材料成形基本原理合肥工大版16章ppt

′ 所以塑性应变增量偏张量就是应变增量张量， 所以塑性应变增量偏张量就是应变增量张量，即 d ε ij = d ε ij
在上述假设前提下，得到应变增量和应力偏量成正比的结论， 在上述假设前提下，得到应变增量和应力偏量成正比的结论， 即
′ d ε ij = σ ij d λ
（17-6） 称为Levy-Mises方程。 方程。 称为 方程
式中， 式中， λ 是瞬时的非负比例系数，在加载的不同瞬间是变化的，在卸载时 d λ = 0 。 d 是瞬时的非负比例系数，在加载的不同瞬间是变化的，
′ d ε ij = σ ij d λ
由于 d ε ij
（17-6） 所以式（17-6）也可以写成比例形式和差比形式： 所以式（ ）也可以写成比例形式和差比形式：
第三节 增量理论
增量理论又称流动理论， 增量理论又称流动理论 ， 是描述材料处于塑性状 态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论， 态时 ， 应力与应变增量或应变速率之间关系的理论， 它是针对加载过程的每一瞬间的应力状态所确定的该 瞬间的应变增量，这样就撇开加载历史的影响。 瞬间的应变增量，这样就撇开加载历史的影响。 撇开加载历史的影响 密塞斯（ 一、列维-密塞斯（Levy-Mises）理论 列维 密塞斯 ）
Levy和Mises分别于 和 分别于1871和1913年建立了理想塑性材料的流 和 年建立了理想塑性材料的流 分别于 动理论，该理论建立在下面四个假设基础上。 动理论，该理论建立在下面四个假设基础上。
四个假设
d ε ijp 就是总应变增量 d ε ij 。
e 1） 材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量 d ε ij 为零。塑性应变增量 ） 材料是理想刚塑性材料， 为零。
′ ε ij = ε ij + δ ij ε m =
1 1 − 2ν ′+ σ ij δ ij σ m 2G E
（17-5）
广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式
ε ′ ε ′y ε ′ γ yz γ zx γ xy 1 x z = = = = = = σ ′ σ ′y σ ′ τ yz τ zx τ xy 2G x z
3 dε 1 d ；γ xy = τ xy dεx = [σ x − (σ y + σ z )]； d 2 σ 2 σ 3 dε dε 1 ；γ yz = d τ yz dε y = [σ y − (σ x + σ z )]； d 2 σ 2 σ 3 dε dε 1 τ zx dεz = [σ z − (σ x + σ y )]； ；γ zx = d d 2 σ 2 σ
由以上分析可知，弹性应力应变关系有如下特点： 由以上分析可知，弹性应力应变关系有如下特点： 1） 应力与应变成线性关系。 ） 应力与应变成线性关系。 2） 弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对 ） 弹性变形是可逆的， 应的。 应的。 3） 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变 ） 弹性变形时， 化 ，泊松比 ν < 0.5。 (ε m =
1 − 2ν σm) E
4）应力主轴与应变主轴重合。 应力主轴与应变主轴重合。
第二节 塑性应力应变关系
当质点应力超过屈服极限进入塑 性状态时， 性状态时，应力应变关系一般不能一 一对应，而是与加载路线有关。 一对应，而是与加载路线有关。
图17-1 单向拉伸时的应力-应变曲线
如图17-1所示，若是理想塑性材料，则同一 σ s 可以对应任何应变 所示，若是理想塑性材料， 如图 所示 （图中虚线），若是硬化材料，则由 图中虚线），若是硬化材料， ），若是硬化材料 为
dε
（17-11）
由式（ 由式（17-11）和式（17-6）可以证明平面变形问题的一些结论。 ）和式（ ）可以证明平面变形问题的一些结论。 平面塑性变形时， 平面塑性变形时，设z 向没有变形 ，则有 dε z = 0 ， 由式（ 由式（17-11）即，dε z = ） 可得： 可得：
dε [σ z − 1 (σ x + σ y )] = 0 2
第一节 弹性应力应变关系
ε 单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。 单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。
τ yz 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )]；γ yz = E 2G τ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )]；γ zx = zx E 2G τ xy 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )]；γ xy = E 2G
（σm E
上式表明，弹性变形时其单位体积变化率（ 上式表明，弹性变形时其单位体积变化率（
θ = ε x + ε y + ε z = 3ε m ）
与平均应力
