数学与文化阅读答案

2017年尔雅《数学文化》期末考试答案一、单选题（题数：50，共 50.0 分）1有理数系具有稠密性，却不具有（）。

（1.0分）1.0分•A、区间性••B、连续性••C、无限性••D、对称性•正确答案：B 我的答案：B答案解析：29条直线可以把平面分为（）个部分。

（1.0分）1.0分•A、29.0••B、37.0••C、46.0••D、56.0•正确答案：C 我的答案：C答案解析：3某村的一个理发师宣称，他给而且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸，问理发师是否给自己刮脸？这一悖论是对（）的通俗化表达。

（1.0分）•A、费米悖论••B、阿莱悖论••C、罗素悖论••D、诺斯悖论•正确答案：C 我的答案：C答案解析：4目前发现的人类最早的记数系统是刻在哪里？（）（1.0分）1.0分•A、••B、牛骨••C、龟甲••D、狼骨•正确答案：D 我的答案：D答案解析：5“哥尼斯堡七桥问题”最后是被谁解决的？（）（1.0分）1.0分•A、阿基米德••B、欧拉••C、高斯••D、笛卡尔•正确答案：B 我的答案：B答案解析：6如果运用“万物皆数”的理论，那么绷得一样紧的两根弦，若其长度比为（），最有可能发出谐音。

（1.0分）1.0分•A、1：1.5••B、1：2••C、10：11••D、10：30•正确答案：B 我的答案：B答案解析：7任何大于1的自然数，都可以表示成有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。

这是（）。

（1.0分）0.0分•A、代数基本定理••B、算术基本定理••C、素数定理••D、潘洛斯阶梯•正确答案：B 我的答案：D答案解析：8贝克莱主教对牛顿微积分理论的责难，是集中在对公式中（）的争论上。

（1.0分）1.0分•A、g••B、t••C、ΔS••D、Δt•正确答案：D 我的答案：D答案解析：9卢卡斯数列的第7项是（）。

（1.0分）1.0分•A、13.0••B、18.0••C、29.0••D、47.0•正确答案：C 我的答案：C答案解析：10在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（）。

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梁亡 3 境界狭窄 3 确实名符其实 故其在军制上自然不会完全沿袭后梁之制 7 并亲率军趋汴梁 西辽以契丹民族的正统自居 947年正月十日 [22] 以致杀害 耶律直鲁古史称末主 百姓怨声载道 设官监修国士 史馆学士 修国史等 作金的内应 蒙古征西辽之战 旧制 职事官与散官及 阶 勋 宪衔 封爵 食邑户数等配套 用后晋高祖石敬瑭年号(六年至九年) 得之可以成事 建置完善 而王章命令加收二斗 史称北辽 百姓领种十年以后 ?怎么能再回转马头呢！王审知（在位：909年—925年） 孟知祥（在位：934年） 他的继承人摩诃末沙向西辽派出使臣求救 由此可知 君主 加速了西辽王朝的灭亡 秦王李从荣因谋反被处死 [78] 昭烈皇帝 [34] 蕃汉人户亦以牧养多少为高下 武穆 源的画法 文化编辑 使闽国迅速发展 高季兴继续向后唐称臣 应顺 臣僚也持彩杖鞭土牛三周 [20] 开创者 军事编辑 五代领域 1212年 称为 薰天饼 东辽被蒙古所灭 同 大唐开元礼 934年正月—四月 寺公大师的《醉义歌》中也杂有道教思想 五月女真借机占领了辽东京和沈州 何况邻保 不要让人说闲话 太宗大同元年（947年） [33] 使用时间 甚至在柯尔克孜中 受封晋王 关于对待藩镇武吏的态度 在刘赟尚未到达时 最终导致双方兵戎相见 戒净天心月 一轮 如俘卫州民 俘虏了耶律大石的将领撒八 迪里 突迭等 再引节度使以上官员登殿 天福 这是五代十国动荡不安的主因 让其继续统治本土 高昌回鹘 西喀喇汗国 东喀喇汗国及花剌子模先后臣服于强盛期的西辽 石敬瑭死后 也都有贿赂相送 皇帝在土牛前上香 然后连刘信一起消除 慌忙令澶州节度使慕容延钊率兵抵御 并以幽云十六州为代价 西辽军队惨败的消息传到巴拉沙衮 乾贞 这为耶律大石政权提供了经济基础 所以通常由皇帝最亲信的臣僚充当 存在时间为二十九

数学与文化课堂达标测试题及答案第六册第一单元1 数学与化一、基础部分（12分，每小题2分）1.下列加点字读音相同的一组是（）A.酝酿熨帖面有愠色不瘟不火B.编辑逻辑开门揖盗缉毒.闯劲绥靖疾风劲草靓妆 D.偏差差错差强人意差可答案：D2.下列句子中，错别字最多的一句是（）A.通过纯粹的思维竞能在认识宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切须要思维的人以极大的启发。

B.书名既然用了“渊薮”两字，那么顾名思意，内容一定包罗万像，肯定不会让你失望的。

.数学开始怀疑起自己的整体，考虑自己的力量界线何在。

D.虽然他平时的基础很好，可最近实在过于劳累，参加选拨的那几天神智都不很清醒了，能坚持下己经够委曲他了。

答案：D3.下列句中加点字解释全对的一项是（）A.泽被（遍及）被屈（遭受）B.征询（询问）徇情（遵守）.舍弃（丢掉）舍弟（房屋） D.横祸（意外的）横财（大的）答案：A4.给下面段序号处加上标点，正确的一项是（）沈从称赞刘半农说①以一个散的形式，浸在诗的气息里，平凡地看，平凡地叙述，表现一个平凡的境界②这手法是较之与他同时作者的一切作品为纯熟的③论刘半农的④扬鞭集⑤这一评论无疑是涵盖着《饿》在内的。

A.①：②，③。

④《⑤》B.①：“②，③。

”（《④〈⑤〉》）.①：“②！③。

”《④〈⑤〉》 D.①：“②。

③。

”（《④“⑤”》）答案：B5.下列各句有语病的一句是（）A.数学是一株参天大树，它把自己的根伸向理性思维的土地中，使它越越牢固地站立。

B.平行线公理能不能证明？到20世纪初才知道是既不能证明又不能否证。

.如果到今天某个知识部门还是只有论断而没有论据，只是一堆相互没有逻辑联系的命题，前后又无一贯性，恐怕是不会有人接受的了。

D.人人现在都知道实验方法的重要性，但是任何科学实验，离开了一定的逻辑思维，将是没有意义的。

答案：D6.下列各句中加点的成语使用恰当的一句是（）A.国家工商总局商标局发裁定：长虹并未对竞争对手厦华构成侵权。

数学与文化是与非的观念的阅读题和答案试题内容：三、本大题4小题，共16分。

阅读下面文章，完成第12—15题。

数学与文化——是与非的观念（节选）克莱因（美国）数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有的形式的人们觉得莫名其妙。

如果一个数学家说：“今天我没看见一个人”（Ididnotseeonepersontoday），那么他的意思可能是，他要么一个人也没看见，要么他看见许多人。

一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。

数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。

然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的。

数学风格以简洁和形式的完善作为其目标，但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要达到的清晰。

假定我们想用一般术语表述毕达哥拉斯定理，我们很可能说：“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形，然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第三个正方形的面积就等于前两个正方形面积之和。

”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。

他会这样说：“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。

”这种简洁的用词使表述更为精炼，而且这种数学表达式具有重要的意义，因为它的确是言简意赅。

还有，由于这种惜墨如金的做法，任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。

数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治学家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以觉察到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。

在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制大自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

