中考函数专题复习教案

初中函数中考复习教案1. 知识与技能：（1）理解正比例函数、一次函数、二次函数的概念及性质。

（2）学会运用函数解决实际问题，能够根据已知条件确定函数的解析式。

（3）掌握函数图像的特点，能够分析函数的增减性、对称性、周期性等性质。

2. 过程与方法：（1）通过复习，提高学生分析问题、解决问题的能力。

（2）培养学生数形结合的思维方式，提高观察函数图像的能力。

（3）学会运用函数图像解决实际问题，提高学生的应用能力。

3. 情感态度价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，增强学习的积极性。

（2）培养学生良好的学习习惯，提高自主学习能力。

二、教学重难点1. 重点：（1）函数的概念及性质。

（2）函数图像的特点。

（3）运用函数解决实际问题。

2. 难点：（1）函数图像的分析和应用。

（2）函数解析式的确定。

三、教学过程1. 复习导入（1）回顾函数的概念：一般地，如果两个变量x和y之间存在一种关系，使得每一个x 值对应一个唯一的y值，那么y是x的函数。

（2）介绍正比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质。

2. 知识讲解（1）正比例函数：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，图像是经过原点的一条直线。

（2）一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，图像是经过点（0，b）的一条直线。

（3）二次函数：形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，图像是开口朝上或朝下的一条抛物线。

3. 例题解析（1）已知函数图像，求函数的解析式。

（2）根据实际问题，确定函数的解析式。

（3）运用函数图像解决实际问题。

4. 巩固练习（1）填空题：已知一次函数的图像经过点（1，2）和（3，6），则该一次函数的解析式为________。

（2）选择题：下列函数中，当x增大时，函数值y随x增大而增大的有________个。

A. y=2xB. y=-3xC. y=4x²D. y=-2x²5. 课堂小结本节课我们复习了正比例函数、一次函数、二次函数的概念和性质，以及如何运用函数图像解决实际问题。

一对一个性化辅导教案学生年级初三科目数学次数7月第4次课教师郭老师日期7.3 时段19：30-21:30课题中考冲刺——函数基础专项突破本堂课目标1.熟悉平面直角坐标系；2.掌握一次函数、反比例函数、二次函数基础知识；教学步骤及教学内容一、平面直角坐标系一、平面直角坐标系1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。

在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。

2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P（x, y）在第一象限⇔x ＞0，y＞0；点P（x, y）在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x, y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x, y）在第四象限⇔x＞0，y＜0。

（2）坐标轴上的点有如下特征：点P（x, y）在x轴上⇔y为0，x为任意实数。

点P（x，y）在y轴上⇔x为0，y为任意实数。

3．点P（x, y）坐标的几何意义：（1）点P（x, y）到x轴的距离是| y |；（2）点P（x, y）到y袖的距离是| x |；（3）点P（x, y）到原点的距离是22yx+4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点P（a, b）关于x轴的对称点是),(1baP-；（2）点P（a, b）关于y轴的对称点是),(2baP-；（3）点P（a, b）关于原点的对称点是),(3baP--；二、函数的概念1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

【练习】1.数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD ，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：A （0，1），B （0，0），C （1，0），D （1，1）； 乙同学：A （0，0），B （0，-1），C （1，-1），D （1，0）； 丙同学：A （1，0），B （1，-2），C （3，-2），D （3，0）； 丁同学：A （-1，2），B （-1，0），C （0，0），D （0，2）；上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是( ). A ．甲、乙、丙 B ．乙、丙、丁 C ．甲、丙 D ．甲、乙、丙、丁2.如图，△DEF 是△ABC 经过某种变换后得到的图形．△ABC 内任意一点M 的坐标为（x ， y ），点 M 经过这种变换后得到点 N ，点N 的坐标是( ).A.（-x,-y ） B ．(-y,-x)C.(-x,y ） D ．(x,-y)3.如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，那么A （﹣2，5）的对应点A ′的坐标是（ ）.A ．（2，5）B ．（5，2）C ．（2，﹣5）D ．（5，﹣2）xy –5–4–3–2–112345–4–3–2–11234NFDE ACBOM4.如图，点A在观测点的北偏东方向30 °，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A（8，30°），用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在( ).(A) O1 (B)O2(C) O3(D)O4二、一次函数1.函数解析式、图像及性质2.函数的平移左加右减，上加下减：y=k(x+a) y=kx+b y=k(x-a)+b y=kx+b+a y=kx+b y=kx+b-a 3.函数平行与平行若一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2平行，则k1=k2若一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2垂直，则k1k2=-1向左平移a个单位向右平移a个单位向上平移a个单位向下平移a个单位4.函数方程组求交点一次函数y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2图像的交点为A （m,n ），ny m==x {是二元一次方程组 222111b x k y y {+=+=b x k 的解 5.一元一次不等式判断正负性图像y>0或y<0时，x 的取值范围，即不等式kx+b>0或者kx+b<0的解集【练习】1.某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为 A.9：15B.9：20C.9：25D.9：302.一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2.下列说法中错误的是A.k1=k2B.b1<b2C.b1>b2D.当x=5时，y1>y23.若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图象经过点(01)A -，，(11)B ，，则不等式1kx b +>的解集为 A.0x <B.0x >C.1x <D.1x >4.若三点(14)，，(27)，，(10)a ，在同一直线上，则a 的值等于 A.-1B.0C.3D.4三、反比例函数1.函数解析式、图像及性质2. 反比例函数k 的几何意义（恒值性）过反比例函数图像上任意一点P 做x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积S=|xy|=k3. 对称性：反比例函数关于原点中心对称，关于直线y=x 或y=-x 成轴对称。

