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2015年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题设bHO,当x~0时，sinbx是x2的（）A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.低阶无穷小量参考答案：D2弾选更披硒数心）可辱'且吧帀rEn“毗⑴厂O扎2OO U1/2O D.CI参考答案：C第3题函数f(x)=x3-12x+1的单调减区间为()A.(-g,+g)B.(—g,—2)C.(-2,2)D.(2,+x)参考答案：C4［单选题］设*乂小=山蠅文=如QA.为f(刃的驻点O&不为f図的驻点O匚・为f(刈的极大值点O D•为f凶的极小值点参考答案：A第5题5［单选题］下列函数中为f凶之2艰］原函数的是() QA.ex0C.e2x Q D.2e2xQ A.-2sinx2+CC.2sinx2+C参考答案：D第7题Q A.xex2QB.一xex2Q C.Xe-x2O D.—xe-x2参考答案：Bs［单选题］=O A-y^-1OB.XylnxO"JOD.xy-llnx9［单选题］设^=十+卡剧血L“=QA.3dx+2dyQB.2dx+3dyQC.2dx+dyQD.dx+3dy参考答案：B10［■詁唸讪寸期oA・绝对收敛OB角牛睑oG却：：；：收敛性与熾取值有关参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
11［填空题］设恤磴号q=・±-i-0赢参考答案：1函数/(I)=註冷的间断点为工K-参考答案：2第13题设y=X2+e2，则dy=参考答案：(2x+e2)dx第14题设y=(2+x)i。
，则Y'=. 参考答案：100(2+z)9915［填空题］』3—工参考答案：Tn|3-x|+C16［填空題］一参考答案：017［填空题］,J e s,dz=-」p参考答案：1/3@3—1)2■-渤琴U 汽皿―则磬—一一.■参考答案：y z cosx第19题微分方程y'=2x 的通解为y=.参考答案：X 2+C20［填空題］级馥的收蝕卑桎R =・参考答案：1三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
2014年成人高等学校招生全国统一考试数学答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。
选择题一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项的字母填涂在答题卡相应的题号的信息点上．．．．．．．．．．．．．。
(1)设集合M=｛x ︱-1≤x ＜2｝，N=｛x ︱x ≤1｝，则集合M ∩N= (A)｛x ︱x ＞-1｝ （B ）｛x ︱x ＞1｝ （C ）｛x ︱-1≤x ≤1｝ （D ）｛x ︱1≤x ≤2｝ (2)函数y=51-x 的定义域为 (A)（-∞，5） （B ）（-∞，+∞） （C ）（5，+∞） （D ）（-∞，5）∪（5，+∞） (3)函数y=2sin6x 的最小正周期为 (A)3π （B ）2π（C ）2π （D ）3π (4)下列函数为奇函数的是(A)y=log 2x （B ）y=sinx （C ）y=x2（D ）y=3x(5)抛物线y 2=3x 的准线方程为(A)x=﹣23 （B ）x=﹣43（C ）x=21 （D ）x=43(6)已知一次函数y=2x+b 的图像经过点（-2,1），则该图像也经过点 (A)（1,-3） （B ）（1，-1,） （C ）（1,7） （D ）（1,5） (7)若a,b,c 为实数，且a ≠0设甲：b 2-4ac ≥0 , 乙：ax 2+bx+c=0有实数根，则 (A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 （B ）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 （C ）甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 （D ）甲是乙的充分必要条件(8)二次函数y=x 2+x-2的图像与x 轴的交点坐标为(A)（-2,0）和（1,0） （B ）（-2，0）和（-1,0）(9)不等式︱x-3︱＞2的解集是(A)｛x ︱x ＜1｝ （B ）｛x ︱x ＞5｝ （C ）｛x ︱x ＞5或x ︱x ＜1｝ （D ）｛x ︱1＜x ＜5｝(10)已知圆x 2+y 2+4x-8y+11=0，经过点P （1,0）作该圆的切线，切点为Q ，则线段PQ 的长为 (A)4 （B ）8 （C ）10 （D ）16(11)已知平面向量a=（1,1），b=（1，-1），则两向量的夹角为(A)6π （B ）4π（C ）3π （D ）2π(12)若0＜lga ＜lgb ＜2，则(A)0＜a ＜b ＜1 （B ）0＜b ＜a ＜1 （C ）1＜b ＜a ＜100 （D ）1＜a ＜b ＜100 (13)设函数xx x f 1)(+=，则)1(-x f = (A)1+x x （B ）1-x x （C ）11+x （D ）11-x(14)设两个正数a ，b 满足a+b=20，则ab 的最大值为(A)400 （B ）200 （C ）100 （D ）50(15)将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书恰好在两端的概率为(A) 101 （B ）141 （C ）201 （D ）211(16)在等腰三角形ABC 中，A 是顶角，且cosA=21，则cosB=(A)23 （B ）21（C ）-21（D ）-23 (17)从1,2,3,4,5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有 (A)80个 （B ）60个 （C ）40个 （D ）30个非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2015年成人高考专升本考试真题及答案高等数学（一）1.(单选题) 设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的( )(本题4分)A 高阶无穷小量B 等价无穷小量C 同阶但不等价无穷小量D 低阶无穷小量标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了无穷小量的比较的知识点．2.(单选题)(本题4分)A 2B 1C 1/2D 0标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了导数的定义的知识点．3.