悖论的三种类别

数学悖论小故事“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。

那些结论会使我们惊讶无比。

悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。

悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。

下面几个例子，可以让大家体会这其中的趣味。

1、唐·吉诃德悖论小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。

一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。

”旅游者被送到国王那里。

国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。

如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。

实在是左右为难！2、强盗的难题强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番．强盗头子对他说："我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会．你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了．我就杀掉你．"强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫．聪明的商人仔细一想，便说："你会杀掉我．"这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你；如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉．"强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了．这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事．商人的一句："你会杀掉我的．"立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明．假如他说："你会放了我的．"这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾．像这样有趣的问题还有许多．比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？3、上帝不是万能的用反证法证明证明：假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的；但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾；所以原假设不成立，即上帝不是万能的4、说谎者悖论公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言："所有克里特人所说的每一句话都是谎话．"如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说：克里特人是不会说真话的．如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明：克里特岛也有人不说谎．那么，他说的话又是真话．所以，怎样也难以自圆其说．这就是著名的说谎者悖论．公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论："我现在正在说的这句话是谎话．"因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话；反之，若你说的话是谎话，那么你的话又应是真话．说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家．说谎者悖论有许多形式．比如，我预言："你下面要讲的话是'不'，对不对？用'是'或者'不'来回答！"如果你说："不"那表明你不同意我的预言．也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾．如果你回答说："是！"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾5、梵学者的预言一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。

悖论大集合悖论大集合（1）米堆悖论。

如果一粒米不算一堆米，两粒米不算一堆米，三粒米不算一堆米……那么照此逻辑，一万粒米也不算一堆米。

与之相对的是（2）沙丘悖论。

如果有一堆沙，拿走一颗沙这还是一堆沙，拿走两颗沙这还是一堆沙，那么，拿走n颗也算是一堆沙，所以一颗沙也叫一堆沙。

和我们的认识抵触。

（2）赌徒的谬误。

假设有一个赌徒，他在赌博中连续赢了9次，请问第10次他会输还是赢？这个问题一般有两种答案，第一，他会赢，因为很多人觉得前9次赢了，说明他运气来了，下一次要赢了。

第二，他会输，因为风水轮流转，不可能一直好运，这样才能平衡。

这和买彩票号码是一样的，有人认为要买前几次出现过的号码，觉得这是热门号码。

而有人则认为应该买其他号码，因为既然前几次是那个号码，那么后来就肯定不是了。

这种对不确定的事情以前面的结果进行推测就叫赌徒的谬误。

其实，第10次赌徒到底是输还是赢还是一件未知的事情，所谓运气楼主也不知道到底存不存在这种东西。

你们呢？觉得运气存在么？（3）怕老婆悖论。

电台举行节目，要求所有男性出场。

要求怕老婆的就站左边，不怕的站右边。

中国男性以怕老婆为荣。

于是纷纷走向左边。

只有唯一一个男性在右边。

主持人不解问他是不是不怕老婆，他说：“我老婆不让我去人多的地方。

”这下主持人犯了难。

到底他是怕老婆还是不怕呢？（4）万能溶液悖论。

（很多经典的悖论有可能大家见过就当复习吧，蹭）一位科学家的弟子好高骛远，于是有一天他非常骄傲的对老师说，我要发明一种能溶解任何东西的万能溶液。

他的老师只是轻轻的说：那你用什么容器装它呢？（5）鳄鱼悖论。

一头鳄鱼抓住了一个小孩，它对小孩妈妈说：“你猜我吃不吃他？猜对了我就不吃他。

猜错了我就吃了它。

”小孩妈妈说：“我猜你要吃了我的孩子。

”鳄鱼说：“哈哈，那我要吃了它。

”小孩妈妈说：“我猜对了那你就不应该吃他。

”鳄鱼这下糊涂了，如果还给她孩子，那他就猜错了我应该吃了它，但是我吃了他她就猜对了不应该吃他，最后鳄鱼还给了她孩子。

世界10个著名悖论1. 贝利森悖论（Bertrand's paradox）：在概率论中，贝利森悖论指出，当从一个完美无缺的随机分布中选择一个数时，该数却不是随机的。

2. 博克斯悖论（Box paradox）：在概率论和统计学中，博克斯悖论指出，对于一个随机抽样样本，大多数情况下，样本均值将会接近总体均值；然而，对于一个随机选择的样本，样本均值却未必接近总体均值。

3. 赫拉克利特悖论（Heraclitus paradox）：赫拉克利特悖论指出，尽管我们在同一个河流中无法踏进两次，但我们却可以认为它是同一个河流。

4. 旅行者悖论（The Paradox of the Traveler）：旅行者悖论指出，在一个时间旅行的场景中，如果一个人回到过去并阻止了某个事件的发生，那么他将无法回到未来，因此也就无法阻止该事件的发生。

