第一讲：因式分解与化简求值上课讲义

十字相乘法
总结词
适用于二次多项式的因式分解
详细描述
十字相乘法是一种特殊的因式分解方法，适用于二次多项式的因式分解。通过将二次项和常数项拆分成两个因数的乘 积，并在交叉相乘后得到一次项系数，从而找到多项式的因式分解形式。
举例
如对于多项式 $2x^2 + 5x - 3$，可以使用十字相乘法进行因式分解，得到 $(2x + 3)(x - 1)$。
《因式分解》说课课件
目录
• 课程导入 • 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用与实例 • 课堂互动与练习 • 课程总结与反思
01 课程导入
课程背景
数学中的因式分解是代数式变形的重要手段之一，是解决许多数学问题的关键。 在初中数学中，因式分解是解决一元二次方程、分式化简、函数等问题的必备技能。
02 03
详细描述
分组分解法是将多项式中的项进行分组，然后对每组分别 进行因式分解。这种方法适用于项数较多且有一定规律的 多项式。通过分组，可以更清晰地看出各项之间的关系， 从而更容易进行因式分解。
举例
如对于多项式 $x^2 + 2xy + y^2 - x + y$，可以将其分为 两组 $(x^2 + 2xy + y^2)$ 和 $(-x + y)$，分别进行因式分 解，得到 $(x + y)^2 - (x - y)$。
在方程求解中的应用
一元二次方程的求解
根与系数的关系
通过因式分解，可以将一元二次方程 化为两个一次方程，从而方便求解。
通过因式分解，可以方便地利用根与 系数的关系进行求解或化简方程。
分式方程的化简
通过因式分解，可以将分式方程化为 整式方程，简化求解过程。

整式乘法 整式乘法 因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右旳变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
Байду номын сангаас
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
阐明
• 本课是在学生学习了整式乘法旳基础上，研究对整 式旳一种变形即因式分解，是把一种多项式转化成 几种整式相乘旳形式，它与整式乘法是互逆变形旳 关系．
你能发觉这两组等式之间 旳联络和区别吗? 它们旳左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
a2-2ab+b2=(a-b)2
十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项), 二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后旳和是否等于一次项.
x2 px q
x
a
x
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
一般环节与注意点
1 一般环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最终是重新整顿再分解.
注意： 1、要分解到不能再分为止，括号内合并同 类项后注意把数字因数提出来。
2、因式分解旳成果是连乘式。 3、因式分解旳成果里没有中括号。

因式分解两课时（90分钟）开心一笑一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。

制胜必备1、理解因式分解的概念2、掌握因式分解的基本方法：提取公因式法、公式法等3、能对简单多项式进行因式分解，并结合实际来应用一鼓作气希尔伯特说：“当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。

这时便想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。

”秘诀：天才是一份灵感加上九十九份的汗水所成就的！1.因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式(2)因式分解与整式乘法是互逆运算．2.因式分解的常用方法(1)提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式． 提公因式法用公式可表示为ma+mb+mc=m （a+b+c ）,其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积． ②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．(2)运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，即a 2－b 2＝(a+b)(a-b)，a 2±2ab ＋b 2＝(a+b)2.3．因式分解解题的思考顺序(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；分解因式的结果应为整式积的形式。

1．下列因式分解中，正确的是（(A)1-x 2=(x+2)(x-2)(B)4x –2x 2–2=-2(x-1)2(C)(x-y)3–(y-x)=(x –y)(x –y+1)(x –y –1) 小菜一碟扫除障碍战况分析(D)x2–y2–x+y=(x+y)(x–y–1)2．下列各等式(1)a2－b2=(a+b)(a–b),(2)x2–3x+2=x(x–3)+2(3)－,(4)x2+－2－（x－)2从左到右是因式分解的个数为（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3．若x2＋mx＋25是一个完全平方式，则m的值是（）(A)20(B)10(C)±20(D)±104．若x2＋mx＋n能分解成(x+2)(x–5)，则m=,n=;5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m=;6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是;作战之法【兵法案例】分解因式：a3－2a2+a=______【作战策略】因式分解常用的方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。

