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初三（上）数学课时练参考答案第二十二章 二次根式第1课时 二次根式（1）1、B2、C3、C4、D5、14.3;12;7;5;;43;95;3.02--πb a 6、a ≥0; ≤2 7、a ≥0 8、1 9、13 10、2 11、D 12、（1）X ≤43；（2）X ＜1；（3）X ≥21且X ≠2 13、m=2，n =-1，mn m =2 14、x=2,y=4,2x-y=015、∵ a-2009≥0 ∴ a ≥2009由题意有a a a =-+-20092008∴ 20082009=-a ∴ a-2009=20082 ∴ a-20082=2009第2课时 二次根式（2）1、C2、C3、8；4；24、a ，532-- 5、0；10 6、-4 7、)2)(2)(2();3)(3(2-++-+x x x x x8、D 9、1 10、6-x 11、12+a 12、(1)(x+1)(x-1)(x+2)(x-2) (2)(x-2-5)(x-2+5)=0 13、2a+2b+2c第3课时 二次根式的乘法1、（1）23 （2）9 (3) 8 (4) 3102、A3、B4、(1)4a （2）y x （3）y xy 345、C6、17、(1)2a b (2)3+2x8、（1）略 （2）1)1(1)1(1)1(1)1(22-++++=-+++n n n n n n 9、-2第4课时 积的算术平方根1、23；18；30；182；34；0.07；15；3122m ； 1442、a ≥0，且b ≥03、D4、（1）242b a （2）13 （3）120 5、C 6、（1）2； （2）54a 2b ； （3）m 4-n 47、（1）<（2）< 8、5第5课时 二次根式的除法（1）1、4，5，x 322、-1511 3、C 4、C 5、m=1或0,n=1或0 6、26;46;22 7、23;12-+ 8、231;13+-- 9、D 10、B 11、（1）-4x （2）y x 6 （3）xy x y222（4）xy 241（5）1 （6）2212、面积约为350，故投资为3500，约为872元。
第二章实数7 二次根式第1课时一、教学目标1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.二、教学重难点重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式化简为最简二次根式.难点：对二次根式的性质的探究.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计(1)如图①的画框为正方形，若面积为8 dm2,则边长为____dm；若面积为S m2，则边长为_____m．(2)如图②长方形的土地，若宽是长的35，面积为13 m2，则它的长为_____m．预设答案：(1)8；s；(2)65 3.教师活动：注意：a 可以是数，也可以是式. 二次根式的两个必备特征： ①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a ≥0. 【做一做】1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？()()23(1)18(2)9(3)0.2(4)0(5)(6)1(7)7.m m xy x y x --+异号；；；≤；，；；分析：答案：解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x 2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.2.(1) 使二次根式2m - 在实数范围内有意义的m 的取值范围是__________.解：由m -2≥0，得m ≥2.当m ≥2时，2m - 在实数范围内有意义. 答案：m ≥2.总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.(2) 使式子12-a 在实数范围内有意义的a的取值范围是_______.解：由 a -1≥0，得a ≥1.又∵1a - 为分母，10a -≠ ∴ ∵ a -1≠0 ，即 a ≠1a b=a ba a=b b根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证一下吧a b=a b(a≥教师强调：a，b必须都是非负数！商的算术平方根，等于算术平方根的商a a(a≥0，b＞=b b14中，根号内是整数，且不含有能开得尽7方的因数，分母中又不含根号，所以是最简二次根式.【归纳】将二次根式化成最简二次根式的方法：【课堂练习】a b⨯3）32=-⨯。
《二次根式》（第1课时）教学设计教材：2011版课程标准北师大版八年级(上)钱生来银川市第六中学一、教学内容解析1．内容二次根式与最简二次根式的概念，二次根式的性质以及二次根式的化简。
2．内容解析《二次根式》是北师大版八年级上册《第二章实数》的第7节，是在学习了勾股定理、算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等概念，会用根号表示数的平方根、立方根，了解了开方与乘方互为逆运算的基础上的进一步学习。
二次根式既是实数加减乘除等运算的需要，也是将来九年级学习锐角三角函数以及一元二次方程、二次函数等内容的重要基础。
在初中学段课程标准只要求学习根号下仅限于数的二次根式及其加减乘除四则运算，而不研究一般意义下的二次根式（根号下含字母），显然是在充实实数的学习，其核心是学习有无理数参与的实数加减乘除四则运算。
教材共为本节设计了三个课时，分别是：第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．本节课是第1课时，不仅是对实数的延续与扩充，还是为后继学习二次根式的四则运算奠定基础。
本课时的教学内容主要由概念性知识和程序性知识两部分构成。
对于最简二次根式的概念以及二次根式的性质等概念性知识教材都没有直接给出，而是让学生从一定数量的具体例子中通过观察、分析、归纳、概括后形成，从而让学生充分体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想。
化简二次根式的一般步骤是：把根号下大于1的带分数或小数化成假分数，把小于1的正小数化成真分数；被开方数是正整数的要因数分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、约分。
