高三数学解析几何试题

高三数学解析几何试题

1. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ） 以为直径的圆经过定点：，证明见解析

【解析】第一问根据椭圆的离心率和对应的弦长，求出对应的的值，从而得出椭圆的方程，第二问设出两点的坐标，从而求得直线和直线的方程，从而求得点的坐标，从而写出以为直径的圆的方程，根据点在椭圆上，以及曲线过定点的条件，从而求得所过的定点的坐标．

试题解析：（Ⅰ）设，

∵直线斜率为时，，

∴，

∴

∴，

∵，∴．

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）以为直径的圆过定点．

设，则，且，即，

∵，∴直线方程为： ，

∴ ，

直线方程为： ，∴，

以为直径的圆为

即， ∵，∴，

令，，解得，

∴以为直径的圆经过定点：．

【考点】椭圆的方程，曲线过定点问题．

2. 已知圆C的方程为，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】 【解析】在直线上至存一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解之得，故的最大值为． 【考点】1．直线与圆的位置关系；2．圆与圆的位置关系．

3.

参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是（

）

A．圆和直线

B．直线和直线

C．椭圆和直线

D．椭圆和圆

【答案】D 【解析】由题可知，由参数方程可得，极坐标方程，两端同时乘以，可得，由于，化简可得； 【考点】•简单曲线的极坐标方程󰀀椭圆的参数方程

4. （本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为．

（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;

（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标以及为等边三角形，列出a与b的关系式，解出a和b的值，从而得出椭圆的标准方程；第二问，通过短轴长为2，得到椭圆的标准方程，再讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率存在时，与椭圆的方程联立，消参，得出、，利用向量垂直的充要条件，列出表达式，解出k的值，从而得到直线的方程．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为．

根据题意知, 解得,

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．

当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线的方程为．

由 得． 设,则 对任意都成立，

因为,所以,即

,

解得,即．

故直线的方程为或．

【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．

5. （12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到、，由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即，代入和，解出k的值．

试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，

解得，所以，

故所求椭圆C的方程为．

（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点，，

将直线的方程代入，

并整理，得．（*）

则，．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以，即．

又，

于是，解得，

经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．

所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系． 6. 已知双曲线（，）的离心率为，若抛物线（）的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则 ． 【答案】 【解析】,所以双曲线的渐近线方程为，又抛物线的焦点坐标为，由点到直线的距离公式得. 【考点】双曲线、抛物线的几何性质. 7. 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得，， 再根据直线与圆相切可得的一个关系式，解方程组可得的值．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设，根据可得间的关系式．可解得．将其代入椭圆方程可得的关系式，根据的范围可得的范围．

试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离（*）

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴，， 代入（*）式得，∴，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，

将直线方程代入椭圆方程得：，

∴，∴．

设，，则，

由，

当，直线为轴，点在椭圆上适合题意；

当，得∴．

将上式代入椭圆方程得：，

整理得：，由知，，所以，

综上可得．

【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．

8. 已知椭圆，斜率为1的直线交E于A，B两点，若AB的中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设交点、中点，把A、B两点坐标代入椭圆方程，用点差法可得，因此，故B为正确答案．

【考点】1、斜率的求法；2、中点弦问题．

9. 已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（ ）

A．3 B． C． D．2

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，因为四边形的最小面积是，且此时切线长为，故圆心到直线的距离为，即，解得，又，所以．

【考点】直线与圆的位置关系．

【思路点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，解决本题时先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．

10. 已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．与的取值有关

【答案】B

【解析】因为，所以，所以，即，所以，故选B．

【考点】1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．

11. 若直线与曲线相交于两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图，满足条件的斜率存在，直线过点，且在图中阴影中，此时的倾斜角范围为，故选B．

【考点】直线与双曲线的位置关系．

12. 椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】（1）；（2），恒过定点．

【解析】（1）因为，左焦点到的距离，解得，，，所以椭圆的方程为；（2）设，联立直线方程与椭圆方程得：，根据直线与圆锥曲线的位置关系得：，，因为为直径的圆过椭圆右顶点，所以，将坐标代入结合根与系数的关系化简得：，解得或都满足，分析两种情况，时，，恒过点，当时，，恒过点．

试题解析：（1）由题意得：e＝＝，①

左焦点（－c，0）到点P（2，1）的距离为

＝，②

由①②可解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3．

∴所求椭圆C的方程为＋＝1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx＋m代入椭圆方程得， （4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0．

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，

且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m．

∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2（2，0），

∴·＝0．

∴（x1－2，y1）·（x2－2，y2）＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2

＝（x1－2）（x2－2）＋（kx1＋m）（kx2＋m）

＝（k2＋1）x1x2＋（km－2）（x1＋x2）＋m2＋4

＝（k2＋1）·－（km－2）·＋m2＋4＝0．

整理得7m2＋16km＋4k2＝0．

∴m＝－k或m＝－2k都满足Δ＞0．

当m＝－2k时，直线l的方程为y＝kx－2k＝k（x－2），

恒过定点A2（2，0），不合题意，舍去．

当m＝－k时，直线l的方程为y＝kx－k，即y＝k（x－），恒过定点（，0）．

【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、直线系过定点．

【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，利用向量研究垂直关系和直线系恒过定点问题，属于难题．解题时一定要注意涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，联立方程组，得一元二次方程后，根据根与系数的关系得：，，待用；过定点问题，需将两参数化为一个，转化为直线系，得出所求定点．

13. 已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点，A为右顶点，B为上顶点），则该椭圆的离心率是______．

【答案】

【解析】把xc代入椭圆方程求得y=±，∴|PF|=，∵OP∥AB， PF∥OB，∴△PFO∽△ABO，∴，求得b=c，∴e=．

【考点】椭圆的离心率．

14. 已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求直线l的方程．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）y=（x﹣4）．

【解析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；

（Ⅱ）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．

试题解析：（Ⅰ）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，

故b2=a2﹣c2=3，

椭圆的标准方程是．

（Ⅱ）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，

设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．