各种常用计算公式集锦

1 一、常见数学运算

1、尾数估计法、自然数次方尾数估算法：156不变，24为2，其余4

4n尾数变化是：4，6依次循环，变化周期是2

9n尾数变化是：9，1依次循环，变化周期是2

2n尾数变化是：2，4，8，6依次循环，变化周期是4

3n尾数变化是：3，9，7，1依次循环，变化周期是4

7n尾数变化是：7，9，3，1依次循环，变化周期是4

8n尾数变化是：8，4，2，6依次循环，变化周期是4

二、路程问题：距离=速度×时间

凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题；凡阻碍相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。

1、相遇（相离）问题：关键核心是“速度和”

①一次相遇问题模型：甲、乙分别同时从A、B两地相对方的方向出发，在中途相遇了，则

A、B之间的距离=速度和（甲的速度+乙的速度）×相遇所需时间

②二次相遇问题模型：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇（距B地距离a），相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇（距A地距离b）。则：1）甲、乙第二次相遇时走的路程分别是第一次相遇时走的路程的两倍，即甲第一次相遇后到第二次相遇时走的路=第一次相遇前走的路的2倍

2）A.B两地相距s= 3a-b

2、追击问题：关键是“速度差”

甲先从A地向B地出发，出发了一段时间乙再从A地向B地出发，他们的速度不一样，后出发的人速度肯定比先出发的人快，在中途相遇了，则 2 追击的距离=路程差=速度差（大速度-小速度）×相遇所需的时间（即：追及时间）

3、队伍问题

从队尾到队头的时间＝队伍长度÷速度差

从队头到队尾的时间＝队伍长度÷速度和

4、沿途数车问题样题

1）两车间距=背后（追及）时间间隔×（车速-步速）

火车.自行车同向行进，速度分别为a、b，火车超过自行车时间为t，

可知火车身长为s＝（a－b）t

2）两车间距=迎面（相遇）时间间隔×（车速+步速）

5、流水行程问题

顺水速度=般速+水速 逆水速度=船速-水速

顺水速度-逆水速度=2水速 顺水速度+逆水速度=2船速

顺流的路程差=顺流速度*顺流时间差

逆流的路程差=逆流速度*逆流时间差

顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间

逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间

6、环形运动问题：

环形周长=（大速度+小速度）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔

环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔

7、加速度公式 ： S＝V0T+(aT/2)T V0：初速度 aT：末速度 T：经过的时间

三、工程问题 3 1、工程量问题

工作总量÷工作效率=工作时间

可以把全工程看做“1”，工作要n天完成推知其工作效率为1／n，两组共同完成的工作效率为(1／n1)+(1／n2)，

2、牛吃草问题

求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量);

『吃草效率（头数×虚拟单位效率1）－草生长率』×时间 是一个恒定量。

（牛×天数多—牛×天数少）÷（天数多—天数少）=每天新增草量=牛头数-原草量÷牛天数

3、抽水问题

『动机效率（台数×虚拟单位效率1）－渗水率』×时间 是一个恒定量

四、商业中的百分数问题

1、商品销售问题、利润问题

利润=卖价（定价×折扣）-成本=成本（进价）×利润率

2、利息和利率的问题

本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数)

五、日期问题

1、日历问题

计算月日要记住几条法则。每过一年星期数加一，但是闰年加二

一是每年的1、3、5、7、8、10、12这七个月是31天；二是每年的4、6、9、11这四个月是30天 4 三是每年的2月，如果年份能被4整除，则该年的2月是29天(如2004年)，如果该年的年份不能被4整除，则是28天(如2005年)。

