7寒假课程初北师大版二数学第7讲：因式分解(1) 【学生版】

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)； (3) 2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22bx a =-240b ac ∆=-<2241x x =-22410x x -+=2a =4b =-1c =224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>41222x ±==±⨯112x =+212x =-(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2018•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∵b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∵x==， ∴x 1=，x 2=． 2．用公式法解下列方程：(1) （2018•武汉模拟）2x 2+x=2； (2) （2018秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ； （3）（2018•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∵a=2，b=1，c=﹣2，∵x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∵b 2﹣4ac=36+24=60＞0， ∵x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.24b ac -24b ac-x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ； 【答案】解：移项，得．∵ ，，，，∴ ，∴ ，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2019•沈阳）一元二次方程x 2﹣4x=12的根是（ ）A ．x 1=2，x 2=﹣6B ．x 1=﹣2，x 2=6C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6 【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【答案】B 【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x +2）（x ﹣6）=0， 解得：x 1=﹣2，x 2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即，∴ ． 240b ac -≥2221x x +=22210x x +-=2a =2b =1c =-224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>21222x -±-±==⨯1x=2x =(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-2(23)0x +=1232x x ==-(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 . 5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2019•厦门）方程x 2﹣2x=0的根是（ ）11x =22x =-3(21)42x x x +=+1212,23x x =-=A ．x 1=x 2=0B ．x 1=x 2=2C ．x 1=0，x 2=2D ．x 1=0，x 2=﹣22．方程的解是( )A ．B ．C ．，D ．，3．一元二次方程的解是( )A ．；B ．；C ．；D ．； 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝76．已知，则的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2018•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足，则________．12．（2019•随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．三、解答题 13．（2018秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法） （3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(1)2x x -=1x =-2x =-11x =-22x =11x =22x =-2340x x +-=11x =24x =-11x =-24x =11x =-24x =-11x =24x =210x x --=3222012x x -++2222()(1)2x y x y ++-=22x y +=(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C【解析】解：x 2﹣2x=0，x （x ﹣2）=0，解得：x 1=0，x 2=2．故选：C ． 2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ； 【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ ，6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ ．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．24b ac -15x =27x =322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=9．【答案】；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2．12.【答案】19或21或23．【解析】由方程x 2﹣8x +15=0得：（x ﹣3）（x ﹣5）=0， ∴x ﹣3=0或x ﹣5=0， 解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21； 当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19； 综上，该等腰三角形的周长为19或21或23. 三、解答题 13. 【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0， （x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ ，．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当时，，；2320x x -+=18x =22x =-1y =-211x +=-1x =-当时，，． ∴ 原方程的解为，． 15.【解析】(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即； ③当原方程没有实数根时， ，即．2y =-212x +=-32x =-11x =-232x =-240b ac ->240b ac -=240b ac -<242015b ac m -=-2420150b ac m -=->34m >34m =2420150b ac m -=-<34m <。

讲义：课题——北师大版—学习因式分解教学步骤及教学内容包括的环节：一、作业检查。

二、课前热身：①．要求学生复述上节课的主要知识。

②．以及习题检测。

三、内容讲解：【知识点】1、因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，也称分解因式。

整式乘法是把几个整式相乘的关系化为一个多项式。

2、如何用提公因式法来分解因式3、如何用公式法来分解因式4、因式分解的一般步骤5、分组分解法、十字相乘法分解因式【典型例题讲解】知识点一：因式分解的概念理解和应用例1、判断下列哪些是整式乘法，哪些是因式分解，哪些两者都不是（1）x3-x=x(x+1)(x-1)(2)(x-2)(x+2)=x2-4(3)8xyz3-6x2y2z=xyz(8z2-6xy)说明：○1整式乘法是一种积化成和差，因式分解是一种和差化积；○2分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止例2、多项式x+mx+5因式分解得（x+5）(x+n)，求m、n的值。

说明：理解因式分解与整式乘法的互逆关系。

例3、如图1所示，是由一个正方形和两个小长方形组成的一个大长方形，根据图形，写出一个关于因式分解的等式。

n n mm图1说明：因式分解与数形结合思想的综合应用【练习1】（1）把下列各式因式分解21xy-14xz+35z2; （2）(x-2)2-x+2; （3）a2(x-2a)2-a(2a-x)2.（2）已知x2-3x+m可以分解为（x+2）(x-5)，则m的值等于（）A、-3 B、3 C、10 D、-10（3）已知多项式2x+bx+c因式分解为2(x-3)(x+1)，求b、c的值。

（4）9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？知识点二：提公因式法1、公因式可以是各项的系数或各项的相同字母，系数应是最大公约数，字母是最低次幂；2、可以是单项也可以是多项式；3、注意多项式变形过程中的符号问题；4、公因式一定是“最大公因式”，当多项式首项的系数是负数时，一般先提出“-”。