数学分析傅立叶级数习题

. . 第十五章 傅里叶级数

一．填空题

1. 设)(xf是周期为2的函数.在),[上的表达式为xxxxf0,2,0,0,0,2)(.则)(xf的傅里叶系数na .

2.若)(xf在],[上按段光滑.则)(xf在],[上的傅里叶级数10sincos2nnnnxbnxaa .

3. 设,0(),0,0xxfxx则此函数的傅里叶级数在x处收敛于 .

4. 设xxxxxxf0,,0,0,0,)(22.则此函数的傅里叶级数在0x处收敛于 .

5. 设50,3,05,0)(xxxf.则此函数的傅里叶级数在0x处收敛于 .

6. )(xf是以2为周期的连续函数.且在],[上按段光滑.则

10sincos2nnnnxbnxaa .

二．选择题

1.下列说法正确的是（ ）

.A若)(xf是以2为周期的函数.且在],[上可积.则)(xf的傅里叶系数中的nxdxxfbnsin)(.,3,2,1n

.B若)(xf是以l2为周期的函数.且在],[ll上可积.则)(xf的傅里叶系数中的llndxlxnxfacos)(.,3,2,1n

.C若)(xf是以2为周期的偶函数.且在],[上按段光滑.则)(xf在],[上. . 可展开成余弦级数1cosnnnxa.

.D若)(xf是以2为周期的奇函数.且在],[上按段光滑.则)(xf在],[上可展开成正弦级数1sinnnnxb.

2.设)(xf是周期为2的函数.在),[上的表达式为xxxxf0,4,0,0,0,4)(.则下列说法错误的是（ ）

.A)(xf在),(上可以展开成傅里叶级数.

.B)(xf的傅里叶展式在x处收敛于4.

.C)(xf的傅里叶展式在0x处收敛于0.

.D)(xf的傅里叶系数0na.

3.设函数)(xf满足)()(xfxf.则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）

.A0na .B0nb .C022nnba .D01212nnba

4.设)(xf是周期为2的函数.在),[上的表达式为xxxf0,4,0,4)(.则下列说法正确的是（ ）

.A)(xf的傅里叶展式在0x处收敛于4.

.B)(xf的傅里叶展式在x处收敛于-4.

.C)(xf的傅里叶展式在x处收敛于4.

.D)(xf的傅里叶展式在x处均收敛于0.

5.将42,3,20,1)(xxxxxf在)4,0(上展开成余弦级数.则下面关说法错误的是

（ ）

.A)(xf的傅里叶展式在2x处收敛于-1. . . .B)(xf的傅里叶展式在0x处收敛于1.

.C)(xf的傅里叶展式在4x处收敛于1.

.D)(xf的傅里叶展式在3x处收敛于1.

6. 若将函数xxf)(在)2,0(内展成正弦级数.则下列说法正确的是（ ）

.A40a

.B)(xf的正弦级数展式在2x处收敛于2.

.C当)2,0(x时.展成的正弦级数收敛于)(xf本身.

.D)(xf在)2,0(内不能展成余弦级数

三．判断题

1.,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx是],[上的正交函数系. ( )

2.若)(xf是以2为周期的函数.且在],[上按段光滑.则)(xf在],[上的傅里叶级数收敛于)(xf本身. （ ）

3.若)(xf在],[上按段光滑.则)(xf在],[上可以展成傅里叶级数.

（ ）

4.函数)(xf是在],[上的周期函数.且在],[上按段光滑.则)(xf在],[上可以展成正弦级数. （ ）

5.函数)(xf的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )

6.设函数,0(),0,0xxfxx则此函数的傅里叶级数在x处收敛于0.

( )

7.,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx是],0[上的正交函数系. ( )

8.xxf)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( )

9.2cos)(xxf在],0[上不能展成正弦级数. ( )

10.若级数10||||2||nnnbaa收敛.则级数10sincos2nnnnxbnxaa在整个. . 数轴上一致收敛. ( )

四．计算题

1.（1）将2)(xxf在]2,0[上展开成傅里叶级数；

（2）利用展开式证明：71513114

2.将xxf)(在)1,1(上展开成傅里叶级数.