2.7.1二次根式教学目的知识与技能：1.理解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.过程与方法：在探究二次根式性质的根底上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.教学重难点【重点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.教学准备【老师准备】预设学习过程中学生会遇到的问题.【学生准备】复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.教学过程一、导入新课导入一:问题1：√5,√11,√7.2, √49,√(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25),121上述式子有什么共同特征?【问题解决】都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.二次根式的定义:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数.强调条件:a≥0.问题2：二次根式有哪些性质呢?这是我们本节课要解决的新问题.[设计意图]通过问题,回忆旧知识,为学习新知识打好根底.导入二:电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系r=√2Rℎ,其中R是地球半径,R≈6400 km.假设某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?【问题探究】由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=√2×6400×200.那么如何快速计算√2×6400×200呢?二、新知构建〔1〕活动探究【做一做】：(1)计算以下各式,你能得到什么猜测?√4×9=√4×√9=;√49=,√4√9= ; √2549= ,√25√49= .(2)根据上面的猜测,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进展交流.√6×7与√6×√7, √67与√6√7.问题1：观察上面的结果,你得出什么结论?问题2：从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?【问题解决】 √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0).积的算数平方根,等于算数平方根的积; 商的算数平方根,等于算数平方根的商.[设计意图] 最终归纳出√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0). 说明:公式中字母a ≥0,b ≥0(或b >0)这一条件是公式的一局部,不可忽略. 〔2〕例题讲解化简.(1)√81×64; (2)√25×6; (3) √59.〔解析〕直接运用两个公式√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0)进展计算. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6.(3) √59=√5√9=√53. 观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?[设计意图] 由于如今还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.例1的化简结果5√6,√53中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.化简.(1)√50; (2) √27; (3) 1√3.解:(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2. (2) √27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147.(3) √3=√3√3×√3=√33.[设计意图]例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵敏的化为最简二次根式.【议一议】(1)你是怎么发现√50的被开方数含有开得尽方的因是最简二次根式的?数的?你是怎么判断√147(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经历与体会?与同伴进展交流.策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现√50含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断√14是最简二次根式.7说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一局部移到了根号外面,详细来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数假设有开得尽方的因数,一般需要进展化简.[知识拓展]对于二次根式应注意以下几点:(1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“√〞.(2)在二次根式√a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成局部,不可省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,√a没有意义.(3)在二次根式√a中,被开方数a可以是数,也可以是代数式,如√2,√x-y(x≥y),√a2+1等都是二次根式.(4)二次根式√a(a≥0)是非负数a的算术平方根,即√a(a≥0)是非负数,也就是说,式子√a包含两个非负数:①被开方数a,即a≥0(这是使√a有意义的条件);②√a本身,√a≥0(这是由算术平方根的意义所决定的).√5的形式,也就是说,当根号前(5)书写二次根式时不能写成223的系数是带分数时,要改写成假分数,这和代数式的书写要求是一致的.(6)要使√ab有意义,那么被开方数ab≥0,因此a与b同号或至少有一个为零.(7)假如一个二次根式的被开方数中的因数或因式是完全平方数或完全平方式,那么可以利用性质√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)及√a2=a(a≥0)将这些因数(式)开出来,从而将二次根式化简.