2018暑假初一升初二数学

ADB C E FOA DEB CF平移型对称型第 五 讲 全等三角形【知识要点】1．全等三角形的定义：（1）操作方式：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； （2）几何描述：大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形；（几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状）2．全等三角形的几何表示：如图，△ABC ≌△DEF ；（注意对应点、对应边、对应角） 3．全等的性质：（求证线段相等、求证角相等的常规思维方法） 性质1：全等三角形对应边相等； 性质2：全等三角形对应角相等； 几何语言 ∵△ABC ≌△DEF∴AB=DE ；AC=DF ，BC=EF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F. 性质3：全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等 性质4：全等三角形的周长、面积相等 4.三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1．如图，△OAB ≌△OCD ，AB ∥EF ，求证：CD ∥EF.巩固练习：已知△ABC ≌△DEF ，且∠B ＝700，∠F －∠D ＝600，求△DEF 各内角的度数。

例2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D，BE⊥AC于点E，AD、BE交于点F，△ADC≌△BDF.（1）∠C=50°，求∠ABE的度数.（2）若去掉原题条件“AD⊥BC于点 D，BE⊥AC于点E”，仅保持“△ADC≌△BDF”不变，试问：你能证明：“AD⊥BC于点 D，BE⊥AC”吗？巩固练习： 1．如图，△ABC≌△ADE，延长边BC交DA于点F，交DE于点G.（1）求证：∠DGB=∠CAE；（2）若∠ACB=105°，∠CAD=10°，∠ABC=25°，求∠DGB的度数.2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部的点F处.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′.（1）图中有全等三角形吗？请写出来；（2）图中有等腰三角形吗？请写出来；（3）延长A A′、B B′交于点P，求证：∠P=∠AOB.AD BCE例3.如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 上的一点，若△ABD ≌△EBD ，AB=8，AC=6，BC=10.（1）求CE 的长； （2）求△DEC 的周长.巩固练习:1.如图，将△ABC 沿直线l 向右平移得到△DEF. （1）图中有全等三角形吗？请写出来； （2）图中有平行线吗？请写出来；（3）请补充一个条件，使得AF=3CD ，并你的理由.2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，将Rt △ABC 沿DE 折叠，使A 点与B 点重合，折痕为DE. （1）图中有全等三角形吗？请写出来； （2）若∠A=35°，求∠CBD 的度数； （3）若AC=4，BC=3，AB=5，求△BCD 的周长.3．如图，在△ABC 中，△BDF ≌△ADC. （1）求证：BE ⊥AC ；（2）若BD=5，CD=2，求△ABF 的面积.例4．如图，△ABF ≌△CDE.（1）求证：AB ∥CD ；AF ∥CE ；（2）若△AEF ≌△CFE ，求证：∠BAE=∠DCF ；（3）在（2）的条件下，若∠B=35°，∠CED=30°，∠DCF=20°，求∠EAF 的度数.【课后练习】 一、选择题1．小明去照相复印社，用一张A4的底稿复印了两张A4和两张B4的复印件，下列说法：①A4的底稿和A4的复印件是全等形；②A4的底稿和B4的复印件是全等形；③两张A4的复印件之间是全等形；④两张B4的复印件之间是全等形，其中正确结论的个数是( ).（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．下面结论是错误的是（ ）. （A ）全等三角形对应角所对的边是对应边 （B ）全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 （C ）全等三角形是一个特殊的三角形（D ）如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌△AEF ，则下列结论中不一定成立的是( ).（A ）AC=AF （B ）∠EAB=∠FAC （C ）EF=BC （D ）EF 平分∠AFB 4．如图，已知△ABC ≌△DEF ，AB=DE ，AC=DF ，则下列结论：①BC=EF ；②∠A=∠D ；③∠ACB=∠DEF ；④BE=CF ，其中正确结论的个数是（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．如图，△ABD ≌△EFC ，AB=EF ，∠A=∠E ，AD=EC ，若BD=5，DF=2.2则CD=（ ）. （A ）2.2 （B ）2.8 （C ）3.4 （D ）4（第3题图） （第4题图） （第5题图） 6.如图，已知△ABD≌△ACD，下列结论：①△ABC 为等腰三角形；②AD 平分∠BAC ；③AD ⊥BC ；④AD=BC. 其中正确结论的个数是( ).(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个F二、填空题7．已知：如图，△ACD ≌△AEB ，其中CD=EB ，AB=AD ，则∠ADC 的对边是 ，AC 的对应边是 ，∠C 的对应角是 .8．如图，已知△ABD ≌△DCA ，AB 的对应边是DC ，AD 的对应边是 ，∠BAD 的对应角是 ，AB 与CD 的位置关系是 .9．如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°则∠OAD= ．（第7题图） （第8题图） （第9题图）10．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片） 拼成一个正方形（如图②）。

