欧拉路径

欧拉路径貌似很多博客都喜欢⽤⼀笔画来引⼊欧拉路径，但像您这样的强者时⽆需那些繁琐的东西，我们直接进⼊正题。

定义：图中经过所有边恰好⼀次的路径叫做欧拉路径。

如果起点和终点⼀样，那它就是欧拉回路。

判定：判定当前图中是否存在欧拉路径其实⽐寻找更⿇烦显然，欧拉回路也是欧拉路径，但为了⽅便区分，下⽂判定中的欧拉路径特指起点和终点不同。

判定⽅法：⾸先，当且仅当这张图将有向边视为⽆向边时联通。

1. 有向图欧拉路径：图中恰好存在⼀个点（起点）出度⽐⼊度多1，恰好⼀个点（终点）⼊度⽐出度多1，剩下所有点⼊度等于出度。

2. 有向图欧拉回路：图中所有点⼊度等于出度（任⼀点都可以做起点和终点）。

3. ⽆向图欧拉路径：图中恰好有两个点的度数为奇数（起点和终点），其他所有点的度数为偶数。

4. ⽆向图欧拉回路：图中所有点的度数都为偶数（任⼀点都可以做起点和终点）。

寻找：算法⼀：Fluery 算法。

时间复杂度O(m2)，不常⽤。

算法⼆：Hierholzer 算法。

时间复杂度O(m)，常⽤。

只写 Hierholzer 算法，做法⾮常简单。

1. 从起点开始dfs，标记选了的边不能重复选，这⾥⽤类似Dinic的当前弧优化。

2. 当前点不存在出边时回退，并将当前点⼊栈P。

3. 当dfs结束时倒序输出栈P中的节点即可。

算法导论上似乎有该算法证明。

例题：题⽬保证联通，所以直接判断⼊度和出度即可。

要求字典序最⼩，那么每次都要选能到达的最⼩的点。

可以将边离线下来按v从⼤到⼩排序，然后依次插⼊到链式前向星⾥，这样可以保证每次选到的都是最⼩的。

当前弧优化不加复杂度就假了。

code:#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long#define in read()inline int read(){int p=0,f=1;char c=getchar();while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}return p*f;}const int N=1e5+5;const int M=2e5+5;int n,m;struct edge{int v,nxt;}e[M];inline void insert(int u,int v){e[++en].v=v;e[en].nxt=head[u];head[u]=en;}struct QWQ{int u,v;}E[M];inline bool cmp(QWQ a,QWQ b){return a.v>b.v;}int p[M],pn;void dfs(int u){for(int i=head[u];i;i=head[u]){int v=e[i].v;head[u]=e[i].nxt;dfs(v);}p[++pn]=u;}int flagin,flagout,flag;int ind[N],outd[N];int S=1;signed main(){n=in,m=in;for(int i=1;i<=m;i++)E[i].u=in,E[i].v=in,outd[E[i].u]++,ind[E[i].v]++;sort(E+1,E+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++)insert(E[i].u,E[i].v);for(int i=1;i<=n;i++){if(ind[i]!=outd[i])flag++;if(ind[i]==outd[i]+1)flagout++;if(ind[i]+1==outd[i])flagin++,S=i;}if(flag==0||(flag==2&&flagout==1&&flagin==1)){dfs(S);for(int i=pn;i>=1;i--)cout<<p[i]<<' ';}else cout<<"No";return 0;}练习：将每个字母视为点，单词视为边，就和上⾯差不多了，注意欧拉路径的起始点。