二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。

2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。

3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。

4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。

5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。

三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。

五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。

九年级数学综合复习专题教案(函数及其图象)一、教学目标1. 理解函数的定义及其相关概念，如函数的域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 掌握函数图象的绘制方法，能熟练绘制常见函数的图象。

3. 能够运用函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. 函数的定义及性质函数的定义：函数的概念、函数的表示方法、函数的域、值域。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。

2. 函数图象的绘制绘制函数图象的方法：列表法、解析法、图象平移法。

常见函数图象的绘制：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数。

三、教学重点与难点1. 重点：函数的定义及其性质，函数图象的绘制方法。

2. 难点：函数图象的绘制方法，函数性质的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究、合作、交流的方式学习。

2. 利用多媒体课件，展示函数图象，增强直观感受。

3. 注重个体差异，给予学生充分的思考空间，提高学生的自主学习能力。

五、课时安排1. 函数的定义及性质：2课时2. 函数图象的绘制：2课时3. 实践与应用：1课时教学过程：第一课时：函数的定义及性质1. 引入：复习八年级学习的函数概念，引导学生回顾函数的表示方法。

2. 讲解：讲解函数的定义，强调函数的域、值域的概念。

3. 练习：学生自主完成练习题，巩固函数的定义及其性质。

第二课时：函数的性质1. 引入：通过实例引导学生理解函数的单调性、奇偶性、周期性。

2. 讲解：讲解函数的单调性、奇偶性、周期性的判定方法。

3. 练习：学生自主完成练习题，巩固函数的性质。

第三课时：函数图象的绘制1. 引入：复习八年级学习的函数图象绘制方法。

2. 讲解：讲解列表法、解析法、图象平移法绘制函数图象的方法。

3. 练习：学生自主完成练习题，掌握函数图象的绘制方法。

第四课时：常见函数图象的绘制1. 引入：引导学生观察生活中的实例，发现函数图象的形状。

2. 讲解：讲解线性函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象特点及绘制方法。

课题:一次函数(复习)主备：审核：课时：总课时：时间：教学目标:1、了解一次函数的概念，掌握一次函数的图象和性质，能正确画出一次函数的图象，并能根据图象探索函数的性质；2、能根据具体条件求出一次函数的解析式；3、运用函数的观点，分析、探究实际问题中的数量关系和变化规律均是中考的热点．教学重点：中考中考查一次函数的不同题型（基础与小综合）教学难点：根据函数图象探索其性质教学过程：考点要求：1、理解一次函数的定义；2、理解一次函数的图象与性质；3、会用待定系数法求一次函数的解析式；4、利用一次函数解决实际问题。

考点一：一次函数的概念：★理解一次函数概念应注意下面两点：（1）解析式中自变量x的次数是次，比例系数_____。

（2）正比例函数是一次函数的特殊形式。

对应练习，趁热打铁判断下列是一次函数的。

①②③④⑤⑥变式训练:已知函数y=(k+2) x(k2+k−1)是一次函数,则k= 。

考点二：一次函数的图象与性质（1）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____），(______)的_________。