初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。

通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。

本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。

一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。

在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。

因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。

二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。

通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。

举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。

2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。

举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。

然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。

三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。

下面我们介绍几个典型的应用场景。

1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。

通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。

2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。

通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。

因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。

2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。

要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。

4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。

第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即为因式分解中常用的公式：例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a2±2ab+b2=(a±b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)：(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)：(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数：(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)：其中n为偶数：(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)：其中n为奇数．运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4：(2)x3-8y3-z3-6xyz：(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab：(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形：直接使用公式(5)：解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性：现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式：本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式：用它可以推出很多有用的结论：例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然：当a+b+c=0时：则a3+b3+c3=3abc：当a+b+c＞0时：则a3+b3+c3-3abc ≥0：即a3+b3+c3≥3abc：而且：当且仅当a=b=c时：等号成立．如果令x=a3≥0：y=b3≥0：z=c3≥0：则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项：从最高次项x15开始：x的次数顺次递减至0：由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)：所以说明在本题的分解过程中：用到先乘以(x-1)：再除以(x-1)的技巧：这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时：整理、化简常将几个同类项合并为一项：或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时：需要恢复那些被合并或相互抵消的项：即把多项式中的某一项拆成两项或多项：或者在多项式中添上两个仅符合相反的项：前者称为拆项：后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多：这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法：注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出：用拆项、添项的方法分解因式时：要拆哪些项：添什么项并无一定之规：主要的是要依靠对题目特点的观察：灵活变换：因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目：由于分解后的因式结构较复杂：所以不易想到添加+ab-ab：而且添加项后分成的三项组又无公因式：而是先将前两组分解：再与第三组结合：找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在：同学们需多做练习：积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体：并用一个新的字母替代这个整体来运算：从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开：是关于x的四次多项式：分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体：并用字母y来替代：于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y：则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体：比如今x2+x+1=u：一样可以得到同样的结果：有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式：然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2：则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y：则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知：用换元法分解因式时：不必将原式中的元都用新元代换：根据题目需要：引入必要的新元：原式中的变元和新变元可以一起变形：换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体：但并没有设立新元来代替它：即熟练使用换元法后：并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母：且当互换这两个字母的位置时：多项式保持不变：这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式：经常令u=x+y：v=xy：用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u：xy=v：则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2：(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4：(2)x4-11x2y2+y2：(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1：(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1：(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。

教育学科教师辅导讲义练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x (4）22412a ax x x -+++x^4+x^2+2ax+1—a^2 = x^4+2x^2+1-x^2+2ax —a^2 =(x^2+1）^2-(x-a ）^2=（x^2+1+x-a ）（x^2+1-x+a)（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++ -（a^2-b^2)^2-2c^2（a^2-b^2)+c^4=（a^2-b^2—c^2)^2（7） x 4 + 4 原式 = x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2= （x 2+2）2 – (2x )2= (x 2+2x +2)（x 2–2x +2） (8）x 4–23x 2y 2+y 4（9）（m 2–1)(n 2–1）+4mn七、待定系数法。

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例16、分解因式613622-++-+y x y xy x分析:原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+,则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++ 解:设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622例8、分解因式2x 4 +7x 3 —2x 2 -13x+6解:令f （x ）=2x 4 +7x 3 —2x 2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f （x ）=0根为 ，—3，-2,1 ， 则2x +7x —2x -13x+6=(2x-1）(x+3）(x+2)（x —1） 9: 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解. 例10、分解因式a 2 （b-c ）+b 2 (c —a ）+c 2 (a-b ） 分析：此题可选定a 为主元,将其按次数从高到低排列解：a 2 （b —c)+b 2 （c-a ）+c 2 (a-b ）=a 2 （b-c ）—a(b 2 —c 2）+bc(b-c) =(b-c ） ［a 2 —a(b+c)+bc ］ =(b-c ）(a —b ）(a-c ） 10双十字相乘法十字相乘法是利用))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。