第十三章欧拉图与哈密顿图欧拉图产生的背景就是前面介绍的七桥问题。

1736年，瑞士数学家欧拉发表了图论的第一篇著名论文“哥尼斯堡七桥问题”。

欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确定七桥问题是不能解的。

下面给出有关定义及定理。

定义2－1.1 设是无向连通图或有向弱连通图。

通过G的每条边一次且仅一次的路径(循环)称为G的欧拉路径(循环)。

具有欧拉循环的图称为欧拉图(规定平凡图是欧拉图)。

例2－1.1图2－1.1，有欧拉路径，，无欧拉路径和欧拉循环，，是欧拉图。

如何判断一个无向连通图或有向弱连通图是否为欧拉图？是否有欧拉路径？定理2－1.1 设是无向连通图，则1）当且仅当G的每个顶点都是偶顶点时，G才是欧拉图。

2）当且仅当G除两个顶点是奇顶点外，其他顶点都是偶顶点时，G才有欧拉路径。

证明 1)设是欧拉图：当时，G只含一个顶点，这个顶点显然是偶顶点。

当时，由所给条件知有G的欧拉循环，因为G的每条边在中出现且仅出现一次，故必通过G的每个顶点，且通过顶点时，此顶点的度就增加2，从而G的每个顶点都是偶顶点。

设G的每个顶点都是偶顶点：当时，G显然是欧拉图。

当时，由所给条件，G中必有循环，故也必有基本循环，从G中去掉各边后得生成子图，中每个顶点仍为偶顶点。

若是零图，则就是G的欧拉循环。

即G是欧拉图；若不是零图，即还有边，则必有与有一公共顶点的基本循环。

由于两条有一公共顶点的简单循环通过这个公共顶点可合并成一条简单循环，故和可合并成一条简单循环。

再从中去掉各边后得；最后得出一条通过G每条边的简单循环，这就是G的欧拉循环，故G是欧拉图。

2)设和是G有欧拉路径当且仅当有欧拉循环(即是欧拉图)，故由1)即得结论。

★用上面定理就能判断一个无向连通图是否为欧拉图，是否有欧拉路径。

例2－1.2 对于图2－1.2图2－1.2根据定理2－1.1中1)的结论知是欧拉图。

还可由其证明方法具体找出一条欧拉循环。

先将和合并成简单循环，再将和合并成简单循环，这就是G的一条欧拉循环。

七桥问题的通用规则七桥问题，也被称为哥尼斯堡七桥问题，是一道著名的数学难题。

该问题最早由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，并成为图论的开端之一。

七桥问题描述了一个位于哥尼斯堡的岛屿上的一系列桥梁以及这些桥梁连接的方式。

解决这个问题需要运用到图论中的一些基本原理和规则。

在七桥问题中，岛屿上有一些桥梁，而我们的目标是从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。

然而，这个问题的挑战在于，岛屿上的桥梁连接方式并不是一个简单的环，而是一个复杂的图。

因此，我们需要运用一些通用规则来解决这个问题。

首先，我们需要了解一些图论的基本概念。

在图论中，桥梁被表示为图中的边，而岛屿则被表示为图中的顶点。

七桥问题中的桥梁连接方式可以被看作是一个图，我们需要将其转化为数学模型，以便进行分析和解决。

在这个过程中，我们可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示桥梁和岛屿之间的连接关系。

接下来，我们可以运用欧拉路径的概念来解决七桥问题。

欧拉路径是指一条路径，该路径恰好经过图中的每一条边一次。

对于七桥问题，我们的目标是找到一条欧拉路径，使得我们可以从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。

根据欧拉路径的特性，我们可以得出以下的通用规则。

首先，欧拉路径存在的条件是：图中所有顶点的度数为偶数，或者恰好有两个顶点的度数为奇数，其余顶点的度数为偶数。

度数是指与顶点相连的边的数量。

因此，在七桥问题中，如果岛屿上的每一座桥的连接点的度数都是偶数，或者有且只有两座桥的连接点的度数为奇数，我们就可以找到一条欧拉路径。

其次，如果图中存在度数为奇数的顶点，那么我们的欧拉路径的起点和终点一定是这些顶点中的一个。

因为每条桥梁的连接点度数为偶数，除了起点和终点外，其余所有顶点的度数一定是偶数，无法成为欧拉路径的起点和终点。

因此，在七桥问题中，如果岛屿上存在两座或更多的桥梁连接点的度数为奇数，我们就可以从其中一个度数为奇数的连接点出发，找到一条欧拉路径。

欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。

欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。

欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。

Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。

2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。

3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。

4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。

Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。

Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。

2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。

3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。

欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。

通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。

欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。

不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。

通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。

希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。

第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。

欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。

在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。

.欧拉路径（欧拉回路）相关定义：若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。

若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。

具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

判断图是否为欧拉图：无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。

无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。

有向图为欧拉图，当且仅当其基图（忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图）连通，且所有顶点的入度等于出度。

