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图像退化的数学模型 1.线性位移不变成像系统图像退化模型
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
g(x,y)—退化图像
f(x,y)--理想图像
h(x,y)--点扩散函数
n(x,y)
n(x,y)--加性噪声
f(x,y)
第五章 图像复原与重建
H
降质系统 12
g(x,y)
2020年9月19日11时43分
第五章 图像复原与重建
h(i)
1 ,if L
L 2
i
L 2
0,
其他
(3). 大气湍流造成的图像降质
这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光 时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：
h(i,
j)
K
exp(
i2
2
j2
2
)
式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位 值，σ2可以决定模糊的程度。
找退化原因→建立退化模型→反向推演→ 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程 的先验知识所掌握的精确程度，体现在建立的退 化模型是否合适。
4
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而 是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果 。因此，图像增强可以不顾增强后的图像是 否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退 化的机制和过程等先验知识，据此找出一种 相应的逆处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再 作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。
像，其方法是添加零。即：
f (x, y) fe (x, y) 0
0 x A 1 0 y B 1
其它
h(x, y) he (x, y) 0
0 x C 1 0 y D 1
其它
第五章 图像复原与重建
M A C 1, N B D 1
把周期延拓的fe(x,y)和he(x,y)作为二维周期函数来处理，即在x和y方向上，周 期分别为M和N，则由此得到离散的退化模型为两函数的卷积：
因此还有
f (x , y ) f (x, y) (x , y )
二维线性位移不变系统 如果对二维函数施加运算T[·] ，满足
⑴
T f1x, y f2x, y T f1x, yT f2x, y
⑵
Taf x, y aT f x, y
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统 ，称为二维线性系统。
9
当输入为单位脉冲δ(x ， y)时，系统的输出便称为
脉冲响应，用h (x ， y)表示。在图像处理中，它便是 对点源的响应，称为点扩散函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位，即 当输入为δ（x –α， y –β）时，如果输出为h（x –α
， y –β），则称此系统为位移不变系统。
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f（x ， y） ，输出为g (x ， y)，系统加于输入的线性运算为T[ • ]，则有
g
(
x,
y
)
T
f
(
x,
y)
T
f (, ) (x , y )dd
简记为
线性
f (, )T x , y dd
移不变
f , hx , y dd
g(x, y) f (x, y) h(x, y)
上式表明，线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系 统脉冲响应（点扩散函数）的卷积。
因此， 。
H
为分块循环矩阵，分块
Hj
中元素的第二个下标也是按循环方式变化的
于是，二维离散的降质模型化为：
gHf n
解决降质的问题化为求解线性方程组的问题。可以用线性代数和数值分析的方法 进行处理。
f H 1 [g n]
由于h为循环矩阵，有可能进行对角化处理，简化求解。
第五章 图像复原与重建
5.2 图像复原方法
的任意元素Hj是由
H0 H1 H .H..2 H M 1
H M 1 H0 H1 ... HM2
HM2 H M 1 H0 ... HM3
... H1
...
H
2
... ...
H3 ...