(单选题) 函数f(x)=x3—12x+1的单调减区间为( )(本题4分)A (-∞,+∞)B (-∞,-2)C (-2,2)D (2,+∞)标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了函数的单调性的知识点．4. （单选题）(本题4分)A 为f(x)的驻点B 不为f(x)的驻点C 为f(x)的极大值点D 为f(x)的极小值点标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了驻点的知识点．【应试指导】使得函数的一阶导数的值为零的点，称为函数的驻点，即f'(x)=0的根称为驻点．驻点不一定是极值点．5.(单选题)下列函数中为f(x)=e2x的原函数的是( )(本题4分)A exBC e2xD 2e2x标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了原函数的知识点．6.(单选题)(本题4分)A -2sinx2+CBC 2sinx2+CD标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点．7.(单选题)(本题4分)A xex2B 一xex2C Xe-x2D 一xe-x2标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了变上限积分的性质的知识点．8.(单选题)(本题4分)A yxy-1B XyInxC Xy-1D xy-1lnx标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了一阶偏导数的知识点．9.(单选题)(本题4分)A 3dx+2dyB 2dx+3dyC 2dx+dyD dx+3dy标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了全微分的知识点．10.(单选题)(本题4分)A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性与k的取值有关标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了级数的收敛性的知识点．11.(填空题)(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了洛必达法则的知识点．12.(填空题)(本题4分)标准答案： 2解析：【考情点拨】本题考查了函数的间断点的知识点．13.(填空题)设y=x2+e x，则dy=________(本题4分)标准答案： (2x+e x)dx解析：【考情点拨】本题考查了微分的知识点．【应试指导】y’=2x+e x，故dy=(2x+e x)dx．14.(填空题)设y=(2+x)100，则Y’=_________．(本题4分)标准答案： 100(2+z)99解析：【考情点拨】本题考查了基本初等函数的导数公式的知识点．【应试指导】y=(2+x)100，则Y’=100(2+x)100一1=100(2+z)9915.(填空题)(本题4分)标准答案： -In∣3-x∣+C解析：【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点．16.(填空题)(本题4分)标准答案： 0解析：【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点．17.(填空题)(本题4分)标准答案： 1/3(e3一1)解析：【考情点拨】本题考查了定积分的知识点．18.(填空题)(本题4分)标准答案： Y2cosX解析：【考情点拨】本题考查了一阶偏导数的知识点．19.(填空题)微分方程y’=2x的通解为y=__________．(本题4分)标准答案： x2+C解析：【考情点拨】本题考查了微分方程的通解的知识点．【应试指导】所给方程为可分离变量的微分方程，分离变量得dy=2xdx，两边同时积分可得Y=x2+C，即该微分方程的通解为y=x2+C．20.(填空题)(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了级数的收敛半径的知识点．21.(问答题) (本题8分)标准答案：22.(问答题)(本题8分)标准答案：曲线在点(0，1)处的法线方程为23.(问答题)(本题9分)标准答案：设x=t，则x=t2，dx=2tdt．24.(问答题)(本题9分)标准答案：25.(问答题)求曲线y=x3与直线y=x所围图形(如图中阴影部分所示)的面积S．(本题9分)标准答案：由对称性知26.(问答题)设二元函数z=x2+xy+y2+x-y一5，求z的极值．(本题9分)标准答案：因此点(一1，1)为z的极小值点，极小值为一6．27.(问答题)(本题9分)标准答案：28.(问答题)(本题9分) 标准答案：。
成人高考成考数学(理科)(高起专)模拟试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、若函数(f(x)=x3−3x2+4)的导数(f′(x))等于0，则(f(x))的极值点为：A、(x=0)B、(x=1)C、(x=2)D、(x=−1)2、已知函数f(x)=x 2−4x−2，则函数的定义域为（）A.x≠2B.x≠0C.x≠2且x≠0D.x≠0且x≠−23、若函数(f(x)=1x−2+√x+1)在区间([−1,2))上有定义，则函数(f(x))的定义域为：A.([−1,2))B.([−1,2])C.((−1,2))D.((−1,2])4、在下列各数中，正实数 a、b、c 的大小关系是：a = 2^(3/2)，b = 3^(2/3)，c = 5^(1/4)。
A、a < b < cB、b < a < cC、c < b < aD、a = b = c5、已知函数f(x)=2x3−9x2+12x+1，若函数的图像在(−∞,+∞)上恒过点(a,b)，则a和b的值分别为：A.a=2,b=9B.a=3,b=10C.a=1,b=2D.a=0,b=1+2x)在(x=1)处有极值，则此极值点处的导数值为：6、若函数(f(x)=3xA. 1B. -1C. 0D. 3在点x=1处的导数等于多少？7、若函数f(x)=2x−3x+1A、2B、−1C、1D、08、已知函数f(x)=x 3−3x2+4xx2−2x+1，则f(x)的奇偶性为：A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法确定9、在下列数列中，属于等差数列的是（）A、1, 2, 3, 4, 5B、1, 3, 6, 10, 15C、2, 4, 8, 16, 32D、1, 3, 6, 9, 1210、已知函数(f(x)=1x+x2)在区间((−∞,+∞))上的定义域为(D)，且函数的值域为(R)，则(D)和(R)分别是：A.(D=(−∞,0)∪(0,+∞),R=(−∞,0)∪(0,+∞))B.(D=(−∞,0)∪(0,+∞),R=[0,+∞))C.(D=(−∞,+∞),R=(−∞,+∞))D.(D=(−∞,+∞),R=[0,+∞))11、若函数f(x)=x3−3x2+4x，则函数的对称中心为：A.(1,2)B.(1,1)C.(0,0)D.(−1,−1)12、若函数(f(x)=√x2−4)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.(x≥2)B.(x≤−2)或(x≥2)C.(x≤−2)或(x≥2)D.(x≥2)或(x≤−2)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、在△ABC中，若sinA=√55，cosB=−√1010，则sinC=____.2、已知直线(l)的方程为(3x−4y+10=0)，求直线(l)在 y 轴上的截距。
