y x -=【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴x x y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎦⎣⎦⎣⎦，∴x y x ''-=x y y ''+=，……5分∴x '=y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分27. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()4l πρθ-=， （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．28．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()a b c a b c+++++≥．【答案】详见解析．【解析】因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3， (2)分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．…………………………………5分 故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39． （当且仅当c b a ==时取等号）又32233()9()abc abc -+=≥（当且仅当433=abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分29. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P - ABCD的侧棱长与底边长都为，点M ，N 分别 在PA ，BD 上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．PO N MDCB Axyz（2）设平面PAD 的法向量为(,,),n x y z =(3,3,0),(3,0,3),AD AP =--=-30. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 【答案】（1）317=p （2）详见解析．【解析】可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p .（6分） （2）ξ的可能值为1，2，3，4，5.ξ1 2 3 4 5P 311 312 314 318 3116 （9分） ()31129311653184314331223111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（10分） 31．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，已知圆O 的半径OB 垂直于直径M AC ,为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过N 点所作的切线交CA 的延长线于点P ． （1）求证：PC PA PM ⋅=2； （2）若圆O 的半径为32，且OM OA 3=，求MN 的长．PBC32．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤21，⎢⎣⎡=01B ⎥⎦⎤-12．（1）计算AB ；（2）若矩阵B 将直线0232:=+-y x l 变为直线/l ，求直线/l 的方程．33. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=t y t x l 11:（t 为参数）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C （πθ20≤≤），若直线l 与曲线C 交于两点N M ,，求MN 的长度．【答案】||MN ==【解析】将曲线C 化为普通方程可得：4422=+y x （该曲线为椭圆），-----------------2分直接将参数方程代入可得：01652=+-t t ，-----------------------------------------------4分 解之得：1=t 或51=t ，---------------------------------------------------------------------------6分 当1=t 时，0,2==y x ，即得直线l 与曲线C 的一个交点为)0,2(M ，---------------7分 当51=t 时，54,56==y x ，得直线l 与曲线C 的一个交点为)54,56(N ，--------------8分所以MN 的长度为||MN ==------------------------------------------10分34．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）若c b a ,,是正数，且1=++c b a ．（1）求证：9111≥++c b a ； （2）求证：29111≥+++++a c c b b a ．35、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】某品牌汽车S 4店经销C B A ,,三种排量的汽车，其中C B A ,,三种排量的汽车依次有5，4，3款不同的车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为B 排量的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）155（2）详见解析 【解析】（1）设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==-2分所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155．--------------------------3分（2）容易算得随机变量X 的所有可能取值为1，2，3．36、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，其前n 项和为n S ，若))(1(21*∈+=N n a a S nn n ． （1）求5432,,,a a a a 的值；（2）由此归纳出通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】．（1）122-=a 233-=a 344-=a （2）1--=n n a n【解析】（1）因)1(2122212a a a a S +=+=，即012222=-+a a ，解之可得：122-=a ， ------1分再由)1(21333213a a a a a S +=++=可得：0122323=-+a a ，解之可得233-=a ；------------2分再由)1(214443214a a a a a a S +=+++=可得：0132424=-+a a ，解之可得344-=a ；----------------------------------------------------------------3分 由)1(2144543215a a a a a a a S +=++++=可得：014525=-+a a ，解之可得454-=a ．------------------------------------------------4分37．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在⊙O 直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 做直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上取一点F ，使点A 是弧EF 的中点，连接DF 交直线AB 于G ．若CB=OB ，求CGCB的值．【答案】32==CA CO CG CB 【解析】连接OE,因点A 是弧EF 的中点，故EOA EDF ∠=∠,从而E 、D 、G 、O 四点共圆，得CE•CD=CO•CG，又因CE•CD=CA•CB，故CA•CB=CO•CG，当CB=OB 时，32==CA CO CG CB 38．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应 的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.39．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数），设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 【答案】15+.【解析】解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y=0，得圆C 的圆心坐标为C （0，1），半径r=1， 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得)2(34--=x y 令y=0，得x=2，即M 点的坐标为（2，0），因5=MC ,N 是曲线C 上一动点，故MN 的最大值为15+．40．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知a ，b ，c R ∈，若444444a b c m ++=，关于x 的不等式|2|1x m -≤的整数解有且仅有一个值为3（m 为整数）,求222a b c ++的最大值.41．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为正方形,⊥SA 平面ABCD ,E 为SC 的中点,F 为AC 上一点,且2=AB ,22=SA .（Ⅰ）若//EF 平面SBD ,试确定F 点的位置； （Ⅱ）求二面角D SC B --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）F 是GC 中点（Ⅱ）31．【解析】以A 为原点, AB 、AD 、AS 所在直线分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系. 则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,2,2(C ,)0,2,0(D ,)22,0,0(S ,)2,1,1(E ,)0,,(a a F ,其中220<<a .（Ⅰ） 设AC 与BD 的交点为G ,则)0,1,1(G ,连接SG ,)2,1,1(---=a a EF ,)22,1,1(-=SG ,42. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)对于数列{}n a ，称∑-=+--=11111)(k i i i k a a k a P ，其中N k k ∈≥,2为数列{}n a 的前k 项“波动均值”．若对任意的N k k ∈≥,2，都有)()(1k k a P a P <+，则称数列{}n a 为“趋稳数列”． （1）若数列2,,1x 为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 的首项为1，各项均为整数，前k 项的和为k S ，且对任意N k k ∈≥,2，都有)(2)(3k k a P S P =，试计算：)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ ， 其中N n n ∈≥,2【答案】（1）),23(+∞（2）)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ )123(231+-=+n n． 【解析】（1）因()1P x x =-，1(2)(12)2P x x =-+-，故由题意得)21(211-+->-x x x即21->-x x ，两边平方得441222+->+-x x x x ，解之得23>x 所以x 的取值范围是),23(+∞43．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．【答案】详见解析【解析】连结OT ．因为AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分 又因为PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥， 所以AB OT ，所以TBA BTO ∠=∠． ………………………………… 5分 又OT OB =，所以OTB OBT ∠=， …………………8分 所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． …………………………………10分44．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M.45. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.【答案】6.【解析】解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分 圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分46．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+．【答案】详见解析．【解析】因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分＝21()()()x y x y x y -+-+-3=≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y ++-+≥． ……………………………………………10分47. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.所以随机变量h 的概率分布为：…………………………8分 故数学期望1111123012324424412E =⨯+⨯+⨯+⨯=h . …………………………10分48. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T . （1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.和(1)k -个k ， ……………8分 所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++- 3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=， 即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分49．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．50．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】(1,4)B '-.【解析】解：设(,)B x y '，则由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得(1,2)A '则(2,2),(1,2),A B A B x y '''==--0121110224x x y y --=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，(1,4)B '- 51. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C 的参数方程为2cos x ty t=⎧⎪⎨⎪⎩ (t 为参数) ． （1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．52．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：x ＋4x 2－2xy ＋y 2≥y ＋3.【答案】详见解析． 【解析】证明：x －y ＋4x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )＋4（x －y ）2(3分)＝x －y 2＋x －y2＋4（x －y ）2，(5分)53. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值； （Ⅱ）是否存在点P ，使得直线1AC //平面AMP ？请说明理由．【答案】（Ⅱ）12BP PB =． 【解析】AMPCBA 1C 1B 1所以二面角P AM B --5分 （Ⅱ）存在点P ，使得直线1AC //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．C54. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，n ∈N ，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值； （2）设b k ＝1k n k+-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||mmn S C - 【答案】（1）1024（2）1．【解析】解：（1）因为a k ＝(－1)kk n C ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝67891011111111111111C C C C C C +++++＝01101110111111111()21024.2C C C C ++++== ……………………………………………3分 （2）b k ＝1k n k +-a k ＋1＝(－1)k ＋11k n k+-1k n C +＝(－1)k ＋1kn C ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1kn C ＝ (－1)k ＋1(111k k n n C C ---+)＝(－1)k ＋111k n C --＋(－1)k ＋11kn C -＝(－1)k －111k n C --－(－1)k1kn C -．……………………………………7分当m ＝0时，011||||m m n n S b C C --=＝1． ……………………………………8分 当1≤m ≤n －1时， S m ＝－1＋1mk =∑[(－1)k －111k n C --－(－1)k 1k n C -]＝－1＋1－(－1)m 1m n C -＝－(－1)m 1mn C -，所以1||mmn S C -＝1． 综上，1||mmn S C -＝1． ……………………………………10分 55．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．56．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． （1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B .【解析】解：（1）由题意，得323234a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，…………………4分所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………6分（2）由（1），得3152A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．由矩阵的逆矩阵公式得2153B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦……………………8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B ……………………………………………………………10分 57. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．58．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】求函数f (x )＝的最大值． 【答案】【解析】解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋)2)2＋2)]≥(5＋2，······················5分即27×4≥(5)2，所以．＝x＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝6··································10分59. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px （p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d＝λp（λ＞0）．（1）若y1＝d＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM ABλ+＝0，求证：直线AB的斜率为定值．所以k 2＝－2，所以直线AB 的斜率为定值． ………………10分60. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n=∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．61．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.62．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． 【答案】．属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分 由()0f λ=，解得12λ=，23λ=. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩ABDEOC·故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分63．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.64．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥. 【答案】详见解析．【解析】因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以1≥23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥因此，24611127a b c ++≥≥ ……………………10分 65.【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．【答案】（1）16 25（2)19 25BD BCλ==因为9[0,1]25∈,所以在线段BC1上存在点D, 使得AD⊥A1B.1A1B1CAB C此时,1925BD BC λ==. ………10分66【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分)已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（1）求(6)f 的值；（2）对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．又∵从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∴()21f k n =-， ………………10分 （写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给1分．）67．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=︒．（Ⅰ）求证：ED PB PDBD PA PC⋅=； （Ⅱ）求PCE ∠的大小．68．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-，求2M . 【答案】264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】2λ=-代入3x = ……5分∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦…………10分69．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>过点(2,4)P --的直线（t 为参数）与曲线C 相交于点,M N 两点．（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程； （2成等比数列，求实数a 的值．70．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()121f x x x =++- （1）解不等式()4f x <（2）若不等式()1f x a ≥+对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）513x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）{}|31a a -≤≤. 【解析】71．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分10分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。