σ m 成正比，说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变。 成正比，说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变。
将式（ ε ε ε 将式（17-1） x 、 y 、 z 分别减去 ε m ，如 ）
ε ′ = ε x − εm = x
=
1 1 − 2ν σ x + σ y + σ z [σ x −ν (σ y + σ z )] − ( ) E E 3
1 +ν 1 1 (σ x − σ m ) = (σ x − σ m ) = σ′ x 2G 2G E
同理得
1 1 σ ′ ；γ yz = τ yz x 2G 2G 1 1 ε′ = σ ′y；γ zx = τ zx y 2G 2G 1 1 ε′ = σ ′；γ xy = τ xy z z 2G 2G
E
4）全量应变主轴与应力主轴不一定重合。 全量应变主轴与应力主轴不一定重合。
由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史有关。 由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史有关。因 此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍 关系是不可能的， 关系是不可能的，一般只能建立应力与应变增量之间的关 系，仅在简单加载下，才可以建立全量关系。 仅在简单加载下，才可以建立全量关系。 所谓简单加载， 所谓简单加载，是指在加载过程中各应力分量按同一比例 增加，应力主轴方向固定不变。 增加，应力主轴方向固定不变。
2） 材料符合 ） 材料符合Mises屈服准则，即 屈服准则， 屈服准则
σ =σ s 。
3） 每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。 ） 每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。 4） 塑性变形时体积不变，即 d ε1 + d ε 2 + d ε 3 = d ε x + d ε y + d ε z = 0 ） 塑性变形时体积不变，
=
σ
E
将其推广到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律， 将其推广到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律， 即
（17-1）
式中， 是弹性模量（ 式中，E—— 是弹性模量（MPa）； ）； G——是剪切模量 是剪切模量（MPa）。 是剪切模量
ν
——是泊松比 是泊松比； 是泊松比
三个弹性常数E、 三个弹性常数 、ν 、G之间有如下关系 之间有如下关系
及
εx −εy εy −εz ε z − ε x γ yz γ zx γ xy 1 = = = = = = σ x − σ y σ y − σ z σ z − σ x τ yz τ zx τ xy 2G
上式表明，应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成正比。 上式表明，应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成正比。
σ
σ z = (σ x + σ y )
σm
1 2
或
σ3 =
1 (σ 1 + σ 2 ) 2
σx +σ y 1 1 1 = (σ x + σ y + σ z ) = (σ x + σ y + ) = (σ x + σ y ) 3 3 2 2
特别说明： 特别说明：
1、 Levy-Mises方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应变增量 、 方程仅适用于理想刚塑性材料， 方程仅适用于理想刚塑性材料 与应力偏量之间的关系。 与应力偏量之间的关系。由于 d ε 力。 为常数， 是不定值， 2、如果已知应力分量，因为 σ = σ s 为常数， d ε 是不定值，也只 如果已知应力分量， 能求得应变增量各分量之间的比值，而不能直接求出它们的数值。 能求得应变增量各分量之间的比值，而不能直接求出它们的数值。
第十七章 材料本构关系
应力应变之间的关系叫本构关系， 应力应变之间的关系叫本构关系，这种关系的数学表 本构关系 达式称为本构方程，也叫物理方程。 达式称为本构方程，也叫物理方程。 物理方程 塑性应力应变关系和屈服准则都是求解塑性变形问题的 基本方程。 基本方程。 本章主要讨论连续、均质、各向同性固体金属的塑性本 本章主要讨论连续、均质、各向同性固体金属的塑性本 连续 构关系。 构关系。
——为应变速率张量， 为应变速率张量， 为应变速率张量
——为等效应变速率。 为等效应变速率。 为等效应变速率
（17-12） 称为应力-应变速率方程， 称为应力 应变速率方程， 应变速率方程
则有
它同样可以写成比例形式和广义表达式。 它同样可以写成比例形式和广义表达式。 年提出， 式（17-12）由圣维南（B. Saint-Venant）于1870年提出，由于 ）由圣维南（ ） 年提出 与牛顿粘性流体公式相似，故又称为圣维南塑性流体方程。 与牛顿粘性流体公式相似，故又称为圣维南塑性流体方程。 如果不考虑应变速率对材料性能的影响，该式与列维 密塞斯方程是一致的 密塞斯方程是一致的。 如果不考虑应变速率对材料性能的影响，该式与列维-密塞斯方程是一致的。
ε′ = x
（17-3）
简记为