第6章土压力计算6.1概述6.1.1土压力的产生及计算简述在水利水电、铁路和公路桥梁及工民建等工程建设中，常采用挡土墙来支撑土坡或挡土以免滑塌。
例如：支挡建筑物周围填土的挡土墙(图6-1a)，房屋地下室的侧墙， (图6-1b)，桥台，图(6-1c)，水闸边墙，(图6-1d)等。
这些结构物都会受到土压力的作用，土体作用在挡土墙上的压力称为土压力。
作用于挡土墙背上的土压力是设计挡土墙要考虑的主要荷载。
挡土墙按结构型式可分为重力式、悬壁式、扶壁式等。
可用块石、条石、砖、混凝土与钢筋混凝土等材料建筑。
挡土墙的设计，一般取单位长度按平面问题考虑。
作用于挡土墙上的土压力的计算较为复杂，目前计算土压力的理论仍多采用古典的朗肯理论和库伦理论。
大型及特殊构筑物土压力的计算常采用有限元数值分析计算。
本章主演介绍静止土压力的计算、主动土压力及被动土压力计算的朗肯理论和库伦理论及一些特殊情况下的土压力的计算。
对非极限土压力的计算请参阅有关书籍及参考文献。
6.1.2 土压力的类型试验表明，土压力的大小主要与挡土墙的位移、挡土墙的形状、墙后填土的性质以及填土的刚度等因素有关，但起决定因素的是墙的位移。
根据墙身位移的情况，作用在墙背上的土压力可分为静止土压力、主动土压力和被动土压力。
1) 静止土压力当挡土墙静止不动时，即不能移动也不转动，这时土体作用在挡土墙的压力称为静止土压力p o。
2) 主动土压力挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力P a。
3) 被动土压力挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力P p。
上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，可用图6-2来表示。
由图可知P p＞P o＞P a。
6.2 静止土压力的计算当墙身不动时，这时墙后埴土处于弹性平衡状态。
在填土表面以下任意深度Z处取一微小单元体，如图6-3所示，在微单元体的水平面上作用着竖向的自重应力γZ，该点的侧向应力即为静止土压力强度pγ⋅=kz(5 -1)式中： p o ——静止土压力，kPa ；k o ——静止土压力系数，一般应通过试验确定，无试验资料时，可按参考值选取；砂土的k o 值为0.35～0.45；粘性土的k o 值为0.5～0.7，也可利用半经验公式k o =1-sin ϕ′计算。
ϕ′——土的有效内摩擦角；γ——填土的重度，kN/m 3；Z ——计算点距离填土表面的深度，m 。
由式6-1可知，静止土压力沿墙高呈三角形分布如图6-2b 所示。
如果取单位墙长计算。
则作用在墙背上的总静止土压力为00221k H P ⋅=γ (6-2) 式中：H ——挡土墙的高度，m 。
方向垂直指向墙背。
合力Po 的作用点在距离墙底3H处。
6.3朗肯土压力理论 6.3.1 朗肯基本理论朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin ）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。
在其理论推导中,首先作出以下基本假定。
(1)挡土墙是刚性的墙背垂直； (2)挡土墙的墙后填土表面水平；(3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。
把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。
如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，σz 仍保持不变，但σx 将不断增大并超过σz 值，当土墙挤压土体使σx 增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O 3，σz 变为小主应力，σx 变为大主应力，即为朗肯被动土压力(p p )。
土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为245ϕ-︒。
6.3.2朗肯主动土压力的计算 根据土的极限平衡条件方程式σ1=σ3tg 2(45°+2ϕ)+2c ·tg(45°+2ϕ) σ3=σ1tg 2(45°-2ϕ)-2c ·tg(45°-2ϕ) 土体处于主动极限平衡状态时，σ1=σz =γz ，σ3=σx =p a ，代入上式得1)填土为粘性土时填土为粘性土时的朗肯主动土压力计算公式为 p a =γztg 2(45°-2ϕ)-2c ·tg(45°-2ϕ)=γzK a -2c a K (6-3) 由公式(6-3)，可知，主动土压力p a 沿深度Z 呈直线分布，如图6-5所示。
在图中，压力为零的深度z 0，可由p a =0的条件代入式(6-3)求得a0K c 2z γ=(6-4)在z 0深度范围内p a 为负值，但土与墙之间不可能产生拉应力，说明在z 0深度范围内，填土对挡土墙不产生土压力。
墙背所受总主动土压力为P a ，其值为土压力分布图中的阴影部分面积，即γ+-γ=--γ=22c 2K cH 2K H 21)z H )(K c 2HK (21P a a 0a a a (6-5)2)填土为无粘性土(砂土)时根据极限平衡条件关系方程式，主动土压力为a a zK )245(ztg p 2γ=ϕ-︒γ= (6-6)上式说明主动土压力P a 沿墙高呈直线分布，即土压力为三角形分布，如图6-6所示。
