2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1i z =+，则i izz +=（ ）（A ）2- （B ）2i - （C ）2 （D ）2i 【答案】C【解析】1ii i (1i)(i 1)(i 1)2i iz z ++⋅=+⋅-=--++=，故选C ．（2）【2014年安徽，理2，5分】“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要而不充分条件，故选B ．（3）【2014年安徽，理3，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）34（B ）55 （C ）78 （D ）89【答案】B 【解析】x 1 1 2 3 5 8 13 21 y 1 2 3 5 8 13 21 34z2 3 5 8 13 21 34 55 （4）【2014年安徽，理4，5分】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） （A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22 【答案】D【解析】将直线l 方程化为一般式为：40x y --=，圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，圆C 到直线l 的距离为：22d ==，∴弦长22222L R d =-=，故选D ．（5）【2014年安徽，理5，5分】,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）（A ）12或1- （B ）2或12（C ）2或1 （D ）2或1-【答案】D 【解析】画出约束条件表示的平面区域如右图，z y ax =-取得最大值表示直线z y ax =-向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：1a =-或2a =，故选D ．（6）【2014年安徽，理6，5分】设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+．当0x π≤<时，()0f x =，则236f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）（A ）12 （B ）3 （C ）0 （D ）12- 【答案】A【解析】2317171111175511171111()()sin ()sin sin ()sin sin sin 066666666662222f f f f ππππππππππ=+=++=+++=+-+=，故选A ．（7）【2014年安徽，理7，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）（A ）213+ （B ）183+ （C ）21 （D ）18 【答案】A【解析】如右图，将边长为2的正方体截去两个角，∴213226112(2)2132S =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=+表，故选A ． （8）【2014年安徽，理8，5分】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有（ ）（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对 【答案】C【解析】与正方体一条对角线成060的对角线有4条，∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有41248⨯=（对），故选C ．（9）【2014年安徽，理9，5分】若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ） （A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 【答案】D【解析】（1）当2a <时，12a-<-，此时31,11,1()2312x a x a x a x f x ax a x ---<-⎧⎪⎪--+-≤≤-=⎨⎪⎪++>-⎩；（2）当2a >时，12a->-，此时31,2()1,12311a x a x f x a x a x x a x ⎧---<-⎪⎪=⎨+--≤≤-⎪⎪++>-⎩，在两种情况下，min ()()|1|322a af x f =-=-+=，解得4a =-或8a =，（此题也可以由绝对值的几何意义得min ()|1|32af x =-+=，从而得4a =-或8a =），故选D ．（10）【2014年安徽，理10，5分】在平面直角坐标系xOy 中，向量,a b 满足||||1a b ==，0a b ⋅=．点Q 满足()2OQ a b =+，曲线{}|cos sin ,0C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{}|0||,P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）（A ）13r R <<< （B ）13r R <<≤ （C ）13r R ≤<< （D ）13r R <<< 【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)a b ==则(cos ,sin )OP θθ=，(2,2)OQ =，所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如右图），∵||2OQ =，∴13r R <<<，故选A ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是 ．【答案】38π 【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+-，∴2,()42k k Z ππϕπ-=+∈，∴,()82k k Z ππϕ=--∈，当1k =-时min 38πϕ=．（12）【2014年安徽，理12，5分】已知数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = ． 【答案】1q =【解析】∵{}n a 是等差数列且1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，∴2111(1)(45)(23)a a d a d +++=++，即2111(1)[(1)4(1)[(1)2(1)]a a d a d ++++=+++， 令11,1a x d y +=+=，则有2(4)(2)x x y x y +=+，展开的0y =，即10d +=，∴1q =．（13）【2014年安徽，理13，5分】设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012n n a a x a x a x ++++．若点()(),0,1,2i i A i a i =的位置如图所示，则a = ． 【答案】3a =【解析】由图易知0121,3,4a a a ===，∴122113,()4n n C C a a ⋅=⋅=，∴23(1)42na n n a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =． （14）【2014年安徽，理14，5分】设1F ，2F 分别是椭圆()222:101y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若11||3||AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 ．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b --，将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b --+=，又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=．（15）【2014年安徽，理15，5分】已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，则min S 与a 无关；③若//a b ，则min S 与||b 无关；④若||4||b a >，则min 0S >；⑤若||4||b a =，2min 8||S a =，则a 和b 的夹角为4π． 【答案】②④【解析】S 有下列三种情况：222222222123,,S a a b b b S a a b a b b b S a b a b a b a b b =++++=+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥，∴min 3S S =， 若a b ⊥，则2min 3S S b ==，与||a 无关，②正确； 若//a b ，则2min 34S S a b b ==⋅+，与||b 有关，③错误；若||4||b a >，则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=，④正确；若2min ||2||,8||b a S a ==，则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴1cos 2θ=，∴3πθ=，⑤错误．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2014年安徽，理16，12分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，∵3,1b c ==，∴212,a a ==（2）由余弦定理得22291121cos 2b c a A bc +-+-===-，由于0A π<<，∴sin A故1sin()sin coscos sin()4443A A A πππ+=+=-=（17）【2014年安徽，理17，12分】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”，则21(),(),1,2,3,4,533k k P A P B k ===．