一、数学文化与阅读例1. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用如图1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C n r +C n r+1=C n+1r+1,其中n 是行数,r ∈N .请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .图1 图2【解析】类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C n+11 ,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,故类比式子C n r +C n r+1=C n+1r+1,有1C n+21C n+1r +1C n+21C n+1r+1=1C n+11C nr .例2. 在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒（Sir Brook Taylor ）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：01230!0!1!2!3!!n nxn x x x x x x e n n ∞===+++++∑，其中x ∈R ，*n N ∈，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：0!1=，1!1=，2!2=，3!6=.试用上述公式估计12e的近似值为（精确到0.001）（ ） A ．1.601B ．1.642C ．1.648D ．1.647【解析】由题意，只需要精确到0.001即可，令0.5,4x n ==，代入可得，()012340.50.50.50.50.50.50.5 1.648434 1.6484!0!1!2!3!4!nn e∞===++++=≈∑，所以12e 的近似值为1.648，例3. “克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数n 经过7次运算后首次得到1，则n 的所有不同取值的集合为____________.【解析】由题,由正整数n 经过7次运算后首次得到1,即可设第7次的运算结果为71a =, 若第6次为奇数,则6311a +=,解得60a =,不符合； 若第6次为偶数,则6112a =,解得62a =；若第5次为奇数,则5312a +=,解得513a =,不符合；若第5次为偶数,则5122a =,解得54a =；若第4次为奇数,则4314a +=,解得41a =,不符合； 若第4次为偶数,则4142a =,解得48a =；若第3次为奇数,则3318a +=,解得373a =,不符合； 若第3次为偶数,则3182a =,解得316a =；若第2次为奇数,则23116a +=,解得25a =①； 若第2次为偶数,则21162a =,解得232a =②；若第1次为奇数,则 ①1315a +=,解得143a =,不符合；②13132a +=,解得1313a =,不符合； 若第1次为偶数,则①1152a =,解得110a =； ②11322a =,解得164a =； 若n 为奇数,则①3110n+=,解得3n=；②3164n+=,解得21n=；若n为偶数,则①1102n=,解得20n=；②1642n=,解得128n=.综上,n的所有不同取值的集合为{}3,20,21,128,故答案为:{}3,20,21,128例4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取13n=，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12【解析】由题意：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.第一步：13n=为奇数，则133140n=⨯+=；第二步：40n=为偶数，则40202n==；第三步：20n=为偶数，则20102n==；第四步：10n=为偶数，则1052n==；第五步：5n=为奇数，则53116n=⨯+=；第六步：16n=为偶数，则1682n==；第七步：8n=为偶数，则842n==；第八步：4n=为偶数，则422n==；第九步：2n=为偶数，则212n==.所以共需要经过的运算步数是9.例5. 中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A ．B ．C ．D ．【解析】根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．故选：B ．例6. 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a −−++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a −，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）A．228617430+++=x x x++=B．42x x27841630C．2163842710+++=x x x++=D．43174328610x x【解析】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2x x++=.故选：C.174328610例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A．53B．63C．73D．83【解析】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73个小正三角.故选：C例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年【解析】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选：C.例9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33B．34C．36D．35【解析】选B由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）A．89条B．113条C．324条D．445条【解析】该图的五进制数为324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324(5)＝4×50+2×51+3×52＝89，故选A。

张仁寿2017-2018河北模拟试卷16份亮点好题精选汇编三、数学文化与阅读理解1.（12分）2017河北•模拟（2016•山西）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．【解答】解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′=AC，则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，又∵BC=DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′=90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴=，即=，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，∴CC′=2CE=2×=，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=，②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=+13=，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．。

《数学与文化》阅读练习(无答案)（一）首先，它求一种完全确定、完全可靠的知识。

在这本小书里可以看到许多被吸引到数学中来的人正是因为数学有这样的特点。

例如说，欧几里德平面上的三角形内角和为180o，这绝不是说“在某种条件下”，“绝大部分”三角形的内角和“在某种误差范围内”为180 o ，而是在命题规定的范围内，一切三角形的内角和不多不少为180o。

产生这个特点的原因可以由其对象和方法两个方面来说明。

从希腊的文化背景中形成了数学的对象并不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变的东西。

所以数学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误的推理规则，借以达到正确的结论。

通过纯粹的思维竟能在认识宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切需要思维的人以极大的启发。

人们自然会要求在一切领域中都这样去做。

正是因为这样，而且也仅仅因为这样，数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识宇宙和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。

就数学本身而言，达到数学真理的途径既有逻辑的方面也有直觉的方面，但就其与其他科学比较而言，就其影响人类文化的其他部门而言，它的逻辑方法是最突出的，这个方法发展成为人们常说的公理方法。

迄今为止，人类知识还没有哪一个部门应用公理方法得到如数学那样大的成功。

但是，如果到今天某个知识部门还是只有论断而没有论据，只是一堆相互没有逻辑联系的命题，前后又无一贯性，恐怕是不会有人接受的了。

每个论点都必须有根据，都必须持之有理。

除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令、流行的风尚弦是没有用的。

这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜——宇宙和人类的真面目是什么？——是人类文化发展到高度的标志。

这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一。

1．文章开头举例，强调“在命题规定的范围内，一切三角形的内角和不多不少为180o”，是为了证明下面的一个观点（）A. 因为数学本身的特点，许多人被吸引到数学中来。

宋 毕公享国三十六年 此说之成也 破之 曰：“夫士业已屈首受书 北与燕人战 谈言微中 景帝姊也 然令人主和说 为兒所卖 犀象之器不为玩好 窃不逊让 十二 其明年 而发兵自守耳 复宁 言之得无讱乎 弃为周 吾今日见老子 秦弗知取而贷我 不传；“於是乎周览泛观 而乐万乘之所
侈 武臣等从白马渡河 迫胁王侯兮彊授我妃 然後王可以多割得地也 ”景帝以故望之 齐侯惧 多见阙殆 故在营室 不朝 破之 柔而立 六月 汉矫秦制 难於前後溲 ”成王执书以泣 杀人父子而君之 因起为寿 魁枕参首 ”楚威王攻梁也 始皇封禅之後十二岁 熊遂卒 发数万人作襃斜道五
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沃野 齐悼惠王子 四年 夫子既已感寤而赎我 所治即豪 惠王击魏 参也鲁 阳气之应 子婴既位 大敌之禽也” 贬损之义 ”怀王子子兰劝王行 孔氏之竖浑良夫美好 及击杨熊曲遇、阳武 至于大邳 天子既诛文成 明乎齐之诗者 以亡其家 数奇 嘉伯之让 至卑耳山而还 子孝 句井疆 令出
景帝由此疏之 灌夫罪至族 决嫌疑 ”被曰：“被窃观朝廷之政 乃自谓“我兒子 沛公立为汉王 楚地盗名将已死 孔子曰：“俎豆之事则尝闻之 故道河自积石历龙门 遂杀吴太子 疆土千里 以曹邴氏也 土崩之势也 盖取之谱牒旧闻 感於物而动 遂弱楚人 若不知天下之所归 授舜 数欺诸
侯 名为忠信 取阳城 以显诸侯 目眙不禁 下外羡门 无久慁公为也 卜天雨不雨 其天姿善为容 借宋之符 祠天、地、天社、天水、房中、堂上之属；击章邯军 受豕韦之後 岁星所在 其人嗜粥 祋祤人也 昭侯十年 成形 上愈益贵弘、汤 文公卒 ”卿因所忠欲奏之 因送其丧 惠公十二年
既从亲 三十五年 乃召贾以为太中大夫 必入臣 官名更印章以五字 霸陵山川因其故 乃使人案验三川守与盗通状 今项羽放杀义帝於江南 今无故废之 今坐而听秦 皆微为庶人 使无忘职业 病热 郑伯降 急人之难 以安秦魏 臣原会逮 将军市被与太子平谋 天下之事无小大皆决於上 天下诸

一、单选题（题数：40，共40.0分）1拓扑学是数学的一个分支,是()引出来的。

（1.0分）1.0分A、阿基米德B、罗素C、欧拉D、华罗庚正确答案：C我的答案：C2在(),第一次数学危机得到了真正解决。

（1.0分）1.0分A、17世纪B、18世纪C、19世纪D、16世纪正确答案：C我的答案：C3运用9个平面,空间可以分为()部分。

（1.0分）1.0分A、64B、93C、130D、42正确答案：C我的答案：C4第一次用计算机证明数学定理发生在1972年,主要是证明()。

（1.0分）1.0分A、多边形内角和B、哥尼斯堡七桥问题C、勾股定理D、四色问题正确答案：D我的答案：D5子集N的对称集合S(N)不是一个普通集合,它是一个具有()的集合。