5. 孟德尔悖论（Mendel's paradox）：孟德尔悖论指出，在遗传学中，某些基因特征在自然选择中并未得到保留，尽管这些特征为个体带来了优势。

6. 斯巴达克斯悖论（Spartacus paradox）：斯巴达克斯悖论指出，当一个群体中的每个成员都想要自由时，整个群体可能会陷入更大的束缚。

7. 罗素悖论（Russell's paradox）：罗素悖论是一个关于集合论的悖论，指出一个集合不能包含自身，但同时也不能排除自身。

8. 艾舍尔悖论（Escher's paradox）：艾舍尔悖论指出，一些艾舍尔的作品中出现的视觉效果在逻辑上是不可能的，例如无限迭代和不可能的构造。

9. 脑力劳动悖论（The Paradox of Work and Leisure）：脑力劳动悖论指出，人们在追求更多的休闲和娱乐时间时，却发现自己更加忙碌和压力更大。

10. 尤金悖论（Eugene's Paradox）：尤金悖论指出，当人们追求幸福时，往往反而会感到更加不满和不幸福。

悖论的三种类型——摘自《推理的迷宫》悖论，这个词有很多含义，其中最基本的含义是“矛盾”。

悖论从一系列合理前提出发，而后从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。

依据矛盾的生成方式和生成点（如果能找到生成点的话），可以对悖论进行粗略的分类。

第一种是谬误型悖论。

这种悖论是通过一个微妙而隐蔽的推理错误生成一个矛盾。

有很多诡计能通过代数的方法“证明”2等于1，在多数情况下这些诡计的核心在于以0为分母，用这种方法迷惑我们。

如：1.令x=12.很明显x=x3.两边取平方x2=x24.两边同时减去x2 x2-x2=x2-x25.因式分解x2-x2=（x+x）（x-x）6.消掉相同的因式（x-x）x=x+x7.即x=2x8.根据x=1，得1=2谬误型悖论中，悖论是一个假象。

一旦你发现了其中的错误，一切都恢复正常。

第二种是挑战常识型悖论。

著名的例子就是“孪生子悖论”。

相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。

设想一对相同的孪生兄弟，让其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。

根据相对论，此人将发现他比他的孪生兄弟年轻许多。

在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。

从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终同岁。

在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突如此这剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家享里·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论证明相对论是错误的。

今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实。

1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计的一个实验把铯原子钟装进喷气客机环球飞行，这个实验证明，当飞机乘客回家时，要比其他所有人年轻，相差一个微乎其微但可以测量的瞬间。

如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比呆在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家怀疑这个结论。

在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，解决方法是明显的：必须放弃原来的假定。

无论最初的假定多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾迎刃而解。

世界十大著名悖论1、色盲问题世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)假设：有一个人，他有一种奇怪的色盲症。

他看到的两种颜色和别人不一样，他把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色。

但是他自己并不知道他跟别人不一样，别人看到的天空是蓝色的，他看到的是绿色的，但是他和别人的叫法都一样，都是“蓝色”;小草是绿色的，他看到的却是蓝色的，但是他把蓝色叫做“绿色”。

所以，他自己和别人都不知道他和别人的不同。

第一问：怎么让他知道自己和别人不一样?第二问：你怎么证明你不是上述问题中的主人公?2、祖父悖论世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。

这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生;依次这个人自己也不会出生;这就意味着他没有机会进行时光旅游挥刀过去;这就意味着他的祖父依然还活着;这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。

3、全能悖论世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗?如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。

如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的4、蚂蚁和橡皮绳世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行.每过1秒钟，橡皮绳就拉长100米，比如10秒后，橡皮绳就伸长为1000米了.当然，这个问题是纯数学化的，既假定橡皮绳可任意拉长，并且拉伸是均匀的.蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动.现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?5、无法预料的考试悖论世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)一位老师宣布说，在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。

世界10大悖论悖论是指在逻辑上似乎自相矛盾、难以理解的陈述或情境。

世界上有许多悖论，以下是其中一些比较著名的：1.薛定谔的猫悖论（Schrodinger's Cat Paradox）：描述了量子力学的现象，一个在特定情况下既被认为是死亡又被认为是活着的猫。

2.巴塞尔悖论（The Basel Problem）：是数学上的一个悖论，涉及到级数的求和问题，由皮埃尔·德·费马引起。

3.爱普斯坦悖论（The Epimenides Paradox）：是古代希腊哲学家爱普斯坦提出的一个悖论，涉及到说谎的问题，即“克里特人说他们所有的克里特人都是说谎者”。

4.俄巴马悖论（The Barber Paradox）：涉及到一个理发师修剪所有不修剪自己的人的悖论，提出了自指的问题。

5.维特根斯坦的悖论（Wittgenstein's Paradox）：维特根斯坦在他的《逻辑哲学论》中提出的悖论，涉及到语言的自指问题。

6.莱布尼兹悖论（Leibniz's Paradox）：是一个关于单子和单子的集合的悖论，由哲学家莱布尼兹提出。

7.薛定谔的量子纠缠悖论（Quantum Entanglement Paradox）：描述了两个或多个粒子之间发生纠缠的量子现象，即使它们之间的距离很远，改变一个粒子的状态也会立即影响到其他粒子。