有向图为半欧拉图，当且仅当其基图连通，且有且仅有一个顶点的入度比出度大1、有且仅有一个顶点的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。

欧拉回路（路径）的算法：有向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。

第二步，如果存在欧拉路径，从入度比出度小1的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。

第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。

第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。

第五步，标记e(u,v)，DFS点v。

第六步，边e(u,v)入栈。

第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。

无向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。

第二步，如果存在欧拉路径，从度为奇数的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。

第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。

第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。

第五步，标记e(u,v)及它的反向边，DFS点v。

第六步，边e(u,v)入栈。

第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。

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欧拉路径的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊欧拉路径。

啥是欧拉路径呢？这就好比你去一个大迷宫里探险。

你想想啊，迷宫里有好多好多的路，弯弯曲曲，错综复杂。

欧拉路径呢，就是能让你从一个点出发，沿着路一直走，不重复地经过每一条边，最后还能回到出发点。

这是不是挺神奇的呀！就好像你去逛一个特别大的公园，你想把公园里的每一条小路都走一遍，而且还不想走重复的路，这就是在找欧拉路径呢！要是这个公园设计得好，那可能就有这样一条完美的路线让你走。

那欧拉路径有啥用呢？哎呀，用处可多啦！比如说在物流配送的时候，快递小哥要送好多地方，怎么规划路线能最快最省事儿呢？这时候如果能找到欧拉路径，那可就太棒啦！再比如说，你玩游戏的时候，有些游戏关卡就像个大迷宫，你得找到一条最合适的路才能过关，这不就是在找欧拉路径嘛！还有啊，城市规划也能用到呢！怎么设计街道，让大家出行更方便，也可以从欧拉路径里找找灵感呀！那怎么判断一个图有没有欧拉路径呢？这可得好好琢磨琢磨。

如果一个图里所有的点的度数都是偶数，那它肯定有欧拉回路，也就是从一个点出发能回到这个点的欧拉路径。

要是只有两个点的度数是奇数，其他都是偶数，那也有欧拉路径，只不过起点和终点是那两个奇数度数的点。

你说这是不是很有意思呀？就像解谜题一样！你得仔细观察，认真思考，才能找到那条神奇的欧拉路径。

大家可别小瞧了这欧拉路径，它虽然听起来好像只是个数学概念，但在实际生活中用处可大着呢！它就像一把钥匙，可以帮我们打开很多难题的大门。

所以啊，朋友们，以后再遇到什么复杂的路线问题，或者玩迷宫游戏的时候，就想想欧拉路径，说不定就能找到解决问题的好办法啦！这就是欧拉路径，一个神奇又有趣的数学概念，能给我们的生活带来很多惊喜和帮助呢！。

欧拉螺旋算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉螺旋算法，又称为欧拉回路算法，是一种图论中用于寻找一个图中包含所有边并且每条边恰好访问一次的一条路径的算法。