2015年成人高等学校招生全国统一考试数学（高起点）第Ⅰ卷（选择题，共85份）一.选择题：本大题共17小题，每小题5份，共85分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M=｛2,5,8｝，N=｛6,8｝，则M ∪N = A.｛8｝ B.｛6｝ C.｛2,5,6,8｝ D.｛2,5，6｝2.函数y =的值域为A.[3，+∞）B.[0, +∞）C. [9, +∞） D.R3.若＜θ＜π，sin θ=1\4,则cos θ=A.415 B.1615 C.1615 D.4154.已知平面向量α=（-2,1）与b=（λ，2）垂直，则λ= A.-4 B.-1 C.1 D.4 5.下列函数在各自定义域中为增函数的是A.y=1-x B.y=1-x 2C.y=1+2-xD.y=1+2x6.设甲：函数y=kx+b 的图像过点（1,1），乙:k+b=1,则A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D.甲是乙的充分必要条件7.设函数xk y的图像经过点（2，-2），则K=A.4B.1C.-1D.-48.若等比数列ax的公比为3，a x = 9 ，则a 1=A.91 B. 31 C.3 D.279.log 510-log 52=A.0B. 1C.5D.8 10.tan θ=2,则tan （θ+π）= A.2 B.21 C.-21D.-2 11.已知点A （1,1），B （2,1），C （-2,3），则过点A 及线段BC 中点的直线方程为：A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y=0D.x-y+2=012.设二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过点（-1,2）和（3,2），则其对称轴的方程为A.x=3B.x=2C.x=1D.x=-1 13.以点（0,1）为圆心且与直线3x-y-3=0相切的圆的方程为A.x 2+(y-1)2=2 B.x 2+(y-1)2=4C. x 2+(y-1)2=16 D.(x-1)2+y 2=114.设)(x f 为偶函数，若3)2(f ，则)2(f A.-3 B.0 C. 3 D. 6 15.下列不等式成立的是A.(21)5＞(21)3B.521＞321C.log 215＞log 213 D.log 25＞log 2316.某学校为新生开设了4门选修课程，规定每位新生至少要选其中3门，则一位新生的不同的选课方案共有A.4种 B.5种 C.6种 D.7种17.甲乙两人单独地破译一个密码，设两人能破译的概率分别为P 1,P 2,则恰有一人能破译的概率为A ．P 1 P 2 B.（1- P1）P 2C ．（1- P1）P 2 +（1- P 2）P 1 D.1-（1- P 1）（1- P 2）第II 卷（非选择题，共65分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},结合数轴,知A∩B={x|2<x<3}.2.(2015山东,理2)若复数z满足z=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:∵z1−i=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i.∴z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x−π的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移π个单位B.向右平移π个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π3个单位答案:B解析:∵y=sin4x−π3=sin4 x−π12,∴只需将函数y=sin 4x的图象向右平移π12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2答案:D解析:如图设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+1a2=3a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意;当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集为(-∞,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a=3(舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案:C解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π=5π.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)−P(μ−σ<ξ<μ+σ)=95.44%−68.26%2=13.59%.9.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-5或-4D.-4或-3答案:D解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=1+k=1,解得k=-4或k=-3.10.(2015山东,理10)设函数f (x )= 3x −1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A. 23,1 B.[0,1]C. 2,+∞ D.[1,+∞)答案:C解析:当a=2时,f (2)=4,f (f (2))=f (4)=24,显然f (f (2))=2f (2),故排除A,B .当a=2时,f 2 =3×2-1=1,f f 2 =f (1)=21=2. 显然f f 2 =2f 23 .故排除D . 综上,选C .