8.巴纳姆悖论（Barnum Effect）：也称为“福尔摩斯效应”，指的是人们倾向于接受模糊或广义的描述，认为这些描述适用于自己。

9.罗塞塔石碑的解读悖论：涉及到对古埃及罗塞塔石碑上文字的解读问题，为了理解其中的埃及象形文字和希腊文，需要通过解读其中一个文字来推导出另一个文字的含义。

10.强可计数悖论（The Strong Law of Small Numbers）：是由数学家理查德·加德纳提出的，指的是人们在处理小样本数据时容易陷入的一种认知偏误，即过于相信在小样本中看到的模式。

历史上经典的7大悖论包括：1．祖父悖论：这是一种时间旅行的悖论，举例来说，假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死，由于祖父母死了，就不会有你的父亲，而没有你的父亲，就不会有你，而你没有出生，那么杀死祖父母的行为就不存在。

这个悖论涉及到时间旅行和因果关系的矛盾。

2．理发师悖论：这是罗素悖论的通俗举例。

假设一个城市里唯一的理发师立下规定：只帮那些自己不理发的人理发。

那么问题来了：理发师应该为自己理发吗？如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发；如果理发师给自己理发，他需要遵守规则，不给自己理发。

这个悖论涉及到自指命题的矛盾。

3．辛普森悖论（Simpson's Paradox）：在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。

这个悖论涉及到统计推理和因果关系的矛盾。

4．上帝悖论：这个悖论是几个世纪前罗马教廷出的一本书中提出的，用当时最流行的数学推论导出“上帝是万能的”。

一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的；如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。

这个悖论涉及到对“万能”和“不可能”的定义及其相互关系的矛盾。

5．外祖母悖论：也叫“祖父悖论”，和祖父悖论类似，也是时间旅行带来的矛盾。

6．摩尔悖论：这个悖论涉及到自指命题的矛盾。

假设一个命题是真的，那么它的逆命题也是真的。

但是，如果一个命题是假的，它的逆命题却不一定是假的。

这个悖论就产生于这种逻辑矛盾。

7．意外绞刑悖论：这个悖论涉及到对“意外”的定义及其与“必然性”的关系的矛盾。

假设一个绞刑犯被判处绞刑，但是他在行刑前突然感到一阵头晕，于是他伸手去扶住绞刑架以免自己摔倒。

这时，执行绞刑的人问他：“你知道你为什么要被绞刑吗？”绞刑犯回答：“当然知道，我不是因为偷窃而杀人。

十大悖论1、说谎者悖论一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。

”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话？这个悖论出自公元前六世纪希腊的克里特人伊壁孟德，使得希腊人大伤脑筋，连西方的圣经《新约》也引用过这一悖论。

对克里特人“我说这句话时正在说慌”不可判其真亦不可判其伪。

2、柏拉图与苏格拉底悖论柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。

”苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。

”不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。

3、鸡蛋的悖论先有鸡还是先有蛋？4、书名的悖论美国数学家缪灵写了一部标题为《这本书的书名是什么》的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？5、印度父女悖论女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个‘不’字在此卡片上。

”随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写“是”，否则写“不”。

问：父亲是写“是”还是写“不”？6、蠕虫悖论一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？蠕虫每前进1厘米，同时绳子的另一端却拉远1米，近不抵疏，怕是永远爬不到头了。

现算算看：第1 秒，蠕虫爬了绳子的1／100（意为100分之1，下同），第2 秒，蠕虫爬了绳子的1/200，---------，第N秒，蠕虫爬了绳子的1/N×100，前2的K次方秒，蠕虫爬的总路程占绳子全长的比例为1/100（1+1/2+1/3+-----+1/2的K次方）而1+1/2+1/3+-----+1/2的K次方=（1+1/2）+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+-----+（1/＜2的K-1次方+1＞＋1/＜2的K-1方+2＞＋-----＋1/2的K 次方）＞1+1/2+（1/4+1/4）+（1/8+1/8+1/8+1/8）+-----（1/2的K 次方+1/2的K次方+----+1/2的K次方）———————————∨————————共有2的K-1次方项=1+1/2+1/2+-----+1/2=1+K/2———∨—————共有2的K次方项当K=198时，1+K/2=100，于是1/100（1+1/2+1/4+----+1/2的198次方）＞1所以不超过2 的198次方秒，蠕虫爬到了绳子的另一端。

悖论…什么是悖论：悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。

主要形式悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

…五大经典悖论：1、罗素悖论（理发师悖论）:在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。

我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

2、说谎者悖论：公元前六世纪，哲学家克里特人艾皮米尼地斯(Epimenides)：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。

如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人艾皮米尼地斯说了一句真话，但是却与他的真话--所有克里特人所说的每一句话都是谎话--相悖;如果这句话不是真的，也就是说克里特人艾皮米尼地斯说了一句谎话，则真话应是:所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。

3、芝诺悖论：飞矢不动设想一支飞行的箭。

在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。

由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。

鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动4、鳄鱼困境一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。

那么如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，那会怎样？5、祖父悖论一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。