第一节平方根［情景引入］【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根是0；③负数没有平方根。

2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。

0=。

a 叫做被开方数，a 必⑤49151； ⑥0。

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根：①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；（3）()()3252100-=--x （4）13=x的值。

例6、x 为何值时，x x +-1有意义。

例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。

请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？）。

D ．0或1 ）。

3± D ．39±=± 2 D ．61 6．下列说法正确的是（ ）。

A ．4的平方根是±2 B ．2a -一定没有平方根C ．0.9的平方根是±0.3D ．12+a 一定有平方根 二、填空题： 1．49的算术平方根是 ，平方根是 。

23 4 5 6 7３．解下列方程：（１）()016922=--x ； （２）0125252=+-x ；6．为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28㎡，那么花坛的半径应为多少米？（π取3.14）1．下列各式中，正确的是（ ）。

A ．525±=B ．()332-=-2．平方根是±31的数是（ ）A ．±91B ．91 3．对于14-x ，当 4．当一个数a 为合适的数） 5．一个数的算术是 。

湘教版2018年七年级升八年级数学复习试卷（一）
很多同学总是问我，有没有什么办法可以快速的提升考试成绩？方老师特别无奈，因为我没有。

如果我有，我就根本不用如此，每天苦哈哈的，每天如此苦口婆心的了。

如果我有，我就可以把这个秘籍告诉大家，那么方老师门下，学生个个都是学霸。

所以，我也想有如此武林秘籍。

学习的路上没有捷径可以走，只有勤奋两个字。

你若刻苦用功，没有学不好的。

当别人在贪玩的时候，你能克制自己，忍住繁华，耐住寂寞，专心的坐在课桌前，以为作业为伴，悉心的钻研，学习就会越来越简单。

做任何事情，靠的都是勤奋。

生活不会亏待每一个努力的人。

留下一箩汗，自然收获一筐谷。

每天刻苦，解决每天的问题，先从坚决不遗留任何问题开始。

亲爱的各位同学，加油。

方老师数学课堂，不仅仅讲数学题，鼓励勤奋，一起加油。

第1讲 平方根月 日 姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数； （3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根 （也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7 （4）()22-（5）2544369++ （6）416925-⨯例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根 （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+（4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41（ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对 3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