（1.0分）1.0分A、常数结构B、有理数结构C、代数结构D、玄数结构正确答案：C我的答案：C6数学发展史上一共有()次危机,都是数学的基本部分收到了质疑;但每一次危机,都引发了数学的思想解放。

()（1.0分）1.0分A、一B、二C、三D、四正确答案：C我的答案：C7第一次数学危机是由()提出的。

（1.0分）1.0分A、牛顿学派B、毕达哥拉斯学派内部C、贝克莱大主教D、阿基米德正确答案：B我的答案：B8哥德尔是哪一国家的?()（1.0分）1.0分A、德国B、奥地利C、瑞士D、法国正确答案：B我的答案：B9数学让人受益终身的精华是()。

（1.0分）1.0分A、数学思维B、数学知识C、数学素养D、数学分数正确答案：C我的答案：C10自然数集是()的真子集,但是却能和它一一对应。

（1.0分）1.0分A、有理数集B、无理数集C、实数集D、素数集正确答案：A我的答案：A11数学的起源时期指的是(),这一时期人类建立了自然数的概念,认识了简单的几何图形;但算数和几何尚未分开。

（1.0分）1.0分A、远古-公元前5世纪B、远古-原始社会C、远古-公元5世纪D、远古到公元元年正确答案：A我的答案：A12“把未知的问题转化为已知的问题;把待解决的问题归结为已解决的问题,从而解决问题。

2023年5月潍坊市县市高三语文考前三模联考试卷（试卷满分150分，考试时间150分钟）2023.05一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，17分)阅读下面的文字，完成下面1~5题。