（2）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________。

用下列表格表示一次函数的图象与性质观察增减性例:一次函数y=(2m-6)x+5 中，y随x的增大而减小，则的取值范围是。

对应训练：1、函数y=x-3与x轴交点坐标为_______ , 与y轴交点坐标为。

2、已知一次函数y= −3x+2，它的图象不经过第象限。

3、已知函数y=−6x+1 的图象上有点A(2，y1)和点B（3，y2)，则y1与y2的大小关系是。

变式训练：已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )A B C D考点三：用待定系数法求函数解析式例:已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时，y=5，且它的图象与x轴的交点横坐标为6，求这个一次函数的解析式？变式训练：已知y+b与x+a (a、 b是常数)成正比例,当x=3时，y=5；当x=2时，y=2，求y与x之间的函数关系式？考点四：一次函数的应用1.一次函数图象与坐标轴所围成的三角形面积如图，直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点A的坐标是( ， )，与y轴的交点B的坐标是 ( ， )，直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴围成的三角形总是以为直角顶点的直角三角形，所以直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴所围成的三角形的面积S== . (用k,b表示)练习：函数y=-6x+9与两坐标轴围成的三角形面积是。

平面直角坐标系知识要点：1、在平面内， __________ 且 _______ 的数轴组成了平面直角坐标系;小结：(1)点P (兀,)，)所在的象限—横、纵坐标X 、J 的取值的正负性;(2)点P (x,y)所在的数轴—横、纵坐标X 、丁中必有一数为零;5、 在平面直角坐标系中，已知点P(d,b),则 (1)点P 到x 轴的距离为F|； (2)点P 到y 轴的距离为M ；(3) 点P 到原点0的距离为P0= J/ +F 6、 平行直线上的点的坐标特征：a) 在与.Y 轴平行的直线上，所有点的 _______________ 相等；仆Y —A ---------- e B —点A 、B 的 ______ 都等于加；------------- 型 -------- ►2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 _______Q 为横坐标，I )为纵绝标坐标；3、 ［轴上的点，纵坐标等于0； y 轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点 _______ 任何象限；4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：对应；其中,b _____ P (a,b) 1象限 横坐标】 纵坐标V9第一彖限 正正第二象限 负第三象限 负 负 第四象限止负■3 ・20 1 a・1 -2 -3点C 、D 的 ______ 都等于";n *7、对称点的坐标特征:C ) 点P (m,n)关于x 轴的对称点为斥(存同，即 __________________ 不变， ________ 互为相反数；d) 点P(m,n)关于y 轴的对称点为爲5^),即 _____________________ 不变, ______ 互为相反数;8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： f) 若点P ( mji )在第一、三象限的角平分线上，则"=刃，即横、纵坐标 ____________ ； g)若点P( m.n )在第二、四象限的角平分线上，则即横、纵坐标互为 ______在第一、三象限的角平分线上典型例题： 题型一：直角坐标系1. 己知点P 在第二象限，且到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则P 点坐标为 ____________2. 坐标平面内的点与 ___________ 是一一对应关系.3. 若点M (a,b)在笫四象限，则点M (b-a,a-b)在()e)点P (m. ti)关于原点的对称点为尊匕7尸勿即互为相反数;4/m\ii i i片P,np1 1 1 1 1------------- ■1 1 1 1 -m-m1 6-n关于X 轴对称?P关于原点对称在第二、四象限的角平分线上Ay关于y 轴对称A. (-1, -4)B. (1, -4)C. (1, 4)D. (4, -1)6、在平面直角坐标系屮，点P (-2, 1)关于原点的对称点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四彖限题型三：旋转1、AABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到、B' C',则A 点的对应点A'点的坐标是() A. (-3, -2) B. (2, 2)C. (3, 0)D. (2, 1)2、AABC 在直角坐标系中的位置如图所示，若将AABC 绕点0旋转，点C 的对应点为点D,其中A (1, 2) , B (-1, 0) , C (3, -1),D (-1, -3),则旋转后点A 的对应点E 的坐标为( )4. 若 P (x, y)中 xy=O,则 P 点在()A. x 轴上B. y 轴上C.坐标原点D.坐标轴上5. 若P (a,a-2)在第四象限，则a 的取值范围为()A. -2<a<0B. 0<a<2C. a>2D. a<06. 如果代数式后氓有意义,那么直角坐标系中点A (a, b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C 第三象限 D.第四象限7. 已知M(3a —9, 1—a)在第三彖限，且它的坐标都是整数，则a 等于() A. 1 B. 2 C- 3 D. 08、已知 M (3, 2), N (1 > — 1), 点P 在Y 轴上， 且PM+PN 最短, 则点P 的坐标是() A 、(0,—)1 ■B 、(0, 0)C 、(0, —)6D 、(0,-4题型二：对称点坐标1、 已知点P (-3,2),点A 与点P 关于y 轴对称，则A 点的坐标为 ________2、 矩形ABCD 屮的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系屮，B 、D 两点 对应的坐标分别是(2, 0), (0, 0),且A 、C 关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是()3、 点P(3, -4)关于y 轴的对称点坐标为 __________ ,它关于x 轴的对称点坐标为.它关于原点的对称点坐标为 _______ ・4、 若 P (a, 3-b) ,Q(5, 2)关于 x 轴对称，贝U 沪—，b 二 _________5、 点(一1, 4)关于原点对称的点的坐标是()A 、 (1, 1)B 、(1, -1)C 、(1, -2)D 、(2, -2)• • • • ■■■>4A. (-1, 2)B. (0, -1)C. (1, -3)D. (2, -1)3、如图，若将AABC 绕点0逆时针旋转90°则顶点B 的对应点 B 】的坐标为() A. (Y,2) B. (-2,4) C. (4-2) D. (2,^)二.一次函数知识要点：1、 一次函数一般式： ___________________________ •当b=0时，y 二kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数•正比例函数一般式： __________________________________2、 正比例函数的图象和性质：3、一次函数y=kx+b 的图象和性质与乩方的关系如下表所示:b>0b<Qb = ok>o经过第一、二、三象限经过第一、二、四彖限经过第一、三象限"丿 /k /A1 / ()AXO // -■图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<o经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限\1 \ r\1____ 4\r()\了XO\ * 图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小4、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线尸kx 平移|b|个单位长度 而得到(当b>0时，向上平移；当bvo 吋，向下平移).⑴当方〉0吋，将乃二心图象向x 轴上方平移b 个单位，就得到y 产kx+ b 的图象.(2) 当ZKO 时，将乃=总图彖向％轴下方平移I 方|个单位，就得到yi=kx +b 的图象.IP1 t 1 1 •t1 11 1 1 1 1 1 • 二••：••：••：••二鼻A 11 1 1 1 • • 4 • • y1 17」1 1 1 • 1 1 11 •ii■厶till*0 :・・t • • i i 1 11(•ill••1 1 1 1 1 11 '23 ：4 ;• ■ • ■ •■『■ ■ ■1 1 1 1 1 IIII — 」■1 1 1 1-■」 _ 1 IIIIi i i i • i • i • •I 111・ 0 IIII••LLJJ•■ •亍■■■ ■ y11 ・1(第:5、直线y\=kx+ b 与ypkx 图象的位6. 直线Z ： y^x+b.与<2： y 2=k 2x+k 的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确 定:k *讥< '2 <=> !•与h 相交于y 轴上同一点(0, bj 或(0, &)；[片*-k 、=f kt —12。