3.（1）将xxf)(在]1,0[上展开成余弦级数；

（2）根据展开式求211.21nn

4.将xexf)(在],0[上展开成正弦级数.

5.求TxxTCxf0,0,0,)(（C是常数）在),[TT上的傅里叶展开式.

五．证明题

1.设)(xf在],[上可积或绝对可积.若对],[x.成立)()(xfxf.证明：01212nnba.

2.设周期为2的可积函数)(xf在],[的傅里叶系数为nnba,.函数)(xg的傅里叶系数为nnba~,~.且)()(xfxg.证明：nnnnbbaa~,~.

3.根据2)1()(xxf在)1,0(的余弦级数展开式证明631211222.

4.已知帕萨瓦尔等式为122202)(2)]([1nnnbaadxxf.（nnba,为)(xf的傅里叶系数）.利用),(,cos)1(431222xnxnxnn证明9031211444.

5.已知),(,cos)1(431222xnxnxnn.利用逐项积分法证明3x在),(的傅里叶级数为xnnnnsin)6()1(21322

. . 第十六章——第十七章

一、判断题

1、设平面点集(,),DxyxyZ.则(0,0)为其内点。 ( )

2、若累次极限00limlim(,)xxyyfxy与00limlim(,)yyxxfxy存在且相等.则重极限00lim(,)xxyyfxy必存在。( )

3、若累次极限00limlim(,)xxyyfxy存在.则累次极限00limlim(,)yyxxfxy也存在。

( )

4、若重极限00lim(,)xxyyfxy存在.则累次极限00limlim(,)xxyyfxy与必00limlim(,)yyxxfxy存在。( )

5、若函数(,)fxy在有界集D上连续.则(,)fxy在D上有界。( )

6、若函数(,)fxy在闭域D上连续.则(,)fxy在D上有界。( )

7、若函数(,)fxy在点00(,)xy处沿任何方向的方向导数都存在.则(,)fxy在点00(,)xy处可微。( )

8、若函数(,)fxy在点00(,)xy处的偏导数),(00yxfx.),(00yxfy都存在.则(,)fxy在点00(,)xy处连续。( )

9、若函数(,)fxy在点00(,)xy处的偏导数),(00yxfx.),(00yxfy都存在.则(,)fxy在点00(,)xy处可微。( )

10、若函数(,)fxy在点00(,)xy处可微.则函数(,)fxy在点00(,)xy处的偏导数),(00yxfx.),(00yxfy都存在。( )

11、若函数(,)fxy在点00(,)xy处可微.则),(),,(yxfyxfyx在该点处连续。( )

12、若(,)fxy在其定义域的内点00(,)xy处连续0(,)fxy在0x和0(,)fxy在0y都连续

( ) . . 13、若(,)fxy在其定义域的内点00(,)xy处连续0(,)fxy在0x和0(,)fxy在0y都连续

( )

14. 若函数(,)fxy在点00(,)xy处沿任何方向的方向导数都存在.则(,)fxy在点00(,)xy处偏导数存在。

15. 若(,)fxy在点00(,)xy处偏导数存在.则函数(,)fxy在点00(,)xy处沿x轴正向和负向的方向导数都存在.且互为相反数.

二、选择题

1、若0lim(,)xykxfxyA对任何k都成立.则必有( )

(A) (,)fxy在(0,0)处连续 (B) (,)fxy在(0,0)处有偏导数

(C) 00lim(,)xyfxyA (D) 00lim(,)xyfxyA不一定存在

2、(,),(,)xyfxyfxy连续是(,)zfxy可微的( )

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 无关条件

3、二元函数),(yxfz在),(00yx处可微的充分条件是（ ）

（A）),(yxf在),(00yx处连续；

（B）),(yxfx.),(yxfy在),(00yx的某邻域内存在；

（C） yyxfxyxfzyx),(),(0000当0)()(22yx时.是无穷小；

（D）0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx。

4、设函数2222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy ,则在点(0,0)处（ ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。