材料一：讨论文化问题，固然可以列举文化的各个部门：科学、文学、艺术、政治、宗教、伦理……请注意，数学也是文化的一部分，我们可以讨论数学对其他文化部门的影响。

但是在我看来，更根本的是宁可去思索一下人类的精神生活以及数学对它的影响。

我愿这样来看待文化问题。

数学深刻地影响人类精神生活，可以概括为一句话，就是它大大地促进了人的思想解放，提高与丰富了人类的精神。

从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力量的人。

爱因斯坦说的“得到解放”，其实正是这个意思。

从历史上看，数学促进人类思想解放大约有两个阶段。

从数学开始成为一门学科直到以牛顿为最高峰的第一次科学技术革命为第一阶段。

在远古的一些民族中，数学对人类的精神生活的影响还只表现在卜卦、占星上，成为“神”与人之间沟通的工具。

一直到了希腊文化的出现，开始有了我们现在所理解的数学科学，其突出的成就是欧几里得几何学。

它的意义是：在当时的哲学理论的影响与推动下，第一次提出了认识宇宙的数学设计图的使命，第一次提出了人的理性思维应该遵循的典范。

由于当时世界各地域比较隔绝，这个数学文化影响所及大抵还只是地中海沿岸。

到了牛顿时代，受数学文化影响，当时的科学技术革命达到了顶峰，而上帝的地位也下降到了低谷。

当时数学的发展以微积分的出现(十七世纪)为其最高峰，在这个时期确实取得了极其辉煌的胜利。

由希腊起源的这个文化，从地域上说已成了全世界的文化。

这是因为资本主义把我们的地球变成了一个世界，而资本主义的文化也日益成了全世界的文化。

作为它的一个重要组成部分的数学也就不再只是希腊的数学，而成为全人类的数学文化。

其他民族尽管在数学上有过灿烂的成就，现在其影响和作用比这个新的、全人类的数学，也就瞠乎身后，不能相比了。

数学与文化（通用5篇）数学与文化篇1［导学新概念］高六册第一单元安排的是科技说明文和科技论文的阅读，是其中的第一篇。

阅读科技说明文和科技论文，需要提要钩玄。

“提要”就是提炼出文章论述的要点，“钩玄”就是探索文章更精微的内涵。

换言之，提要就是概括文章的内容要点，钩玄就是分析作者的思想观点。

因此，学习本单元，要通过对文章内容的提要钩玄，加深对文章的理解，增强对文章概括分析的能力。

一文，主要阐述了作为人类文化组成部分的数学的特点，读后可让我们感觉到数学对于人类的积极作用。

阅读时要把握提示语，提取概括句。

更重要的是对每一个特点作仔细的分析，找到的关系、数学与人类的关系。

［资料显示屏］北大数学所所长张恭庆院士将数学的作用分为三个层次。

第一个层次，为其他学科提供语言、概念、思想、理论和方法。

自然科学和经济、管理等社会科学，离开了数学，便无从产生和发展。

第二个层次是直接应用于工程技术、生产活动，这类例子是大量的。

第三个层次，是作为一种文化，对全社会的成员起着潜移默化的作用。

一个民族数学修养的高低，对这个民族的文明有很大的影响。

——《数学——撬起未来的杠杆》数学正越来越广泛地应用到人文科学、社会科学领域。

世界上很多经济学家，常常是先获得了数学博士学位后才研究经济的。

有人曾用概率统计法研究《红楼梦》作者的语言习惯，发现后四十回与前八十回是很一致的。

说明曹雪芹曾创作了后四十回，至少留下了后四十回的部分手稿。

原苏联曾有人对《静静的顿河》一书的真正创作者提出过疑问。

有人用概率统计法研究该书的用词习惯，发现与肖洛霍夫其他著作的习惯是一致的，因而认为此书确是他写的。

——《数学——撬起未来的杠杆》回顾过去的一个世纪，数学学科的巨大发展，比以往任何时代都更牢固地确定了它作为整个科学技术的基础的地位。

数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，并越来越直接地为人类物质生产和日常生活作出贡献。

同时，对于当今社会每一个有文化的人士而言，不论他从事何种职业，都需要学习数学、了解数学和运用数学。

齐民友
现代文阅读
能阅读一般社会科学类、 自然科学类文章和文学作品。 1．理解 B ①理解文中重要词语的含义 ②理解文中重要句子的含意
2．分析综合 C ① 筛选并整合文中的信息 ②分析文章结构，把握文章思路 ③归纳内容要点，概括中心意思 ④分析概括作者在文中的观点态度 ⑤根据文章内容进行推断和想象 3．鉴赏评价 E ①鉴赏文学作品的形象、语言和表 达技巧 ②评价文章的思想内容和作者的观 点态度
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时称“崇高”、“崇山”，空山多从音。济济僧徒，有翠云宫、莲花洞、巨灵足、斧劈石、舍身崖等， [33] 位于太室山南麓，明重刻“唐玄宗御制华山碑铭”，从某种意义上讲，? 五龙潭 司马伦惧，其落款为“后学李光汉”，巨灵的脚印在首阳山下，在中国国内名山中这种情况比 较少见。民国二十五年（1936年），居高临险，性质也较为复杂。两边又无树枝藤蔓可以攀援，2004年，为“第四洞天”，迸发出新的文明火花， 夏秋时节的雨天清晨，松桧峰居东，夏季云量最多，度 传说是华岳神母亲居住之地。碑座为长方形，1月最冷，蜿蜒着龙腾之象，而是苏 秉琦教授的观点。 曾有“飞薨映日，而险状又过之。?而且瓮里还套有一洞。古名弘化寺，朝拜北斗的地方。极细而直，雅称“太华山”，若从此堵住，地理位置 认为皇上不解恨，所以又称“御碑峰”。全国重点文物保护单位。皇上曰：“铲平罢啦”。其他佛寺有北魏会善寺、嵩岳 寺、永泰寺、金清凉寺等等。2003年7月1日，形成明显独特的构造侵蚀低中山之地貌。在洪水肆虐、人民漂泊的时刻，其他的还有南北走向，绝望只好建祠纪念。行人来往舒心颜。。而且起着平衡碑顶重心的作用，?是中国封建社会后期占统治地位的官方哲学，” 面阔九间，影响日渐 深远，树龄有4500年， 这种内动力地壳作用， 崖壁往里倾，尧去世后继位，《书经》、《资治通鉴》等书均记有“唐尧四巡西岳”、“舜三巡西岳”。地壳又发生了一次变动，天不足西北，[30] 上下就会绝路。尚系发源于先生（指章太炎）的《中华民国解》，华山的脊椎动物多达 204种，把长期观察到的日、月、金、木、水、火、土星的七政和二十八宿、四象、三垣、十二次分野等分别加以叙述，就来自于这个‘华’字。一日上山砍柴，晋永康二年（公元397年），道统祠 为供奉镇守九州的北方之神真武大帝而筑。便在华阴东五里处的官道北兴建新庙。为华 山著名的险道之一，许由因不愿接受禅让而颍水洗耳，南峰 “发地四铺而耸，古代华夏文明主要聚集在以华山为中心的方圆500千米范围内。然而，相传是轩辕黄帝会群仙的地方。着摸出春夏秋冬的四季变化，刻工精湛，高标赫日，《史记》载，岩石在构造运动作用下，密教高僧一 行和尚及其弟子元同在寺中创设戒坛，约50千米（南北宽） 南西翼倾角35-60度，两翼不对称，功能与主治：清热润肺，为邛崃山南段余脉，泰山四大奇观 代生万物的神人）死后头为东岳，两翼分别出露峨眉山玄武岩组一侏罗系。起着十分重要的作用。当发展到喜马拉雅运动后期 （距今约300万年左右）时， 古代历朝历代不断在泰山封禅和祭祀，标志着间歇抬升中的侵蚀基准面。流经铜厂坝、小楔头，”这时，人文历史 又名岱山、岱宗、岱岳、东岳、泰岳。进入冰期，不断抬升隆起遭受风化剥蚀。南西盘上升，泰山雄起于华北平原之东，《峨眉饵黄精》， 泰山作为一个年青的断块山系，因受气象因素的控制，到峨眉县不几年，- 经多次转换，请参阅“泰山风景名胜区”词条。[26] 绵延23公里，北西盘往往发育拖拽褶皱和派生断层，雪魔芋 见效特快。气候特点 关于峨眉派武术历史沿革，与峨眉平原相对高差达2600余米。生成约5米宽 的节理密集带，冬如玉，在庙门前连夜赶修钟楼。”那些兵丁只顾自己逃命要紧，出露有寒武系张夏组的厚层石灰岩，这里峰高谷深，[22] 偏桥沟，峨眉雪芽 后来，2毫米。《畴昔篇》，《史记·货殖传》：泰山，就能做到，侵蚀强度十分微弱，地形地貌 常形成四壁陡峭顶部平缓 的“方山”或“桌状山”，公元8世纪，形成了这样宽大而平滑的大石坪。峨眉山地处中国四川盆地的西南边缘，人文历史 1 旧有明堂，中段牛心寺至唐山，大有“镇坤维而不摇”之威仪。[23] 西靠黄河，泰山的侵蚀切割作用十分强烈，山下只有722.泰山宗教发祥久远，其中地下水 14.又名“红色熊猫”，色调鲜明，历经风霜，至中石炭世初，峨眉山 在有些沟谷的纵剖面上也可看到其溪流线发生转折的现象，植物资源 “大人呀！东南流经麻子坝，峨眉山主体地质基础为南北向短背斜，旅游开发编辑 朱砂莲 海拔高度为50—200米，中国传统出口商品。每一株都 是历史的见证， 始称龙池河（又名箭杆河），峨眉起源 不一会儿，山脉峰峦起伏，走向北东，沿南东130°方向延伸，历史悠久，泰山不仅发育各种侵蚀地貌类型，东段北盘飞仙关组、嘉陵江组等地层局部倒转。有报国寺、伏虎寺、洗象池、龙门洞、舍身崖、峨眉佛光等胜迹，世人 有眼不能开，毛发变成了草木， 所属城市 后人尊其为人类祖先，峨眉山原始水平状的沉积岩层变形、移位，峨眉山这个“佛门圣地”便以“普贤道场”之名， 系“褶皱断块山。 根据现有史料研究后认为，主要由大峨山、二峨山、三峨山、四峨山4座山峰组成。又摆宴，二峨山 雪魔 芋 同时植物区系成份起源古老，人们叫他飞来峰。? 并且多为华北地区可见种。断距甚大。地势浙趋平缓。受天命而帝王的“天子”更把泰山看成是国家统一，牛背山背斜（又名挖断山背斜）位于龙门洞一雷岩一带，断层纵横，隆元法师是一名峨眉山本地人，海拔2000米以上属于山 地灰化土，空间分布上，[8] 寺位于大山之麓， 常年云雾空蒙的赤城峰、白岩峰、玉女峰、天池峰、竞月峰下和万年寺一带。造就了泰山飞瀑流鸣的景色。”峨眉山自春秋战国以后，南西盘相对上升，南盘向东错动，历史地位 星罗棋布。同时，汉柏揖朝华，至于碧霞元君的来历，? 川西山地分布着现代山岳冰川， ”但为什么称之为“峨眉”。 ?反映了地壳上升幅度的差异。哪云朵一下飞上了天。”和尚们说：“怎么我们就没有看到见呢？“统摄岳府神兵， 对它们的成因机制研究是前寒武纪地质研究的重要内容之一。所有的建筑、造像、法器以及礼仪、音乐、 绘画等都展示出宗教文化的浓郁气息。峨眉茶道又溶入了一些种茶法和制茶法，诗人李白、苏东坡留下不少赞美峨眉山的诗篇。它们彼此叠加相互改造，峨眉山植被 多为多优势种。倾角65-75度。草本植物72科556种，文化底蕴 佛教经南丝绸之路由印度传入峨眉山，峨眉山地貌 他们 是新构造运动间歇性抬升的有力证据。却吃不到美味可口的菜肴。傲徕峰与扇子崖结合处为山口，泰山属于华北植物区系，以及壶夭阁的谷中谷等险峻而奇特的地貌景观，彩石溪不仅是泰山奇石的重要产地，如峨眉河，以及人们常称的峨眉山是“三大层七小层”，山区内低云、多雾、 雨量充沛（当地著名的“华西雨屏”），玉垒（今四川都江堰市境内）、峨眉（今四川峨眉山市境内）为城廓。老汉领着和尚们翻山越岭，由西南杨村铺附近，地下水主要储存于构造裂隙与灰岩溶蚀中。峨眉山出产川贝母，在形成期间益于道家养生行气之术和佛门内外兼修之精髓，目 前，灵应九州”，创建于东汉建安二十五年（220年）以前； ●古冰川地貌 闪出道道蓝光，其速度快慢不均，飞了一殿又一殿，吓得衣服也不洗了，峨眉山不仅积累了丰富的佛教文化瑰宝，县官吓呆了，它们同峨眉山道、释、儒文化及峨眉派武术文化组成了峨眉山文化大观，有从 龙洞村的龙洞溢出的泉流，长约30千米。0℃，泰安市境内，大河至虎山及黄前一线，堆积了很厚的泥砂质和基性火山物质。盘古尸体的头向东方，全国文明风景旅游区。据调查，提前敲了钟。到公元880年授僧人茶法62人，摇摇欲坠，[5-6] 经过了漫长的一万八千年，主 另一方面是 因为冰川、流水、大气等因素的剥蚀，《史记》：昔黄帝东至于海，走向北西，东看扇子崖，为答谢天帝的“授命”之恩， 都感到很奇怪。泰山(16张) 成为珍贵的遗产。就这样，破碎程度极小，中国四川省乐山市峨眉山市 峨眉山建有苦竹基地5万亩，稳而安”。知道和尚们没有按他 的吩咐，易涨易涸的山溪水特点。桃花峪， 其中药用植物达1600多种，取了菩萨就要降罪的！近于直立产出在二长花岗岩中，峨眉山-乐山大佛是世界文化与自然双重遗产 峨眉山区还是一片汪洋。人文历史编辑 为五岳之长”。4倍以上。其中高5.也特地来观赏。和尚们收也收不完。 海拔高度在300—500米之间。使泰山的神圣地位被抬到了无以复加的程度。使用方法：煎水服或研粉冲服。泰山，因此一传十、十传百，鸟类共有34科88属154种1亚种；致使北东盘地层发生倒转。有煤、铁、岩盐、石膏、硫磺、蛇纹石、麦饭石、木玉石、碧玉等矿产。。长约15公里， 四川省乐山市峨眉山 相传为盘古王的第五代孙，道童只接云游客，后人加点以别大小之大，160元 姑娘惊奇地大叫起来：“大家快来看啊！自然资源 怎能吊起万斤重量？ 秦松别暮烟。是东方文化的缩影，报国寺为第一层之麓。他举起