三、课堂总结掌握并会运用公式√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab =√a√b(a ≥0,b >0). 四、课堂练习1.化简.(1)√45; (2) √89; (3) √12516.解:(1)√45=√9×5=√9×√5=3×√5=3√5. (2) √89=√8√9=√4×23=√4×√23=2×√23=2√23. (3)√12516=√125√16=√25×54=√25×√54=5×√54=5√54. 2.以下式子中,属于最简二次根式的是 ( )A .√9B .√7C .√20D .√13解析:A .√9 =3,C .√20 = 2√5,D . √13= √33.应选B .3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,那么另一边长是多少? 解:当另一边为斜边时,其边长为√42+52=√41,当另一边为直角边时,其边长为√52-42=3.故边长为√41或3. 五、板书设计2.7.1 二次根式1.√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0,b >0). 2.最简二次根式. 例1 例2 六、布置作业 〔1〕、教材作业【必做题】教材第64页随堂练习. 【选做题】教材第65页习题2.9第3,4题. 〔2〕、课后作业【根底稳固】1.化简以下各式.(1)√4×36; (2)√75;(3) √12; (4)√12.2.化简√(-3)2的结果是 .3.假设√20n 是整数,那么正整数n 的最小值为 . 【才能提升】4.以下二次根式中, 已经化成最简二次根式的是 ( )A .√15B .√20C .2√2D .√1215.如下图,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影局部的面积. 【拓展探究】6.观察以下各式: √2−25= √85= √4×25=2 √25; √3−310= √2710= √9×310=3 √310……猜测 √5−526等于多少,并通过计算验证你的猜测.【答案与解析】1.解:(1)√4×36=√4×√36=2×6=12. (2)√75=√25×√3=5√3. (3) √12=√2√2×√2=√22. (4)√12=2√3=√32×√3×√3=√36. 2.3(解析:√(-3)2=3.)3.5(解析:√20n =√4×5×n ,所以n 的最小值为5.)4.C(解析:根据最简二次根式的定义可得.)5.解:由题意,得AB =2,BE =CD =√2,所以阴影局部的面积=BE ×(AB-CD )=√2·(2-√2)=2√2-2.6.解: √5−526=5√526.验证: √5−526= √12526=√25×526=5√526.教学反思本节课经历从详细实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法那么,使学生清楚新旧知识的区别和联络.本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法那么的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否根据算理正确地进展计算,能否确认结果的合理性等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进展运算.教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.教材习题答案随堂练习(教材第42页)解:(1)√32=√16×2=√16×√2=4√2. (2)√72=√36×2=√36×√2=6√2. (3)√127=√12×77×7=√4×21√72=2√217. (4)√1.5=√3 2=√64=√6√4=√62. (5)√5=√15=√525=√5√25=√55.习题2.9(教材第43页)1.解:(1)√9×49=√9×√49=3×7=21. (2)√16×7=√16×√7=4√7. (3)√1225=√4×3√25=2√35. (4)√27=√9×3=√9×√3=3√3. (5)√18=√9×2=√9×√2=3√2. (6)√313=√3×1313×13=√39√132=√3913. (7)√950=√18100=√18√100=3√210. (8)√2=√12=√22×2=√22.2.解:由勾股定理得另一条直角边的长=√152-102=√125=√25×5=√25×√5=5√5(cm).3.解:面积为8的正方形的边长为√8,面积为2的正方形的边长为√2.由图形可以看出面积为8的正方形的边长是面积为2的正方形的边长的2倍,所以有√8=2√2.4.解:如下图.线段AB的长等于√20,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=√AC2+BC2=√42+22=√20.素材如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.(1)假设被开方数是整数并且比拟大时,可用小学学过的“短除法〞先将被开方数分解成假设干个因数的乘积,两个一样的因数开出一个因数,如化简√1080,由于1080=2×2×2×3×3×3×5=22×32×2×3×5,所以√1080=√22×√32×√2×3×5=2×3×√30=6√30.(2)假设被开方数是分数,且分母是质数,那么利用分数的根本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简√313=√3√13=√3×√13√13×√13=√3913;假设被开方数是分数,且分母不是质数,那么先将分母分解因数,再考虑分子、分母同乘以几,如化简√950=√9√50=√9×√2√25×2×√2=3√210.观察以下各个二次根式:①√52-42,②√172-82,③√372-122,④√652-162……(1)求①,②,③,④的值;(2)仿照①,②,③,④写出第⑤个二次根式;(3)仿照①,②,③,④,⑤写出第n个二次根式,并化简.〔解析〕(1)根据二次根式的性质进展计算即可;(2)根据(1)中的规律写出第⑤个二次根式即可;(3)根据(1)中的规律,用字母表示第n个二次根式,并化简.解:(1)①原式=√9=3;②原式=√225=15;③原式=√1225=35;④原式=√3969=63.(2)第⑤个二次根式为√1012-202.(3)第n个二次根式为√(4n2+1)2-16n2(n≥1,且n为整数).√(4n2+1)2-16n2=√(4n2-4n+1)(4n2+4n+1)=√(2n-1)2(2n+1)2=(2n-1)(2n+1)(n≥1,且n为整数).。
