2 三视图及展开图

立体图形三视图及展开图一、知识点(一)三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察，角度不同，看到的风景就会不同。

比如：我们可以从正面看、上面看、左面看，看到的图形分别称为正视图、俯视图和左视图，并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的。

对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积(二)正方体的展开图展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等，我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面(三)长方体的展开图：观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即S上＝S下＝长×宽，S左＝S右＝宽×高，S前＝S后＝长×高。

(四)判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断。

二、题型(一)展开图与对立面【例1.1】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________。

【答案】后面、上面、左面【解析】易知“你”、“程”相对，“前”、“锦”相对，“祝”、“似”相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面。

【例1.2】一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下。

现在每方格内都填上相应的数字。

已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是___________。

【答案】3、1、2【解析】面上的数是“0”，与“B”相对的面上的数是“2”，与“C"相对的面上的数是“1”。

正方体展开图和三视图的初步认识1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。

我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2. 立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。

（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）知识梳理知识梳理1 正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。

第四类，两排各三个，只有一种。

知识梳理2 常见立体图形的平面展开图1. 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。

两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。

棱柱的底面可以是三角形，四边形，五边形……我们把这样的棱柱叫分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）2. 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。

棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。

相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面。

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的展开图是由一个多边形（作底）和几个三角形（作侧面）组成的。

三视图和展开图的认识1.定义：三视图是指一个物体在三个不同方向上的投影，包括正视图、俯视图和侧视图。

2.作用：通过三视图可以全面了解物体的形状和结构，是工程制图和建筑设计中必不可少的一部分。

3.绘制方法：(1)正视图：物体正面朝向观察者，投影在水平面上。

(2)俯视图：物体上方朝向观察者，投影在垂直于水平面的竖直面上。

(3)侧视图：物体左侧或右侧朝向观察者，投影在垂直于水平面和俯视图所在平面的斜面上。

4.定义：展开图是将一个立体图形展开成平面图形，以便于观察和计算。

(1)矩形展开图：最常见的展开图类型，适用于各种矩形容器、包装盒等。

(2)圆形展开图：适用于圆形或近似圆形的物体，如圆筒、圆盘等。

(3)三角形展开图：适用于三角形的物体，如三角尺、三角形的包装盒等。

(4)其他多边形展开图：适用于各种多边形的物体，如六边形、八边形等。

5.绘制方法：(1)矩形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个长方形或正方形。

(2)圆形展开图：将立体图形的侧面沿着直径展开，得到一个扇形。

(3)三角形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个三角形。

(4)其他多边形展开图：根据立体图形的形状和结构，选择合适的方法将其展开。

三、三视图与展开图的相互关系1.展开图可以转化为三视图：通过观察展开图，可以确定物体的正视图、俯视图和侧视图。

2.三视图可以转化为展开图：根据三视图，可以绘制出物体的展开图。

3.展开图中的信息可用于三视图的绘制：展开图中的边长、角度等信息可以用于确定三视图中的尺寸和形状。

四、实际应用1.工程制图：在建筑设计、机械设计等领域，三视图和展开图是表达物体形状和结构的重要手段。

2.制造业：在制造过程中，通过三视图和展开图可以方便地切割、加工和组装物体。

3.教育：在三视图和展开图的教学中，有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.日常生活中：展开图在包装、折叠等方面有广泛应用，如纸箱、衣物等。

五、注意事项1.准确绘制：在绘制三视图和展开图时，要注意尺寸、形状和位置的准确性。

班级：姓名：化工中学七年级导学案（2012~2013学年度第一学期）学科：数学编号：编制日期：
二、立体图形的展开图：
1、立体图形是由平面图形围成的．观察你身边的长方体形状的包装盒，看一看它有几个
面，每个面分别是怎样的平面图形？并给每个面作上记号（如前、后等）
、用剪刀把手中的正方体纸盒按任意方式沿棱展开，你能得到多少种不同的展开图？
5、下面图形是正方体平面展开图的是
A B C D
5、若右图是某几何体的三种不同方向的图，则这个几何体是
E F G H
6题图
、如图，为一个多面体的表面展开图，每个面内都标注了数字．若数字为所标注的数字为（）
5 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．
4、分别从正面、左面、上面观察这个图形，画出得到的平面图形
5、下面哪个图形经过折叠可以围成一个棱柱（8、如图，下面三个正方体的六个面按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、白色、红色的对面分别是（）
9、有一个正方体，在它的各个面上分别涂了白、红、黄、兰、绿、黑六种颜色。

甲、乙、丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方体，结果如下图，问这个正方体各个面的对面的颜色是什么？黄对；绿对
甲乙丙
10、下边的4个图形中，哪一个是由左边的盒子展开而成的。