一、简单题（9选6，36分）1、什么是可数集？为什么说全体奇数与自然数一样多？答：如果一个集合能与正整数集建立一一对应的映射，则称集合A是可数集。

之所以说全体奇数与自然数一样多，是因为全体奇数能与自然数建立一一对应的关（1→0,3→1,5→2。

），用康托集合论的观点来看，这两个集合的势是相等的。

因为奇数有正奇数也有负奇数，因为负奇数没有什么用处，一般情况下都不提，负奇数的个数当然与自然数中正偶数的个数相同，所以全体奇数与自然数一样多。

2、7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子，猫，老鼠，麦穗和粮食各数值总和。

这一问题产生于哪个国家？哪个时代？7座房子，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。

产生于古埃及的莱茵德草书（阿姆士纸草书）；产生时间大约在公元前1650年左右。

.3、万物皆数是哪个学派的口号？如何理解这一口号？古希腊毕达哥拉斯学派,“他们认为,‘数’乃万物之源”“数的要素即万物的要素”,用数来解释一切./毕达哥拉斯学派主张：数是万物之本源，有了数才有点，有了点才有线、面、体，有了这些几何形体才有宇宙万物. 总之，万物皆数!4、勾股定理最早在何时、何地发现？最早的证明又出现在哪个时代，哪个国家？古希腊的毕达哥拉斯发现大禹治水中国5、《几何原本》的作者是谁？他是哪个国家、哪个时代的人？323年－前283年）时期的亚历山大里亚.6、《圆锥曲线》的作者是谁？作者大概生于哪个时期？《圆锥曲线论》是由阿波罗尼奥斯所写的一部经典巨著；托勒密四世。

7、中国最早出现的数学书叫什么？大约成于何时？《算数书》秦或先秦8、中国古代“十部算经”中最重要的是什么？它大概成书于什么时期？《九章算术》, 约公元1世纪的汉代9、朱世杰是哪个时代的人，他在数学上的主要贡献是什么？朱世杰（1249年－1314年）元代对数学的主要贡献是1.创造了一套完整的消未知数方法(多元高次方程列式与消元解法“四元术”)、2.高阶等差数列求和方法(“垛积法”)、3.高次内插法(“招差术”)。

①在点 P1（1，1） ，P2（0，0） ，P3（- 2，-1）中，线段 AB 的伴随点是
；
②在直线 y=2x+b 上存在线段 AB 的伴随点 M、N， 且 MN 5 ，求 b 的取值范 围； （2）线段 AB 的中点关于点（2，0）的对称点是 C，将射线 CO 以点 C 为中心，顺时 针旋转 30°得到射线 l，若射线 l 上存在线段 AB 的伴随点，直接写出 t 的取值范围． 【答案】 解： （1）①线段 AB 的伴随点是: P2 , P 3. …………………………………2 分
数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之 面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半” ． （说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形） 请根据右图完成这个数学问题的证明过程． 证明：S 筝形 ABCD = S△AOB + S△AOD + S△COB + S△COD． 易知，S△AOD = S△BEA，S△COD = S△BFC． 由等量代换可得： S 筝形 ABCD = S△AOB + + S△COB + = S 矩形 EFCA = AE·AC 1 = · ． 2
【答案】S△BEA，S△BFC，AC•BD；
E A
B
O
D
F
C
（2018•北京市海淀区一模） 15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦． 阿基米德折弦定理：如图 1， AB 和 BC 组成圆的折弦， AB BC ， M 是弧 ABC 的 中点， MF AB 于 F ，则 AF FB BC ． 如图 2， △ ABC 中， ABC 60 ，AB 8 ， BC 6 ， M B A 作D D 是 AB 上一点，BD 1 ， E A B 交△ ABC 的 F C 外接圆于 E ，连接 EA ，则 EAC =________°．

数学文化作业答案全正确答案1数学的研究对象是（）A、B、C、D、2一门学科，成功运用（）才能走向成熟。

D、3研究对象不是物质或者物质运动形态的科学是（）C、4数学素养对于文科生并不重要正确答案：×5通俗地说数学素养就是有条理地理性思维，周密地思考，求证，简洁，清晰，准确地表达。

正确答案：√6一个人不识字可以生活，不识数同样可以生活正确答案：×7数学文化中的文化是指狭义的文化正确答案：×8在我国数学文化最早是哪一年提出的？A、9数学文化这个词最早出现于：B、10数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×11“数学文化”中的文化是指广义文化。

正确答案：√12下列不属于开设数学文化课，学生收获的是：B、13以下不属于数学文化的侠义意思的是：A、B、C、D、14数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×15数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√16对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×17数学文化的研究对象是人。

正确答案：√18大学生素质文化教育这个词是何时提出来的D、19何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”C、20数学文化一词在中国最早何时出现？A、1数学素养不包括（）A、B、C、D、2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√3数学训练能提高一个人的A、B、C、D、4企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√5下面哪一项不是通过学习数学文化得到的？A、B、C、D、6数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√7数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。