第1讲 平方根月 日 姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数； （3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7 （4）()22-（5）2544369++ （6）416925-⨯例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根 （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+（4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964 （2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（拔高）第一部分【能力提升】一、如图， BD＝ CD，∠ B＝∠ C，求证： AD均分∠ BAC.ADB C二、如图， Rt △ ABC，∠ C＝ 90°， AB的垂直均分线交（ 1）求证：△ ADE≌△ BDC；（ 2）求∠ A 的度数 .三、如图，在△ABC中， AB=2BC，∠ B=2∠ A，求证：△AC于点 D，连接 BD， BD均分∠ ABC.AEDB C ABC为直角三角形 .AB C四、如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AD均分∠ BAC， DE⊥ AB， F 为 AC上一点，DF=DB，求证： CF=BE.CDFA E B第二部分【综合运用】五、如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=BC， D是斜边 AB上任意一点， AE⊥ CD于点 E， BF⊥CD交 CD的延长线于点 F， CH⊥AB 于点 H，交 AE于点 G，求证： BD=CG.CEGDA H BF六、如图，在△ ABC中，∠ BAC的均分线与BC的垂直均分线 PQ订交于点 P，过点 P 分别作AB、AC(或它们的延长线 ) 的垂线，垂足分别为 N、 M，求证： BN=CM.NB PQA M C七．如图，△ ABC中，∠ A=50°， AB＞ AC，D、E 分别在 AB、AC上，且 BD=CE，∠ BCD=∠ CBE，若 BE、 CD订交于 O点，求∠ BOC的度数 .AEDOB C八、如图， AB⊥ BC，EC⊥ BC，D 在 BC上， AD=DE， AB=a，CE=b，∠ ADB=75°，∠ EDC=45°，求 BD的长 . （用含 a、 b 的代数式表示）AEB D C九、如图，正方形ABCD中， E、 F 分别为 BC、 CD上的两点，∠EAF=45° .（ 1）求证： BE+DF=EF；（若正方形的连长为a，则△ CEF的周长等于2a）（ 2）求证： AE均分∠ BEF； AF 均分∠ DFE；A（ 3）作 AH⊥ EF，求证： AH=AB.45DFB E C十、如图，正方形 ABCD中， E 为 BC边上一点，沿直线AE折叠正方形 ABCD，使点 B 落在形内的点 H，延长 EH交 CD于点 F.A D （ 1）求证：∠ EAF=45°；（ 2）求证： BE+DF=EF；（ 3）求证： AF均分∠ DFE.FB E HC十一、研究与猜想：（1）如图 1，等腰 Rt△ ABC和等腰 Rt△ ADE，∠ ACB=∠ ADE=90°， D 点在 AB 上， E 点在 AC上， P 为 BE 的中点，则线段 PD、PC能否存在某种确立的数目关系和位置关系？请写出你的结论（不需要证明）；（ 2）若将图 1 中的等腰 Rt△ ADE绕 A 点逆时针旋转 45°获得图2（此时点 E 在 AB 上），其他条件不变，试问：线段PD、PC能否存在某种确立的数目关系和地点关系？写出你的结论并证明；B BPD PDEA E C AC图1图2（ 3）若将图 1 中的等腰 Rt △ADE绕 A点顺时针任意旋转一个角度获得图3（此时点 E 在 AC的下方），其他条件不变，试问：线段 PD、PC能否存在某种确立的数目关系和地点关系？请你完成图3，写出你的结论并证明；BA CE图3。

第1讲 平方根月 日 姓名：【学习目标】1、认识算术平方根与平方根的观点，而且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的差别和联系，培育同学们的抽象归纳能力。

【知识重点】1、算术平方根：假如一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 存心义时，a 必定表示一个非负数； （3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：假如一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根 （也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 一定有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，此外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它自己； （3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

此中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a察看二者的特点，注意他们的差别与联系。

【典型例题】例1、 求以下各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7 （4）()22-（5（6）例4、当22-+a a 存心义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求以下各数的算术平方根和平方根 （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3（4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 存心义，则x 的范围___________5、假如a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、以下各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3 －3 C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±a 3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 存心义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的观点，并会用根号表示一个数的立方根。

