【创新设计】(教师用书)2015届高考数学第一轮复习 几何证明选讲细致讲解练 理 新人教A版选修4-

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1 / 26 几何证明

第1讲

相似三角形的判定及有关性质

[最新考纲]

了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．

知 识 梳 理

1．平行截割定理

(1)平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

(2)平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

2．相似三角形的判定与性质

(1)相似三角形的判定定理

①两角对应相等的两个三角形相似．

②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．

③三边对应成比例的两个三角形相似．

(2)相似三角形的性质定理

①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

②相似三角形周长的比等于相似比．

③相似三角形面积的比等于相似比的平方．

3．直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，

则有CD2＝AD·BD，

AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.

诊 断 自 测

1.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′， word

2 / 26 如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.

解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．

答案 32

2.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________．

解析

∵△ABC∽△AFE，

∴BCEF＝32.

又EF＝8，∴BC＝12.

答案 12

3. (2014·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________.

解析 在Rt△ADB中，

DB＝AB2－AD2＝7，

依题意得，△ADB∽△ACE，

∴DBEC＝ADAC，可得EC＝DB·ACAD＝27.

答案 27

4.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．

解析 ∵E为AB中点，∴AEAB＝12，即AE＝12AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝32AB，

又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为AEAC＝13.

故△ADE与△ABC的相似比为1∶3. word

3 / 26 答案 1∶3

5. (2014·某某模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则BFFC＝________.

解析 如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即

EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此BFFC＝12.

答案 12

考点一 平行截割定理的应用

【例1】 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．

解析 由 DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2⇒AEAC＝AFAD＝DEBC＝23，又DF＝1，

故可解得AF＝2，∴AD＝3，

又ADAB＝23，∴AB＝92.

答案 92

规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．

【训练1】 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________． word

4 / 26

解析

如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.

∴xx＋h1＝23，得x＝2h1，x＋h1x＋h1＋h2＝34，得h1＝h2.

∴S梯形ABFE＝12×(3＋4)×h2＝72h2，

S梯形EFCD＝12×(2＋3)×h1＝52h1，

∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.

答案 7∶5

考点二 相似三角形的判定及性质

【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点，

ED、CB延长线交于一点F.

求证：FD2＝FB·FC.

证明 ∵E是Rt△ACD斜边中点，

∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，

∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，

∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，

∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.

规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．

(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．

【训练2】 (2013·某某卷)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.

解析 ∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED，

又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠为公共角，

所以△PDE∽△PEA，

PDPE＝PEPA，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝6. word

5 / 26 答案

6

考点三

直角三角形射影定理及其应用

【例3】 如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.

证明 ∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，

∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，

∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，

∴AF·BF＝GF·HF.

因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，

所以DF2＝GF·HF.

规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．

(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．

【训练3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.

解析 在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝ADAC＝45，得AC＝5，CD＝AC2－AD2＝3，

又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝AC2AD＝254.

∴BD＝AB－AD＝254－4＝94，

由射影定理BC2＝BD·AB＝94×254，∴BC＝154.

答案 3 154

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6 / 26 三角形相似与圆的交汇问题

【典例】 如图所示，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明：

(1)AC·BD＝AD·AB；

(2)AC＝AE.

[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB，△DAB中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD∽△ABD，再结合第(1)问结论得证．

证明 (1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，

同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.

从而ACAD＝ABBD，

即AC·BD＝AD·AB.

(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.

从而AEAB＝ADBD，即AE·BD＝AD·AB.

综合(1)的结论知，AC＝AE.

[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD∽△ABD，从而无法解答．

(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立．

2．防X措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．

(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用．

【自主体验】

(2013·某某卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.

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7 / 26 求证：AC＝2AD

证明 连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO＝∠ACB＝90°.

又因为∠A＝∠A，

所以Rt△ADO∽Rt△ACB.

所以ADAC＝ODBC.

又BC＝2OC＝2OD，

故AC＝2AD.

一、填空题

1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为________．

解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.

答案 △FCD、△FBE、△ABD

2.

(2014·某某模拟)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．

解析 ∵M，N分别是AB、BC中点，故MN綉12AC，

∴△MON∽△COA，∴S△MONS△AOC＝MNAC2＝14.

答案 1∶4

3.