计算星期几时，需将天数÷7，余数与原星期数相加，若得数大于7时则需减7，所得之数就是所求的星期几

2 闰年的判定关键：闰年为366天，一般来说，用年份除以4，能整除就是闰年。但是，整百年份要除以400。比如1900年不是闰年，1600年是闰年

3、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题）

（1）时针与分针一昼夜重合22次，成180°也是22次；垂直44次

（2）夹角公式 分钟数=角度差/速度差

0时（12时）的刻度线为0度起点线，时针每小时走30度，每分钟走0．5度；分针每分钟走6度；分针与时针的速度差为5．5度。 分钟数=角度差/速度差

任意时间的夹角公式：a=|5.5Y－30X| a为所要夹角度数

解： X时Y分时，时针与0度起点线的夹角是：30X＋0.5Y

X时Y分时，分针与0度起点线的夹角是：6Y

所以X时Y分时，分针与时针的夹角 ＝|6Y－(30X＋0.5Y)|＝|5.5Y－30X|

（3）钟表重合公式，公式为： x/5=(x+a)/60 a为时钟前面的格数。

X时Y分时两针重合的公式是：Y=60X/11

解：两个角度相等时两针重合，所以 30X＋0.5Y＝6Y 所以Y＝60X/11

2、年龄问题

年龄问题的核心是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。

几年后年龄＝年龄差÷倍数差一小年龄，

几年前年龄＝小年龄一年龄差÷倍数差。 5 Ab与ba的差是s的4倍，则有4s＝a×10＋b－（b×10＋a）『经常用于祖孙三代年龄问题』

3、任期算法

[例]假如某社规定，每位主任都任职一届，一届任期4年，那么10年期间该社最多有几位主任任职?A.3 B.4 C.5 D.6 答案B。10÷4＋1＋1＝4

六、抽屉问题

1、抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。

抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

抽屉原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m＋1个或多于m＋l个的物体。

抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋l个苹果放到n个抽屉里，放2个苹果或2个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“n+1个苹果”的条件矛盾。

运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类，等等。

2、错排问题、装错信封问题

有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数记作Dn

则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。。

3、伯努力利概率

某人一次射击中靶的概率是３/５，射击３次，至少两次中靶的概率是（ D）

Ａ４４/１２５ Ｂ４５/１２５ Ｃ７２/１２５ Ｄ８１/１２５ 6 伯努利概率

击中概率3/5，则没击中概率2/5=>至少两次击中的概率=两次击中的概率+三次击中的概率=C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)*[(3/5)^3]*[(2/5)^0]= 81/125

从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？答：和为8有9种，其中5有2种，则2/9

七、几何问题

1、面积问题

常用的方法是：割补法

三角形s=1/2ah 长方形s=ab 正方形s=aa 圆形s=1/4πd2

球体积＝4PIr的立方/3 球表面积＝4PIr的平方

锥体体积＝1/3 sh

对角线垂直梯形的面积，等于两对角线的乘积的一半

2、方阵问题

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人数=[每边人数一1]×4；

③中实方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）

（4）去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

中空方阵总人数=（每边人数一层数）×层数×4

3、边长为N的立方体由边长为1的小立方体组成，一共有N^3个小立方体，露在外面的小立方体共有 N^3－（N－2）^3 7 边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc－（a－2）（b－2）（c－2）

4、圆分割平面公式：几个圆相交最多把平面分割成N^2－N+2

5、n条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2) 如 f（11）＝19

6、用求包裹立方体的纸的大小，要求1.纸的面积大于立方体表面积 2.要求纸的长宽要大于立方体的展开的边幅。

八、溶液问题

1、溶液浓度＝溶质的质量/溶液的质量×100％

溶液=溶质+溶剂=溶质/浓度

2、多次混合问题核心公式：

（1）、设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作先倒出N克盐水，再倒入N克清水。

Cn=Co（1-N/M）^n[Cn为新浓度，Co为原浓度]

（2）、设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作先倒入N克清水，再倒出N克盐水。

Cn=Co（M/（M+N））^n[Cn为新浓度，Co为原浓度]

3、有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重x克，乙杯盐水重y克.现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐水是多少克

解析：带入公式 m=xy/(x+y)

4、溶液配比问题：关键是溶质总量不变

某A溶液a克2％，某乙溶液b克4％，按如何比例可配成3％的溶液

a2％＋b4％＝3％（a＋b），求出a/b即可～

九、植树问题 8 1、两端都种：也就是说种的棵数比段数多1

棵数=段数+1=全长÷株柜+1

2、只种一端：也就是说种的棵数先天段数

棵数=段数=全长÷株柜

3、两端都不种：也就是说种的棵数比段数少1

棵数=段数-1=全长÷株柜-1

4、双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树的2倍。

5、封闭型植树，即首尾相连型

棵树=线路总长÷株距

6、楼梯问题

楼梯台阶数=层间台阶数×(层数-1) 因为一层没楼梯，不需要上楼梯，所以需减1

十、其它问题

1、集合问题：容斥原理

两者都满足最少个数=总数-（总数-满一个数）-（总数-满二个数）

2、“X00”页码中数字出现次数

如果数字小于X，则为：100+X00/10*2，依次类推，1000+X000/10*3（看X后“0”个数）

如果数字大于X，则为：X00/10*2，依次类推，X000/10*3

如果数字等于X，则为：X00/10*2+1，依次类推，X000/10*3+1（注意含“X”本身）

3、鸡兔同笼计算法（关键是“总脚数”不变）

总脚数=兔脚数× 兔总数+鸡脚数×鸡头数

4 “多米诺骨牌”的问题