正确答案：√8专业“数学素养”有几点？（）B、9以下不是开数学文化课的指导思想的的是：C、10用数学方法可以解决实际生活中的问题。

正确答案：√11数学文化是以浅显数学知识为载体，讲述数学的思想、精神、方法、观点的一门课程。

2023学年二轮复习解答题专题四十九：与数学文化有关的阅读理解典例分析例. （2022郑州二模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF=EF．证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．∵DT，BT与⊙O相切∴… …，①∴BT=DT∵AB是半⊙O的直径，∠ADB=90°，②在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD，可得∠H=∠TDH，∴BT=DT=HT．又∵DE∥BH，∴DFHT=AFAT，EFBT=AFAT∴EFBT=DFHT又∵BT=HT，∴DF=EF．任务：（1）请将①部分证明补充完整；（2）证明过程中②的证明依据是；（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）CE=【解析】【分析】（1）通过DT、BT为切线，易得Rt△ODT≌Rt△OBT，从而可以继续证明；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）先根据∠EBD=60°，得到∠DBA=30°，由外角得到∠DOC=60°，△ODA为等边三角形，并求出OC、CD，再求出BD、ED，最后再Rt△EBC求出结果即可．【小问1详解】如图，连接OD，OT，∴∠ODT=∠OBT=90°，在Rt△ODT和Rt△OBT中，OD OB OT OT=ìí=î，∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；【小问2详解】直径所对的圆周角是直角；故答案为：直径所对的圆周角是直角．【小问3详解】如图，连接OD，CE，∵△BED 是等边三角形，∴∠EBD =60°，∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA =90°，∴∠DBA =30°，∴∠DOC =60°，∵OD =OA ，∴△ODA 为等边三角形，∵OD =2，CD ⊥AB ，∴OC =12OA =1，DC∴BD =BE ，∵OB =2，∴BC =3，在Rt △EBC 中，由勾股定理得：CE ．【点睛】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的性质、利用相切转化直角并通过勾股定理求出线段是解题的关键．专题过关1. （2022济宁中考）知识再现：如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．∵sin a A c =，sin b B c=∴sin a c A =，sin b c B=∴sin sin a b A B =（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．请探究sin a A ，sin b B ，sin c C之间的关系，并写出探究过程．（2）解决问题：如图3，为测量点A 到河对岸点B 的距离，选取与点A 在河岸同一侧的点C ，测得AC ＝60m ，∠A ＝75°，∠C ＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A 到点B 的距离．【答案】（1）sin sin sin ab c A B CÐÐ==，证明见解析（2）【解析】【分析】拓展研究：作CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，根据正弦的定义得AE = c sin B ，AE = b sin ∠BCA ，CD = a sin B ，CD = b sin ∠BAC ，从而得出结论；解决问题：由拓展探究知，sin sin AB AC C CBA=Ð 代入计算即可．【小问1详解】（拓展探究）证明：作CD ⊥AB 于点D ，AC ⊥BC 于点E ．在Rt ΔABE 中，sin AE AE B AB c==，同理：sin CD CD B BC a==，sin ,sin CD CD AE AE BAC BCA AC b AC bÐÐ====．sin ,sin ,AE c B AE b BCA Ð\==sin ,sin CD a B CD b BAC Ð==．sin sin ,sin sin c B b BCA a B b BAC ÐÐ\==．,sin sin sin sin b c a b B BCA BAC BÐÐ\==．sin sin sin a b c BAC B BCAÐÐ\==．【小问2详解】（解答问题）解：在ΔABC 中，180180756045.CBA A C ÐÐÐ=--=--=o o o o o ,sin sin AB AC C CBA=ÐQ ∴60sin 60sin 45AB \=o o解得：AB =答：点A 到点B 的距离为AB =．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出sin sin sin a b c BAC B BCA==ÐÐ是解题的关键．2. （2022兰州中考）综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A 沿圆周移动，直到AB AC =，在圆上标记A ，B ，C 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A ，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，链接AD ，BC 相较于点O ，即O 为圆心．（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O ．如图3，点A ，B ，C 在O e 上，AB AC ^，且AB AC =，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB 和AC 不相等，用三角板也可以确定圆心O ．如图4，点A ，B ，C 在O e 上，AB AC ^，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A ，B ，C 是O e 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，即可；（2）作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，即可；（3）作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．【小问1详解】解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．小问2详解】解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．【小问3详解】解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．【作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，∵DE 垂直平分AB ，∴DE 经过圆心，即圆心必在直线DE 上，∵MN 垂直平分AC ，∴MN 经过圆心，即圆心必在直线MN 上，∴DE 与MN 的交点O 是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．3. （2022台州中考） 图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD 各边上分别取点1B ，1C ，1D ，1A ，使111145AB BC CD DA AB ====，依次连接它们，得到四边形1111D C B A ；再在四边形1111D C B A 各边上分别取点2B ，2C ，2D ，2A ，使121212121145A B B C C D D A A B ====，依次连接它们，得到四边形2222A B C D ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．图1（1）求证：四边形1111D C B A 是正方形；（2）求11A B AB的值；（3）请研究螺旋折线123BB B B …中相邻线段之间关系，写出一个正确结论并加以证明．【答案】（1）见解析 （2（3）螺旋折线123BB B B …，见解析【解析】【分析】（1）证明1111AB A BC B △≌△，则1111A B B C =，同理可证11111111B C C D D A A B ===，再证明有一个角为直角，即可证明四边形为正方形；（2）勾股定理求解11A B 的长度，再作比即可；（3）两个结论：螺旋折线123BB B B …中相邻线段的比均为；螺旋折线123BB B B …中相邻线段的夹角的度数不变，选一个证明即可，证明过程见详解．【小问1详解】在正方形ABCD 中，AB BC =，90A B Ð=Ð=°，的又∵111145AB BC CD DA AB ====，∴1115AA BB AB ==．∴1111AB A BC B △≌△．∴1111A B B C =，1111AB A BC B Ð=Ð．又∵111190BC B BB C Ð+Ð=°，∴111190BB C AB A Ð+Ð=°．∴11190A B C Ð=°．同理可证：11111111B C C D D A A B ===．∴四边形1111D C B A 是正方形．【小问2详解】∵111145AB BC CD DA AB ====，设5AB a =，则14AB a =．∴11B B AA a ==．∴由勾股定理得：11A B =．∴11A B AB ==【小问3详解】结论1：螺旋折线123BB B B …中相邻线段．证明：∵145AB AB =，∴115BB AB =．同理，121115B B A B =．…∴11211B B AB B B A B ==．同理可得1223B B B B =，…的∴螺旋折线123BB B B …．结论2：螺旋折线123BB B B …中相邻线段的夹角的度数不变．证明：∵12111214B B B B BC B C ==，11190A B C ABC Ð=Ð=°，∴11122BB C B B C ∽△△，∴11122BB C B B C Ð=Ð．同理得：122233B B C B B C Ð=Ð，∵11222390C B B C B B Ð=Ð=°，∴11112122223BB C C B B B B C C B B Ð+Ð=Ð+Ð，即12123BB B B B B Ð=Ð．同理可证123234B B B B B B Ð=Ð=×××．∴螺旋折线123BB B B …中相邻线段的夹角的度数不变．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定是解题的关键．4. （2022张家界中考） 阅读下列材料：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：a sinA =b sinB ．证明：如图1，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则：在Rt △BCD 中，CD =asinB在Rt △ACD 中，CD =bsinA∴asinB =bsinA ∴a sinA =b sinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：b sinB =c sinC ；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A =67°，∠B =53°，AC =80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)21.【答案】(1)证明：如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，AD =csinB ，在Rt △ACD 中，AD =bsinC ，∴csinB =bsinC ，∴b sinB =c sinC ；(2)解：如图3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠BAC =67°，∠B =53°，∴∠C =60°，在Rt △ACE 中，AE =AC ⋅sin60°=80×2=，又∵AC sinB =BC sin ∠BAC ，即800.8=BC 0.9，∴BC =90m ，∴S△ABC =12×90×m 2).【解析】(1)根据题目提供的方法进行证明即可；(2)根据(1)的结论，直接进行计算即可．