考点26 基本作图、三视图与展开图中考数学中，基本作图的考察方式正在发生着变化，不会再考基本作图的操作，而是考察其写法，放在题干上用以确定角平分线和中垂线，之后再用其性质求解后续问题。

三视图与展开图的考察难度则比较简单，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用。

一、基本作图二、三视图三、直棱柱的展开与折叠考向一：基本作图一．基本尺规作图（1）作一条线段等于已知线段，如图1；（2）作一个角等于已知角，如图2（3）作已知角的平分线，如图3；（4）作已知线段的垂直平分线，如图4 ；（5）过一点作已知直线的垂线，如图5；图1 图2 图3 图4 图5二．利用尺规作图作三角形（1）已知三边作三角形，如图1（2）已知两边及其夹角作三角形，如图2；（3）已知两角及其夹边作三角形，如图3，图1 图2 图3三．尺规作图的考察方法分析1.通常是在选择填空题中以尺规作图的语言描述来确定角平分线或者中垂线，之后再结合其他知识点完成后续问题。

2.在解答题中，尺规作图的另一类考法是放在网格图中和相似等知识点结合，考察固定长度的线段或者角度构造。

1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．三角形三个内角的平分线交于同一个点D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则sin∠DCA＝（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AE＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（）A．2B．40C．4D．8考向二：三视图三视图主视图：从物体正面看到的图左视图：从物体左面看到的图俯视图：从物体上面看到的图易错在画几何体时：①长对正、高平齐、宽相等题型②图中看不到的棱用虚线画出来1．如图几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，若改变一个小正方体的位置后，它的俯视图和左视图都不变，那么变化后的主视图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状，其中小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状是（）A ．B ．C ．D ．4．已知圆锥的三视图及相关数据如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．10πcm2考向三：直棱柱的展开与折叠几何体展开图底面形状侧面形状三角形矩形四边形矩形正方形正方形多边形矩形1．下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．2．由如图的正方体平面展开图可知，此正方体的“绿”字所在面的对面汉字是（）A．低B．碳C．发D．展3．如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和五边形，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（）A．B．C．D．4．如图，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开_____条棱．（）A．3B．4C．5D．不确定1．（2022•贵港）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同2．（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（2022•江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．（2022•菏泽）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．6．（2022•济南）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱7．（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（）A．B．C．D．8．（2022•鄂尔多斯）下列尺规作图不能得到平行线的是（）A．B．C．D．9．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC 的长是（）A．B．4C．6D．10．（2022•巴中）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（）A．∠BCD＝120°B．若AB＝3，则BE＝4C．CE＝BC D．S△ADE＝S△ABE11．（2022•内蒙古）如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（）A．8B．2+2C．2+6D．2+212．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数°．13．（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．14．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CF A中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴①．∵EF∥BC，∴②．又∵③，∴△ADC≌△CF A（AAS）．同理可得：④．S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．15．（2022•江西）课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求P A的长．1．（2022•阜新）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．2．（2022•安徽）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（2022•绵阳）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）A．B．C．D．4．（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．5．（2022•攀枝花）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．（2022•永州）我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（）A．B．C．D．7．（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．108．（2022•湖北）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱9．（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．强B．富C．美D．高10．（2022•德州）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（）A．B．C．D．11．（2022•威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．12．（2022•恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（）A．B．5C．10D．2013．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD 的长为（）A．4B．5C．6D．714．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．15．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．1．（2022•宁波模拟）如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视图是（）A．B．C．D．2．（2023•红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）A．B．C．D．3．（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+4x+3B．x2+3x+2C．x2+2x+1D．2x2+4x4．（2022•孟村县校级模拟）如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三种图案，则它的展开图可能是（）A．B．C．D．5．（2022•宽城区校级一模）下列四个选项中，不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．6．（2022•东兴区校级二模）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）A．B．C．D．7．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．8．（2022•玉环市一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°．观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°9．（2022•连山区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（）A．B．C．D．110．（2023•定远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（）A．5B．6C．8D．1211．（2022•柳东新区模拟）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝6，BC＝8，则△ABE的周长为（）A．13B．14C．15D．1612．（2023•乌鲁木齐一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP ＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS13．（2022•东胜区一模）尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．如图是四位同学的作图痕迹．其中作图错误的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁14．（2022•大名县校级四模）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．只有乙、丙才是B．只有甲，丙才是C．只有甲，乙才是D．甲、乙、丙都是15．（2023•仙桃校级一模）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形，连接BD．（1）在图1中，用无刻度的直尺作出△BOD的中线BP；（2）在图2中，用无刻度的直尺作出△BCD的中线DP．。