... H0 M×M个分块
其子块：
he ( j,0) he ( j,1)
he ( j, N 1) he ( j, N 2) ... he ( j,1)
它的一个重要特性就是采样特性。即
f (x, y) (x , y )dxdy f (, )
当α=β=0时
f (0,0) f (x, y) (x, y)dxdy
它的另一个重要特性就是位移性。
f (x, y)
f (, ) (x , y )dd
用卷积符号 * 表示为
f (x, y) f (x, y) (x, y)
J ( fˆ fˆ
)
2QT Qfˆ
2H
T
(g
Hfˆ )
0
解得： fˆ (H T H QT Q)1 H T g
其中γ=1/λ。这是求有约束最小二乘复原图 像的通用方程式。
第五章 图像复原与重建
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通过指定不同的Q,可以达到不同的复原图像。下面便 利用通用方程式给出几种具体恢复方法。 (1)能量约束恢复 若取线性运算 Q =I 则得
对向量求导的两个性质：
设a和b为两个列向量，[A]为对称矩阵，J 为一标量 则：
(1) 若 J ＝ aTb = bTa， 则：
(2) 若 J ＝ aTA a， 则：
将上述性质用于
对 求偏导，有下面结果：
第五章 图像复原与重建
因此：
向量
性质 1 性质 1
性质 2
于是求出：
第五章 图像复原与重建
若设 M＝N， 即 H 为方阵，并设H－1存在，则：
●典型的降质原因
(1). 光学衍射降质的H(u,v)
这是由于相机聚焦不准确引起的，虽然不聚焦由许多参数决 定，如相机的焦距、相机孔的大小、形状、物体和相机之间 的距离等。
模糊算子: 相当于一个低通滤波器，因此当模糊算子作用于原始图像时，会引起图像中边缘 和轮廓的模糊。7×7均匀二维模糊算子作用于图像Camera的结果如下图所示：
上近似于f,即要使噪声项的范数尽可能小,也就是使
n2
g Hfˆ
2
min
把这一问题等效地看作为求准则函数
J ( fˆ ) g Hfˆ 2 fˆ 关于 最小的问题
第五章 图像复原与重建
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根据范数定义： 因此可将图像复原问题看作是对 求下式的最小值：
为此通过J 对 求偏导数，并将结果设为零而达到。
第五章 图像复原与重建
5.1 图像退化
5.1.1 图像的退化 图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程中
，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像 的质量变坏。
图像复原就是要尽可能恢复退化图像的本来面目 ，它是沿图像退化的逆过程进行处理。
典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立 一个退化模型，以此模型为基础，采用各种逆退 化处理方法进行恢复，得到质量改善的图像。图 像复原过程如下：
一.代数复原方法
图像复原的目的是在假设具备有关g、h和n的 某些知识的情况下，寻求估计原图像f的某些 方法。本部分讨论在均方误差最小意义下， 原图像f的最佳估计，
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1. 无约束复原
由g=Hf+n式可得退化模型中的噪声项为
n g Hf
fˆ n—未知，有意义的准则函数是寻找一个 使得在最小二乘意义
数字图像处理
图像复原与重建
第五章
讲解内容
1. 图像恢复的概念、模型与方法 2. 图像几何校正和几何变换 3.图像重建
目的
1. 熟悉位移不变系统图像退化模型，掌握 频率域逆滤波恢复方法；
2. 熟悉图像几何校正和几何变换的方法 与基本步骤，掌握图像灰度内插方法及其 特点
3.了解图像重建的基本概念与方法
he ( j,0)
he ( j, N 1) ... he ( j,2)
H j .h.e. ( j,2)
he ( j,1) ...
he ( j,0) ...
... ...
he ...
(
j,3)
第五章 图像复原与he重(建j, N 1) he ( j, N 2) he ( j, N 3) ... he ( j,0) N×N 维
5.1.2 系统的描述 点源的概念 事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成
，每一个像素都可以看作为一个点源成像，因此，一幅图像 也可以看成由无穷多点源形成的。
6
在数学上，点源可以用狄拉克δ函数来表示。二 维δ函数可定义为
x 0, y 0
(x, y) 0
其它
且满足
x, ydxdy x, ydxdy 1
f=
fe(1,0) fe…(1,1)
fe(1,N-1)
…
ge(0,N-1)
g=
ge(1,0)
g…e(1,1)
ge(1,N-1)
…
从而使 g=H•f
fe(i,N-1)
…
ge(i,N-1)
…
第五章 图像复原与fe重(M建 -1,N-1) M×N行 ge(M-1,N-1) M×N行
则 H 为 MN×MN 阶的分块矩阵，这一矩阵为M×M分块循环阵。H h(x,y)第j行循环构成，且Hj为N×N 循环阵。
第五章 图像复原与重建
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为便于讨论和求解，用堆叠方式将二维信号表为一维向量，即：