第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2015山东,理11)观察下列各式: C 10=40; C 30+C 31=41; C 50+C 51+C 52=42; C 70+C 71+C 72+C 73=43; ……照此规律,当n ∈N *时,C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= . 答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n 个式子有n 项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n 行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n 个式子为C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n-1. 12.(2015山东,理12)若“∀x ∈ 0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为 . 答案:1解析:由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈ 0,π,∴tan x ∈[0,1], ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的T 的值为 .答案:11解析:初始n=1,T=1.又 10x n d x=1n +1x n+1|01=1n +1, ∵n=1<3,∴T=1+1=3,n=1+1=2; ∵n=2<3,∴T=32+12+1=116,n=2+1=3; ∵n=3,不满足“n<3”,执行“否”,∴输出T=11.14.(2015山东,理14)已知函数f (x )=a x +b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案:-3解析:f (x )=a x +b 是单调函数,当a>1时,f (x )是增函数,∴ a −1+b =−1,a 0+b =0,无解.当0<a<1时,f (x )是减函数,∴ a −1+b =0,a 0+b =−1,∴ a =12,b =−2. 综上,a+b=1+(-2)=-3.15.(2015山东,理15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p>0)交于点O ,A ,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±ba x.由y =ba x ,x 2=2py ,得A 2bp a ,2b 2p a 2.由 y =−b a x ,x 2=2py ,得B −2bp a ,2b 2p a2 .∵F 0,p为△OAB 的垂心,∴k AF ·k OB =-1.即2b 2p a 2−p 22bpa−0· −b a =-1,解得b 2a2=54,∴c 2a 2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f (x )=sin x cos x-cos 2 x +π4. (1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若f A 2=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意知f (x )=sin2x −1+cos 2x +π2 =sin2x −1−sin2x =sin 2x-1.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z ,可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ; 由π+2k π≤2x ≤3π+2k π,k ∈Z ,可得π+k π≤x ≤3π+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是 −π+kπ,π+kπ (k ∈Z );单调递减区间是 π+kπ,3π+kπ (k ∈Z ).(2)由f A 2 =sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A 为锐角,所以cos A= 32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得1+ 3bc=b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤2+ 3,且当b=c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2+ 34. 所以△ABC 面积的最大值为2+ 3. 17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台DEF-ABC 中,AB=2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点.(1)求证:BD ∥平面FGH ;(2)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF=DE ,∠BAC=45°,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=1AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H2,2,0,F(0,2,1),故GH=2,2,0,GF=(0,.设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由n·GH=0,n·GF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为GB是平面ACFD的一个法向量,GB=(2,0,0),所以cos<GB,n>=GB·n|GB|·|n|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=1BG=2,由△GNM ∽△GCF ,可得MN FC=GMGF,从而MN= 66.由HM ⊥平面ACFD ,MN ⊂平面ACFD ,得HM ⊥MN ,因此tan ∠MNH=HM = 3,所以∠MNH=60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)(2015山东,理18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n =2S n -2S n-1=3n -3n-1=2×3n-1,即a n =3n-1,所以a n = 3,n =1,3n−1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,当n>1时,b n =31-n log 33n-1=(n-1)·31-n . 