高中数学破题致胜微方法(求函数值域专题3)：3.求函数值域(三)—导数法求单峰函数值域(含答案)

求函数值域是我们学习函数时的非常重要的一节，在以后我们遇到大题，也经常会要我们讨论函数的取值范围，实际上也是值域的一种体现。

求函数值域有很多方法，其实考查的是对函数本身性质进行分析，处理的能力。

今天我们就一起来看一种常见的方法——代数换元法。

先看例题：1.求函数241y x x =+-令210,1t x x t =-≥=-222422(1)44y t t t ∴=-++=--+≤通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在t =1时取到最大值(],4∴-∞函数值域为可以看出，直接求值域比较难求，讨论函数单调性也不是很容易，但我们发现可以通过换元，把原式转化为二次函数的形式，而二次函数的性质是我们熟悉的，可以帮助我们解决问题。

注意：换元要注意定义域，需要等价转化，才能得到正确的结论。

2.求函数)0208x y x =≤≤的值域令t t =≤≤222220,20111(420)(2)38288x t t y t t t t =-=+=---=--+－ 通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在t =2时取到最大值，还要注意定义域，当t =时，函数取得最小值函数值域为y ∈注意：原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域。

总结：1.形如0)y ax b a b c d ac =+≠、、、为的函数常用常数且换元法求值域 2.令t =转化为二次函数值域3.要注意函数的定义域，通过等价转化，找到正确的值域 练习题：1.求函数5y x =-2.求函数23y x =-+的值域答案：1.设0)t t =≥，则21(1)3x t =+原函数可整理为：222111413655(1)()3333212y t t t t t =-+-=--+=-++ 注意对称轴为32t =-，所以当t≥0时，函数单调递减 所以，t =0时，max 143y =所以原函数值域为14(,]3y ∈-∞2.设0)t t =≥则2134t x -=原函数整理为221313(1)422t y t t -=-+=--+ 所以，t =1时，max 4y = 所以原函数值域为(,4]y ∈-∞基本不等式，是求多项式的最大（小）值的一种常用手段，当然也可以用在求函数的最值上，为求函数值域服务。

导数法求单峰函数值域单峰函数是一种比较常见的函数图形，对于这类函数有一个比较好的性质，即对函数求导只有一个点使'()0f x =，如果函数在这点有极大（小）值,那么这点就是函数在其定义域的最大（小）值点。

利用这个性质，求函数值域就很轻松了。

同学们要注意识别这类函数，并灵活使用。

先看例题:1.求函数14,(0,3]y x x x=+∈的值域 先求导222141'4x y x x-=-= 1'0,2y x == 10,'02x y <<<原函数单调递减 13,'02x y <≤>原函数单调递增 观察函数图象：当12x =时，函数取得最小值，y =4 所以函数值域为[4,)y ∈+∞2。

求函数22x y x e -=的值域 观察函数图象:对函数求导2222'2()'x x y xe x e x --=+⋅⋅- 22'2(1)x y xe x -=-'0,0,1,1y x ==-注意到函数为偶函数，只研究x 〉0时的情况即可。

01,'0<<>原函数单调递增x y><原函数单调递减1,'0x y当x=1时，函数取到最大值max1=ye注意到，x>0时，函数值恒大于0，所以函数最小值趋近于0，但当x=0时，y=0，所以函数值域为1[0,]y∈e注意：可以充分利用函数的对称性，分部分研究函数的性质。

总结:可导函数在其定义域（区间）内只有一个点使'()0f x=，如果函数在这点有极大（小）值，那么这点就是函数在其定义域的最大（小）值点.定义域也适用于开区间或无穷区间。