CB A 2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目 录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS ；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS ，ASA ，AAS ；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL ；10. 第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十X 五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形） ()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21 ； ②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角. 例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm (C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，G ，则G 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2G-1，则G 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x ，则G 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，G ，13，若G 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3 (C)5(D)13 ④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值范围是 .AB C D E F DE A B CF G(A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b (D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-G ，3G-1.（1）则G 的取值范围是 ；（2）则它的周长的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则G 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-G ，G-1，则G 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，G ，则G 的取值范围是( ).(A)2＜G ＜12 (B)1＜G ＜13 (C)6＜G ＜7 (D)1＜G ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 .8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .DA B C D A B C I I I C B D A C B D A A D B C I I I C B D AC BD AE A E D B E C I I I C B D A C B A E A E D BF D E F F C 12C B A 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论： ①直角三角形两锐角互余； ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】 例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .A B C D I A B C D E I A B C ID A BEF C D E A F C B D A C B A B C F E D H D A B C E H E D C B A②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF. 【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75° E D C B A M E D C B AME D C B A E D C B A A B C D E IAB O CB D A F EC BD A C B D A A D B C 6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ).(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). (A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；AI I I C B DA CB D A A D BC I I IC BD A C B D AE A E D B E C II I CB D AC B A E A ED B F D EF FC B A M E CD O D Q P C B A D B CE A D B CF E A 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 例四、如图，在△ABC中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB. （1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ， 求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； A B C D I A B CD EIC BD AF E ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ). (A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO C A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n⨯︒+∠ (B)12180A n n⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD. F E D C BA M E D CB A FN M E D C B A E D C B A F M E D C B A N M E D CB D AA DCM B A D B E C B D A E C D B A C E F （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ). (A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业 1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).m n ，β∠N M F E D C B A N M FED C B A(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°．D 为边CA 延长线上的一点，DE ‖AB,∠ADE=42°，则∠B 的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（ ）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 9．如图，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是( ). (A)63°(B)83°(C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°. （1）求∠EDC 的度数； （2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

第一部分——温故知新专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数3.单项式和多项式统称为4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：n m n m a a a +=·（m.n 都是正整数）；逆运算=+n m a 6.幂的乘方法则：()=n m a （m.n 都是正整数）；逆运算=mn a 7.积的乘方法则：()=n ab （n 为正整数）；逆运算=nn b a 8.同底数幂除法法则：n m n m a a a -=÷（a ≠0，m.n 都是正整数）；逆运算=-n m a9.零指数的意义：()010≠=a a ；10.负指数的意义：()为正整数p a aa p p ,01≠=- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用例1.下列说法正确的是（ ）A ．没有加减运算的式子叫单项式 B.35ab π-的系数是35- C.单项式-1的次数是0 D.3222+-ab b a 是二次三项式例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则例3.多项式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--8313322xy ykxy x 中不含xy 项，求k 的值知识点3.幂的运算归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。

例4.已知5,3==n m a a求（1）n m a 32+的值 （2）n m a 23+的值例5.计算 （1）20102011324143⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）()1012201021---+⎪⎭⎫ ⎝⎛π知识点4.整式的混合运算归纳：整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时灵活运用法则。

