正四面体内切球和外接球好用PPT课件

②有一个面是直角三角形，且一条棱垂直该面的三棱锥的外接球 可以补成长方体的外接球
③对棱两两相等的三棱锥的外接球可以补成长方体的外接球（所有 的棱为长方体的面对角线）
④有一侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可以补成直三棱柱。
Eg1(1)(2011.辽高考宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点，
本例(3)中，改为∠BAC＝60°，其他条件不变，如何求？若 ∠BAC＝90°呢？
解析：若∠BAC＝60°，如图，设 O1，O2 分 别为上、下底面的中心，且球心 O 为 O1O2 的中 点，得 AD＝ 23×2＝ 3，AO2＝23AD＝233，OO2 ＝1.设球的半径为 R，则 R2＝AO2＝AO22＋OO22＝43＋1＝73.
AB= 3 ， ASC BSC 30, 则
C 棱锥 S—ABC 的体积为（ ） A 3 3 B 2 3 C 3
D1
(2)(2012 课标全国)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥 的体积为
基
础
知
识
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h＝13π(r21 ＋r22＋r1r2)h
① 圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角： r • 2
l
② 圆台的侧面展开图的扇环的圆心角： r2 r1 • 2
l
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S 侧＝Ch′
V＝Sh
S 侧＝12Ch′(h′为 斜高)
V＝13Sh
S 侧＝12(C＋
V＝13(S 上＋S 下＋
C′)h′
S上S下)h
S 球面＝4πR2
V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形； 它们的表面积等于侧面积与底面积之和．

用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心组卷网
性质2:球心和截面圆心的连线 垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系: r R2 d 2
三、补形法
类型一、棱两两垂直
例1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，则其外接球的表面积是
一、正方体的内切球
2R a
o
切点：各个面的中心 球心：正方体的中心 直径：相对两个面中心连线方体的棱与球相切（棱切球）
2R 2 a
切点：各棱的中点 球心：正方体的中心 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
三、 正方体的外接球
2R 3 a 球直径等于正方体的（体）对角线
8.对传统生物学过分强调个体行为和 动物本 能的观 点进行 了反思 ，也对 人类盲 目自大 、不能 充分认 识自身 生存危 机作出 了警示 。
9. 人类虽然最终脱颖而出，主宰了这 个世界 ，但人 类的行 为方式 还具有 和其他 社会性 生物相 类似的 特点， 还需要 联合， 需要团 结，才 能源源 不断地 产生智 慧，克 服自身 发展面 临的种 种困境 ，推动 社会进 步。
6.以及作为群体出现时所表现的巨大 力量和 智慧， 从而得 出这样 的结论 ：人类 的社会 行为与 生物的 社会行 为有极 大的共 性，并 非水火 不容， 而是可 以互为 比照的 。
7.很显然，作者的目的不是为了证明 其他生 物比人 类更高 明，也 不只是 为我们 提供生 物交流 技术方 面的有 趣知识 ，更是 以一个 医学家 、生物 学家的 睿智和 敏锐的 洞察力.
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4

用一个平面去截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心组卷网
性质2:球心和截面圆心的连线 垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系: r R2 d 2
三、补形法
类型一、棱两两垂直
例1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，则其外接球的表面积是
感谢观看，欢迎指导！
一、正方体的内切球
2R a
o
切点：各个面的中心 球心：正方体的中心 直径：相对两个面中心连线
球的直径等于正方体棱长。
二、正方体的棱与球相切（棱切球）
2R 2 a
切点：各棱的中点 球心：正方体的中心 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
三、 正方体的外接球
2R 3 a 球直径等于正方体的（体）对角线
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
h
a2 ( 3 a)2 6 a
3
3
r 6a 12
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。