函数的复习教学设计教学设计：函数的复习一、教学目标1. 知识目标：复习函数的定义、性质和基本操作。

2. 技能目标：能够正确地使用函数的定义、性质和基本操作进行问题解答。

3. 情感目标：培养学生对函数的兴趣，激发学生对数学学习的自主性和探究性。

二、教学内容1. 函数及其定义。

2. 函数的性质和基本操作。

3. 函数的图像和图像的性质。

4. 函数的应用。

三、教学过程1. 导入新课通过介绍一道与函数相关的问题，引起学生的思考：小明在一个新的游戏中要解锁一个藏宝箱，他需要根据一个公式计算出一个数值，才能打开藏宝箱。

请问，这个公式中的计算过程是函数吗？为什么？2. 概念复习通过让学生回顾函数的定义，并解释函数的概念。

引导学生思考函数的定义中包含哪些要素，以及如何判断一个公式是否为函数。

3. 函数性质和基本操作的复习3.1 回顾函数的性质：单调性、奇偶性和周期性。

3.2 回顾函数的基本操作：加、减、乘、除和复合等。

4. 图像的复习4.1 引导学生复习函数的图像表示法。

4.2 复习常见函数的图像形状和性质。

5. 练习提供一些函数的计算题目，让学生通过计算和推理复习函数的性质和基本操作。

6. 拓展应用6.1 引导学生思考函数的应用场景并给出例子，如财务报表、物理运动等。

6.2 设计一些与实际生活相关的问题，让学生通过函数的定义和性质进行解答。

7. 总结归纳总结函数的定义、性质和基本操作，以及函数在实际生活中的应用。

8. 作业布置布置一些练习题，巩固学生对函数的理解和应用能力。

四、教学评价与反思1. 教学评价方式通过观察学生在课堂上的参与度和回答问题的准确性，以及课后作业的完成情况，进行教学评价。

2. 反思2.1 教学内容安排是否合理。

2.2 学生的学习兴趣是否得到激发。

2.3 学生对函数的掌握情况如何。

2.4 是否需要调整教学方法和策略，提高教学效果。

通过本次函数复习的教学设计，可以帮助学生巩固函数的基本概念、性质和基本操作，并应用到实际问题中。

九年级数学综合复习专题教案(函数及其图象)第一章：函数的概念1.1 函数的定义与性质理解函数的概念，即对于每个输入值，函数只能有一个输出值。

掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 函数的表示方法学习用解析式、表格、图像等方式表示函数。

