铅锤高求三角形面积法
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(完好版)铅锤高求三角形面积法
作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法
------------ 二次函数教课反思
近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形
面积问题的一个好方法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类
方法现总结以下：如图 1，过△ ABC的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的
距离叫△ ABC的“水平宽” ( a) ，中间的这条直线在△ ABC内部线段的长度叫△ ABC的“铅垂高 ( h) ” . 我们
可得出一种计算三角形面积的新方法： S ABC 1 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 .
2
y y
铅垂高 B B
C
h
C D
B
水平宽
A
O
x A
O x
a
图 1
P
例 1．（2013 深圳） 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA，将线段 OA 绕原点
O 顺时针旋转 120°，获得线段 OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的分析式；
（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不
存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最
大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.
解：（ 1）B（ 1， 3 ）
（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B（ 1, 3 ），得 a 3 ，所以 y 3 x2 2 3 x
3 3 3
（ 3）如图，抛物线的对称轴是直线 x=—1，当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时，△ BOC 的周长最小 .
k 3
k b 3, 3 3 2 3 3
设直线 AB 为 y=kx+b.所以 解得 ，所以直线 AB 为 y ，
2k b 0. 2 3 x ，当 x=－1 时，y
b 3 3 3
3
所以点 C 的坐标为（－ 1， 3 /3） .
（ 4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D .
1 (完好版)铅锤高求三角形面积法
1 S PAB S PAD S PBD ( yD yP )( xB xA )
2
1 3 x 2 3 3 x2 2 3 x 3
2 3 3 3 3
3 x2 3 x 3
2 2 2
3 1 3
9
2 x
8
2
当 x=－ 1 时，△ PAB 的面积的最大值为 9 3 ，此时 P 1 , 3 .
2 8 2 4
例 2．(2014 益阳 ) 如图 2，抛物线极点坐标为点 C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的分析式； (2)点 P 是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点， 连接 PA，PB，当 P 点运动到极点
C 时，求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；(3)能否存在一点 P，使 S△ PAB= 9
8
若不存在，请说明原由 .
S△ CAB，若存在， 求出 P 点的坐标；
解： (1) 设抛物线的分析式为： y1 a(x 1) 2 4 把 A（3,0）代入分析
y
式求得 a 1所以 y1 (x
1) 2 4 x2 2x 3 设直线 C
AB 的解
B
析式为： y2 kx b 由 y1 x 2 2x 3 求得 B 点的坐标为 (0,3) 把
D
A(3,0) ， B(0,3) 代入 y2 kx b 中 1 x 解 得 ：
A O1
k1, b 3 所以 y2 x 3
图- 2
(2) 因为 C 点坐标为 (１ ,4)所以当 x＝１时， y1＝ 4， y2＝ 2 所以 CD ＝ 4- 2
＝ 2 S CAB 1
3 2 3 (平方单位 )
2
(3) 假设存在吻合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△ PAB 的铅垂高为 h，则
h y1 y2 ( x 2 2x 3) ( x 3) x 2 9 1 3 ( x 2 3x) 9 3化简 3x 由 S = S 得
△ PAB 8 △ CAB 2 8
得： 4x 2 12 x 9 0解得， x 3 将 x 3 代入 y1 x2 2x 3 中，解得 P 点坐标为 ( 3 , 15 )
2 2 2 4
例 3．（ 2015 江津） 如图，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3， 0) 两点，（ 1）求该抛物
线的分析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上能否存在点 Q，使得△ QAC的
周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上
能否存在一点 P，使△ PBC的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及△ PBC的面积最大值 . 若没有，请说
明原由 .