练习：1。

求函数ln xy=的值域.x2。

求函数3+∞的值域=-在(0,)y x x答案：。

专题03 几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值本内容主要研究几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值.求出抛物线的与定直线平行的切线方程，可以判别式法，焦点在y 轴上的抛物线也可以用导数求出抛物线的切线方程.数形结合，求抛物线上的点到已知直线的最短距离转化抛物线的切线方程与已知直线的距离.先看例题：例：求抛物线264=y x 上的点到直线L ：4x +3y +46=0的最短距离.解：设直线430x y m ++=与抛物线相切264430y x x y m ⎧=⎨++=⎩23016⇒++=y y m 0:m 36∆==由得，2==d整理：求出抛物线的与定直线平行切线方程： 方法一：设与定直线平行的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，消去一个变量得一元二次方程，令Δ＝0，可求出抛物线的与定直线平行切线方程.方法二：焦点在y 轴上的抛物线，可以用导数求出抛物线的与定直线平行切线方程. 求抛物线上的点到已知直线的最短距离转化抛物线的切线方程与已知直线的距离.再看一个例题，加深印象：例：在平面直角坐标系xOy 中,P 为抛物线y 2＝12x 上的一个动点.若点P 到直线3x －y ＋5＝0的距离大于c 恒成立,则实数c 的取值范围为________.解：设与3x －y ＋5＝0平行的抛物线y 2＝12x 的切线方程为3x －y ＋t ＝0，与抛物线方程联立，消去x 得y 2－4y ＋4t ＝0，Δ＝16－16t ＝0，∴t ＝1， 直线3x －y ＋5＝0与 3x －y ＋1＝0的距离是d ==所以点P 到直线3x －y ＋5＝0.因此<c 所以点P 到直线3x －y ＋5＝0的最近距离为c <因此<c总结：1. 求出抛物线的与定直线平行切线方程：方法一：设与定直线平行的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，消去一个变量得一元二次方程，令Δ＝0，可求出抛物线的与定直线平行切线方程.方法二：焦点在y 轴上的抛物线，可以用导数求出抛物线的与定直线平行切线方程.2. 求抛物线上的点到已知直线的最短距离转化抛物线的切线方程与已知直线的距离.练习：1.抛物线y =－x 2上的点到直线4x +3y －8=0距离的最小值是( )2.抛物线2:x y C =上的点到直线02:=--y x l 距离的最小值是( )答案：1.解：设与直线4x +3y －8=0平行的抛物线y 2＝12x 的切线方程为4x +3y －t =0， 令切点A 211(x ,-x ),2y x =-的导函数为y -2x '=，所以点A 处切线的斜率为1-2x .因些， 14-2x =-3，12x =3,即 A 24(,-)39. 抛物线y =－x 2上的点到直线4x +3y －8=0距离的最小值是A 24(,-)39 到直线4x +3y －8=0的距离24|438|439d=53⨯-⨯-=.2.解：设与直线:20l x y --=平行的抛物线2:C y x =的切线方程为x －y +t =0，与抛物线方程联立，消去y 得x 2－x －t ＝0，Δ＝1+4t ＝0，∴t ＝－14， 直线:20l x y --=与 1x y 04--=的距离是1|-2+|d =所以抛物线2:C y x =上的点到直线:20l x y --=。

求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。

原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。

求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。

2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。

原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。

3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。

原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。

因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。

4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。

这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。

5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。

函数值域的题型和方法函数值域是数学中一个重要的概念,涉及到函数的性质和应用场景。

函数值域的题型和方法主要包括以下几种:1. 求函数的值域这是函数值域最常见的题型之一,要求函数y=f(x)的值域。

这类题型常常需要根据函数的定义域和取值范围,确定函数的值域。

常见的求函数值域的方法包括:- 用定义法:根据函数的定义域和取值范围,确定函数的值域。

- 用导数法:通过求导数,确定函数在某一点处的取值,从而确定函数的值域。

- 用区间求导法:通过区间的两端点,求出函数在该区间内的导数,从而确定函数的值域。

2. 判断函数的单调性判断函数的单调性是函数值域中另一个重要的题型。

要求判断函数y=f(x)在区间[a,b]上的单调性。

常见的判断函数单调性的方法包括:- 用定义法:根据函数的定义域和取值范围,确定函数的单调性。

- 用导数法:通过求导数,确定函数在某一点处的取值,从而确定函数的单调性。

- 用区间求导法:通过区间的两端点,求出函数在该区间内的导数,从而确定函数的单调性。

3. 求解函数的极值求解函数的极值是函数值域中常见的最后一种题型。

要求求解函数y=f(x)的极值。

常见的求解函数极值的方法包括:- 用定义法:根据函数的定义域和取值范围,确定函数的极值。

- 用导数法:通过求导数,确定函数在某一点处的取值,从而确定函数的极值。

- 用区间求导法:通过区间的两端点,求出函数在该区间内的导数,从而确定函数的极值。

此外,函数值域还包括其他一些常见的题型和方法,如求函数的最大值、最小值、奇偶性、周期性等。

在实际求解函数值域问题时,需要根据具体的函数情况和问题,选择适合的方法和题型,从而提高求解效率和正确性。

耗时5天，我总结了高中数学求函数值域的20种方法，建议
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高中数学中有很多的题型，其实本身的解题思路并不复杂，但是解题时，由于自己的不仔细审题，或者是对涉及到相关的知识点理解的不透彻，或这是因为在运算的过程中出现了计算错误。