E D CA B M NF CAPQB M第十三讲：轴对称第一部分【能力提高】一、 上图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．二、如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．• ①指出两个三角形中的对称点；②图中还有对称的三角形吗？三、如已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=AC=8，BC=6，求△BDC 周长．四、三角形三边垂直平分线的必交于一点.如图，在△ABC 中，边AB 和AC 的垂直平分线MP 、MQ 交于点M ，求证：M 必在线段BC 的垂直平分线上.五、如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A 村与B 村供水，•要符合条件： （1）若要使厂部到A 、B 的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A 村、B 村的水管最省料，应建在什么地方？AHPCQBCAP QD BM第二部分【综合运用】六、（1）在图中所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于x 轴对称的两个三角形的编号为 ；（2）在图4中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1七、如图，AM 平分∠PAQ ，B 为AM 上任一点，BC ⊥AP 于点C ，BD ⊥AQ 于点Q ，求证：AB 垂直平分线段CD.八、如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交边BC 的垂直平分线PQ 于点P.（1）求证：AB-AC=2BH ；（2）求AB ACAH的值.AFECB第 13 讲 作 业一．选择题1．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( ). (A)加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 (B)加拿大、瑞典、澳大利亚 (C)加拿大、瑞典、瑞士 (D)乌拉圭、瑞典、瑞士加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士2．对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化，其中，可以看作是轴对称图形的有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．下列图形中，不是轴对称图形的是( ).(A)一条线段 (B)两条相交的直线(C)有公共端点的两条相等的线段 (D)有公共端点的两条不相等的线段 4．下列图形中，不是轴对称图形的是( ).(A)平行四边形 (B)长方形 (C)正方形 (D)圆 5．下列说法错误的是 （ ）(A)关于某条直线对称的两个三角形一定全等 (B)轴对称图形至少有一条对称轴 (C)全等三角形一定能关于某条直线对称 (D)角是关于它的平分线对称的图形 6. 下列命题中，不正确的是( ). (A)关于直线对称的两个三角形一定全等.(B)两个大小一样的圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形. (C)若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线. (D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台. 7．图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影 部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球 可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是( ). (A)1 号袋 (B)2 号袋 (A)3 号袋 (D)4 号袋 8.在平面直角坐标系中，点(3，4)关于x 轴对称点的坐标是( ).(A)(4，3) (B)(3，-4) (C)(-3， 4) (D)(-3，-4)9．如图,六边形ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD 的大小是( ). (A)150° (B)300°(C)210°(D)330°41E D C B A 1E 2F D C B A10．下列图形中，△A ’B ’C ’与△ABC 关于直线MN 成轴对称的是( ).11．在平面直角坐标系中，将点A （1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A '，则点A 与点A '的关系是( ).(A)关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C)关于原点对称 (D)将点A 向x 轴负方向平移一个单位得点A ' 12．如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于( ).(A)9cm (B)8cm (C)7cm (D)1213．如图，是用平行四边形纸条沿对边AB 、CD 的中点E 、F 所在直线折成的V 字形图案，已知图中∠1=68°，则∠2的度数为( ).(A)56° (B)44° (C)68° (D)52°14．如图，是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠AEB=140°，AC ⊥AE ，∠C=60°，则∠CFD 的度数为( ).(A)140° (B)150° (C)160° (D)170° 15．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于( ).(A)115°(B)130°(C)120°(D)65°16如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=20°，则∠C ED′等于( ).(A)40°(B)50° (C)60°(D)70°17．图，将五边形ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在点E '、D '.已知∠AFC=76°，则∠CFD '等于（ ）.(A)31° (B)28° (C)24° (D)22°FE D C BA F E'D'EDC BACD E BA18．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是( ). (A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分 (C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行二．填空题19.把一个图形沿某一条直线_________，如果它能够与另一个图形________，•那么就说这两个图形关于这条直线____________．20. 角的对称轴是 .线段是轴对称图形，有 条对称轴，对称轴是 .21.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做__________． 22.如图，在△ABC 中，AC ＝8cm ，ED 垂直平分AB ，若△EBC 的 周长是14cm ，那么BC 的长度为 。