初中因式分解讲义一、什么是因式分解?在代数学中，当一个多项式可以写成几个乘积的形式时，我们将其称为因式分解。

这个过程可以简化多项式的计算和求解。

二、因式分解的基本原则在进行因式分解时，我们需要遵循以下基本原则：1. 最大公因数原则：寻找多项式中的最大公因数，将其提取出来，作为分解的一部分。

2. 求和差化积原则：利用求和差化积的方法，将多项式中的和差变为积，从而进行因式分解。

3. 公式转换原则：利用特定的公式，将多项式进行转换，以便于进行因式分解。

三、因式分解的方法1. 提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。

当多项式的各项有公因子时，可以将这个公因子提取出来，并将剩余的部分进行因式分解。

例如：将3x+6分解为3(x+2)2. 公式转换法公式转换法利用特定的公式将多项式进行转换，然后进行因式分解。

例如：将a²-b²分解为(a+b)(a-b)3. 分组分解法当一个多项式中含有四项及以上，并且无法直接进行其他方法的因式分解时，可以尝试使用分组分解法。

例如：将2x²+6x+3分解为(x+1)(2x+3)四、因式分解的应用因式分解在代数中有广泛的应用，可用于求解方程、简化分式、化简根式等。

它是解决复杂代数问题的重要工具。

五、练习题1. 将4x²-9y²分解。

2. 将6a³b-15ab²分解。

3. 将x³+y³分解。

4. 将3x³-27y³分解。

六、总结因式分解是代数学中重要的概念和工具，通过提取公因式、公式转换和分组分解等方法，能够简化多项式的计算和求解。

掌握因式分解的方法和应用，对于初中代数学习至关重要。

希望以上初中因式分解讲义能帮助你更好地理解和掌握因式分解的知识和技巧。

如果需要更多的练习或进一步讨论，请随时提问。

(4)3(x y) 2a(x y) 公因式是（x+y）
2.填空
(1) 2R 2r 2π (R r)
(2) 2R 2r 2 (R r)
(3)
1 2
gt12
1 2
gt22
1 2
g
(t12 t22 )
(4) 3x3 6x2 3x2 (x 2)
(5) 7a2 21a 7a ( a 3 )
有没有什么变化？ ( 项数相等，常利用这一点检验提公因式时是否出现“漏项”的错 误) (3) 以上4个式子从左向右的变形过程是提公因式分解因式 , 那从右向左的 变形过程是 单项式乘多项式 ，所以它们之间的关系是 互逆的 ； 因式的结果是否正确，我们可以采用什么方法呢？
( 利用单项式乘多项式的法则乘回去，进行验证 )
（4）x2 3x 1 x( x 3) 1不是
（5） x2 1 x( x 1 ) 不是 x
（6）18a3bc 3a2b6ac 不是
（7）x 4 ( x 2)( x 2) 不是
下列各题的因式分解有什么特点？
(1)3a2 a a(3a 1) (2)3a 6c 3(a 2c) (3)2(a b) x(a b) (a b)(2 x) 都提取各式中相同的因式
8.4 因式分解
第一课时
提公因式法分解因式
计算下列各式
（1）m(a+b+c) = ma+mb+mc
(2)(2a b)2 4a2 4ab b2
(3)(x 3y)(x 3y) x2 9 y2
上面各式特点： 左边：几个整式相乘 右边：一个上面各式反过来是否成立？
注意：1、符合因式分解的条件是，整式中的多 项式。 2、左边是一个多项式，右边化成几个整 式的积的形式

识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。

因式分解什么是因式分解？在代数学中，因式分解是指将一个多项式表达式写成两个或多个乘积的形式。

通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式，更好地理解和计算。

为什么要进行因式分解？因式分解有很多实际应用，尤其在代数学和求解方程问题中非常重要。

以下是因式分解的几个重要作用：1.简化计算：通过将多项式进行因式分解，我们可以将复杂的计算简化为一系列简单的乘法运算。

2.找到根：通过因式分解，我们可以将多项式等式转化为相等的乘法形式，从而更轻松地找到方程的解。

3.转化问题：将多项式进行因式分解，可以让问题转化为更容易解决的形式。

因式分解的基本方法公因式提取法公因式提取法是最常用的因式分解方法，它基于以下原则：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，则可以将这个因子提取出来。

下面是一些例子来解释这个方法。

例子1：将多项式2x^2 + 4x进行因式分解。

首先观察多项式的每一项，我们发现每一项都有2x这个因子，因此我们可以将2x提取出来：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)我们得到了因式分解的结果。

例子2：将多项式6a^3b^2 + 9ab^2进行因式分解。

观察多项式的每一项，我们发现每一项都有3ab^2这个因子，因此我们可以将3ab^2提取出来：6a^3b^2 + 9ab^2 = 3ab^2(2a^2 + 3)我们得到了因式分解的结果。

分组法分组法是另一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在四项及以上的情况。

下面是一个例子来解释这个方法。

例子3：将多项式x^3 + x^2 + x + 1进行因式分解。

这个多项式有四项，我们可以将其分为两组：(x^3 + x^2) + (x + 1)在每一组中，我们可以提取因子x^2和1：x^2(x + 1) + 1(x + 1)现在，我们可以再次提取公因子(x + 1)：(x + 1)(x^2 + 1)我们得到了因式分解的结果。