这个算法由瑞士数学家欧拉在18世纪首先提出，被认为是图论领域的经典问题之一。

欧拉螺旋算法的应用范围非常广泛，包括网络路由、DNA测序、计算机网络、数据传输等领域。

欧拉螺旋算法的基本思想是从一个图中的某一个顶点出发，沿着边走到另一个未访问的顶点，直到无法再继续前进为止。

然后根据已经访问的路径，找到一个环路，将这个环路加入到已访问的路径中，直到所有的边都被访问过为止。

这个算法的核心是不停地寻找环路，将环路衔接到已有路径中，直到所有的边都被访问过。

欧拉螺旋算法的实现过程中，主要通过以下步骤来实现：1. 选择一个起始顶点作为当前顶点，并将其作为路径的第一个顶点。

2. 从当前顶点出发，选择一个未访问的相邻顶点作为下一个顶点，并将其加入路径中。

3. 如果当前顶点没有未访问的相邻顶点，则回退到上一个顶点，直到找到一个有未访问相邻顶点的顶点。

4. 如果回到起始顶点之前，所有的边都被访问过了，则算法结束；否则，从某一个已经访问的顶点开始查找环路，并将该环路衔接到已有路径中。

5. 重复以上步骤，直到所有的边都被访问过。

欧拉螺旋算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n为顶点数，m为边数。

这个算法在实际应用中表现出较高的效率和稳定性，因此被广泛应用于各个领域。

在网络路由中，欧拉螺旋算法可以帮助路由器寻找一条包含所有节点的最短路径，以提高网络通信的效率和可靠性。

在DNA测序中，欧拉螺旋算法可以帮助科学家快速地确定DNA序列中的基因排列顺序，加快疾病的检测和治疗过程。

在计算机网络和数据传输中，欧拉螺旋算法可以帮助提高数据包的传输速度和准确性，保证数据的安全性和可靠性。

第二篇示例：欧拉螺旋算法是一种用于解决大规模图形问题的高效算法，它由瑞士数学家欧拉在18世纪发明。

这种算法可以用来寻找图形中的欧拉回路或者哈密顿回路，是图论中非常重要的算法之一。

欧拉路径计数
欧拉路径计数是图论中的一个概念，它涉及到欧拉路径和欧拉回路。

欧拉路径是指在一个图中，从一个点出发，不重不漏地经过图中每一条边的一条路径（允许多次经过同一个点）。

如果此路径的起点和终点相同，则称其为一条欧拉回路。

在有向图中，欧拉路径的计数条件是：存在一个点出度比入度多1，另一个点入度比出度多1，其余节点的出度等于入度。

在无向图中，欧拉路径的计数条件是：存在两个点度数是奇数，其余节点的度数为偶数。

求解欧拉路径的算法有Hierholzer算法，这是一种基于深度优先搜索（DFS）的算法。

具体流程如下：
1. 开始递归函数DFS(x)，循环寻找与x相连的边。

2. 在DFS过程中，遇到已访问过的点u时，将当前点的出边转移到u点的入边。

3. 每次递归结束后，将当前点的出边转移到下一个未访问过的邻接点。

通过这个算法，可以生成无向图的欧拉路径。

对于有向图，可以通过将有向边视为无向边的方法，先求解无向图的欧拉路径，然后再转换回有向边的路径。

在实际应用中，欧拉路径计数问题主要涉及到无向图和有向图的遍历问题，可以通过以上方法求解。

此外，还可以利用矩阵、队列等数据结构优化算法，提高求解效率。

欧拉回路和哈密尔顿回路的区别欧拉回路和哈密尔顿回路是地理学中两个重要术语。

它们之间的最大区别是，欧拉回路仅由单一的路径组成（可以到达不同的地点），而哈密尔顿回路由多条路径组成，可以到达多个不同的地点。

欧拉回路是一条路径，其顶点只有一次访问，而且路径从起点返回到起点。

它不需要回到起点，即使它经过几次分叉，也可以继续前进。

只要它没有访问任何没有访问过的顶点，就算是欧拉回路。

哈密尔顿回路是一条路径，依次经过图中的所有顶点，然后从最后一个顶点回到起点。

它的路径可以多次回到起点，但它不能有分叉，也不能有重复的路径。

哈密尔顿回路一定是有改变的，因为它不可能是一条完全相同的路径。

有时候，哈密尔顿回路也被称为“环”，因为它是一个循环，从一个点到另一个点再返回到原点。

同样，欧拉回路也被称为“链”，因为它只有一条路径，从起点到终点，没有可以返回的路径。

欧拉回路和哈密尔顿回路都有许多应用，但它们之间的最大区别是欧拉路线的变化，而哈密尔顿回路的路线必须保持不变。

欧拉路线在旅行礼节、政治行为和历史学中被广泛使用。

它可以用来表示政治行动和仪式，例如皇家访问，以及一种“旅行礼节”，即以说明方式来表达客观事实。

哈密尔顿回路用于表示精准的路径规划，例如，将信息从一个地方传输到另一个地方，或者用来解决复杂问题，如物流和交通管理等。

此外，哈密尔顿回路也可以用来优化高维空间的搜索，如在通讯中查找最优路径，在航空和海运中查找最短距离，即最优路径。

总之，欧拉回路和哈密尔顿回路之间的最大区别是欧拉路线的变化和不变，而哈密尔顿回路的路线必须保持不变。

欧拉路线用于表达概念，而哈密尔顿路线用于精确的路径规划。