第十讲：专题二：全等三角形题型训练；【知识要点】1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL；需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS”、“SSS”、“ASA”、“AAS”、“HL”五种基本方法的综合运用.【例题精讲】例1.判断下列命题：1．（1）全等三角形的对应边、对应角、对应边上的中线、角平分线、高线分别相等.（）（2）全等三角形的周长、面积分别相等. （）2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. （）（2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （）（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. （）（4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （）（5）三边对应相等的两个三角形全等. （）（6）三个角对应相等的两个三角形全等. （）（7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （）（8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.（ ）（9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ）（10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ）（11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ）（12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ）（13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （ ）（14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （ ）（15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （ ）（16）底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ）例2.如图1，方格中有△ABC 和111A B C △，且它们可以仅通过平移完全重合，我们称△ABC 和111A B C △为“同一方位”全等三角形.（1）如图2，方格中有一个△ABC ，请你在方格内，画出一个与△ABC 不是“同一方位”的全等三角形△DEF ，并且满足条件：DE=AB ，∠A=∠D ，AC=DF ；（2）你能够画出多少种不同的△DEF ？（“同一方位”全等三角形算为一种）BACA 1B 1DC 1D 1B A CA 1B 1DC 1D 1例3.两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等.如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC和△A 1B 1C 1的中线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.例4.两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等.两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等.如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠ABC=∠A 1B 1C 1，∠ACB=∠A 1C 1B 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.B ACA1B1D C1D1B ACA1B1D C1D1B ACA1B1D C1D1例5.两边及其第三边上的高对应相等的两个锐角三角形．．．．．全等.如图，在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD、A1D1分别为△ABC和△A1B1C1的高线，AD=A1D1，求证：△ABC≌△A1B1C1.例6.两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形．．．．．全等.如图，在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，BC=B1C1，AD、A1D1分别为△ABC和△A1B1C1的高线，AD=A1D1，求证：△ABC≌△A1B1C1.例7.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.如图，在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD、A1D1分别为△ABC 和△A1B1C1的中线，AD=A1D1，求证：△ABC≌△A1B1C1.练习:1.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条高线，在BD 上取一点F ，使BF=AC ，在CE 的延长线上取一点G ，使CG=AB ， 求证：(1)AG=AF ；（2）AG ⊥AF.2.如图，已知A 点的坐标为（4，4），将直角的顶点放在点A ，两直角边分别交两坐标轴的正半轴于P 、Q 两点.. （1）求证：AP=AQ ；（2）当直角绕A 点旋转时（始终保持P 、Q 两点在两坐标轴的正半轴），求OP+OQ 的值；（3）如图，继续旋转这个直角，使得点P 在y 轴负半轴，点Q 在x 轴正半轴，求OQ-OP 的值.ABCDEFGABDC MNAOCBDA 'O 'C 'B ' D '【课后作业】1．如图，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，则∠E 的度数为( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°2．如图，OA=OB ，OC=OD ，∠1=∠2，则图中的全等三角形有( ). （A ）5对 （B ）4对 （C ）3对 （D ）2对 3．已知：如图，∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ，其中能使△ABC ≌△AED 的条件有( ). (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 4．如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件中不能．．判定 △ABM ≌△CDN 的是（ ）．(A)∠M=∠N (B)AB=CD (C)AM=CN (D)AM ∥CN 6．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，垂足分别为B ，C ，AB=BC ，E 为BC 的 中点，且AE ⊥BD ，垂足为点F ，若CD=4㎝，则AB=( ). (A)8㎝ (B)6㎝ (C)4㎝ (D)2㎝ 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则利用三角形全等能说明A O B AOB '''=∠∠的依据是( ).21DC OEA（A ）SSS （B ）SAS （C ）ASA（D ）AAS7．如图，D 、E 是△ABC 的边AC 、BC 上的点，△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，下列结论：①AD=ED ；②BC=2AB ；③∠1=∠2=∠3；④∠4=∠5=∠6．其中正确的有（ ）.(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个二、填一填8．如图，A D AC DF ==∠∠，，则需要补充条件： （写出一个即可），才能使 ABC DEF △≌△．9．如图，一块三角形玻璃裂成甲、乙、丙三块，要去玻璃店配一块同样形状和大小的玻璃，可只带三块碎片中的 块，所配的三角形玻璃与原来一样的几何原理是 .10．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个论断：①AB=AC ；②AD=AE ；③∠B=∠C ；④BD=CE ，请以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题是 ，（用序号⊗⇒⊗⊗⊗的形式写出.）11．如图，要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90°沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 两点与点E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为___________米.丙乙甲ABCDEFBCDA EFG三、解答题12．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线，请说明理由.13．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 边的中点，连接BE 交AD 于点F ，过点E 作BE 的第一线交BC 于点G ，求证：AF=CG .。

第1讲平方根月日姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做的算术平方根，记作“a”，读作“根号a”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a0≥（0≥a）。

2、平方根：如果一个数x的平方等于a，即ax=2，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a必须有两个平方根，一个是a的算术平方根“a”，另外一个是“-a”,读作“负根号a”，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7例2、 计算 （1）81（2）41（3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛（3）()22.7 （4）()22- （5）2544369++（6）416925-⨯ 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- 2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－ 5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ）（5）9的平方根是± 3（ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41（ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a(a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a=±m 2C.a =±mD.±a =±m 【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a=±SD.S=a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算 （1）- 16964 （2）2243+记一记100102=121112= 144122=169132= 196142=225152= 256162=289172=324182=361192= 400202=625252=第6讲立方根月日姓名：【学习目标】1.掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

2013年07月第一讲 平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2013年初一升初二暑期补习教材（数学）2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1 （4）0 （5）94（6）7 例2、 计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5（6） 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3+（4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41（ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+ 【记一记 】100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第二讲 立方根【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