墙背上所受的总主动土压力为三角形的面积，即Ka H Pa 221γ= (6-7)P a 的作用方向应垂直墙背，作用点在距墙底H 31处。
6.3.3 朗肯被动土压力计算从朗肯土压力理论的基本原理可知，当土体处于被动极限平衡状态时，根据土的极限平衡条件式可得被动土压力强度σ1=p p ，σ3=σz =rz ，填土为粘性土时p p p K c zK tg c ztg p 2)245(2)245(2+=+︒⋅++︒=γϕϕγ (6-8)填土为无粘性土时p p zK ztg p γϕγ=+︒=)245(2 (6-9)式中： P p ——沿墙高分布的土压力强度，kPa ；K p ——被动土压力系数，)245(2ϕ+=tg Kp ；其余符号同前。
关于被动土压力的分布图形，分别见图6-7及图6-8。
填土为粘性土时的总被动土压力为p p p cHK K H P 2212+=γ (6-10) 填土为无粘土时的总被动土压力为 p p K H P 221γ=(6-11) 作用方向和作用点的位置分别如图6-7、图6-8上所标示的方向和作用点；计算单位为kN/m 。
6.4库伦土压力理论6.4.1基本原理库伦于1776年根据研究挡土墙墙后滑动土楔体的静力平衡条件，提出了计算土压力的理论。
他假定挡土墙是刚性的，墙后填土是无粘性土。
当墙背移离或移向填土，墙后土体达到极限平衡状态时，填后填土是以一个三角形滑动土楔体的形式，沿墙背和填土土体中某一滑裂平面通过墙踵同时向下发生滑动。
根据三角形土楔的力系平衡条件，求出挡土墙对滑动土楔的支承反力，从而解出挡土墙墙背所受的总土压力。
6.4.2 主动土压力的计算 如图6-9所示挡土墙，已知墙背AB 倾斜，与竖直线的夹角为ε，填土表面AC 是一平面，与水平面的夹角为β，若墙背受土推向前移动，当墙后土体达到主动极限平衡状态时，整个土体沿着墙背AB 和滑动面BC 同时下滑，形成一个滑动的楔体△ABC 。
假设滑动面BC 与水平面的夹角为α，不考虑楔体本身的压缩变形。
取土楔ABC 为脱离体，作用于滑动土楔体上的力有：①是墙对土楔的反力P ，其作用方向与墙背面的法线成δ角(δ角为墙与土之间的外摩擦角，称墙摩擦角)；②是滑动面PC 上的反力R ，其方向与BC 面的法线φ角(φ为土的内摩擦角)；③是土楔ABC 的重力W 。
根据静力平衡条件W 、P 、R 三力可构成力的平衡三角形。
利用正弦定理，得：[])(180sin W)sin(P ϕ-α+ψ-︒=ϕ-α 所以 )sin()sin(W P ϕ-α+ψϕ-α=(6-12)其中 ψ=90°-(δ+φ)假定不同的α角可画出不同的滑动面，就可得出不同的P 值，但是，只有产生最大的P 值的滑动面才是最危险的假设滑动面，P 大小相等、方向相反的力，即为作用于墙背的主动土压力，以P a 表之。
对于已确定的挡土墙和填土来说，φ、δ、ε和β均为已知，只有α角是任意假定的，当α发生变化，则W 也随之变化，P 与R 亦随之变化。
P 是α的函数，按0d dP=α的条件，用数解法可求出P 最大值时的α角，然后代入式(6-12)求得主动土压力的：()()()()2222cos cos sin sin 1)cos(cos )(cos 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=βεεδβϕεϕδεεεϕγH P a a a K H P 221γ=(6-13)式中：γ、φ——分别为填土的重度与内摩擦角；ε——墙背与铅直线的夹角。
以铅直线为准，顺时针为负，称仰斜；反时针为正，称俯斜；δ——墙摩擦角，由试验或按规范确定。
我国交通部重力式码头设计规范的规定是：①俯斜的混凝土或砌体墙采用2ϕ～ϕ32；②阶梯形墙采用ϕ32；③垂直的混凝土或砌体采用3ϕ～2ϕ。
β——填土表面与水平面所成坡角；K a ——主动土压力系数，无因次，为φ、ε、β、δ的函数。
可用下式计算；222)cos()cos()sin()sin(1)cos(cos )(cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=βεεδβϕδϕδεεεϕa K若填土面水平，墙背铅直光滑。
即β=0，ε=0，φ0=0时，公式(6-13)即变为)245(2122ϕγ-︒=tg H P a 此式与填土为砂性土时的朗肯土压力公式相同。
由此可见，在一定的条件，两种土压力理论得到的结果是相同的。
由式(6-13)可知，P a 的大小与墙高的平方成正比，所以土压力强度是按三角形分布的。
P a 的作用点距墙底为墙高的31。
按库伦理论得出的土压力P a 分布如图6-10所示。
土压力的方向与水平面成(ε+δ)角。
深度z 处的土压力强度为zKa Ka z dz d dz dP p a az γγ=⎪⎭⎫⎝⎛==221 (6-14) 注意，此式是P a 对铅直深度z 微分得来，p az 只能代表作用在墙背的铅直投影高度上的某一点的土压力强度。
6.4.3 被动土压力的计算 被动土压力计算公式的推导，与推导主动土压力公式相同，挡土墙在外力作用下移向填土，当填土达到被动极限平衡状态时，便可求得被动土压力计算公式为p p K H P 221γ=（6-15） 式中：K P ——被动土压力系数，可用下式计算；222)cos()cos()sin()sin(1)cos(cos )(cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++--+=βεδεβϕδϕδεεεϕp K6.4.4关于朗肯和库伦土压力理论的简单说明1)朗肯和库伦土压力理论都是由墙后填土处于极限平衡状态的条件得到的。