（1）121231234121231234()()()()()()()()()()(()()P A P A A P B A A P A B A A P A P A P B P A P A P A P B A P A =++=++2212221225633333333381=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=． （2）X 的可能取值为2,3,4,5，121212125(2)()()()()()()9P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=，1231231231232(3)()()()()()()()()9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=，123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==， 故X∴5234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2014年安徽，理18，12分】设函数()()()23110f x a x x x a =++-->．（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值． 解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =得1212x x x x ==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时，'()0f x <；当12x x x <<时'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增． （2）∵0a >，∴120,0x x <>，（ⅰ）当4a ≥时21x ≥，由（1）知()f x 在[0,1]上单调递增，∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值．（ⅱ）当40a >>时，21x <，由（1）知()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减， ∴()f x 在2143ax x -++==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，∴当10a >>时()f x 在1x =处取得最小值，当1a =时()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值，当41a >>时，()f x 在0x =取得最小值．（19）【2014年安徽，理19，13分】如图，已知两条抛物线()2111:20E y p x p =>和()2122:20E y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于1B ，2B 两点． （1）证明：1122//A B A B ；（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点．记111A B C ∆与222A B C ∆的面积分别为1S 与2S ，求12SS 的值．解：（1）设直线12,l l 的方程分别为1212,,(,0)y k x y k x k k ==≠，则由1212y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122(,)p pA k k ；由1222y k x y p x=⎧⎨=⎩得22221122(,)p p A k k ，同理可得11122222(,)p p B k k ，22222222(,)p p B k k ，所以111111122222121212122221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--， 222222222222121212122221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--，故111222p A B A B p =，所以1122A B A B //．（2）由（1）知1122A B A B //，同理可得1122B C B C //，1122AC A C //，所以111222A B C A B C ∆∆∽，因此2111222S ||()||A B S A B =， 又由（1）中的111222p A B A B p =知111222||||A B p p A B =，故211222S p S p =． （20）【2014年安徽，理20，13分】如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，且2AD BC =．过1A ，C ，D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为M ．（1）证明：M 为1BB 的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若14A A =，2CD =，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角大小． 解：（1）∵1//BQ AA ，//BC AD ，BCBQ B =，1ADAA A =，∴平面//QBC 平面1A AD ，从而平面1A CD 与这两个平面的交线相互平行，即1QC A D //，故QBC ∆与1A AD ∆的对应边相互平行，于是1A QBC AD ∆∆∽，∴11BQ BQ 1BB 2BC AA AD ===，即Q 为1BB 的中点． （2）如图，连接QA ，QD ．设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC a =，则2AD a =．11112323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=，1211()3224Q ABCD a a V d h ahd -+=⋅⋅⋅=，∴1712Q A AD Q ABCD V V V ahd --=+=下，又111132A B C D ABCD V ahd -=，∴1111371121212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd -=-=-=下上，故117V V =上下．MD 1C 1B 1A 1A（3）解法一：如图，在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，又1DE AA ⊥，且1AEAA A =，∴1DE AEA ⊥平面，∴1DE A E ⊥，∴1AEA ∠为平面α和平面ABCD 所成二面角的平面角．∵ //AD BC ，2AD BC =， ∴2ADC ABC S S ∆∆=，又∵梯形ABCD 的面积为6，2DC =，∴4ADC S ∆=，4AE =，于是11tan 1AA AEA AE ∠==，14AEA π∠=，故平面α和底面ABCD 所成二面角的大小为4π．解法二：如图，以D 为原点，DA ，1DD 分别为x 轴和z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设CDA θ∠=，因为22sin 62ABCD a a V θ+=⋅=，所以2sin a θ=，从而(2cos ,2sin ,0)C θθ，14(,0,4)sin A θ，设平面1A DC 的法向量为(,,1)n x y =，由1440sin 2cos 2sin 0DA n x DC n x y θθθ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 得sin ,cos x y θθ=-=，所以(sin ,cos ,1)n θθ=-，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 所以2cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅α和底面ABCD 所成二面角的大小为4π． （21）【2014年安徽，理21，13分】设实数0c >，整数1p >，*n N ∈．（1）证明：当1x >-且0x ≠时，()11px px +>+； （2）数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+，证明：11p n n a a c +>>． 解：（1）用数学归纳法证明①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立，当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以1p k =+时，原不等式成立．综合①、②可得当1x >-且0x ≠时，对一切整数1p >，不等式()11px px +>+均成立． （2）解法一：先用数学归纳法证明1p n a c >．①当1n =时由假设11pa c >知1pn a c >成立．②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式1pk a c >成立，由111pn n n p c a a a p p-+-=+，易知0,*n a n N >∈， 当1n k =+时，1111(1)p k k p k k a p c c a a p p p a -+-=+=+-，由10p k a c >>得111(1)0p kcp p a -<-<-< 由（1）中的结论得111()[1(1)]1(1)p p k p p p k k k ka c c cp a p a p a a +=+->+⋅-=，因此1p k a c +>，即11p k a c +>，所以当1n k =+时，不等式1pn a c >也成立．综合①、②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立．再由111(1)n p n n a ca p a +=+-得11n na a +<，即1n n a a +<，综上所述，11,*p n n a a c n N +>>∈．解法二：设111(),p p p c f x x x x c p p--=+≥，则p x c ≥，并且11'()(1)(1)0p p p c p cf x p x p p p x ---=+-=->，1p x c >由此可见，()f x 在1[,)p c +∞上单调递增，因而当1p x c >时11()()p pf x f c c ==． ① 当1n =时由110pa c >>，即1p a c >可知121111111[1(1)]p p p c ca a a a a p p p a --=+=+-<， 并且121()pa f a c =>，从而112pa a c >>，故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．② 假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时11()()()pk k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>，所以当1n k =+时原不等式也成立． 综合①、②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．。