三棱锥P − ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
P
P
P
P
O
O
O
O
C
C
C
C
A
O1
D
A
O1
B
A
O1
A
O1
B
B
B
P
P
P
图6
图7-1
图7-2
图8
A
O2 B
B C
D
O
A O2 O
A C
O2 D
B O
图8-1
图8-2
图8-3
题设：如图 6,7,8,P的射影是 ABC的外心 三棱锥P−ABC的三条侧棱相等 三棱锥P − ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
立体几何的内切球问题
类型一、椎体的内切球
即：
分割法 （等体积法）
1.分割法（等体积法）：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为
R
3V S
.
1.分割法（等体积法）：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为
R
3V S
.
PS
O
A
E B
H 图8-2
G
D
FM
C
1.分割法（等体积法）：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为
R
3V S
.
方法：
R 3V
即：分割法（等体积法）：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为 S .
2.截面法：构造三角形利用相似比和勾股定理
• 椎体的内切球
有关内切球的计算，往往可以做出球的一个大圆，化“球” 为“圆”来解决问 题，把空间问题转化为平面问题。对于一般棱锥，内切球的半径往往用等体积 法来确定。类似求三角形内接圆的半径问题（等面积法）。

A1
C1
C1
B1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表 面积。
D C B D1 A1
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
A
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
C
C1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A O D1 A1
C 对角面
B
ALeabharlann CODA D1 A1 B1 O B
C
C1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 cm3. 这个球的体积为＿＿＿ 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 3 4 5 3 125 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
变式1:把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
正方体的内切球
正方体的内切球的直径是棱长
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。

正三 角形
正四 面体
1.又称“球的外切正方体”； 2.正方体的六个面都在球面上都与球面相切；
3.球的直径等于正方体的棱长； 2R a
4.长方体六个面都相切的球；
1.又称“球的内接三棱锥”； 2.三菱锥的四个顶点都在球面上； 3.外接球的球心到各个顶点的距离相等； 即 OP OA OB OC R 4.多面体外接球球心确定：①任作两个面的外心（直角三角形外心 为斜边中点）；②过两外接圆心分别做对应平面的垂线；③两垂线 必交于一点；即该点为外接球球心。
1.又称“等边三角形”，四心合一；
2. AO BO CO 2 ； OD OE OF 1
3.高 h AD 3 a ； 面积 S 3 a2
2
4
4.内切圆半径 r OD 3 a ，外接圆半径 R AO 3 a
6
3
1.斜高 DE 3 a ，正高 DM DE2 EM 2 6 a ；
为立体图形的内切球。但是要注意，不是所有立体图形都有内切球，例如长方体就没有。
其中，内切球半径的求法，正方体的内切球的直径就是棱长，即 a 2R ;
1、三棱锥模型：V
1 3
(S1
S2
S3
S4)r
r
S1
3V S2 S3
S4
2、多面体模型：V
1 3 (S1
S2
Sn )r
r
S1
3V S2 Sn
1、在三棱锥
中,
平面
，
，
，
,则此三棱锥外
接球的体积为__________
2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________
3、在三棱锥
中,
平面

解题小结:
(1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22.
(2) 注意扩大与扩大到的区别.
(3) 解这类问题的关键:找到变化前 后半径的大小关系.
例3. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3， 6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，求这个 球的表面积。
例4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面 积分别为49πcm²和400πcm²,求球的表面积。
若将“球心同侧”这个条件去掉，又如何？
O₂
A
O₁
B
O
题组二:
1、一个四面体的所有2的棱都
一球为面上，，则四此个球顶的点表在面同积
（ ） A 3л
B 4л C
3 3
D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一 切球。与求四球个的面表都面相积。
1、一个四面体的所有的2 棱都
一球为面上，，则四此个球顶的点表在A面同积
的外接球，此时球的直径
为 3，
D
S球 =4 (
3 )2 2
3 ,
选A
A
C1 B1
C B
2、若正四体的棱长都为6，内有一
切球，与求四球个的面表都面相积。
解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三
角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截
P
成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，
R2 2 ( 3
2 R)2,解得R 3
3 2
, 所以S球
4
R2
3 .
1、一个四面体的所有的2 棱都 一 （A为球3л面）上，B则四4л 此个C 球顶的点表在3 面同3 积 D 6л
解法2 构造棱长为1的正 方体，如图。则A1、C1、B、D

几何体内切球与外接球全解
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
46ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子

∴正三棱锥 − 的三条侧棱两两互相垂直
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球
其直径为 =