等等原因，都会导致答题错误的出现。

所以想要提高成绩还多的时候都是在于能不能提高数学成绩。

在学习数学的过程中我们首先要知道懂得概念，公式和定理的由来，尤其也要懂得学习方法的重要性，学会思考，那么学习起来也就会轻松很多。

很多家长向我反映孩子的数学成绩比较差，提分困难，所以今天我特意将高中数学求函数值域的方法分享给大家，希望能够帮助各位同学尽快的去掌握。

完整文档，拉到文末。

求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。

下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。

1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。

例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。

如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。

2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。

3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。

4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。

例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。

5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。

通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。

6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。

例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。

7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。

首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。

8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。

高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。

在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。

在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。

所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。

本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。

具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。

方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。

一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。

对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。

需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。

另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。

总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。

求函数值域常用的方法函数的值域是指函数在定义域内可以取到的所有可能的值。

确定函数的值域可以帮助我们了解函数的变化规律以及其他数学问题的解。

以下是一些常见的方法来确定函数的值域。

1.函数的图像法通过绘制函数的图像，我们可以直观地看到函数的取值范围。

根据图像的形状和位置，我们可以确定函数的最大值、最小值以及其他可能的取值。

2.求导数法对于单调函数，可以通过求函数的导数来确定函数的值域。

当函数的导数大于零时，函数是递增的；当函数的导数小于零时，函数是递减的。

根据导数的符号变化，可以确定函数的最大值和最小值。

3.求解不等式法对于一些局部有界的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。

首先，我们根据函数的定义确定限制条件，然后通过不等式的求解来确定可能的取值范围。

4.集合表示法对于一些特殊的函数，可以使用集合表示法来确定函数的值域。

例如，对于一个定义在实数集上的三角函数，可以使用集合表示法来表示函数的值域。

5.极限法对于一些特殊的函数，可以使用极限法来确定函数的值域。

通过求解极限，可以确定函数在无穷远处的取值，从而确定整个函数的值域。

6.函数的性质法对于一些具有特殊性质的函数，可以利用这些性质来确定函数的值域。

例如，对于一个奇函数，其值域可以根据函数的对称性质来确定。

7.利用关系式法对于一些复合函数，可以利用函数之间的关系式来确定函数的值域。

通过将函数进行分解、合并或者替换，可以得到其他已知函数的值域，从而确定整个函数的值域。

8.数学工具法对于一些复杂的函数，可以利用数学工具来确定函数的值域。

例如，使用微积分、线性代数、概率论等工具，可以确定函数的值域。

总结：确定函数的值域是数学中的一个重要问题。

通过函数的图像法、求导数法、求解不等式法、集合表示法、极限法、函数的性质法、利用关系式法和数学工具法等方法，可以确定函数的值域。

不同的函数适合不同的方法，选择适合的方法可以更方便地确定函数的值域。

求函数值域的常用方法下面例析求函数值域的几种常用方法．一、直接法（观察法）适用于较简单的函数，从解析式观察，利用如2000x x ，≥≥等，直接得出它的值域．例1 求函数21y x =+，{}12345x ∈，，，，的值域．解：由21y x =+，{}12345x ∈，，，，，则{}357911y ∈，，，，．所以函数的值域为{}357911，，，，．二、配方法适用于解析式中含有二次三项式的函数，同时要注意闭区间内的值域．例2 求函数[)246(15)y x x x =-+∈，的值域． 解：配方，得2(2)2y x =-+，又[)15x ∈，，结合图象，知函数的值域是[)211，． 三、分离常数法适用于分式型函数，且分子、分母是同次，这时通过多项式的除法，分离出常数，使问题简化．例3 求函数22211x y x -=+的值域． 解：分离常数，得222213211x y x x -==-++． 由211x +≥，得23031x <+≤，即有12y -<≤． 所以函数的值域是[)12-，．四、换元法某些无理函数等，可通过换元法转化为有理函数再求解．例4 求函数y x =+解：设t =21(0)2t x t +=≥，于是2211(1)22t y t t +=+=+． 又0t ≥，得12y ≥． 所以函数的值域是12⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞．五、图象法所谓图象法，就是利用函数图象的直观性，求得函数值域的方法． 例5 求函数12y x x =++-的值域．解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得211312212x x y x x x -+-⎧⎪=-<⎨⎪->⎩，，，，，，≤≤ 作出图象（如右图），显然3y ≥．所以函数的值域是[)3+，∞．x。