理解不同表示方法之间的联系和转换。

第二章：一次函数和二次函数2.1 一次函数掌握一次函数的定义和性质，如斜率和截距。

学会绘制一次函数的图像，并理解其几何意义。

2.2 二次函数理解二次函数的标准形式，即y = ax^2 + bx + c。

掌握二次函数的顶点、开口方向和单调性等性质。

学会绘制二次函数的图像，并理解其几何意义。

第三章：正比例函数和反比例函数3.1 正比例函数掌握正比例函数的定义和性质，如比例常数。

学会绘制正比例函数的图像，并理解其几何意义。

3.2 反比例函数掌握反比例函数的定义和性质，如比例常数。

学会绘制反比例函数的图像，并理解其几何意义。

第四章：函数图像的变换4.1 图像的平移学习如何通过平移变换得到新的函数图像。

理解平移变换对函数性质的影响。

4.2 图像的伸缩学习如何通过伸缩变换得到新的函数图像。

理解伸缩变换对函数性质的影响。

第五章：函数与方程5.1 函数与方程的关系理解函数和方程之间的联系，如函数的零点与方程的根。

学会通过图像来解决函数方程问题。

5.2 函数图像与方程解的关系理解函数图像与方程解之间的关系，如函数图像与方程解的交点。

学会通过图像来解决函数方程问题。

第六章：函数的应用6.1 线性函数的应用学习如何利用线性函数解决实际问题，如成本、距离和速度等。

理解线性函数在现实世界中的意义。

6.2 二次函数的应用学习如何利用二次函数解决实际问题，如最大值和最小值问题等。

理解二次函数在现实世界中的意义。

第七章：函数图像的综合分析7.1 函数图像的识别学习如何识别和分析各种基本函数的图像特点。

培养通过图像来判断函数性质的能力。

7.2 函数图像的组合分析学习如何分析和解决由多个函数图像组合形成的问题。

专题三：函数及其图象一、考点综述：考点内容:初中阶段“函数”内容主要包括：函数的基本知识和一次函数、反比例函数、二次函数的意义、图象、性质以及它们的应用。

考纲要求：（1）能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。

（2）结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数表达式；会画函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

（3）能用一次函数、反比例函数解决某些实际问题；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。

二、例题精析：例1：如图1是小王早晨出门散步时，离家的距离s与时间t之间的函数图象．若用黑点表示小王家的位置，则小王散步行走的路线可能是（）sO t图1 A B C D解题思路：从图中可以看出小王散步的路线分为三段：第一段是距离s随时间t的增大而增大；第二段是时间t增大而距离s没有发生变化；第三段是距离s随时间t的增大而减小。

正确答案：D规律总结：根据函数图象分析清楚函数是如何随着变量的变化而变化的，是做好类似题目的关键。

例2：已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数的图像交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．解题思路：要求一次函数解析式，必须知道两个点的坐标，现在已经知道A点的坐标，只要求出B点的纵坐标是关键，把B点的横坐标代人反比例函数4yx即可。

解：因为B（－1，m）在上，所以所以点B的坐标为（－1，－4）又A、B两点在一次函数的图像上，所以所以所求的一次函数为y=2x-2规律总结：求一次函数解析式要想方设法求出两个点的坐标，再利用待定系数法就能得出答案。

例3：已知点A（－2，－c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标. 解题思路：要求抛物线的顶点坐标，关键是先求出抛物线的解析式，根据题意能求出A′点的坐标和常数c值。