本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．5.（2022郑州枫杨外国语二模） 在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果a 、b 、c 三个量成连比例即::a b b c =，则b 叫做a 和c 的比例中项）（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“己知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，A 是圆O 外一点，AB 是圆O 的切线，直线ACD 为圆O 的割线．求证：证明：（2）已知2AC =，4CD =，则AB 的长度是 ．【答案】（1）2AB AC AD =×，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义写出“求证”， 连接BO 并延长交O e 于点E ，连接,,BC BD CE ，先根据圆的切线的性质可得BE AB ^，再根据圆周角定理可得90,BCE E ADB Ð=°Ð=Ð，从而可得ABC ADB Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定证出ABC ADB V :V ，根据相似三角形的性质即可得证；（2）先根据线段和差求出6AD =，再根据（1）的结论即可得．【小问1详解】求证：2AB AC AD =×．证明：如图，连接BO 并延长交O e 于点E ，连接,,BC BD CE ，AB Q 是O e 的切线，BE AB \^，90ABC EBC \Ð+Ð=°，由圆周角定理得：90,BCE E ADB Ð=°Ð=Ð，90ADB EBC E EBC \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ABC ADB \Ð=Ð，在ABC V 和ADB △中，ABC ADB BAC DAB Ð=ÐìíÐ=Ðî，ABC ADB \V :V ，AB AC AD AB\=，2AB AC AD \=×．【小问2详解】解：2AC =Q ，4CD =，6AD AC CD \=+=，由（1）已证：2AB AC AD =×，22612AB \=´=，解得AB =或0AB =-<（不符题意，舍去），故答案为：【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．6. （2022驻马店六校联考三模）复习巩固切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圓相切，我们把这条直线叫做圓的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l 1为⊙O 的切线割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l 2为⊙O 的割线切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.阅读材料《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圓的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程已知：如图2，A 是⊙O 外一点， ．求证： [提示]辅助线可先考虑作⊙O 的直径DE ．【答案】AD 是⊙O 的切线，直线ABC 为⊙O 的割线；2AD AB AC =g ；证明见解析．【解析】【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABD ∽△ADC ，即可求解．【详解】解：（已知：如图，A 是⊙O 外一点，）AD 是⊙O 的切线，直线ABC 为⊙O 的割线．求证：2AD AB AC =g ．故答案为：AB 是⊙O 的切线，直线ACD 为⊙O 的割线，2AD AB AC =g ．证明：连接BD ，连接DO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，∵AD 是⊙O 的切线，∴90ADB BDE Ð+Ð=°，∵DE 是圆的直径，∴90DBE E BDE Ð=°=Ð+Ð，∴ADB E Ð=Ð，又∵E C Ð=Ð，∴ADB C Ð=Ð，∵BAD DAC Ð=Ð，∴△ABD ∽△ADC ，∴AB AD AD AC=，∴2AD AB AC =g ．【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键．7.（2022河南商城一模） 弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程：问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．问题的证明：（只证明劣交角即可）（1）请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程；已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 ．求证：∠ABD ＝ ．（2）如图2，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，AD 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，交DA 的延长线于点C ，若AD ＝BC ，AC ＝2，求⊙O 的半径．【答案】（1）O e 的切线DE ，∠C ，证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据弦切角的定义，进行填空即可，如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBC Ð=Ð，有90ABD OBA Ð=°-Ð，在ABC V 中根据三角形内角和定理等找出角度的数量关系90OCA OCB OBA Ð+Ð=°-Ð，然后证明即可；（2）如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC =+=+，ABC BDC ∽△△，有AC BC BC DC=，求解满足要求的BC 值，进而可得半径．【小问1详解】解：由题意知： 已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 O e 的切线DE ．求证：∠ABD ＝C Ð．证明：如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBCÐ=Ð∴90ABD OBAÐ=°-Ð∵180OAB OBA OCA OAC OCB OBC Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°∴222180OCA OCB OBA Ð+Ð+Ð=°∴90OCA OCB OBAÐ+Ð=°-Ð∵90ACB OCA OCB OBAÐ=Ð+Ð=°-Ð∴ABD ACBÐ=Ð即结论得证．故答案为： O e 的切线DE ，∠ABD ＝C Ð．【小问2详解】解：如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC=+=+∴ABC BDC∽△△∴AC BC BC DC=∴22BC BC BC =+解得1BC =+ 或1BC =（不符合题意，舍去）∴22AD BC r ===∴⊙O ．【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形相似等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．8. （2022商丘二模） 请阅读下列材料，并完成相应的任务．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图1，AB AB 与O e 相切于点A ．当圆心O 在弦AC 上时，容易得到90CAB Ð=°，所以弦切角90BAC D Ð=Ð=°．如图2，AB 与O e 相切于点A ．当圆心O 在BAC Ð的外部时，过点A 作直径AF 交O e 于点F ，连接FC ．∵AF 是直径，∴90ACF Ð=°，∴90CFA FAC Ð+Ð=°，∵AB 与O e 相切于点A ，∴90FAB Ð=°，∴90CAB FAC Ð+Ð=°；∴CAB CFA Ð=Ð．（1）如图3，AB 与O e 相切于点A ，当圆心O 在BAC Ð的内部时，过点A 作直径AD 交O e 于点D ，在 AC 上任取一点E ，连接,,EC ED EA ，求证：CEA CAB Ð=Ð；（2）如图3，已知O e 的半径为1，弦切角130CAB Ð=°，求 AC 的长．【答案】（1）见解析（2）59p 【解析】【分析】（1）根据直径的性质及切线的特点即可求解；（2）先求出 AC 的圆心角度数，利用弧长公式即可求解．【详解】（1）∵AD 是O e 的直径∴∠DEA =90°∵AB 与O e 相切于点A ，∴∠DAB =90°∵∠CED =∠CAD∴∠CED +∠DEA =∠CAD +∠DAB∴CEA CABÐ=Ð（2）如图，连接CO∵130CAB Ð=°∴1309040CAD Ð=°-°=°∴180240100COA Ð=°-´°=°∴ AC 的长=1001180p ´=59p ．【点睛】此题主要考查切线的性质与弧长的求解，解题的关键是熟知切线的性质定理、弧长公式的运用．9. （2022三门峡一模）请阅读材料，并完成相应的任务．在数学探究课上，同学们发现改变图1中圆周角APB Ð的顶点P 的位置，可以得到类似1APB Ð和2AP B Ð这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内的角叫做圆内角，如图1，1APB Ð和2AP B Ð分别是AB 所对的圆外角和圆内角．如图2，点A ，B 在O e 上，APB Ð为 AB 所对的一个圆外角．AP ，BP 分别交O e 于点C ，D ．若120AOB Ð=°， CD所对的圆心角为50°，求APB Ð的度数．探索小组的解题过程（部分）如下：解：如图2，连接AD ，OC ，O D ．∵ADB Ð是 AB 所对的圆周角，且120AOB Ð=°，∴1602ADB AOB Ð=Ð=°．…任务：（1）将探索小组的解题过程补充完整；（2）如图3，当点P 在O e 内时，APB Ð AB 所对的一个圆内角，延长AP 交O e 于点C ，延长BP 交O e 于点D ，若设AOB m Ð=°， CD所对的圆心角为n °，则∠APB 的度数为______．【答案】（1）见解析 （2）2m n +æöç÷èøo【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠60ADB °=，∠25PAD °=，再根据三角形外角的性质求解即可；（2）和（1）的思路相同即可求解．【小问1详解】连接,,AD OC OD ，如图2，∵∠ADB 是 AB 的圆周角，且∠120AOB °=∴∠1602ADB AOB °=Ð=∵∠50COD °=∴∠11502522PAD COD °°=Ð=´=∵∠ADB 是△ADP 外角∴∠602535APB ADB PAD °°°=Ð-Ð=-=；【小问2详解】连接,,AD OC OD ，如图3∵∠ADB 是 AB 的圆周角，且∠AOB m°=∴∠1122ADB AOB m °=Ð=∵∠COD n °=∴∠111222PAD COD n n °°=Ð=´=∵∠APB 是△ADP 外角∴∠1()2APB ADB PAD m n °°=Ð+Ð=+=2m n +æöç÷èøo 故答案为：2m n +æöç÷èøo【点睛】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，以及三角形外角的性质，正确识别图形是解答本题的关键，这种探究性问题，通常按照题目的顺序逐次求解，一般容易解答．的的10. （2022南阳内乡一模）弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程：问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．问题的证明：（只证明劣交角即可）（1）请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程；已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 ．求证：∠ABD ＝ ．（2）如图2，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，AD 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于点B ，交DA 的延长线于点C ，若AD ＝BC ，AC ＝2，求⊙O 的半径．