傅里叶级数课程及习题讲解

傅里叶级数课程及习题讲解

Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第15章 傅里叶级数

§ 傅里叶级数

一 基本内容

一、傅里叶级数

在幂级数讨论中1()nnnfxax，可视为()fx经函数系

21, , , , , nxxx

线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nxxx为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．

1 三角函数系

函数列1, cos, sin, cos2, sin2, , cos, sin, xxxxnxnx称为三角函数系．其有下面两个重要性质．

(1) 周期性 每一个函数都是以2为周期的周期函数；

(2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]上的积分等于

零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．

对于一个在[,]可积的函数系() [, ], 1,2, nuxxabn:，定义两个函数的内积为

(),()()()dbnmnmauxuxuxuxx，

如果0 (),() 0 nmlmnuxuxmn，则称函数系() [, ], 1,2, nuxxabn:为正交系．

由于

1, sin1sind1cosd0nxnxxnxx；

sin, sinsinsind0 mnmxnxmxnxxmn；

cos, coscoscosd0 mnmxnxmxnxxmn；

sin, cossincosd0mxnxmxnxx；

2 1, 11d2x，

所以三角函数系在,上具有正交性，故称为正交系．

利用三角函数系构成的级数

01cossin2nnnaanxbnx

称为三角级数，其中011,,,,,,nnaabab为常数

2 以2为周期的傅里叶级数

定义1 设函数()fx在,上可积，

11(),cos()cosdkafxkxfxkxx 0,1,2,k；

11(),sin()sindkbfxkxfxkxx 1,2,k，

称为函数()fx的傅里叶系数，而三角级数

01cossin2nnnaanxbnx

称为()fx的傅里叶级数，记作

()fx～01cossin2nnnaanxbnx．

这里之所以不用等号，是因为函数()fx按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()fx．

二、傅里叶级数收敛定理

定理1 若以2为周期的函数()fx在[,]上按段光滑，则

01(0)(0)cossin22nnnafxfxanxbnx，

其中,nnab为()fx的傅里叶系数．

定义2 如果()[, ]fxCab，则称()fx在[,]ab上光滑．若

[,),(0),(0)xabfxfx存在；

(,],(0)xabfx，(0)fx存在，

且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()fx在[,]ab上按段光滑．

几何解释如图．

按段光滑函数图象是由有限条

光滑曲线段组成，它至多有有限个

第一类间断点与角点．

推论 如果()fx是以2为周期的连续函数，且在[,]上按

段光滑，则xR，

有 01()cossin2nnnafxanxbnx．

定义3 设()fx在(,]上有定义，函数

() (,] ˆ()(2) (2,2],1,2,fxxfxfxkxkkk

称()fx为的周期延拓．

二 习题解答

1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数

(1) (),(i) , (ii) 02fxx xx； xyO 角点

解：(i)、()fx=x，(,)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

011()dd0afxxxx．

当1n时，11cosdd(sin)naxnxxxnxn

11sinsind0|xnxnxxnn，

11sindd(cos)nbxnxxxnxn

1112coscosd(1)|nxnxnxxnnn，

所以 11sin()2(1)nnnxfxn，(,)x为所求．

(ii)、()fx=x，(0,2)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

2200011()dd2afxxxx．

当1n时，

220011cosdd(sin)naxnxxxnxn

220011sinsind0|xnxnxxnn，

220011sindd(cos)nbxnxxxnxn

2200112coscosd|xnxnxxnnn， x33yOx422yO

所以 1sin()2nnxfxn，(0,2)x为所求．

(2) 2()(i) (ii) 02fx=x, -π

解：(i)、()2fx=x，(,)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

220112()dd3afxxxx．

当1n时，

2211cosdd(sin)naxnxxxnxn

211sin2sind|xnxxnxxnn

22d(cos)xnxn

222224coscosd(1)|nxnxnxxnnn，

2211sindd(cos)nbxnxxxnxn

212coscosd|xnxxnxxnn

22d(sin)xnxn

2222sinsind0|xnxnxxnn，

所以 221sin()4(1)3nnnxfxn，(,)x为所求．

解：(ii)、()2fx=x，(0,2)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

2222000118()dd3afxxxx． x33yOx4224yO

当1n时，

22220011cosdd(sin)naxnxxxnxn

2220011sin2sind|xnxxnxxnn

2202d(cos)xnxn

2222200224coscosd|xnxnxxnnn，

22220011sindd(cos)nbxnxxxnxn

2220012coscosd|xnxxnxxnn

22042d(sin)xnxnn

2222004224sinsind|xnxnxxnnnn，

所以22214cossin()43nnxnxfxnn，(0,2)x为所求．

(3) 0()(,0,0)0axxfxababbxx．

解：函数()fx，(,)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

000111()()ddd2baafxxaxxbxx．

当1n时，

02011cosdcosdnaaxnxxbxnxx

2[1(1)]nabn

0011sindsindnbaxnxxbxnxx

1(1)nabn

所以21()2()1()cos(21)4(21)nbabafxnxn x33yO

11sin()(1)nnnxabn，(,)x为所求．

2 设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c，有

2

11()cosd()cosd,0,1,2,cncafxnxxfxnxxn，

2

11()sind()sind,1,2,cncbfxnxxfxnxxn．

证：因为()fx，sinnx，cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令2tx有

211()cosd(2)cos(2)d(2)ccfxnxxftntt

c+2 c+2 11()cosd()cosdftnttfxnxx．

从而 2 1()cosdcncafxnxx

2

11()cosd()cosdcnccafxnxxfxnxx

c+2 11()cosd()cosdfxnxxfxnxx

1()cosdfxnxx．

同理可得

2

11()sind()sindcncbfxnxxfxnxx．

3 把函数04()04xfxx展开成傅里叶级数，并由它推出(1)

11114357；

(2) 111111357111317；

(3) 3111111657111317．

解：函数()fx，(,)x作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． x33yO22