公式法公式法适用于特定的多项式形式，包括差平方和、和平方差、二次三项完全平方等。

人教版七年级数学上册方程化简及求值讲义1. 引言本讲义旨在介绍方程化简及求值的基本概念和方法。

在研究本讲义之前，你需要掌握一些基本的数学知识，包括初等代数、方程和运算符的概念。

2. 方程化简2.1 什么是方程化简方程化简是指将一个复杂的方程简化成更简单的形式，以便更容易理解和求解。

在方程化简的过程中，我们可以通过进行各种运算来消去方程中的冗余项，使方程更加简洁和清晰。

2.2 方程化简的方法2.2.1 合并同类项合并同类项是指将方程中的相同类别的项合并在一起，以简化方程表达式。

在合并同类项的过程中，我们可以根据数学运算法则进行加减运算，以消去冗余项。

2.2.2 移项变换移项变换是指将方程中的项从一边移到另一边，以使方程更加清晰和易于求解。

在移项变换的过程中，我们可以根据数学运算法则进行加减运算和乘除运算，以使方程达到所需的形式。

2.2.3 因式分解因式分解是指将方程中的项进行因式分解，以求得方程的根或简化方程形式。

在因式分解的过程中，我们可以利用二次项的因式分解公式和其他因式分解方法，将方程进行拆解和简化。

3. 方程求值3.1 什么是方程求值方程求值是指根据给定的数值代入方程中的变量，得到方程的解或确定方程的真假。

方程求值常用于验证方程的解是否正确或确定方程的可行解。

3.2 方程求值的步骤3.2.1 给定数值代入方程中的变量根据方程中的变量，选择适当的数值代入方程中。

注意要选择与问题相关的数值，并注意数值的范围和准确性。

3.2.2 进行运算求解方程将给定的数值代入方程中的变量，进行所需的运算，得到方程的解或确定方程的真假。

3.2.3 验证方程的解或判断方程的可行解将求得的解代入原方程中，验证方程的解是否满足方程的等式关系，或判断方程的可行解。

4. 总结通过研究本讲义，你应该对方程化简及求值有了基本的了解。

方程化简可以帮助我们简化复杂的方程，使其更容易理解和求解。

方程求值可以帮助我们验证方程的解的正确性，或确定方程的可行解。

因式分解涉及多次运算，强调 计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。

教学目标
重点、难点
考点及考试要求 教学内容
一、因式分解的意义 把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结：(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变 形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不 能再分解为止. 二、提公因式法 (1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成： ①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽.公因式可以是单项式，也可以是多项式。 练习： （1）2x2y－xy （2）6a2b3－9ab2 （3）x（a－b）＋y（b－a） （4）ax＋ay＋bx＋by
a 4 1 a 2 1 a 1a 1


4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解 x 2 4 xy 3 y 2 的因式，此题用 现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解.
x 2 4 xy 3 y 2 x 2 4 xy 3 y 2 y 2 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 y 2 x 2 y y 2 x 2 y y x 2 y y x y x 3 y
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）4x2－12x＋9
（4）16x4+24x2+9；

地区：上海教材：沪教版学生基本情况：上海地区七年级的学生，基础相对来说一般，学习成绩中等偏下，但是学生相对来说比较活跃，喜欢问问题，整体课堂可以保持一个很好的气氛，但是学生的思路相对来说比较死板，需要老师引导才可以解决问题。

讲义设计出发点：根据学生的一些基本情况，这份讲义也需要从最基础开始，让学生先对因式分解的整体有一个全面的理解，明白因式分解的意义何在。

接下来，从一些简单的题目入手，让学生理解因式分解的几种方法，再锻炼学生的独立思考能力，让学生能在稍微复杂多项式中找到方法从而进行因式分解。

知识与技能目标：1、使学生了解因式分解的意义。

2、知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。

过程与方法目标：1、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。

2、培养学生的观察能力和语言概括能力。

情感态度与价值观目标：1、通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。

2、让学生了解事物间的因果联系重点1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系．教学过程1、通过学过的公式，引入新课计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．学生提出问题：老师，这个要学的内容就是换个形式来写多项式，具体有什么用途啊？回答：这部分内容是一个基础型的内容，因式分解学好了之后在后面我们还要学到一元二次方程，因式分解在一元二次方程就会用的很频繁，方便我们来求解一元二次方程。

它在数学求根作图方面有很广泛的应用。

2、讲授新课1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．93－99能被100整除．因为993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．993－99还能被哪些正整数整除？（99，98，980，990，9702）从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．2．议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)3．做一做（1）计算下列各式：①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x＝( )( )；②m2－16＝( )( )；③ma＋mb＋mc＝( )( )；④y2－6y＋9＝( )2．⑤a3－a＝( )( )．能分析一下两个题中的形式变换吗？在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．4．想一想由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？总结一下：联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．5．例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．接下来，我们具体来了解一下因式分解常见的第一种方法：提公因式法：知识与技能目标：1、让学生了解多项式公因式的意义。

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因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
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代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
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因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。