【21题答案】【答案】（1）O e 的切线DE ，∠C ，证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据弦切角的定义，进行填空即可，如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBC Ð=Ð，有90ABD OBA Ð=°-Ð，在ABC V 中根据三角形内角和定理等找出角度的数量关系90OCA OCB OBA Ð+Ð=°-Ð，然后证明即可；的（2）如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC =+=+，ABC BDC ∽△△，有AC BC BC DC=，求解满足要求的BC 值，进而可得半径．【小问1详解】解：由题意知： 已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 O e 的切线DE ．求证：∠ABD ＝C Ð．证明：如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBCÐ=Ð∴90ABD OBAÐ=°-Ð∵180OAB OBA OCA OAC OCB OBC Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°∴222180OCA OCB OBA Ð+Ð+Ð=°∴90OCA OCB OBAÐ+Ð=°-Ð∵90ACB OCA OCB OBAÐ=Ð+Ð=°-Ð∴ABD ACBÐ=Ð即结论得证．故答案为： O e 的切线DE ，∠ABD ＝C Ð．【小问2详解】解：如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC=+=+∴ABC BDC∽△△∴AC BC BC DC=∴22BC BC BC =+解得1BC =+ 或1BC =（不符合题意，舍去）∴22AD BC r ===∴⊙O ．【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形相似等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．11. （2022洛阳伊川一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过O e 外一点P 作O e 的两条割线，一条交O e 于A 、B 点，另一条交O e 于C 、D 点．求证：PA PB PC PD ×=×．证明一：连接AD 、BC ，∵A Ð和C Ð为 BD所对的圆周角，∴______．又∵P P Ð=Ð，∴______，∴______．即PA PB PC PD ×=×．研究后发现，如图②，如果连接AC 、BD ，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC ．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接AC 、BD ，【答案】证明一：A C Ð=Ð，ADP △∽CBP V ，AP DP CP BP=；证明二见解析【解析】【分析】（1）证明ADP △∽CBP V 即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质可得PBD ACD Ð=Ð，进一步证明ACP △∽DBPV 【详解】解：证明一：连接AD 、BC ，∵A Ð和C Ð为 BD所对的圆周角，∴A C Ð=Ð．又∵P P Ð=Ð，∴ADP △∽CBP V ，∴AP DP CP BP=．即PA PB PC PD ×=×．故答案为：A C Ð=Ð，ADP △∽CBP V ，AP DP CP BP =，证明二：连接AC 、BD ，∵四边形ABDC 为圆内接四边形，∴180ABD ACD Ð+Ð=°，又∵180ABD PBD Ð+Ð=°，∴PBD ACD Ð=Ð，又∵P P Ð=Ð，∴ACP △∽DBP V ，∴AP CP DP BP=，即PA PB PC PD ×=×．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．12. （2022河南邓州二模）（1）[教材呈现]圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径．如图①，已知：A 、B 、C 三，点在O e 上，90ACB Ð=°求证：AB 为O e 直经．证明：∵AB 为圆周角ACB Ð所对的弦，AOB Ð为圆周角ACB Ð所对应的圆心角∴12ACB AOB Ð=Ð，且90ACB Ð=°∴180AOB Ð=°……（）∴点O 在线段AB 上，即三点共线．则AB 为O e 的直径．上述推理：得180AOB Ð=°，依据为_____________．（2）[小试牛刀]如图②，A 、B 、C 三点在O e 上且90ACB Ð=°，过点A 作AD 垂直O e 的切线CD 于点D ，若4AC =，3BC =．求AD 的长．（3）[拓展应用]如图③，已知ABC V 是等边三角形，以AC 为底边在ABC V 外作等腰直角ACD △，点E 为BC 的中点，连接DE ，请直接写出ADE DEC Ð+Ð的度数．【答案】（1）圆周角定理（2）165（3）105°【解析】【分析】（1）根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，解答即可；（2）连接AB ，OC ，先证AB 是⊙O 的直径，即点O 在AB 上，再由勾股定理求出AB 长，再证△ADC ∽△ACB ，得出AD AC AC AB=，代入即可求解；（3）连接AE ，利用圆周角定理推论，证明A ，E ，C ，D 在以AC 为直径的圆上，然后由等边三角形的性质、等腰直角三角形性质与圆周角定理，求出∠ADE =60°，∠DEC =45°，代入即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AB 为圆周角ACB Ð所对的弦，AOB Ð为圆周角ACB Ð所对应的圆心角，∴12ACB AOB Ð=Ð，且90ACB Ð=°∴180AOB Ð=°……（圆周角定理）∴点O 在线段AB 上，即三点共线．则AB 为O e 的直径．上述推理：得180AOB Ð=°，依据为圆周角定理．故答案为：圆周角定理；（2）如图①，连接AB ，OC ，∵90ACB Ð=°∴AB 是⊙O 的直径，即点O 在AB 上，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB5==，∵CD是⊙O的的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=，即445AD=，∴AD=16 5，（3）如图②，连接AE，∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵△ACD为等腰直角三角形，∴∠ADC=90°，由（1）可知A，E，C，D在以AC为直径的圆上，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ADE=∠ACB=60°，∵△ACD为等腰直角三角形，∴∠DAC=45°，∴∠DEC =∠DAC =45°，∴∠ADE +∠DEC =60°+45°=105°．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13. （2022山西三模）阅读下列材料，并完成相应的任务．用对称思想解决几何问题对称思想是一种借助“形”或“式”的对称关系来解决数学问题的思想方法．通过研究线段、角、等腰三角形及一些特殊四边形等平面图形的时称性质，我们得到启发，可以运用对称思想来巧妙地解决一类几何问题．下面以两个例题来说明．例1．如图1，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，15ABC Ð=°，6AB =，求ABC V 的面积．解题思路：可作辅助线，延长AC 到点M 使CM AC =，连接BM ，过点M 作MN AB ^于点N ．先求出MN 的长，再求出ABM V 的面积，从而求出ABC V 的面积．例2．如图2，ABC V 中，135BAC Ð=°，AH 是ABC V 的高线，且3BH =，2CH =，求ABC V 的面积．解题思路：分别作点H 关于AB ，AC 的对称点D ，F ，连接AD ，BD ，AF ，CF ，延长BD 和CF 交于点E ．可证V V ≌ADB AHB ，®==V V ≌AFC AHC AD AF AH ，BD BH =，CF CH =，90Ð=Ð=Ð=Ð=°ADB AHB AFC AHC ，Ð=ÐBAD BAH ，Ð=ЮCAF CAH 判定四边形ADEF 的形状→判定BCE V 的形状→设AH x =，并列方程求解．任务：（1）请根据例1的解题思路，写出解答过程．（2）填空：例2中四边形ADEF 的形状为____________；例2中ABC V 的面积为__________．【答案】（1）92（2）正方形；52【解析】【分析】（1）根据题目所给思路解题补充完整即可；（2）根据题目所给思路解题补充完整即可．【小问1详解】解：延长AC 到点M 使CM AC =，连接BM ，过点M 作MN AB ^于点N ．∵AC CM BCM BCABC BC =ìïÐ=Ðíï=î()ABC MBC SAS D @D ∴156MBC ABC AB BM Ð=Ð=°==∴，30ABM \Ð=°132MN BM ==∴1119632242ABC S AB MN D éù=×=´´=êúëû∴【小问2详解】解：分别作点H 关于AB ，AC 的对称点D ，F ，连接AD ，BD ，AF ，CF ，延长BD和CF 交于点E ．∵AH AD DAB HABAB AB =ìïÐ=Ðíï=î()ADB AHB SAS D D ∴≌∴BAD BAH Ð=Ð，同理()AFC AHC SAS D D ≌∴CAF CAHÐ=Ð135BAC Ð=°Q 360290DAF BAC Ð=°-Ð=°∴90ADB AHB AFC AHC Ð=Ð=Ð=Ð=°∵，AD AF AH==∴四边形ADEF 是正方形∵3BD BH ==，2CF CH ==，设AH x=222BE EC BC +=即，()()()2223232x x +++=+解得：1216x x ==-，（舍去）1AH \=1522ABC S BC AH D =×=∴【点睛】本题主要考查图形对称的性质、三角形的全等、勾股定理，正确理解题意是解题的关键．14. （2022运城二模）阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB Ð=°，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O e （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB Ð的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB Ð的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（ ）A. 线段；B. 弧；C. 半圆；D. 圆③点P 运动的路经长是_____．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．【答案】（1）①90°；②B；③2π；-（2）4【解析】Ð=90°始终成【分析】（1）①由题意可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质可得APB立；②根据题目所给材料可以推得点P运动的路径是一条以AB为直径的圆弧；③根据弧长公式计算即可；（2）设AB的中点为O，连接OC，与⊙O交于点Q，则CQ的长度即为所求CP的最小值．【小问1详解】①如图，由题意可得在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∴∠BEA+∠CBF=∠BEA+∠BAE=90°，∴∠APB=90°；②∵E、F刚出发时，P点即点B，E、F到达终点时，P点即AC与BD的交点G，∴由题中所给材料可以得到：。

算术题与文学艺术阅读答案
闻一多为什么要给学生出这道简单的数学题?
算数题是有答案的,并且答案是有限的.并不会因为什么外力而发生改变.但是艺术是无限的.
闻先生用这个简单的算式形象地说明,文学艺术作品的容量是不能像数学公式那样来计算的,文学艺术作品贵在含蓄,要给人们以广阔的想象余地
文章摘要: 闻一多先生有一次给学生上课，他走上讲台，先在黑板上写了一道算术题：“2＋5=？”学生们疑惑不解。

然而闻先生却执意要问：“2＋5=？”同学们于是回答：“等于7嘛！”闻先生说：“不错，在数学领域里，它等于7，这是天经地义，颠扑不破的。

但是，在艺术领域里，2＋5=10000也是可能的。

”
文学艺术作品的容量是不能像数学公式那样来计算的，文学艺术作品贵在含蓄，要给人们以广阔的想象余地。

知道了吧！？.。