复习专题一重点解答题型:1、方程〔k2-4〕x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8是关于x、y的方程，那么当k为何值时，方程为一元一次方程？当k为何值时，方程为二元一次方程？3、a取何值时，关于x的方程x＝a＋1与2〔x－1〕＝5a－6的解一样．4、x＝2时代数式2x2＋5x＋c的值是14，求x＝－2时代数式的值．5、21xy=⎧⎨=⎩是方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，求a b-的值。

6、方程组2,3x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解为2,.xy=⎧⎪⎨=⎪⎩那么被遮盖的两个数分别为多少？7、方程组⎩⎨⎧=+=-64byaxbyax与方程组⎩⎨⎧=-=-17453yxyx的解一样，求a，b的值8、假设2|327|(521)0a b a b +++-+=，那么a b +的值为多少？9、方程组⎩⎨⎧=-+-=+-166312z y x z y x ，那么y x +为多少？10、4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，且0xyz ≠，那么::x y z 的值为多少？*11、当正整数a 为何值时,方程组⎩⎨⎧=-=+02162y x ay x 有正整数解"并求出正整数解.复习专题二不等式〔组〕与方程〔组〕综合运用1. 关于x 的方程4)3(2-=-a x 的解不小于方程132+=-x a x 的解，那么a 的取值围是。

2.关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x my x 13213，〔1〕假设x+y<0，那么k 的取值围是。

〔2〕如果x>y ，那么k 的取值围是。

3. 假设不等式22≥+-a x 的解集是1-≤x ，那么a 值是_______________4.假设不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，那么a b的值是__________5. 假设不等式组⎩⎨⎧<->+0421x ax 有解，那么a 的取值围是____________6. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x xx 的解集为x<-a ，那么a 的取值围是7. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=-a y x a y x 523的解满足x>y>0，化简a a -+3=_____________8.⎩⎨⎧-=-+=+1341323k y x k y x 且y x >，那么k 的取值围是 9.不等式组132163+>>-m x m x 的解集是32mx +>，那么m 的取值围是 10. 假设方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，那么a 的值为______________11. 关于x 的方程x kx -=6的解集为正整数，那么k 的值为。

第1讲 平方根 月 日 姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ”，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（3）()22.7 （4）()22-（5）2544369++ （6）416925-⨯例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2）225121 （3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断 （1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ）（5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a0 D.－（a 2+1） 2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算 （1）- 16964 （2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根 月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

复习与归纳第一章有理数（一）正负数1．正数：大于0的数。

2．负数：小于0的数。

3．0即不是正数也不是负数。

4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

（二）有理数1．有理数：由整数和分数组成的数。

包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。

如：π）2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。

3．分数：正分数、负分数。

（三）数轴1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

）2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数还是0。

4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。

（四）有理数的加减法1．先定符号，再算绝对值。

2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。

异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

一个数同0相加减，仍得这个数。

3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

5． a−b = a +（−b）减去一个数，等于加这个数的相反数。

（五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小）1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

2．乘积是1的两个数互为倒数。

3．乘法交换律：ab= b a4．乘法结合律：（ab）c = a （b c）5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac（六）有理数除法1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。

暑期七升八衔接班》讲义目录第一讲与三角形有关的线段…………………………………………………》第二讲与三角形有关的角…………………………………………………8第三讲全等三角形及其判定（SSS） (11)第四讲全等三角形的判定（SAS, AAS, ASA） (17)第五讲直角三角形全等的判定（HL）及三角形全等的判定的综合练习 (23)第六讲角平分线的性质………………………………………………27第七讲单元测试第八讲轴对称.....................................................................33第九讲画轴对称图形 (39)。

第十讲等腰三角形..................................................................44第十一讲等边三角形.....................................................................48第十二讲本章复习.....................................................................52第十三讲同底数幂的乘法和幂的乘方 (54)第十四讲积的乘方和整式的乘法 (58)第十五讲结业考试\第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择各条路线的长一样吗为什么。