专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、求一次函数与反比例函数的解析式 1、待定系数法.2、一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点. 二、图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 1、反比例函数k .2、将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、图形面积与坐标点之间的关系 三、交点问题 根据已知量求未知量四、根据图象直接写出自变量的取值范围 数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015•资阳）如图10，直线y ＝ax ＋1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线y ＝k x（x＞0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，点A 的坐标为2,0 （）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标.解：（1）把A （﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，∴y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），∵Q（a，b）在y=上，∴b=，当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，∴a﹣2=2b，即a﹣2=，解得：a=4或a=﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，整理得：2a﹣4=，解得：a=1+或a=1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．【例2】（2016•资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），∴点D的坐标是（1，2），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）∵直线AC交y轴于点E，∴S △C D E =S △E D A +S △A D C =，即△CDE 的面积是3．【课后练习】1、（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值解：（1）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0）和A （﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x ﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A （﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B （，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．2、如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的解析式为y ＝2x.3、(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10； (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.4、如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且0≠k ）的图像与反比例函数xy 8-=的图像交于()b A ,2-，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后与反比例ABOy x函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值. 解：（1）将()b A ,2-代入反比例函数xy 8-=，得： 428=--=b∴()4,2-A将()4,2-A 代入一次函数5+=kx y ，得： 4=-2k+5，解得21=k ∴一次函数的表达式为521+=x y （2）直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后的表达式为m x y -+=521， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=x y m x y 8521得：08)5(212=+-+x m x ，16)5(8214)5(4222--=⨯⨯--=-=∆m m ac b∵平移)0(>m m 个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公共点；∴Δ=0，即016)5(2=--m ，解得9,121==m m ， ∴m 的值为1或9.5、(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数直线my x=的图象都经过点A(2，-2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交 于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积。

初中函数复习教案教案标题：初中函数复习教案教学目标：1. 复习和巩固初中函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用函数概念和性质解决实际问题的能力。

