甘肃省全国高中数学联合竞赛预赛试题(甘肃卷)

2022年第5期25

2021年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛

中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号：1005 - 6416(2022)05 - 0025 - 06

一、填空题(每小题7分，共70分)1. 已知 aM -2,且 4 = {乂丨-2 Wn Wa | ,

B = \y\y = 2x +3 ,x G A },

C = \ t\t =x2 ,x A \.

若CUB,则a的取值范围是_____.

2. 已知A ABC的外接圆的圆心为O,AB

=2,4C = 3 ,BC =打.贝问•说=_____.

3. 若实数满足

x + y2 -2x +2y - \ =0,

则代数式 M = (% + l)sinz + (y-l) cos z 的

最大值为_____•

4. 某天早晨的课程表要排入语文、数学、

英语和两节自习共5节课•第一节不排数学,

最后一节不排语文的概率是_____•

r2- 1 r<0.5. 已知函数/(x)= : 二’|/( % - 1), % >0.若关于％的方程f(x) = x+a有且只有两

个不相等的实数根，则实数«的取值范围是

6. 设 /(«)=-芥亍怎+1 (%)"(/.(%)),

x¥= -2,%M -3.则f2 022,2 021 ) =_____.

7. 已知复数Z的模为1.若当z=Zj、z =z2

时，lz + l + il分别取得最大值、最小值，则

zx -z2=______.8. 在四面体4BCD中，是等边三

BCD =90°,BC = CD = \ ,AC = ,E

F分别为BD、AC的中点.则直线4E与BF所

成角的余弦值为_____•

9. 已知 P 为 0C：(%+2)2 +/ =4 上一动

点，且不在坐标原点，定点A(2,0),线段4P的

垂直平分线与直线CP交于点Q.设M( - 1,

••- +------------------------->?2 2 2 _ © + °2 + …+ an-\

2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷

（考试时间：2019年6月30日9：00－11：30，满分150分）

题号 一 11 12 13 14 15 16 总分

得分

评分人

复核人

一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上）

1、已知2a，且2Axxa，23,ByyxxA，2,CttxxA，若CB，则a的取值范围是

.

2、ABC的三边分别为a，b，c,O为ABC的外心，已知22b20bc，BCAOuuuruuur的取值范围是 .

3、已知434log,log4,log5,aebc===则a，b，c的大小关系是

.

4、若方程211axx有实数解，则实数a的取值范围是 .

5、在数列}{na中，1a＝2，)(1*1Nnaann，设nS为数列}{na的前n项和，

则2017201820192SSS的值为 ．

6、在复平面内，复数123,,zzz的对应点分别为123,,ZZZ,若12122,0zzOZOZuuuruuur，1232zzz，则3z的取值范围是 .

7、已知函数f(x)＝ln x，x>1，12x＋12，x≤1，若m

8、已知椭圆22143xy的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是 ．

9、已知1100121xyxyy，且，则2xy的最小值为 .

10、定义两点11(, )Pxy，22(, )Qxy之间的“坐标距离”为：1212(,)||||dPQxxyy．若(, )Cxy到点(1, 3)A，(6, 9)B的“坐标距离”相等，其中实数xy、满足010x，010y，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为__________

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专业整理分享 2017年全国高中数学联赛A卷一试

一、填空题

1.设)(xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1)4()3(xfxf.又当70x时，)9(log)(2xxf，则)100(f的值为__________.

2.若实数yx,满足1cos22yx，则yxcos的取值范围是__________.

3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1109:22yx，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

5.正三棱锥ABCP中，1AB，2AP，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系xOy中，点集1,0,1,),(yxyxK.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.

7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若3A，ABC的面积为3，则ANAM的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列nnba,满足：20171010ba，对任意正整数n，有nnnaaa12，nnbb21，则11ba的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设mk,为实数，不等式12mkxx对所有bax,成立.证明：22ab.

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1

2

3

第1页，共8页二Ｏ二一年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷

参考答案及评分标准

一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上）

2sinsinAB二、解答题（共6小题，满分80分。要求写出解题过程）11、（13 分）∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为

a

、b

、c

，设sin2 A +sin2 B −sin2 C =

．

（Ⅰ）求C

；

（Ⅱ）若3

cos

5B

，D

是边BC

上一点，且4CDBD

，ACD

的面积为7

5，求AC

．

sinsinsinabc

ABC

，

2sinsinAB解析（1）由正弦定理知，

∵sin2 A +sin2 B −sin2 C =

，

2ab

∴a2

+b2

−c2

=

，

由余弦定理知，2222

cos

22abc

C

ab



，

∴

4C



．………5分

（2）设AC＝x，BD＝y，则CD＝4y，BC＝5y，

∵S

△ACD＝AC•CD•sinC，

∴712

4

522xy

，即72

10xy

，①

∵3

cos

5B

，

4C



，

∴sin∠BAC＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝423272

525210

，

在△ABC中，由正弦定理知，

sinsinBCAC

BACB

，题号12345678910

答案1

,3

2



5

2

32213

20

,1

202122i2

330第2页，共8

页5

4

72

5

10yx

，即72

5

10xy

，②

由①②得，x＝2，

∴AC＝2．………13分

12、（13分）为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定

点投篮比赛（每人各投一次为一轮）．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投

一次篮，两人有1

人命中，命中者得1

分，未命中者得1

分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为2

3，乙每次投篮命中的概率为1

2，且各次投篮互不影响．

（Ⅰ）经过1