2 (完好版)铅锤高求三角形面积法
解： (1) 将 A(1 ， 0) ， B( － 3，0) 代 y x2 bx c 中得 1 b ＝ b 2 c 0 ∴
9 3b c 0 c 3
∴抛物线分析式为： yx2 2x 3
(2) 存在。 原由以下：由题知 A、 B 两点关于抛物线的对称轴 x1 对称
∴直线 BC与 x 1 的交点即为 Q点， 此时△ AQC周长最小 ∵ y x2 2x 3
∴ C 的坐标为： (0 ， 3) 直线 BC分析式为： y x 1 的解 x 3 Q 点坐标即为
x y 3
x 1 ∴ ∴Q(－ 1， 2)
y 2
（ 3）答：存在。原由以下：
设 P 点 (x， x2 2 x 3) ( 3 x 0) ∵ S BPC S四边形
BPCO S BOC S四边形 BPCO 9 若 S四边形 BPCO
1 BE PE 1 OE( PE 2
有最大值，则 S BPC 就最大，∴ S四边形 BPCO＝ SRt BPE S直角梯形 PEOC OC )
2 2
＝ 1 ( x 3)( x2 2x 3) 1 ( x)( x2 2x 3 3) ＝ 3 ( x 3)2 9 27
2 2 2 2 2 8
当 x 3 时， S四边形 BPCO 最大值＝ 9 27 ∴ S BPC 最大＝ 9 27 9 27
2 2 8 2 8 2 8
当 x 3 时， x2 2x 3 15 ∴点 P 坐标为 ( 3， 15 )
2 4 2 4
y
P y
C
C Q
B A B A
O x E O x
(2) (3)
(完好版)铅锤高求三角形面积法
3 (完好版)铅锤高求三角形面积法
同学们可以做以下练习：
1．（ 2015 浙江湖州）已知如图，矩形 OABC的长 OA= 3 ，宽 OC=1，将△ AOC沿 AC翻折得△ APC。
（ 1）填空：∠ PCB=____度， P 点坐标为（ ， ）；
（ 2）若 P， A 两点在抛物线 y=－
4
3
x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C在此抛物线上；
（ 3）在（ 2）中的抛物线 CP段（不包含 C，P 点）上，能否存在一点 M，使得四边形 MCAP的面积最大？若
存在，求出这个最大值及此时 M点的坐标；若不存在，请说明原由。
2．（湖北省十堰市 2014）如图①， 已知抛物线 y ax 2 bx 3 a 0
）与 x 轴交于点 A(1
， 0)
和点
（ ≠
B ( － 3，0)，与 y 轴交于点 C． (1) 求抛物线的分析式； (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对
称轴上能否存在点 P，使△ CMP 为等腰三角形？若存在， 请直接写出全部吻合条件的点 P 的坐标； 若不存
在，请说明原由． (3) 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE ，求四边形 BOCE 面积
的最大值，并求此时 E 点的坐标．
图① 图②
4 (完好版)铅锤高求三角形面积法
3.( 2015 年恩施 ) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数 错误 !未找到引用源。 的图象与 x 轴交于 A、B
两点， A 点在原点的左边， B 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 C（0， -3）点，
点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 .
（ 1）求这个二次函数的表达式．
（ 2）连接 PO、 PC， 并把△ POC 沿 CO 翻折，获得四边形 POP 错误! 未找到引用源。 C， 那么能否存
在点 P，使四边形 POP 错误 ! 未找到引用源。 C 为菱形？若存在，央求出此时点 P 的坐标；若不存在，请
说明原由．
（ 3）当点 P 运动到什么地点时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 .
解：（ 1）将 B、 C 两点的坐标代入得
错误 !未找到引用源。 错误 ! 未找
解得： 所以二次函数的表达式为： 到引用源。
错误 ! 未找到
错误 !未找到引用源。 图 11
引用源。
（ 2）存在点 P，使四边形 POP 错误! 未找到引用源。 C 为菱形．设 P 点坐标为（ x，错误 ! 未找到引用源。 ）， PP 错误 ! 未找到引用源。 交 CO 于 E
若四边形 POP 错误 ! 未找到引用源。 C 是菱形，则有 PC ＝PO．
连接 PP 错误 ! 未找到引用源。 则 PE⊥CO 于 E，∴ OE=EC = 错误 !未找到引用