3. 提高学生对函数图像、函数关系及其变化规律的理解和分析能力。

4. 培养学生运用函数解决数学问题时的思维能力和创新意识。

教学内容：1. 函数的定义与性质。

2. 线性函数与非线性函数。

3. 一次函数。

4. 二次函数。

5. 函数的图像与变化规律。

6. 函数之间的关系与应用。

教学步骤：一、导入与引入（5分钟）1. 引入函数的概念，提问学生对函数的理解。

2. 示范一个函数的实际例子，让学生观察并讨论其特征。

二、知识点讲解与概念复习（20分钟）1. 复习函数的定义，以及函数的自变量和因变量的关系。

2. 通过实例引导学生复习线性函数和非线性函数的概念。

3. 复习一次函数和二次函数的定义、图像和性质。

三、练习与巩固（30分钟）1. 通过选择题和填空题形式的练习，巩固学生对函数定义和性质的理解。

2. 组织学生利用一次函数和二次函数的性质解决实际问题。

3. 布置一个小组竞赛的作业，要求学生设计一个与函数相关的实际情境并进行解答。

四、归纳与总结（10分钟）1. 邀请学生分享他们在小组竞赛中的解答过程和思路。

2. 归纳总结重点知识和解题技巧。

3. 汇总学生的问题和疑惑，给予解答和解决建议。

五、拓展与应用（15分钟）1. 结合实际生活中的问题，引导学生思考函数的应用场景。

2. 提供更多类似的问题和案例，要求学生运用函数解决。

六、作业布置与反馈（5分钟）1. 布置练习题，要求学生独立完成。

2. 收集作业并进行反馈，纠正错误和提出建议。

教学方法与教学资源：1. 初中函数教学方法：a. 教师讲解法：对函数的定义和性质进行讲解与复习。

b. 问题解决法：通过解决实际问题激发学生对函数的兴趣。

c. 小组合作法：组织学生进行小组竞赛，培养团队合作和创新意识。

2. 教学资源：a. 教师课件和讲解材料。

一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a（x-h的图象；2．使学生了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2的对称轴与顶点；3．了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2同y=ax2的位置关系．（二）能力训练点：1．继续通过画图的教学，培养学生的动手能力；2．培养学生观察、分析、总结的能力；3．继续向学生进行数形结合的数学思想方法的渗透．（三）德育渗透点：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：画出形如y=ax2+k与形如y=a（x-h的二次函数的图象；能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标．因为画出函数图象，是我们研究函数性质的重要方法，只有在准确的图象启发下，我们才能正确得出函数图象的变化趋势和性质，而这些特殊二次函数问题的研究，又是我们研究一般二次函数的基础．2．教学难点：恰当地选值列表，正确地画出形如y=ax2+k和形如y=a（x-h的函数图象．因为二次函数的图象，随着我们研究越来越深入，越来越一般，画起来也就越来越复杂，而恰当地选值，是画出二次函数图象，并能使我们从图象正确得出结论的关键．三、教学步骤（一）明确目标提问：1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如y=ax2的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题．从这节课开始，我们就来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象．（板书）（二）整体感知复习提问：用描点法画出函数y=x2的图象，并根据图象指出：抛物线y=x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．教师可边提问边在黑板上列出表格，同时在事先准备好的有坐标系的小黑板上画出该函数的图象，然后可以找层次较低的学生来指出抛物线y=x2的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价．下面，我们来看一下如何完成下面的例题？（出示幻灯）例1 在同一平面直角坐标系内画出函数y=与y=的图象．可以由学生先选择好自变量的值列表，就列在刚才复习中画函数y=x2的图象所列的表下面．如下表：列完表之后，可以让一名同学上黑板，把这两个函数的图象画在刚才复习中画有函数y=x2的图象的小黑板上，以便于下面的比较，其他同学在练习本上完成，教师巡回指导，等上黑板的同学画完，再集中加以总结即可．然后，由学生来观察小黑板上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：（1）抛物线y=的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线y=x2-1的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？这两个问题可以由图象直接得到，可适当找一些层次较低的学生来回答，给他们以表现的机会．（3）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2有什么关系？通过这两个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．答：形状相同，位置不同．关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）①你所说的形状相同具体是指什么？答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？答：因为a的值相同．通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？先由学生思考，讨论之后，给出答案．答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．④抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线y=x2-1呢？答：抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线y=x2-1是由抛物线y=x2沿y轴向下平移1个单位得到的．⑤你认为是什么决定了会这样平移？答：y=ax2+k中的k的值决定了会这样平移．若k＞0，则向上平移，若k＜0，则向下平移．练习题1由学生独立完成，口答．下面，我们再来看一类二次函数的图象：（出示幻灯）的图象．注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时x的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时x的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路．列完表之后，与例1一样处理，找一名同学板演，教师最好能事先。

中考第一轮复习课一次函数复习课 教案一、教学目标：1、一次函数的代数与几何意义。

一次函数的定义、图象和性质。

2、一次函数解析式的确定。

3、体会一次方程、一次不等式与一次函数的内在联系。

4、在具体问题中培养学生分析解决问题的能力。

二、重难点重点：一次函数的图象与性质；一次函数解析式的确定。

难点：一次函数与方程、不等式的联系；一次函数在实际问题中的应用。

三、教学方法：以题带概念进行重点知识复习，渗透待定系数法、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

四、教学过程点明主题，分类复习。

本节课我们对一次函数的基础知识进行复习。

（一）一次函数的定义例1、已知y 是x 的一次函数，且满足，请求出k 的值。

312+=+-k k kxy 分析解决问题：由一次函数的定义可得，解得k =1。

0112≠=+-k k k 且通过例1回顾总结一次函数的定义：一般的，如果，）是常数，、（0≠+=k b k b kx y 那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b =0时，y 叫做x 的正比例函数。

（二）一次函数的图象和性质例2、请在给定的平面直角坐标系中作出一次函数与的图象，331-=x y 332+-=x y 并回答问题（1）一次函数的图象是一条______________。

（2）由图象可知，随x 的增大而___________，直线经过_________象限；1y 331-=x y 随x 的增大而______________，直线经过__________象限。

2y 332+-=x y （3）直线与y 轴的交点坐标为（__________），直线与y 轴交331-=x y 332+-=x y点坐标为（_________）。