=
1
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
=
1
2 + 2 + 2 =
2

1




2 + 2 + 2
半径为
6
2
4
球 = ×








找三条两两垂直的线段，直接用公式 2
即2 = 2 + 2 + 2 ，求出

2


= 2 + 2 + 2 ，


例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的
表面积是( C )
B. 20
A.16
C. 24
D. 32
= 2 ℎ = 16
则该四面体的外接球的表面积为( D )
A. 11
B. 7




1


C.
10

3
D.
40

3
在
��
2 = 2 + 2 − 2 ⋅ ⋅ cos120∘

=7
= 7
中
的外接球直径为
7 2 7

=
2 =
=
sin∠
3
3
2
∵ ⊥平面 ∴ ⊥ ∴ ∆是直角三角形
是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信 息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现，
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、 民生”三民主义，成为以后辛亥革命 的
指导思想。 (2)三民主义没有明确提出反帝要求，也 没 有提出废除封建土地制度，是一个 不彻 底的资产阶级革命纲领。
报先后发明。
(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推 动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中 华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化

？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。
如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
人 教A版高 中数学 必修球 的接切 问题， 内切球 ，棱切 球，外 接球， 正四面 体ppt 演讲教 学
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三、补形法
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三、 正方体的外接球
2R 3 a 球直径等于正方体的（体）对角线
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长方体与球
一、长方体的外接球
二、构造直角三角形
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球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
用一个平面去截球面， 截线是圆。
R＝ 2 a 4
正四面体的棱切球就是正方体的内切球
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正方体的内切球
几个切点？ 切点在什么 位置？
正方体的外接球
求棱长为a的正四面体的高.
P
PO 6 a 3
A
CБайду номын сангаас
D
O
B
典例精析
1、若球O有一棱长为a
球
的内接正四面体，则球
的
组 合
的半径为__________.
体
D
法一：
C
4
3
B
A
法二、
R 6a 4
A●
B ●
R ●O 1
·D ●O M ●
●
C
3、若正四体的棱长都为a，内有一球与四个面都相 切，求球的半径.
VOABC 13SABCOO1,
E
A
O
所以PO1 4r
C
D
O1
r 6a
12
B
求棱长为a的正四面体的外接球和它 的内切球的体积之比
D
O
A
H
B
R 6a 4
6
C
r a 12
典例精析
在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，
A
钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条
侧棱和高作截面，正确的截面图形是（
）
B
C
解法1：球被截成的大圆与DP、 DC相切，连结EO，设球半径为r，P
由 RtPEO ∽ RtPO1D
r 6a 12
E
A
O
C
D
O1
B
3、若正四体的棱长都为a，内有一球与四个面都相切，求 球的半径
解法2：连结OA、OB、OC、
OP，那么
P
VPABCVOPABVOPBCVOPCAVOABC

OP，那么
P
VPABC VOPAB VOPBC VOPCA VOABC
4VOABC
因VP ABC
1 3
SABC
PO1,
1 VOABC 3 SABC OO1,
E
A
O
所以PO1 4r
C
D
O1
r内
6 12
a
B
若正四面体的棱长为a，则
6 R外 4 a
r内
6a 12
R外 3r内
R外
3h 4
B、3R 2
C、2 R 2
D、 2 R 2
●D
M
●
C
3、若正四体的棱长都为a，内有一球与四个面都相
切，求球的半径.
解法1：球被截成的大圆与DP、DC 相切，连结EO，设球半径为r， P
由 RtPEO ∽ RtPO1D
E
A
O
r内
6 12
a
C
D
O1
B
3、若正四体的棱长都为a，内有一球与四个面都相切， 求球的半径
解6a 3
典例精析
1、在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球， 钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条 侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
B
A
B
C
D
考点练习
3、自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，
PC，球的半径为R，则PA2+PB2+PC2=（ ）
A A、4 R 2
正方体的内切球 正方体的外接球
几个切点？切点在什么位置？
求棱长为a的正四面体的高.
P
h po
6 aA
C
3
D
O

内切球与外接球
10
内切球与外接球
内切球与外接球
11
内切球与外接球
内切球与外接球
12
内切球与外接球
内切球与外接球
13
内切球与外接球
内切球与外接球
14
内切内切球与外接球
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内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
内切球与外接球
6
内切球与外接球
内切球与外接球
7
内切球与外接球
内切球与外接球
8
内切球与外接球
内切球与外接球
9
内切球与外接球