所以T 1=b 1=1;当n>1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n ), 所以3T n =1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n ),两式相减,得2T n =2+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n-1)×31-n =2+1−31−n 1−3−1-(n-1)×31-n =13−6n +3n, 所以T n =13−6n +3n.经检验,n=1时也适合. 综上可得T n =1312−6n +34×3n. 19.(本小题满分12分)(2015山东,理19)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 93=84,随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此P (X=0)=C 83C 93=23,P (X=-1)=C 42C 93=114,P (X=1)=1-114−23=1142. 所以X 的分布列为则EX=0×23+(-1)×114+1×1142=421. 20.(本小题满分13分)(2015山东,理20)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为3,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b2=1,P为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E于点Q.①求|OQ ||OP |的值;②求△ABQ 面积的最大值. 解:(1)由题意知2a=4,则a=2.又c =3,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 2+y 2=1. ①设P (x 0,y 0),|OQ |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 02+y 02=1,又(−λx 0)2+(−λy 0)2=1, 即λ24 x 024+y 02 =1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①则有x 1+x 2=-8km 1+4k2,x 1x 2=4m 2−161+4k2.所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4−m 21+4k2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2|=2 16k 2+4−m 2|m |1+4k2=2 (16k 2+4−m 2)m 21+4k2=2 4−m 1+4k2m 1+4k2.设m 21+4k2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,因此S=2 (4−t )t =22+4t . 故S ≤2 ,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2 3. 由①知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6 3.21.(本小题满分14分)(2015山东,理21)设函数f (x )=ln(x+1)+a (x 2-x ),其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由; (2)若∀x>0,f (x )≥0成立,求a 的取值范围. 解:(1)由题意知函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f'(x )=1+a (2x-1)=2ax 2+ax−a +1. 令g (x )=2ax 2+ax-a+1,x ∈(-1,+∞).当a=0时,g (x )=1,此时f'(x )>0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点; 当a>0时,Δ=a 2-8a (1-a )=a (9a-8).①当0<a ≤8时,Δ≤0,g (x )≥0,f'(x )≥0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>89时,Δ>0,设方程2ax 2+ax-a+1=0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2), 因为x 1+x 2=-1,所以x 1<-1,x 2>-1. 由g (-1)=1>0,可得-1<x 1<-1.所以当x ∈(-1,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减, 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时,Δ>0,由g (-1)=1>0,可得x 1<-1.当x ∈(-1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f (x )有一个极值点; 当0≤a ≤8时,函数f (x )无极值点; 当a>89时,函数f (x )有两个极值点. (2)由(1)知,①当0≤a ≤8时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增, 因为f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意;②当8<a ≤1时,由g (0)≥0,得x 2≤0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意; ③当a>1时,由g (0)<0,可得x 2>0. 所以x ∈(0,x 2)时,函数f (x )单调递减;因为f (0)=0,所以x ∈(0,x 2)时,f (x )<0,不合题意; ④当a<0时,设h (x )=x-ln(x+1). 因为x ∈(0,+∞)时,h'(x )=1-1=x>0, 所以h (x )在(0,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,h (x )>h (0)=0, 即ln(x+1)<x.可得f (x )<x+a (x 2-x )=ax 2+(1-a )x , 当x>1-1a时,ax 2+(1-a )x<0, 此时f (x )<0,不合题意.综上所述,a 的取值范围是[0,1].。