（4）直线与x 轴的交点坐标为（__________），直线与x 轴交331-=x y 332+-=x y 点坐标为（_________）。

（5）直线与直线的交点坐标为（__________），根据图象回答，331-=x y 332+-=x y 当x_____________时，。

课程主题二次函数求有关参数取值范围学习目标1．深入理解二次函数的性质，掌握数型结合的解题思想。

教学内容1．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．【例题精讲】例1：（2016•三明）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；（2）当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．例2：（2016•厦门）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q=25，在平移过程中，若抛物线y=﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．【分析】（1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算抛物线与直线最上和最下满足条件的解析式，并计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=21，∴直线的解析式为y=﹣4x+21，∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+21上，∴n=﹣4×5+21=1，∴点A（5，1），将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6；（2）由抛物线y=﹣x2+px+q与直线y=﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：﹣25+5p+q=n①，﹣20+m=n②，y=﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q=2③，则有解得：∴平移后的抛物线为y=﹣x2+6x﹣3，一次函数的解析式为：y=﹣4x+22，A（5，2），∵当抛物线在平移的过程中，a不变，∵抛物线与直线有两个交点，如图所示，抛物线与直线一定交于点A，所以当抛物线过点C以及抛物线在点A处与直线相切时，只有一个交点介于点A、C之间，①当抛物线y=﹣x2+bx+c过A（5，2）、C（0，22）时，得c=22，b=1，抛物线解析式为：y=﹣x2+x+22，顶点（，）；②当抛物线y=﹣x2+bx+c在点A处与直线相切时，，﹣x2+bx+c=﹣4x+22，﹣x2+（b+4）x﹣22+c=0，△=（b+4）2﹣4×（﹣1）×（﹣22+c）=0①，∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（5，2），﹣25+5b+c=2，c=﹣5b+27，把c=﹣5b+27代入①式得：b2﹣12b+36=0，b1=b2=6，则c=﹣5×6+27=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+6x﹣3，y=﹣（x﹣3）2+6，顶点坐标为（3，6），﹣6=；则0＜S＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故a不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可．例3：（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2﹣2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m=，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．课堂巩固1.（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．课后作业1．（2016•河北）如图，抛物线L：y=﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=12，（1）求k值；（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．【分析】（1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【解答】解：（1）设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M可知OA=2x，代入OA•MP=12，得到2x•y=12，即xy=6．∴k=xy=6．（2）当t=1时，令y=0，0=﹣（x﹣1）（x+3），解得x=1或﹣3，∵点B在点A左边，∴B（﹣3，0），A（1，0）．∴AB=4，∵L是对称轴x=﹣1，且M为（，0），∴MP与L对称轴的距离为．（3）∵A（t，0），B（t﹣4，0），∴L的对称轴为x=t﹣2，又∵MP为x=，当t﹣2≤，即t≤4时，顶点（t﹣2，2）就是G的最高点．当t＞4时，L与MP的解得（，﹣t2+t）就是G的最高点．（4）结论：5或78+．理由：对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y0≤，即L与双曲线在C（4，），D（6，1）之间的一段有个交点．①由=﹣（4﹣t）（4﹣t+4）解得t=5或7．②由1=﹣（6﹣t）（6﹣t+4）解得t=8+和8﹣．随t的逐渐增加，L的位置随着A（t，0）向右平移，如图所示，当t=5时，L右侧过过点C．当t=8﹣＜7时，L右侧过点D，即5≤t．当8﹣＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃．当t=7时，L左侧过点C．当t=8+时，L左侧过点D，即7≤t≤8+．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．2．（2017•济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC=DH=6，∵tan∠DAH==2，∴AH=3，∵OA=4，∴CD=OH=1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CPA=90°，∴PC2+PA2=AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解得m=3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y=﹣x+4，x=1时，y=3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m，∴m=3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．预习思考。

初中函数复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数的概念，掌握正比例函数和一次函数的定义及性质；（2）能够根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数和一次函数的解析式；（3）会用图象法解二元一次方程组，能利用一次函数的图象与性质解决简单的实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习进一步发展学生形象思维能力和应用数学的能力；（2）发展学生数形结合意识，提高学生观察图象的能力。

3. 情感态度价值观：通过复习进一步培养学生良好的学习习惯，提高学生对数学学习的兴趣。

二、教学重难点1. 重点：正比例函数和一次函数的图象与性质。

2. 难点：用图象法解二元一次方程组，及利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值。

三、教学过程1. 情境导入（1）展示初中数学知识网络结构图，引导学生关注函数在初中数学知识体系中的地位与作用；（2）给出二元一次方程，引导学生过渡到一次函数；（3）用函数观点审视方程，揭示二元一次方程与一次函数的联系，并给出一次函数的定义。

2. 知识回顾（1）引导学生回顾正比例函数和一次函数的定义及性质；（2）引导学生回顾一次函数的图象特征，如直线、截距等；（3）引导学生回顾如何根据图象上的点的坐标确定一次函数的解析式。

3. 考点知识精讲（1）讲解正比例函数和一次函数的概念，强调它们的联系和区别；（2）讲解一次函数的图象特征，如直线、斜率、截距等；（3）讲解如何根据图象上的点的坐标确定一次函数的解析式；（4）讲解用图象法解二元一次方程组的方法及步骤；（5）讲解如何利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值。

4. 课堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识；（2）引导学生相互讨论，解决练习题中的疑难问题。

5. 总结与反思（1）引导学生总结本节课所学的主要内容和知识点；（2）引导学生反思自己在学习过程中的优点和不足，提出改进措施；（3）布置课后作业，巩固所学知识。

四、教学评价1. 知识与技能：通过课堂练习和课后作业，评价学生对正比例函数和一次函数的定义、性质和应用的掌握程度；2. 过程与方法：通过课堂提问和练习，评价学生对图象观察和数形结合能力的运用；3. 情感态度价值观：通过课堂表现和课后作业，评价学生对数学学习的兴趣和良好学习习惯的养成。